모평균의 검정

가설검정 2

모평균의 검정

교재 pp.200~212

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내용은

 모평균의 검정

 모집단의 평균이 ?? 이다

 가설은



H

:



H

:



H

:



H

:



H

:



H

:

양측검 정

단측검 정

단측검 정

1. 모집단의 표준편차 를 아는 경우 모집단의 분산 을 아는 경우

2. 모집단의 표준편차 를 모르는 경우 모집단의 분산 을 모르는 경우

´� −�

� / √ ^{� � (0,1)}

� = ´ ∑ ^�

� � (� , �

� )

� −� ´

� / √ ^{� �(�− 1)}

모표준편차를 알 때

모표준편차를 모를 때 모평균의점추정량은

표본평균

예제 5.2 p.201

 J 대학 경영학부 학생들의 평균 IQ 를 조사하는 데

 표본평균 =115, 표본수 =25

 편차 (σ) 는 10 이라고 알려져 있다

 일반인들의 IQ 는 110 인데 이 집단은 일반인 들에 비해서 높다고 이야기 할 수 있나 ?

H

:

H

:

단측검정

잠깐 idea 를



Random 으로 25 개를 뽑아 평균을 구해보니



표본집단의 평균은 115



원래 모집단의 평균은 110



모집단의 표준편차는 10

120, 130, 100, 110, 105, 95, 85, 120,

110, 125, …

?, ?, ?, ….

모수

Parameter

가설검정의

절차는 ?

 기존의 사실 ( 귀무가설 ) 을 중시

 귀무가설에서 많이 벗어나야 대립가설이 맞다고 판단

 판단기준이 되는 값은 ?

 모평균의 점추정값인 표본평균으로 판단

 표본평균의 값이 귀무가설이 사실일 때 나올 수 있는 범위 (?) 를 그려보고

 관측된 표본평균 값이 여기서 많이 벗어난다고 판단 되면 대립가설이 맞는 것으로 결정

귀무가설이 맞다면

 표본평균의 분포는 다음과 같이 생겼다

�

: �=110

표본평균이 115 이상 나올 가능성이 있음

� � ´ ( ^{�, �} �

) ^{= N} ( ^{110, 10} 25

)

10

√ ²⁵

H

115

´� 

110

귀무가설이 맞다면

 가능성은 있지만 그래도 너무 벗어난다면

110

10

√ ²⁵

H

115

�

: �=110

대립가설이 맞다라고 판단

´� 

H

 판단이 얼마정도 틀릴것을 각오하는가 ?

 유의수준 ( 일반적으로 5%, 1%, 10%)

 유의수준에 따라 기각역 유도



H₀ 이 맞아도 표본평균이 기각역 값이상 나올 확률

110

2

H

´� 

어느정도 벗어나야 ?

5%

H

H

기각역

1 

� 

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1} 

1.645 

0.05  N(0.1)

1 

� 

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1} 

2.326 

0.01  N(0.1)

1 

� 

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.96} 

0.025  N(0.1)

� 

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  0} 

0.05  t(8)

 유의수준

 표준화 하면 표준정규분포에서 상위 5% 가 되는 값이 1.645



110

2

H

�−110

2 =1.645

´� 

예제의 기각역을 구하는 법

5%

기각역 = 

1 

� 

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.645} 

0.05  N(0.1)

참고 : k 를

엑셀에 의하여 구하면 NORM.

INV

110

2

´� 

5%

�

 기각역이 113.29 이므로 115 는 기각역에 속함

 그러므로 귀무가설 기각

 모평균이 110 보다 크다고 판단한다

(



110

2

H

´� 

기각역에 의한 검정

(

5%

H

H

113.29 115

기각 (

 유의수준이 1% 일 때 기각역을 계산

 관측값 115 는 기각역 114.65 보다 큼

 그러므로 귀무가설 기각

(



110

2

H

´� 

기각역에 의한 검정

(

1%

H

H

113.29 115

114.65

�−110

2 =2.326

1 

� 

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  2.326} 

0.01  N(0.1)

Q1

이때

여러분의 선택은 ?

