Chap. 10
Newton 역학과 벡터미적분학Ⅱ
서론
l 강체의 정의
- 외부의 힘을 받아도 그 크기와 모양이 변하지 않는 이상적인 고체
- 무한개의 질점으로 구성되어 있으며, 질점 상호간 거리가 항상 일정한 질절계 - 강체의 크기(size)는 운동에 중요한 변수
- 강체의 운동 특성 : 병진 3자유도 + 회전 3자유도(최대 6자유도)
질점계
질점
강체 운동
l 강체운동의 분류 1) 병진운동
- 강체내의 임의의 두 점을 연결한 직선운동 중에 항상 일정한 방향을 유지할 때이를 강체의 병진운동이라 한다.
- 질점의 운동과 동일하여 강체의 병진운동만을 볼 때에는 질점으로 모델링
=
+
/
=
+ 0
=
강체의 특성
강체 운동
l 강체운동의 분류(계속) 2) 고정축에 대한 회전운동
- 강체의 모든 점에서 각좌표θ로 원운동을 기술가능 - 각좌표θ는 반시계방향(+), 시계방향(-)로 표시한다.
x
O y
‘
r
sin
r j
l 고정축에 대한 접선에서의 속도() - 크기 :
- 방향 : 의 궤적의 접선방향
- v= ̇ = × ( = ̇ = ) 벡터표현법
= lim
∆→
∆
∆ = lim
∆→
∅ ∆
∆ = rsin∅̇
강체 운동
l 고정축에 대한 접선에서의 속도() (계속)
- 고정축 회전운동에서, 회전축상에 있지 않은 점들은 그 축을 중심으로 하는 원궤적을 따라 움직인다
- 점의 속도를 좌표계를 사용하면
v = 로 표현할 수 있다(는 접선단위벡터) - 이 속도의 축과 축 성분은 다음과 같다
= −
sinθ +
cosθ
y
θ
θ
=
ω
x
강체 운동
l 고정축에 대한 접선의 가속도
① 궤적의 접선성분 궤적의 법선성분
② (물체의 각가속도)= = ̇ = ̈
③ , 는 물체의 성질 (물체 전체에 동일
④ 강체가 얇은 평판일 때( = 90°)
= ̇ = ̇ × + × ̇
=̇ × + × (+ )
= ×
= θ̈ × − θ̇
= × − ω
= r
+ r
( 접선방향 단위벡터, 법선방향 단위벡터)강체 운동
예제) 14-1
기어가 3600 / 의 각속도로 돌고 있다. 모터의 전원이 꺼지면 마찰에 의해 3 /의 일정한 각감속도를 받는다. 이때 다음을 구하여라(지름80mm)
a. 기어가 3600 / 의 속도에서 정지상 태로 갈 때까지의 시간
b. 정지상태에 도달할 때까지의 회전수
강체 운동
풀이
a. 정지까지 걸리는 시간
각가속도 = −3 / = = ⁄
= −3 + = 377 − 3
= 377 − 1.5+ = 377 − 1.5
0 = 377 − 3 = 126 ( = 0일 때 시간 )
3600
2
60
강체 운동
풀이(계속)
b. 정지상태에 도달할 때까지 돌아간 회전 수
= 377 − 1.5+ = 377 − 1.5식에 정지상태까지 걸린 시간를 대입 해준다.
= 377 126 − 1.5 126 = 23688rad/s
= 37209
평면운동
l 강체의 평면 운동
- 강체의 평면운동에는 질점과 다르게 병진운동과 회전운동을 동시에 나타날 수 있다.
- 회전운동을 고려되기 때문에 강체에 상대운동 개념을 도입한다.
A를 원점으로 가정하 면 B점의 운동은 순 수한 회전운동이다
평면 운동
l 상대운동(강체내의 한점의 속도)
= + / = + × /
강체의 병진운동 두 질점 사이의 상대운동 A는 아는 점(강체의 중심) B는 임의의 점
평면 운동
l 한점의 가속도 - = + /
= + × / + × ( × /)
평면 운동
예제)14-2
7 길이의 막대 가 그림과 같이 높이
= 4 의 계단 위에서 미끄러 진다 막대의 끝 가 오른쪽으로 일정한 속도 0.5 /로 움직이고 이 순간에서 = 2 /일 때 막대 의 각속도를 구하여라
A
B
4ft
풀이
B A
C
d
x θ
1) 밑변과 빗변의 사이각 θ를 구한다.
2) 밑변과 높이의 관계식을 나타낸다
sinθ = dcosθ
이를 양변을 t에 대해 미분을 한다.
̇sinθ + θ̇cosθ = −dθ̇sinθ
= tan
A
B
4ft
평면 운동
평면 운동
예제)14-2
B A
C
x θ
3) = 2ft일 때의 각속도
(2)에서 구한 식에 , , ̇를 대입
= tan4
2= 63.435°
̇ = 0.563 .435°
263 .435° + 463 .435°
= −0.1 /
평면 운동
l 관성 모멘트
- 회전축을 중심으로 회전하는 물체가 계속해서 회전을 지속하려고 하는 성질의 크기를 나타낸 것이다. 외부에서 힘이 작용하지 않는다면 관성모멘트가 클수록 각속도가 작아지게 된다.
-강체 운동에서 대표적인 관성 모멘트 공식
평면 운동
l 평면운동 방정식의 해
- 강체에 대해 평면 운동에서의 운동역학을 풀이하기위해서는 다음의 3가지의 미지수를 계산하여야 한다.
∶ =
∶ =
∶ = ̅
평면 운동
예제)14-3
90 lb 의 무게를 갖는 삼각판이 그림과 같이 두 개의 케이블에 의해 매달려 있다.
삼각판이 현 위치에 있을 때, 케이블의 각속도는 반시계 방향으로 4 rad/s이다.
이 순간에 다음을 구하여라.
a. 삼각판 질량중심의 가속도
b. 각 케이블에 존재하는 인장력 ,
강체 운동
풀이
a. 삼각판 질량 중심의 가속도
= = + /이다. 여기서 는 0이므로
= 0 + / = + 가 된다.
= 2 sin60° + cos60° + 2 4 −60° + 60°
= 1.7321α − 16 i + α + 27.713
평면 운동
풀이(계속)
F = ∶ − + 60° = 90
32.2(1.7321 − 16)
F = ∶ + sin60° − 90 = 90
32.2( + 27.713)
= ∶ 10
12 T+ T cos60° −20
12 + sin60° = 0
평면 운동
축과 축에 대한 항을 정리하면 다음과 같다.
+ = 89.44 − 9.682
+ = 193.36 − 3.227 + = 167.37, = −8.049 / 풀이(계속)
가속도에 를 대입하면
= −29.9 + 19.66 = 35.8ft/s 의 값을 얻을 수 있다.
b. 각 케이블에 걸리는 인장력
또한 모멘트 공식에 를 대입하면 − 값을 얻을 수 있다
= 107.8 , =59.5lb
+ = 167.37
− =−48.32
