Precise Control of Inchworm Displacement Using the LQG/LTR Technique

ISSN 2283-4846(Online) / ISSN 2233-6036(Print)

LQG/LTR 기법을 이용한 이송자벌레 변위의 정밀 제어

Precise Control of Inchworm Displacement Using the LQG/LTR Technique

Yoon-Han Jeon^a, Yun-Sik Hwang^b, Heung-Seok Park^b, In-Soo Kim^b*

a Department of Liveral Arts & Teacher Training, Kumoh National Institute of Technology, 61, Daehak-ro, Gumi, Gyeongbuk-do, 730-701, Korea

b Department of Mechanical System Engineering, Kumoh National Institute of Technology, 61, Daehak-ro, Gumi, Gyeongbuk-do, 730-701, Korea

ARTICLE INFO ABSTRACT

Article history: In this study, the linear quadratic Guassian loop transfer recovery (LQG/LTR) control technique was combined with an integrator and applied to an inchworm having piezoelectric actuators for precise motion tracking. The piezoelectric actuator showed nonlinear response characteristics, including hysteresis, due to its ferroelectric characteristics and the residual displacement phenomenon. This paper proposes a feedback control scheme using the LQG/LTR controller with an integrator to improve the ability to track the response to complex input signals and to suppress the phenomenon of hysteresis and residual vibration.

Experimental results show that the developed feedback control system for an inchworm can track the various motion contours quickly without residual vibration or overshoot.

Received 26 March 2015

Revised 17 June 2015

Accepted 22 June 2015

Keywords:

Piezoelectric actuator Inchworm

Hysteresis Residual vibration

Linear quadratic Guassian loop transfer recovery (LQG/LTR)

* Corresponding author. Tel.: +82-54-478-7345 Fax: +82-54-478-7319 E-mail address: [email protected] (In-Soo Kim).

1. 서 론

제품의 소형화, 경량화, 첨단화에 따라 활용도가 끊임없이 높아 지고 있는 초정밀 이송 기구는 전기모터, 감속기어 및 이송나사의 조합으로 이루어진 이송장치와 유공압장치가 현재 주류를 이루고 있다. 유공압장치는 유체의 특성상 고정밀도를 얻는 것이 어렵고 전기모터장치는 고정밀도의 구현은 가능하지만 회전운동에서 직선 운동으로 변형하기 위해 복잡한 기계 구조가 필요한 단점이 있다.

또 이러한 이송장치들은 출력 에너지 밀도가 낮기 때문에 소형 경 량의 고출력 이송장치를 구성하는데 상당한 기술적 한계에 놓여있 다. 스마트 재료의 하나인 압전소자^[1]는 고응답성, 고강성, 고출력,

높은 분해능 그리고 주파수 응답특성의 이점을 가지고 있고 직선 방향 변위도 바로 얻을 수 있는 장점을 가지고 있다. 뿐만 아니라 압전소자는 구동기뿐만 아니라 센서로도 활용되고 있다^[2].

그러나 압전소자는 자체의 비선형으로 인해 반복 정밀도가 저하 되며 강 유전성으로 인한 히스테리시스(hysteresis) 특성과 입력전 압의 변화 없이 시간에 따라 변위가 증가하는 크리프(creep)특성 및 반복적인 전압의 인가과정 동안 전압이 0 V가 되더라도 출력변 위는 0이 되지 못하는 잔류변위현상 등의 비선형요소를 가진다. 이 런 비선형특성을 보완하고 구동 정밀도를 향상시키기 위해 압전소 자에 관한 많은 연구들이 진행되어 왔다^[3-6].

압전소자를 이용하는 연구는 기구학적인 증폭방법에 대해 많이

Rear Clamp Pusher Front Clamp

Fig. 1 Schematic diagram of inchworm and experimental device

Fig. 2 Response of the uncontrolled system to triangle input: (a) hysteresis, (b) residual displacement

이루어졌지만 고출력과 대 변위를 동시에 만족하지 못하는 단점이 있었다. 넓은 구동 범위와 고출력, 고정밀도를 동시에 구현하기 위 해 다양한 방식의 연구가 진행되어 왔고 이 중 이송자벌레 방식의 작동기는 고출력과 고강성 등의 장점이 있지만 초당 수 밀리미터 정도로 이송 속도가 느리다는 단점이 있다.

