2 1252 )t(C )t(C -= -= CCC CCC 2 As Ai A AsAA AisAiAi =t = ===t --= VkC)CC(qdtdCV Ai AAAiA qV qVkCK s)s(C,K,

Process control 2011, quiz 1 Day time

Teacher: Young-Il Lim (N110) Student number:______________________

1. 어떤 열교환기의 온도를 PID (proportional, integral, and differential) feedback 제어하는 공정이 있다. 유입되는 유입 물의 온도 (T_i) 는 시간에 따라 변하고 있으며, 수증기의 양 (Q) 를 조절하여 공정의 온도 (T) 를 제어하고자 한다 (4).

1) PID feedback 제어 블록선도를 그리세요 (2). 단, 온도 설정값은 Tsp 라고 한다.

2) 이 블럭선도를 바탕으로 PID feedback 제어기를 설명하세요 (2).

2. 2 차 속도반응이 일어나고 있는 등온 CSTR 반응기에서, 성분 A 에 대한 물질수지식은 다음과 같다 (10).

2 A A

Ai

A

q ( C C ) VkC

dt

V dC = - -

이때, V, q, k 는 상수들로서, 각각 반응기 부피, 부피유속, 그리고 반응상수이다. 유출 농도 (CAi, CA) 는 변수이다 (10).

1) 위 미분방정식을 선형화하세요 (2). 단, CAi 와 CA 의 정상상태는 각각 CAis, CAs 라고 한다.

2) 선형화된 식을 편차함수를 사용하여 표준화하세요 (2). 단, 편차함수는

C

_A

= C

_A

- C

_As,

C

_Ai

= C

_Ai

- C

_Ais 라고 한

다.

3) 시상수

q

= V

t

, 그리고 이득상수

q K 2 VkC

^As

=

라고 할 때, 위에서 구한 식을 간략히 표현하여 라플라스 변환하세

요.

4) 만일

) s s ( C , K

,

_Ai

12

5

2 = =

=

t

라고 할 때, 주어진 식을 부분분수화하여 역라플라스 변환하세요.

5) 위에서 구한 함수의 초기값과 최종값을 구하고, 그래프로 그리세요. 단, 유입농도 (

C

_Ai

( t )

) 와 유출농도 (

C

_A

( t )

)

모두에 대하여 그리세요.

Process control 2011, quiz 1 Day time

Teacher: Young-Il Lim (N110) Student number:______________________

1. 어떤 열교환기의 온도를 PID (proportional, integral and differential) feedback 제어하는 공정이 있다. 유입되는 유입물의 온도 (Ti)

는 시간에 따라 변하고 있으며, 수증기의 양 (Q) 를 조절하여 공정의 온도 (T) 를 제어하고자 한다 (4).

1) PID feedback 제어 블록선도를 그리세요 (2). 단, 온도 설정값은 T

_sp

라고 한다.

2) 이 블럭선도를 바탕으로 PID feedback 제어기를 설명하세요 (2).

è 본 PID 제어 공정의 제어변수는 열교환기 온도 (T), 교란변수는 유입온도 (T

i

), 그리고 조절변수는 수증기의 유량 (Q) 이다. 제 어변수 (T) 를 측정하여 설정값 (T

sp

) 과 비교한 오차값 (e=T

sp

- T) 에 대하여 PID (비례, 적분, 그리고 미분) 제어를 적용하고 있으 므로 PID feedback 제어라 한다. 즉, PID feedback 제어라 함은 공정제어변수를 측정하여 제어에 활용하는 feedback 기법과 설정값과 측정값의 차이인 오차값에 대하여 비례, 적분, 그리고 미분 상수값을 적용하여 조절변수값을 정하는 PID 제어를 말한다.

2. 2 차 속도반응이 일어나고 있는 등온 CSTR 반응기에서, 성분 A 에 대한 물질수지식은 다음과 같다.

2 A A

Ai

A

q ( C C ) VkC

dt

V dC = - - (식 1)

이때, V, q, k 는 상수들로서, 각각 반응기 부피, 부피유속, 그리고 반응상수이다. 유출 농도 (C

Ai,

C

A

) 는 변수이다 (10).

1) 위 미분방정식을 선형화하세요 (2). 단, C

Ai

와 C

_A

의 정상상태는 각각 C

_Ais

, C

As

라고 한다.

è 주어진 (식 1) 오른쪽 2 번째항이 변수 CA 에 대하여 비선형성을 갖는다. 따라서 이 비선형항 (

C

_A²) 을 CA 에

대하여 정상상태에서 선형화해야 한다. 이 비선형항을

f ( C

_A

) = C

_A² 라고 하고, 점

( C

As

, C

As²

)

에서 선형화하면,

2

2

2

_{As A As As}

A

A

) C C ( C C ) C

C (

f = » - +

(식 2)

선형화된 (식 2) 를 (식 1) 에 대입하면,

( )

2 2

2 2

As As

A As A

Ai

As As A As A

Ai A

VkC ) C C ( VkC )

C C ( q

C ) C C ( C Vk ) C C ( dt q V dC

- - -

-

=

+ - -

-

=

(식 3)

2) 선형화된 식을 편차함수를 사용하여 표준화하세요 (2). 단, 편차함수는

As A

A

C C

C = - ^, C

_Ai

= C

_Ai

- C

_Ais

^{라고 한다.}

è (식 3) 의 정상상태식 (t=0 에서 CA=CAs) 은 다음과 같다.

2

_{As As As As}2 As

Ais

As

q ( C C ) VkC ( C C ) VkC

dt

V dC = - - - -

(식4)

(식3) 에서 (식4) 를 빼면, 편차변수형태로 나타내어 진다.

A As A

Ai

A

q ( C C ) VkC C

dt C

V d = - - 2

(식5)

TC 온도제어기

유량조절

밸브 열교환기

전환기(TT) Tsp +

-

Q T

Ti

온도센서

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Teacher: Young-Il Lim (N110) Student number:______________________

) t ( C

_Ai

12

0

t CA or CAi

2

C

_A

( t )

3) 시상수

t = V / q

, 그리고 이득상수

q K 2 VkC

^As

=

라고 할 때, 위에서 구한 식을 간략히 표현하여 라플라스 변환

하세요.

A A

Ai

A

C C K C

dt C

d = - -

t

( )

K s

) s ( ) C

s ( C

) s ( C K s

) s ( C

) s ( C K ) s ( C ) s ( C ) s ( C s

Ai A

Ai A

A A

Ai A

+ +

= t

= + + t

- -

= t

1

1

(식6)

4) 만일

) s s ( C , K

,

_Ai

12

5

2 = =

=

t

라고 할 때, 주어진 식을 부분분수하여 역라플라스 변환하세요.

) s ( s s ) s

s ( C

_A

3 6 12

6 2

1

= + + ×

=

3 2 2 3 6

- + + º

= s ( s ) s s )

s (

C

_A (식7)

(식7) 을 역라플라스변환하면,

[ C

A

( s ) ] C

A

( t ) e

^t

L

^-1

= = 2 - 2

^-3 (식8)

5) 위에서 구한 함수의 초기값과 최종값을 구하고, 그래프로 그리세요. 단, 유입농도 (

C

_Ai

( t )

) 와 유출농도 (

C

_A

( t )

)

모두에 대하여 그리세요.

è (식8) 의 초기값은

C

_A

( 0 ) = 2 - 2 e

^-3×0

= 0

이고, 최종값은

C

_A

( ¥ ) = 2 - 2 e

^-3×¥

= 2

이므로, 그래프는 다음과 같다.