Direct Time Domain Method for Nonlinear Earthquake Response Analysis of Dam-Reservoir Systems

댐-호소계 비선형 지진응답의 직접시간영역 해석기법

Direct Time Domain Method for Nonlinear Earthquake Response Analysis of Dam-Reservoir Systems

이진호¹⁾ ･ 김재관²⁾ Lee, Jin Ho ･ Kim, Jae Kwan

국문 요약>> 이 논문에서는 댐-호소계의 선형 및 비선형 지진응답 해석을 시간영역에서 엄밀히 수행할 수 있는 해석법을 제시하였다.

댐-호소계는 (1) 선형 또는 비선형으로 거동하는 댐체와 (2) 깊이가 균일하다고 가정한 호소 원역 및 (3) 댐체와 호소 원역 사이 불규칙한 형상의 근역의 세가지 부구조물로 구성된 연계 시스템으로 정식화되었다. 댐체는 선형 또는 비선형 유한 요소로 모델링되고, 호소 원역은 무한 영역으로의 에너지 방사를 엄밀하게 표현할 수 있도록 주파수영역에서 개발된 변위기반 전달경계를 시간영역에서의 포갬적분으로 변환하여 시간증분법과 결합이 용이하게 하였다. 호소 근역을 댐체와 호소 원역이라는 두 개의 부구조물 사이에 저장된 압축성 유체로 모델링하였다. 이 논문에서는 세 개의 부구조물로 구성되는 댐-호소계에 대해 비선형 시간영역 해석을 용이하게 하는 시간증분법을 유도 하여 제시하였고 개발된 해석법을 다양한 형상의 댐-호소계의 지진응답 해석에 적용하여 그 정확성을 검증하였다. 이에 추가하여 제시한 기법을 콘크리트 댐의 비선형 지진응답 해석에 적용하여 손상 정도와 부위를 해석 결과로서 보여주었으며 동시에 제시한 기법이 내진성능 평가 등 실무에 바로 활용될 수 있음을 입증하였다.

주요어 콘크리트댐, 비선형해석, 지진응답, 전달경계, 유체-구조물 상호작용

ABSTRACT>> An analysis method is proposed for the transient linear or nonlinear analysis of dynamic interactions between a flexible dam body and reservoir impounding compressible water under earthquake loadings. The coupled dam-reservoir system consists of three substructures: (1) a dam body with linear or nonlinear behavior; (2) a semi-infinite fluid region with constant depth; and (3) an irregular fluid region between the dam body and far field. The dam body is modeled with linear and/or nonlinear finite elements. The far field is formulated as a displacement-based transmitting boundary in the frequency domain that can radiate energy into infinity. Then the transmitting boundary is transformed for the direct coupling in the time domain. The near field region is modeled as a compressible fluid contained between two substructures. The developed method is verified and applied to various earthquake response analyses of dam-reservoir systems. Also, the method is applied to a nonlinear analysis of a concrete gravity dam. The results show the location and severity of damage demonstrating the applicability to the seismic evaluation of existing and new dams.

Key wordsConcrete gravity dam, Time domain analysis, Earthquake response analysis, Transmitting boundary, Fluid-structure interaction

1) 정회원･Visiting Scholar, Department of Civil, Architectural and Environmental Engineering, The University of Texas at Austin

2) 정회원･서울대학교 건설환경공학부, 교수 (교신저자: [email protected])

본 논문에 대한 토의를 2010년 8월 30일까지 학회로 보내 주시면 그 결과 를 게재하겠습니다.

(논문접수일 : 2010. 1. 6 / 수정일 2010. 2. 23 / 게재확정일 : 2010. 2. 24)

1. 서 론

댐의 파괴는 대규모 인명 손실과 재산 피해를 초래할 수 있을 뿐 아니라 장기적으로 심각한 경제적 지장을 가져올

수 있다. 그러므로 댐은 지진에 대해서도 일반적인 구조물 보다는 한층 높은 수준의 안전성을 보장할 수 있도록 설계 되고 유지되어야 할 필요가 있다. 댐은 일반 구조물과 달리 댐체와 호소간의 상호작용에 의해서 큰 영향을 받는다. 그 러므로 유체-구조물 상호작용이 댐의 내진설계에 반드시 고 려되어야 한다.⁽¹⁾

댐-호소계의 지진응답 해석에 관한 연구의 초기에는, 간 단한 형상의 댐-호소계에 지진하중이 작용하였을 때 댐과 호소의 경계면에 발생하는 동수압력에 관한 연구가 이루어 져 이에 대한 해석해가 유도되었다.^(2),(3) 그 후, 일반적인 형

<그림 1> 일반적인 댐-호소계

상의 댐-호소계에서 지반-구조물 상호작용까지 고려한 연구 가 이루어져 왔는데, 이와 같은 연구동향이 NRC 보고서⁽⁴⁾ 에 잘 정리되어 있다.