본 논문에서는 서브마이크로 단위의 분해능을 가지고 한 싸이클 이동하며 이동거리를 누적시켜 원하는 만큼의 거리를 이송시키는 이송자벌레의 추진부에 대한 운동제어를 한다. 이송자벌레는 총 이 송범위가 160 mm이고 지지력(clamping force)은 210 N인 고출력 선형이송 장치로 이용될 수 있다. 추진부의 동특성은 주파수영역에서 의 커브피팅(curve fitting) 기법으로 모델링 하며 제어기는 모델링 오차, 외란 그리고 불확실성에 대한 강인성을 서보계에 부여할 수 있 는 강인 최적설계 기법인 LQG/LTR(linear quadratic gaussian control with loop transfer recovery)기법을 통해 설계한다.

또한 목표필터루프를 주파수대역의 특이값 일치 방법과 적분요 소를 제외한 플랜트의 모든 극점을 제거하는 방법을 통하여 설계된 서보계 사이의 성능을 비교한다. 이송자벌레의 이송 속도와 이송정 밀도를 향상시키기 위하여 다양한 기준입력 신호에 대한 설계된 서보계의 시뮬레이션과 구동실험을 통해 오버슈트(overshoot), 잔 류진동 지속시간 및 명령 추종성능에 대한 검토를 수행할 것이다.

2. 이송자벌레의 모델링

2.1 이송자벌레 동적 특성

이송자벌레는 추진장치와 전단 잠금 장치와 후단 잠금 장치로 구 성되고, 추진부의 최대 변위는 압전소자의 변형 한계로 인하여 수십 마이크로미터 이하이다. 이와 같은 한계를 극복하기 위해 이송자벌 레는 이송 가이드 및 지지 프레임을 만들어 대 변위 이송 운동을 가능하게 한다. Fig. 1은 이송자벌레 운동 실험을 위한 제어계의 구성도이다. 이송자벌레의 아래 끝 단은 고정되었고 위 끝 단에는 갭 센서(gap sensor: ADE technologies 5130)를 설치하였고 갭 센서로부터 측정된 변위 신호는 고속 이산신호 처리장치(dSPACE 1104)에 입력된다. 제어기는 고속 이산신호 처리장치를 통해 제어 기 출력을 발생시키고 파워 증폭기(AVL 790)를 통해 15배 증폭되 어 이송자벌레의 압전소자에 가해진다. 제어기의 구동 샘플링주파 수는 이송자벌레 공진주파수를 고려하여 5 kHz로 정하였다.

이송자벌레는 압전소자의 비선형 특성인 히스테리시스, 잔류전 압 그리고 크리프특성과 연관된 동특성을 가지고 있다. Fig. 2는 이송자벌레의 정적특성을 알아보기 위해 삼각파형(30 V, 1 Hz)의 입력에 대한 이송자벌레의 응답을 보인 것으로서 히스테리시스 현 상 (a)와 잔류변위 현상 (b)가 나타나는 것을 확인할 수 있다. Fig.

3은 이송자벌레의 동적특성을 확인하기 위해서 사각파형(30 V, 1

Hz) 의 입력에 대한 응답을 측정한 것이다. 사각파 기준입력에 대 한 개루프(open loop) 응답변위는 기준입력신호와는 현저하게 다 름을 알 수 있다. 이는 추진부의 응답특성 즉, 저감쇠 진동특성, 압전소자의 비선형성, 파워증폭기 특성 등에 기인하는 것이다. 특 히 이송자벌레를 경량으로 설계하는 과정에서 추진부의 감쇠능이 낮아 사각파 입력에 대한 잔류진동이 매우 심하게 발생됨을 알 수 있다. 잔류진동의 최대 오버슈트는 61.6%이고 잔류진동 지속시간 은 1.3초 이상이다. 이에 따라 추진부의 단순 개루프 구동만으로는 이송자벌레의 정밀이송과 고속구동이 불가함을 알 수 있고 이에 따라 이송자벌레 추진부의 설계 주관점을 명령 추종, 오버슈트 제 거 및 정착시간 단축으로 정한다.

2.2 시스템 모델링

본 논문에서는 실험을 통해 이송자벌레의 주파수 응답을 측정하

Fig. 3 Response of the uncontrolled system to square input

Fig. 4 Measured and identified FRF of the system

Fig. 5 Block diagram of the LQG/LTR controller

Fig. 6 New plant combined with an integrator

고 이를 행렬분수표현(matrix-fraction description)을 이용하는 주파수 영역에서의 커브피팅 기법을 통해 가능한 낮은 차수의 수학 적 모델을 규명하여 이송자벌레의 실시간 제어를 가능하게 한다^[7]. Fig. 4는 실험을 통해 측정된 이송자벌레의 주파수 응답과 규명 된 모델의 주파수 응답을 보인 것이다. 주파수 응답실험은 랜덤신 호 발생기(LMS, cada-x with scadas II) 및 FFT분석기(LMS, DI-2200) 등을 통해 수행되었다.