 귀무가설 기각 (

 귀무가설 기각 (



 당연히 귀무가설 기각 ⁽ 이라 씀

 유의수준은 ?

 틀릴 확률

 유의수준 5% 로 판정하는 것보다 유의수준 1% 로 판정하는 것이 더 신뢰감을 줌

Q2

만약 이면

여러분의 선택은 ?

 귀무가설 기각 (

 귀무가설 채택 (



 이때는 귀무가설 기각하기 위해 ^{사용 ?}

110

2

H

´� 

H

H

113.29 114

114.65

1%

어떤 통계 패키지에서도 가설 기각 , 채택 등의 결과를 출력하지 않는 다 ?

 같은 결과로도 유의수준에 따라 기각할 수도 채택할 수도 있기 때문임

 절대적인 유의수준의 값은 없음

 그래서 각 유의수준에 따른 기각역 또는 p- 값만 제시함

 p- 값 = Pr( 결과 | H₀ 이 사실 ) = Pr( 결과 이상 | H₀ 이 사실 ) ( 정확한 표

현 )

 p- 값을 이용하면 기각역을 구하지 않고도 결론을 내릴 수 있음

 그래서 대부분의 통계분석도구들은 p- 값만 출력함

 p- 값 < 이면 H₀ 기각 ( 유의수준 )



앞의 예제의 p- 값에 의한 검정

 표본평균이 115 가 나옴 ( 결과 )

 표본평균이 115 이상 나올 확률을 구 함

 P- 값과 유의수준을 비교

 P- 값이 작으면 귀무가설 기각

110

10

√ ²⁵

H

115

´� 

p- 값

114.65

P- 값 < 0.01=1%

귀무가설 기각 (

 p- 값 =1-0.99379=0.006

 P- 값 =0.006 < 0.01=1%

 귀무가설 기각 (



참고 :p- 값을

엑셀에 의하여 구하면 NOR- M.DIST

110

2

115

´� 

p- 값

 p- 값 =1-0.99379=0.00 6

참고 :p- 값을 구하는 좋은 습관

0

1

115 −110

2 =2.5

z

p- 값  idea:

 표준정규분포는 -3 에서 3 까지의 범위

 표준화 값이 -2, 2 를 벗어나면

 귀무가설 분포에서 멀어진다라고 판단

1  ^{2  3} 

−3  ^{−2  −1} 

예제 5.3 p.204

 어떤 치료법의 치료기간 조사

 표본평균 =14, 표본수 =16

 편차 (σ) 는 2.3 이라고 알려져 있다

 일반 치료법의 치료기간은 15 일 인데 이 치료법 은 치료기간이 단축되었다고 이야기 할 수 있

나 ?

 H₀: 모집단의 평균이 15 이다

 H₁: 모집단의 평균이 15 보다 작다

가설 단측검정

H

귀무가설이 맞다면

 표본평균의 분포는 다음과 같이 생겼다

15

2.3

√ ¹⁶

H

�

: �=15

귀무가설하에서

표본평균이 14 이하 나올 가능성이 있음

� � ´ ( ^{�, �} �

) ^{= N} ( ^{15, 2.3} 16

)