댐-호소계의 지진응답 해석에서 어려운 문제 중 하나는 반무한한 호소 원역의 처리이다. 그림 1의 댐-호소계의 형 상에서 확인할 수 있듯이 호소는 상류측으로 반무한하다고 볼 수 있고, 이 방향으로 에너지 방사가 일어나게 된다. 이 러한 현상에 대한 지배방정식의 해는 시간영역에서는 구하 기가 어렵지만 주파수영역에서는 쉽게 구할 수 있고, 많은 댐-호소계의 역학적 거동에 대한 엄밀한 연구가 주파수영역 에서 이루어지고 있다. 하지만, 주파수영역에서는 비선형 해 석을 직접 수행할 수 없다는 단점이 있다. 이러한 문제를 극 복하기 위해, 반무한한 호소의 영향을 근사적으로 고려하여 시간영역 해석을 수행하는 방법이 많이 사용되고 있는데, 흡수경계조건⁽⁵⁾, Westergaard의 부가질량 모델⁽²⁾, 집중변수 모델⁽⁶⁾ 등이 그것이다. 최근에는 반무한한 호소의 영향을 시 간영역에서 엄밀히 고려하는 댐-호소계의 지진응답 해석법 이 유한요소, 경계요소 등을 사용하여 개발되기도 하였 다.^(7-10)

이 논문에서는 전달경계⁽¹¹⁾를 이용하여 댐-호소계의 선형 또는 비선형 지진응답 해석을 엄밀히 시간영역에서 수행할 수 있는 해석법을 제시한다. 댐-호소계는 (1) 선형 또는 비 선형으로 거동하는 댐체와 (2) 깊이가 균일하다고 가정한 호소 원역 및 (3) 댐체와 호소 원역 사이 불규칙한 형상의 근역의 세가지 부구조물로 구성된 연계 시스템으로 정식화 되었다. 댐체는 선형 또는 비선형 유한 요소로 모델링하고, 호소 원역은 반무한한 영역으로의 에너지 방사를 엄밀히 고 려하기 위해 주파수영역에서 개발된 전달경계를 시간영역 에서의 포갬적분으로 변환하여 시간증분법과 결합이 용이 하게 하였다. 이 전달경계는 변위를 기반으로 하여 유도가 되었기 때문에 이를 하나의 부구조물인 것처럼 간주될 수 있다. 그리고, 호소 근역을 댐체와 호소 원역이라는 두 개의 부구조물 사이에 저장된 압축성 유체로 모델링하였다. 이 논문에서는 세 개의 부구조물로 구성되는 댐-호소계에 대해

비선형 시간영역 해석을 용이하게 하는 시간증분법을 유도 하여 제시하였고 개발된 해석법을 다양한 형상의 댐-호소계 의 지진응답 해석에 적용하여 그 정확성을 검증하였다. 이 에 추가하여 제시한 기법을 콘크리트 댐의 비선형 지진응답 해석에 적용하여 손상 정도와 부위를 해석 결과로서 보여주 었으며 동시에 제시한 기법이 내진성능평가 등 실무에 바로 활용될 수 있음을 입증하였다.

2. 호소 원역에 대한 전달경계

그림 1에는 이 연구에서 고려하고 있는 댐-호소계가 묘사 되어 있다. 댐체는 임의 형상을 취할 수 있으며 상류측 표면 은 경사질 수도 있다. 댐체는 강체일 수도 있고 유연할 수도 있으며 선형 또는 비선형적으로 거동할 수 있다. 호소는 근 역과 원역의 두 부분으로 구분되었다. 근역은 형상이 불규 칙하고 유한한 영역, 원역은 깊이가 일정하고 상류측으로 무한한 영역으로 정의하였다. 호소수는 비점성 압축성 이상 유체로 가정한다. 문제를 간단히 하기 위해, 댐체와 호소는 강체 지반위에 위치하고 있어 모든 파가 지반에서 반사된다 고 가정하였다. 이러한 댐-호소계의 문제는 역학적인 관점 에서 유체-구조물 상호작용(Fluid-structure Interaction) 문 제로 분류된다.

