서
1. 론
일반적으로 지오이드를 계산하기 위해서는 중력관측 치에서 구한 중력이상에 대하여Stokes공식을 적용하게
되는데 이를 위해서는 지오이드의 외부에 어떠한 질량, 도 존재하지 않아 중력 포텐셜이 라플라스 방정식 (mass)
을 만족하여야 한다(Omang, 2000).하지만 지오이드 결 정을 위하여 수행되는 중력관측은 대부분이 지표면 상에
년 월 일 접수 년 월 일 채택
2008 2 25 , 2008 3 21
* 교신저자 정회원 진주산업대학교 토목공학과 부교수･ ･ ([email protected])
** 성균관대학교 대학원 토목공학과 박사과정, ([email protected])
*** 정회원 서울시립대학교 공간정보학과 부교수･ ([email protected]) 연구논문
우리나라 수치표고모델을 이용한 지형효과 산출방식의 비교평가 Evaluation and Comparison of the Topographic Effect Determination
Using Korean Digital Elevation Model
이석배* ･ 이동하** ･ 권재현***
Lee, Suk Bae ･ Lee, Dong Ha ･ Kwon, Jay Hyun
要 旨
측지학적 경계치인 지오이드의 결정에 있어서 지형효과(topographic effect)는 가장 중요한 요소중의 하나이다 따라. 서 우리나라와 같이 산악지역이 많은 지역에서 정밀지오이드모델을 개발하기 위해서는 지형효과를 적절하게 계산 하고 적용하여야 한다 적합한 중력학적 환산방법의 결정은 각 환산방법에서 산출되는 지오이드 상에서의 간접효과. 의 크기 산출된 중력이상치의 크기 및 완만성 각 환산방법에 연관된 지구물리학적 해석결과 등에 따라서 결정된다, , . 본 연구에서는 우리나라의 지오이드 모델의 개발을 위해 약100m해상도의 수치표고모델(DEM)을 구축하고 이에, 대해 가지의 중력학적 환산방법3 (Helmert응축 방법, RTM방법, Airy-isostatic방법 을 적용하여 지형효과를 산출하) 였다 그 후 산출된 지형효과를 분석하여 우리나라에 가장 적합한 중력학적 환산방법을 평가한 결과. , RTM환산방 법을 이용한 경우에 중력이상치의 크기 및 지오이드 상에서 간접효과의 크기가 각각0.660±13.009mGal, -0.004±0.131m 로 가장 완만한 형태를 나타내었다 이를 통해. RTM환산방법이Helmert응축 및Airy-iostatic방법에 비하여 한국, 의 정밀지오이드 모델 개발을 위한 지형효과의 산출에 있어 더욱 안정적이고 정확한 방법으로 판단되었다.
핵심용어: 지형효과 수치표고모델, (DEM), 중력학적 환산방법, RTM환산방법 간접효과,
Abstract
The topographic effect is one of the most important component in the solution of the geodetic boundary value problem (geodetic BVP). Therefore, topographic effect should be considered properly for developing the precise geoid model, especially for the area where contains many mountains like Korea. The selection of gravity reduction method in the context of the precise geoid determination depends on the magnitude of its indirect effect, the smoothness and magnitude of the reduced gravity anomalies, and their related geophysical interpretation. In this study, Korean digital elevation model with 100m resolution was constructed and topographic effect was calculated by three reduction methods as like Helmert condensation method and RTM method and Airy-isostatic reduction method. Through the analysis of computation results, we can find that RTM reduction method is the best optimal method and the results shows that gravity anomaly and indirect effect of geoidal height are 0.660±13.009 mGal, -0.004±0.131 m respectively and it is the most gentle slow of the three methods. Through this study, it was found that the RTM method is better suitable for calculating topographic effect precisely in context of precise geoid determination in Korea than other reduction methods.
Keywords : Topographic effect, Digital elevation model (DEM), Gravimetric reduction methods, RTM reduction method, Indirect effect
서 이루어지며 이로 인해 중력관측점 아래에 존재하는, 지형의 질량은 지오이드 계산 시 지형효과(topographic
라고 불리는 중력학적 양 이
effect) (gravimetric quantity) 나타나게 되며 이를 보정하여야 한다, (Omang, 2000).
지오이드 모델링에 있어서 지형효과는 두 가지의 형태 로 중력장에 작용하는데 첫 번째는 지형 자체의 질량으로, 인한 인력(attraction)으로 강력한 중력신호 (gravimetric 로서 중력장의 단파장 효과를 나타내는 것이다 두
signal) .
번째는 지형의 질량이 비수준면(non-level surface) 상에서 주어진 중력관측자료에 포함되어 있으므로 지오이드 계산시 필요한 스토크스 적분의 기본 가정을 만족하지 않는 것이 다(Forsberg, 1997). 따라서 지형효과(topographic effect) 는 지오이드 모델링에 있어서 가장 중요한 요소 중의 하 나이며 정밀지오이드 결정을 위해서는 그 효과가 정확, 하게 다루어져야 할 필요가 있다(Bajracharya, 2003).