시스템 모델 차수는 3차로 하였고 커브피팅 시에 관심 주파수영 역은 공진 주파수 643 Hz를 포함하는 1 kHz로 설정하였다. 측정 된 전달함수와 규명된 전달함수 사이의 모델링오차는 공진 주파수 대역에 비해 비공진 주파수영역에서는 잡음의 영향으로 약간의 오 차가 나타나고 있음을 알 수 있다.

3. 제어기 이론 및 설계

PID 제어기와 같은 전통제어기는 제어기 구조 자체가 간단하고 구현이 편리한 장점이 있으나 제어기 설계과정에서 통상의 체계적

인 방법이 없으므로 적절한 제어기 이득을 얻기 위해 많은 시행착 오를 겪어야 하고 설계된 제어기에 대해서도 강인성 및 최적성 등 에 관한 정량적 확신을 갖기 어렵다. 최근 PID 제어기 설계법으로 유전자 알고리즘과 콤플렉스법 등이 제안되어 있으나 제어기 성능 향상을 위해 입력단에 전단(pre)필터가 요구되기도 한다^[8].

LQG/LTR 기법은 피드백 제어계의 주파수 대역 목표 성능 사양 과 안정도 및 강인성 문제를 제어기 설계 시에 직접적으로 고려할 수 있도록 개발된 대표적인 제어기법이다. 제어계의 설계는 설계 모델에 대하여 바람직한 루프형성이 되도록 목표필터루프(TFL:

target filter loop)를 설계하고 루프전달회복(LTR: loop transfer recovery)을 통하여 설계된 피드백 제어 계의 루프형상을 목표필터 루프의 형상으로 회복시킴으로써 이루어진다. Fig. 5는 LQG/LTR 제어기의 블록선도를 보인 것이다.

외란에 의해 유발되는 정상상태 오차를 제거하고 임의의 기준입 력신호에 대한 명령 추종성능이 높은 제어계을 설계하기 위해 규명 된 모델에 Fig. 6과 같이 적분요소를 첨가한 모델을 설계 플랜트 모델 GP로 정의한다.

    

     (1)

식 (1)에서 x는 상태벡터, y는 출력, u는 입력이고 A, B, C 그리 고 D는 설계 플랜트 모델을 상태방정식으로 나타내기 위한 시스템 행렬이며 ξ와 ζ는 강도 I인 가상적인 백색잡음, μ와 L은 설계계수 행렬이다.

3.1 목표필터루프 형성

목표필터루프를 설계하기 위해 가상적인 센서 잡음에 대한

Table 1 Design parameters of LQG/LTR control

Parameter    

_     × ^     × ^

_     × ^     × ^

Fig. 7 FRF of the target filter loop (solid) and the open loop system (dash)

Kalman필터를 사용해서 다음과 같이 필터이득행렬 H를 구 한다.

  (2)

   ^ (3)

는 관측된 상태벡터이고 P는 식 (4)의 필터대수 Riccati식으로 부터 구한다.

^_^  ^   (4) Q1은 가중행렬로 설계계수이다. Q1, μ, L을 선정하기 위해 Kalman필터 주파수역 등가(Kalman filter frequency domain equality)^[9]를 이용하여 목표필터루프의 전달함수 행렬 GF를 다음 과 같이 근사적으로 구한다.

_≅  ^ ^  (5)

본 연구에서는 최적루프형성^[10]을 이용하여 바람직한 목표필터 루프를 형성하는 설계계수 L을 구하기 위해 널리 이용되는 두 가지 방법을 적용하기로 한다. 첫째로 첨가되어 있는 적분요소만 남겨놓 고 시스템의 모든 극점을 제거하여 설계계수 LP를 구하는 방법은 다음 식을 통해 수행된다.

 _^ (6)

_  ^  (7)

여기서 Zc는 전달함수 GFOL의 성분 영점다항식 계수가 열벡터 요 소가 되는 (n×n) 행렬이고 zd는 첨가된 적분요소가 없는 개루프 특성방정식의 계수로 이루어진 벡터이다.

둘째로 주파수 대역의 특이값을 일치시키는 설계계수 Lf는 식 (8)을 통해 구한다.

_





__^^







여기서 _, _, _는 적분요소가 포함되지 않은 플랜트의 시스템 행렬이다.