여기서 우선 반무한 호소에서 상류측으로의 에너지 방사 를 고려할 수 있는 원역의 전달경계를 유도한다. 보통 구조 물의 이산화된 운동방정식은 변위에 기반한 유한요소를 사 용하여 구성되기 때문에, 이 논문에서도 변위에 기반한 원 역의 전달경계를 Chen and Penzien⁽¹²⁾의 변분을 이용한 접 근법을 사용하여 주파수영역에서 구성하고 이를 시간영역 으로 변환하였다. 이와 같이 유도된 전달경계는 또 다른 구 조물로 간주될 수 있다. 호소 원역의 전달경계를 변위에 기 반하여 유도하는 이유는, 만약 댐의 상류측면이 수직이고 호소의 깊이가 일정하다고 가정할 수 있다면 유도된 전달경 계를 직접 댐체의 유한요소 모델과 결합할 수 있기 때문이 다. 만약 호소가 불규칙적인 형상을 가진다면, 이 논문에 제 시한 바와 같이 호소의 근역은 유한요소를 사용하여 모델링 하고, 원역은 유도된 전달경계를 사용하여 모델링할 수 있 다. 그렇게 하면 마치 호소의 근역이 댐 본체와 원역의 두 구조물에 저장된 유체로 취급될 수 있어서, 이 부구조물에 의해서 댐체와 원역에서의 동수압간의 상호작용이 모델링 될 수 있다.

주파수영역에서 호소 원역의 비점성 압축성 이상 유체의 동수압에 관한 지배방정식은 다음과 같이 주어진다.⁽¹³⁾

0 ) , , ˆ( ) , ,

ˆ( ²₂

2 + =

∇ ω ω p x zω z c

x p

p

(1)

여기서 ^  는 동수압   의 Fourier 변환이고 Cp 는 압축파의 속력이다. 원역의 경계조건은 다음과 같이 주어진다.

) , , ( ˆ ₂ˆ

ω ω

ρ u x z

n

p t

n

= w

∂

∂

on S3 (2a)

0 ) , , (

ˆ = 2ˆ =

∂

∂ ρωu x zω

n

p t

n

w on S5 (2b)

     on S6 (2c)

     on S7 as x→∞ (2d) 여기서 n은 경계의 외향법선방향(Outward Normal Direction) 을 나타내고, _는 호소수의 밀도, ^uˆ_n^t(^x,^z,ω)는 외향법선 변위(Outward Normal Displacement) u_n^t(x,z,t)_{의 Fourier} 변환이다.

경계조건 (2b), (2c), (2d)를 만족하는 식 (1)의 해는 변수 분리법에 의해 얻을 수 있다.⁽¹¹⁾

∑

^∞

= ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛− − Γ

=

1 2

2 2

exp cos )

, , ( ˆ

n p

n n

n z x c

z x

p ω λ λ ω (3)

여기서 _H

n

n 2

) 1 2

( π

λ = − 이고 _은 n번째 모드의 참여계수이다.

식 (3)에 x = 0을 대입함으로써, 경계 S3에서의 동수압과 수평변위를 다음과 같이 구할 수 있다.

) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0 ˆ(

1

ω ω

ω z Ψ z Γ

z p

n

n

n Ψ =

Γ

=∑^∞

= (4a)

) ( ) , ( ) , ( ) ( ) , , 0 ˆ(

1

ω ω ω

ω

ω z Φ z Γ

z u

n

n n

t =∑^∞ Γ Φ =

= (4b)

z

z _n

n( )=cosλ

Ψ (4c)

c z

z _n

p n

n λ ω λ

ω ρω1 cos

) ,

( ₂ ^{2 2}₂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛− −

=

Φ (4d)

식 (4a)와 (4b)에서, Ψ(z)와 Φ(z, ω)는 각각 Ψn와 Φn(z, ω)를 성분으로 가지는 행벡터이고, Γ(ω)은 Γ_n(ω)을 성분으로 가지는 열벡터이다. 그리고, uˆ^t(x,z,ω)는 전수평변위(Total Horizontal Displacement) u^t(x,z,t)의 Fourier 변환이다.