´� 

14

기각역에 의한

검정

 관측값과 기각역을 비교

 이번에는 기각역이 왼쪽

H

기각역

15

2.3

  4

14

´� 

H

기각역에 의한

검정

 유의수준은 5% 로 가정

 기각역의 왼쪽 확률이 5%

´� 

15

2.3

  4

H

H

기각역

5%

=k

0.946

1 

� 

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.645} 

0.05  N(0.1)

엑셀에 의하여 구하면

´� 

15

2.3 4

H

H

14.054

5%

14 

표본평균 14 일이 기각역에 들어가므

로



귀무가설 기각 (

P- 값에 의한

검정

 p- 값 = 표본평균이 14 일보다 작을 확률

 14 일을 표준화해주면

 표준정규분포에서 -1.74 보다 작을 확률



15

2.3

√ ¹⁶

H

´� 

14 0

1

H

z -1.74

P- 값에 의한

검정

 p- 값 = 표본평균이 14 일보다 작을 확 률

15

2.3

√ ¹⁶

H

´� 

14

 P- 값 =0.041 <

0.05=5%

 귀무가설 기각 (

P- 값에 의한

검정

 p- 값 = 표준정규분포에서 -1.74 보다 작을 확률

0

1

H

z -1.74

 P- 값 =0.041 <

0.05=5%

 귀무가설 기각 (

1. 모집단의 표준편차 를 아는 경우 모집단의 분산 을 아는 경우

2. 모집단의 표준편차 를 모르는 경우 모집단의 분산 을 모르는 경우

Z- 검정

t- 검정

´� −�

� / √ ^{� � (0,1)}

� = ´ ∑ ^�

� � (� , �

� )

� −� ´

� / √ ^{� �(�− 1)}

모표준편차를 알 때

모표준편차를 모를 때 모평균의점추정량은

표본평균

예제 5.4 p.209

 전구의 수명시간을 조사하는데

 표본평균 =1970, 표본수 =9

 편차 (σ) 는 모르고 표본표준편차 (s) 는 70 으로 계산

 일반 전구의 수명은 1950 시간인데 이 집단의 전구 수명은 일반 전구들에 비해서 높다고 이야기 할 수 있 나 ?

H

:

H

:

단측검정

 단측검정이므로 기각역이 한 쪽

1950

�

√

H

´� 

5% 

H

H

기각역 =k

기각역에 의한

검정

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.86} 

0.05  t(8)

86 . 9 1

/

701950 

k

4 . 1993

9 86 70 . 1 1950







k

 관측값 1970 이 기각역 1993.4 보 다 작으므로 귀무가설 채택 (



1950

�

√

H

´� 

5% 

H

H

기각역 = 1993.4

기각역에 의한

검정

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.86} 

0.05  t(8)

1970

86 . 9 1

/

701950 

k

참고 > 엑셀에 의하면

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.86} 

0.05  t(8)

 표본평균이 1970 이상일 확률은 0.208



이는 Excel 에서 계산 가능

 p- 값이 유의수준보다 크므로 귀무가설 채택

p- 값에 의한 검정

1950

�

√

H

´� 

1970

� 

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  0.857} 

0.208  t(8)

1970 − 1950

70/

√

참고 > 엑셀에 의하면

�

� 

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  0.857} 

t(8)

예제 5.5 p.211

 학생들의 평균신장을 조사

 표본평균 =170, 표본수 =10

 편차 (σ) 는 모르고 표본표준편차 (s) 는 5.02 으로 계산

 일반인의 평균이 172 인데 이 집단의 평균신장은 일반인들과 다르다고 이야기 할 수 있나 ?

 H₀: 모집단의 평균이 172 이다

 H₁: 모집단의 평균이 172 가 아니다 ( 크거나 작다 )

가설

양측검정

 양측검정이므로 기각역이 양 쪽

172

�

√

H

´� 

0.025 

H

기각역 =k

기각역에 의한

검정

H

H

기각역

0.025 

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  2.262} 

0.025  t(9)

−2.262 

262 . 10 2

/ 02 .

5k 172 

59 . 175

10 02 . 2625 . 2 172







k

 관측값 170 이 기각역에 속하지 않으므로 귀무가설 채택

172

�

√

H

´� 

0.025 

H

H

기각역 = 175.59

기각역에 의한

검정

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  2.262} 

0.025  t(9)

H

기각역 = 168.41

0.025 

170

−2.262 

262 . 10 2

/ 02 .

5k 172 

 양측검정이므로 p- 값도 2 배

 170 보다 작을확률 =174 보다 클확률

172

�

√

H

´� 

P- 값에 의한

검정

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.26} 

 ?

t(9)

170 174

174 −172

5.02/

√

−1.26 

 p- 값 =0.239

 p- 값이 유의수준보다 크므로

 귀무가설 채택

172

�

√

H

´� 

P- 값에 의한

검정

�

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.26} 

 ?

t(9)

170 174

−1.26 

수고하셨습니다

모평균의 검정을 마칩니다