3.2 루프전달회복

식 (9), (10)에서 보인 바와 같이 목적함수 J를 최소화하는 LQR (linear quadratic regulator)이론을 통하여 제어이득행렬 G를 구 한다.

 



  ^ (10)

제어이득행렬 G를 구하기 위해 필요한 행렬 K는 식 (11)에 보 인 제어대수 Riccati방정식으로 구한다. 식 (11)의 Q2와 ρ를 조정 하여 설계된 폐루프 제어계 루프형상을 목표필터루프형상으로 회 복시킬 수 있다. 목표필터루프 설계과정에서 구한 H와 루프전달 회복 과정에서 구한 G를 식 (12)에 대입하여 제어기 전달함수 F 를 구한다.

 ^_  ^   (11)

    ^  (12)

4. 운동 제어 실험 및 토의

4.1 제어기 설계와 시뮬레이션

바람직한 목표필터루프의 설정을 위해 설계 값들을 시행오차 법을 통하여 Table 1과 같이 설정했다. Fig. 7에서 알 수 있는 바와 같이 주파수대역에서의 특이값을 일치시키는 방법으로 구 한 설계계수 Lf는 저주파대역에서의 목표필터루프형상은 만족스 럽지만 공진주파수 성분을 완벽하게 제거하지 못하는 루프형상

Fig. 8 FRF of the identified system and the closed loop control system designed by Lf and Lp

Fig. 9 Simulated response of the closed loop control system designed by Lf and Lp

Fig. 10 Response of the closed loop control system to triangle input: (a) non-hysteresis, (b) non-residual displacement 을 보이고 있다. 첨가된 적분요소만 남겨놓고 설계 플랜트의 모든

극점을 제거하는 설계계수 Lp는 공진주파수대역의 진동성분을 완전히 제거하고 저주파대역에서의 응답특성도 양호한 목표필터 루프의 형상을 얻을 수 있음을 알 수 있다. 또한 Fig. 7로부터 위의 Lf와 Lp로 설계된 목표필터루프 주파수 응답은 개루프 제어 계의 루프형상이 각각의 목표필터루프형상으로 회복된 것을 볼 수 있다.

Fig. 8은 이들 2가지 제어기 설계 기법에 대한 피드백 제어계의 주파수 응답 특성을 보인 것이다. Fig. 9는 사각파 입력신호에 대한 Lf와 Lp로 설계된 피드백 제어계의 응답 시뮬레이션 결과이다. 두

경우 모두 정상상태 오차는 0이고 사각입력신호에 대한 명령추종 성능이 우수함을 알 수 있다. Lp의 경우에는 오버슈트 및 잔류진동 이 발생되지 않으며 정착시간은 0.03초 이하이다. Lf의 경우에는 공진주파수 성분이 완전히 제거되지 않아 과도응답신호에 미세한 잔류진동이 발생됨을 알 수 있다.

4.2 서보계 구동 실험

상기의 목표필터루프 설계의 2가지 방법에 대한 저주파 대역의 제어기의 성능은 비슷하지만 공진주파수대역에서의 진동 특성이 완전히 제거되는 설계계수 Lp를 선정하여 제어기를 설계하여 구 동 실험을 수행하였다. Fig. 10은 피드백 제어계의 정적특성을 알아보기 위해 삼각파형의 기준입력에 대한 응답을 보인 것으로 기준입력에 완전히 일치하는 변위가 얻어졌음을 알 수 있다. 또한 Fig. 2와 Fig. 10의 비교로부터 피드백 제어계에서 삼각파형의 어떠한 왜곡과 잔류변형 현상도 응답 변위에는 나타나지 않게 되 어 통상의 압전 작동기의 히스테리시스와 같은 비선형성 특성이 제거되었음을 알 수 있다. Fig. 11은 사각파 기준입력에 대한 응 답으로 제어계의 추종오차는 0, 응답 오버슈트는 1.5% 이하, 정 착시간은 0.03초 이하로 나타났으며 비제어계의 응답 오버슈트 61.6%와 정착시간 1.3초와 비교해 볼 때 잔류진동이 현저히 줄 어들었고 명령추종 성능도 우수함을 알 수 있다. 이에 따라 사각 파로 추진장치를 구동하는 경우에는 30 Hz 이하로 구동하는 것이 적절하다. 또한 추진장치의 구동 주파수를 30 Hz 이상으로 높이 기 위해서는 잔류진동이 적게 발생되는 싸이클로이드(cycloid)파 또는 정현파로 추진장치를 구동하는 것이 필요하다. 또한 Fig. 11 의 응답 실험결과는 신호 측정과정에서 불가피하게 유입된 센서 잡음을 제외하면 Fig. 9 Lp 경우의 시뮬레이션 결과와 매우 유사 함을 알 수 있다.