Chen and Penzien⁽¹²⁾의 변분을 이용한 접근법을 이용하 여 변위기반 전달경계를 구성한다.⁽¹¹⁾ 경계 S3를 이산화된 요소로 나누고, 형상함수와 절점변위를 사용하여 변위를 다

음과 같이 보간할 수 있다고 가정한다.

) ( ˆ ) ( ) ,

ˆ~^t(zω z ^t ω

u =N u (5)

여기서 uˆ~^t(z,ω)는 보간된 값이고, ^N(z)와 uˆ^t(ω)는 각각 형상함수행렬과 절점변위벡터를 나타낸다.

식 (4a), (4b), (5)를 사용하여, 경계 S3에서 적합조건은 상보가상일(Complementary Virtual Work)의 차를 최소화 하는 방법으로 부과한다.

[ ]

0 ) ˆ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) (

) , ˆ~( ) , ˆ( ) , ˆ(

3 3

3

⎪⎭=

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −

=

−

∫

∫

∫

ω ω

ω ω

δ

ω ω ω δ

t S

T S

T T S

t t

dS z z dS

z z

dS z u z u z p

u N Ψ Γ Φ Ψ

Γ (6)

) (ω

Γ 를 식 (6)으로부터 구할 수 있다.

) ˆ ( ) ˆ( )

(ω Dω Bu^t ω

Γ = (7a)

∫

=

− 3

) , ( ) ( ) ˆ ¹(

S

T z zω dS

ω Ψ Φ

D (7b)

∫

=

3

) ( ) (

S

T z N z dS

Ψ

B (7c)

경계 S3에서 식 (4a)의 동수압에 대한 등가절점력, 즉 동수 압력을 다음과 같이 구할 수 있다.

) ( ) ( ) ( ) ( )

, ˆ( ) ( ) ˆ (

3 3

ω ω ω

ω N N Ψ Γ B Γ

f ^T

S T S

T

hyd =∫ z p z dS=∫ z zdS = ₍₈₎

식 (7a)를 식 (8)에 대입하면 전달경계의 동적강성행렬을 다 음과 같이 얻을 수 있다.

) ˆ ( ) ˆ( ) ˆ ( ) ˆ( )

ˆ^hyd(ω B^TDω Bu^t ω B^THωBu^t ω

f = = && (9a)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

O ) ˆ( ) ˆ( ) ˆ(

2 1

ω ω

ω d

d

D (9b)

2 2 2

2 2 2

2

1 2 ) 2

ˆ (

n n p n

n H

H c d

ω ω λ

ρω λ ω

ω ρω

−

= −

−

= −

(9c)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

O ) ˆ( ) ˆ( ) ˆ(

2 1

ω ω

ω h

h

H (9d)

2 2 2

2 2 1

2 ) 2

ˆ(

n n

p n

n H

H c h

ω ω λ

ρ λ ω

ω ρ

−

=

−

= (9e)

여기서 ωn=cpλn이다.

식 (9)는 주파수영역에서의 전달경계이므로, 시간영역해 석을 위해 식 (9)를 변환하면 다음과 같은 시간영역에서의 전달경계가 포갬적분으로 표현된다.

∫

∫ ^{− = −}

= ^{t T t t T t}

hyd t t d t d

0

0 ( ) ( ) ( ) ( )

)

( BD τ Bu τ τ B H τ Bu τ τ

f && (10a)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

O ) ( ) ( )

( ₂

1

t h t h t

H (10b)

(

c t

)

H J t c

h_n ρ ^p _pλ_n

0

) 2

( = (10c)

식 (10)의 포갬적분을 사용하여, 호소 원역의 역학적 거동을 변위에 기반한 전달경계에 의해 시간영역에서 표현할 수 있 다. 이 전달경계를 사용하여 시간영역 해석을 수행하기 위 해서는 포갬적분을 계산하여야 하는데 시간증분법에서 이 적분이 효율적으로 수행되도록 하였다.

3. 댐체와 호소 근역의 운동방정식

비선형 거동을 고려한 유연한 댐의 운동방정식은 유한요 소법을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

) ( ) ( )

( ) ( )

(t Cut f_S t_N Mru_g t f^hyd t u

M&& + & + =− && + (11)

여기서 M과 C는 각각 질량과 감쇠행렬이고 fs(tN)는 선형 또는 비선형 복원력벡터이다. u(t)는 지반운동에 대한 상대 변위, r은 영향계수벡터, ^는 지반가속도, f^hyd(t)는 호소 근역에 의해 댐체에 가해지는 동수압력벡터이다.

호소 근역의 비점성 압축성 이상 유체의 동수압에 대한 지배방정식은 다음과 같이 표현된다.⁽¹³⁾

) , , 1 ( ) , ,

( ₂

2 p x zt

t c z x p

p

&&

=

∇ (12)

근역의 경계조건은 다음과 같이 주어진다.

) , , (x z t n u

p t

n w&&

ρ

−

∂ =

∂ on S1, S2, and S3 (13a) 0

) , , (x z t =

p on S4 (13b)

여기서 u&&^t_n(x,z,t)는 경계에서의 전법선가속도(Total Normal Acceleration)이다. 유한요소법을 사용하여, 호소 근역의 운

동방정식은 다음과 같이 얻을 수 있다.⁽¹³⁾

) ( ) ( )

(t Hpt Dt

p

G&& + = (14)

4. 댐-호소계의 시간증분법

앞에서 유도한 바와 같이 그림 1의 댐-호소계의 거동은 유한요소와 전달경계에 의해 표현할 수 있다. 즉, 비선형 거 동을 고려한 댐체의 거동은 유한요소를 사용하여 식 (11)과 같이 나타낼 수 있고, 하나의 부구조물로 간주할 수 있는 호 소 원역의 거동은 반무한한 영역으로의 에너지 방사를 고려 하기 위해 식 (10)의 전달경계를 사용하여 나타낼 수 있다.

이 두 개의 구조물에 가해지는 호소 근역의 동수압은 유한 요소를 사용하여 식 (14)와 같이 나타낼 수 있다. 여기서는 이와 같은 각 부구조물의 거동을 엄밀히 고려하여, 일반적 인 댐-호소계의 시간영역해석을 위한 시간증분법을 다음과 같이 유도한다.

우선, 댐체의 운동방정식을 증분식의 형태로 구해보자.

t = tN= NΔt에서 평형방정식을 만족한다고 가정하면 t = tN+1

에서 식 (11)은 증분식의 형태로 다음과 같이 표현될 수 있다.

) ( ) ( )

( ) ( )

(t_N C ut_N f_S t_N Mr u_g t_N f^hyd t_N u

MΔ&& + Δ& +Δ =− Δ&& +Δ (15a)

) ( ) ( ) ( ) ( )

(_{N S N1 S N sec N N}

S t f t f t K t ut

f = − = Δ

Δ ₊ (15b)

여기서 Δu(tN)=u(tN+1)-u(tN), Δ(tN)=(tN+1)-(tN), Δü(tN)

=ü(tN+1)-ü(tN), Δüg(tN) =üg(tN+1)-üg(tN), Δf^hyd(tN) = f^hyd(tN+1) -f^hyd(tN)이고, Ksec(tN)은 할선강성이다. 식 (15b)의 할선강 성 Ksec(tN)은 u(tN+1)을 아직 모르기 때문에 결정할 수 없고, 이를 접선강성 Ktan(tN)으로 대체하여 식 (15b)를 식 (16)과 같이 근사할 수 있다.⁽¹⁴⁾

) ( ) ( )

( _{N tan N N}

S t K t ut

f ≈ Δ

Δ (16)

식 (15a)와 (16)으로부터 댐체의 운동방정식을 얻을 수 있 는데, ΔfS(tN) 를 미지의 할선강성 대신 접선강성을 사용하 여 근사하였기 때문에 오차가 발생하게 되고, t=tN+1에서 평 형방정식을 정확히 만족시키지 못하게 된다. 이러한 오차는 각 시간단계에서 Newton-Raphson 방법에 의해 반복계산을 수행함으로써 제거할 수 있고 이로부터 수렴된 결과를 얻을 수 있다.⁽¹⁴⁾ 식 (16)을 (15a)에 대입한 후 Newmark 방법을 사용하면, 다음과 같은 댐체의 운동방정식을 증분식의 형태 로 얻을 수 있다.