Fig. 11 Response of the closed loop control system to square input

Fig. 12 Response of the closed loop control system to complex input

Fig. 12는 짧은 시간 내에 계단, 램프, 정현파 등이 포함된 복잡 한 형태의 기준입력에 대한 피드백 제어 계에 대한 응답이다. 압전 소자의 고유한 비선형 특성에도 불구하고 기준입력에 대한 피드백 제어계의 명령 추종성능이 매우 우수함을 알 수 있다.

이송자벌레를 개루프 구동하는 경우에도 폐루프 구동실험에서 제시된 바와 같이 잔류진동이 획기적으로 감쇠되고 명령추종이 우 수하게 유지될 수 있으며 변위센서는 더 이상 필요 없음을 유의해 야 한다. 다만 이를 위해서는 한 싸이클의 다양한 기준입력신호에 대한 피드백 제어기의 출력신호(Fig. 11 control input 참조)를 사 전에 피드백 실험을 통해 추출 및 데이터화 한 후에 이 신호를 이용 하여 이송자벌레를 개루프 구동시켜야 한다.

5. 결 론

압전소자로 작동하는 이송자벌레의 운동제어를 위해 LQG/LTR 제어이론을 통하여 피드백 제어계를 구성하였다. 이송자벌레 동적 특성은 실험을 통하여 얻어진 이송자벌레의 주파수 응답을 행렬분 수표현을 이용하는 커브핏팅을 통하여 규명할 수 있다. 규명된 동 적 모델에 적분기를 추가 결합하여 새로운 설계 플랜트 모델을 구 성하고 이를 기초로 제어기를 설계함으로써 기준입력에 대한 명령 추종성능을 높이고 압전소자의 비선형 특성에도 불구하고 제어계 의 강인성을 보장할 수 있다.

목표필터루프 설계 시에 주파수 대역의 특이값을 일치시키는 방법보다는 첨가된 적분기를 제외한 시스템의 모든 극점을 제거 하는 방법이 잔류진동 제어 및 정착시간 단축 면에서 유리한 방법 이다. LQG/LTR 피드백 제어계는 이송자벌레에 포함된 압전소자 의 비선형 특성인 히스테리시스 현상과 잔류변위 현상을 제거하 며 다양한 형태의 기준입력에 대한 명령 추종성능이 우수하다. 또 한 피드백 제어계의 오버슈트 및 잔류진동의 제거를 통한 정착시 간이 단축됨에 따라 이송자벌레의 정밀 고속 구동이 가능함을 확 인할 수 있다.

후 기

본 연구는 금오공과대학교 학술 연구비에 의하여 연구된 논문입 니다.

References

[1] Robers, C. A., 1988, Smart Materials, Structures, and Mathematical Issues, Technomic Publishing Co., Inc, 147-155.

[2] Park, J. S., Jeong, K. W., 2006, Robust Control for a Ultra-precision Stage System, The Korean Society of Mechanical Engineers, 30:9 1094-1101.

[3] Kim, I. S., Kim, Y. S., Park, E. C., 2009, Sliding Mode Control of the Inchworm Displacement with Hysteresis Compensation, International Journal of Precision Engineering and Manufacturing, 10:3 43-49.

[4] Goldfarb, M., Celanvovic, N., 1997, A Lumped Parameter Electro- mechanical Model for Describing the Nonlinear Behavior of Piezoelectric Actuators, Transaction of the ASME, 119:3 478-485.

[5] Ping, G ., Jouaneh, M., 1995, Modeling Hysteresis in Piezoceramic Actuators, Precision Engineering, 17:3 211-221.

[6] Tzen , J. J., Jeng, S. L., Chieng, W. H., 2003, Modeling of Piezoelectric Actuator for Compensation and Controller Design, Precision

Engineering, 27:1 70-86.

[7] Juang, J. N., 1994, Applied System Identification, Prentice Hall, New Jersey.

[8] Lee, S.R, 2013, Controller Parameter Design of Direct Drive Servo Valve Using Genetic Algorithm and Complex Method, Transaction of the KSME, 37:4 475-481.

[9] Athans, M., 1986, Lecture Notes on Multivariable Control System, MIT, USA.

[10] Kim, J. S., 1987, Nonlinear Multivariable Control Using Statistical Linearization and Loop Transfer Recovery, A Thesis for a Doctorate, MIT, USA.