정확한 지형효과의 결정은 중력이상치가 지표면이 아 닌 지오이드상에서 산출되는 것을 의미하며 이는 실제, 지구의 지형(earth topography)을 수치적으로 정규화하는 것을 말한다 이러한 사항은 지형의 질량을 중력학적 환. 산방법(gravity reduction method)에 의하여 처리하는 것 으로 수행되며 이를 통하여, free-air 중력이상과 표고 간의 상관성 및 효과를 제거할 수 있다 (height) aliasing
중력학적 환산방법에는 환산 (Forsberg, 1997). Bouguer , 환산 환산 및 응축 환산 등이 일 Isostatic , Rudzki Helmert
반적으로 많이 사용되고 있으며(Heiskanen등, 1967),최근 에는 Forsberg 등(1981)에 의하여 제안된RTM(residual 환산 등의 다양한 방법이 존재한다 각 방
terrain model) .
법은 모두 다른 방법으로 지형의 질량을 처리하며 그에, 상응하는 간접효과(indirect effect)를 일관되게 고려하여 제공한다 각각의 환산방법을 이용하여 지형효과를 결정. 할 경우에는 이론적으로 모두 동일한 결과를 제공하는 것으로 알려져 있으나(Heiskanen, 1967),이용되는 지형 자료, Stokes공식의 적용방식 등에 따라 다소의 차이를 보이는 것으로 알려져 있다(Omang등, 2000).또한 계산 된 정밀지오이드의 정확도에 있어서도 특정지역의 수직 기준체계 정규표고 및 정표고 체계 에 따라서도 적합한 중( ) 력학적 환산방법이 고려될 필요가 있다(Forsberg, 1997).
그러나 우리나라의 정밀지오이드를 위해 수행된 다양 한 연구들 최광선( , 1991; 최광선 등, 1994; 이석배 등,
이석배 등 이석배 이석배 등
1996; , 1997; , 2000; , 2004;
윤홍식 등, 2005a)은 대부분 하나의 특정한 중력학적 환 산방법을 적용한 경우가 대부분이었으며 또한 서로 다, 른 유형의 지형자료를 이용하였기 때문에 산출된 지형효 과의 적합성에 대한 비교가 불가능하였다 이에 따라 본. 연구에서는 우리나라의 정밀지오이드 개발 시 가장 적합
한 중력학적 환산방법을 결정하기 위하여 최근의 정밀지 오이드 개발에 많이 이용되어온 가지의 중력학적 환산3 방법인Hemert 응축 환산법과Airy-isostatic 환산법 그, 리고RTM환산법에 대하여 동일한 수치표고모델(DEM;
을 적용하여 지형효과를 결정하 digital elevation model)
고 그 결과를 분석하였다 일반적으로 중력학적 환산방. 법은 이를 통하여 산출된 지오이드 상에서의 간접효과, 중력이상치 및 잔여 지오이드 효과의 크기가 작고 그 분 포가 완만할수록 보다 정확하게 지형효과를 고려하는 것 으로 간주된다(Bajracharya, 2003).이러한 사항을 고려하 여 본 연구에서는 각 환산방법에서의 산출된 간접효과 및 중력이상치 잔여 지오이드의 효과의 크기 및 완만성, 등을 종합적으로 비교 분석하였으며 이를 통해 우리나･ , 라 정밀지오이드 모델의 개발을 위해 가장 적합한 중력 학적 환산방법을 결정하였다.
환산방법별 중력이상치
2. (reduced gravity 의 결정
anomaly)
전지구적 중력장모델 지역적 중력측정 정보 및 수치지, 형모델(DEM; digital elevation model)은 각각 중력신호 의 장파장 중파장 단파장의 부분을 각각 나타낸다 윤홍, , ( 식 등, 2005.a). 본 연구에서는 각 중력학적 환산방법에 대하여R-R기법(Remove-restore technique)을 적용하여 구면근사(spherical approximation)적인 중력학적 지오이 드 해법을 수행하였다. R-R기법은 제거(remove)와 복구 의 과정으로 이루어져 있는데 먼저 제거 과정의
(restore) ,
주요한 개념은 관측된 중력치에Stokes혹은Molodensky 공식을 적용시킬 수 있도록 지구중력장 모델에 의한 영 향과 다양한 지형의 영향을 제거하는 것이다(Omang등, 이러한 과정을 통하여 산출되는 중력이상을 잔여 2000).
중력이상(residual gravity anomaly)혹은 환산된 중력이 상(reduced gravity anomaly)라고 하며 이를 이용하여, 공식을 적용하여 최종적으로 중력신호의 중파장 Stokes
효과라고 불리는 잔여중력이상에 의한 지오이드고를 산 출하게 된다 복구 과정에서는 계산된 중파장 효과에 중. 력관측치 상에서 점 단위로 제거된 지구중력장의 영향과 지형의 영향을 기준면으로 사용한 중력장모델과DEM을 이용하여 격자화된 형식으로 복구하게 된다.
기법을 적용을 위한 첫 단계로서 지표면 상의 중력
R-R ,
관측치에 대한 장파장 및 단파장 중력신호(gravity signal) 의 일반적인 제거의 과정은 다음의 식(1)에 의하여 표현 되며 이를 통하여 중력관측치를 지오이드 상의 경계값, 인 잔여중력이상()으로 환산(reduction)시킬 수 있다 (Bajracharya, 2003).
(1)
여기서, 는 고도이상(free-air anomaly), 는 각 환 산방법을 이용한 중력치상에서의 지형의 직접효과(direct topographical effect), 은 중력장모델에서 구한 기준 중력이상치(reference gravity anomaly)이다.
본 연구에서는 각 환산방법을 적용할 기본적인 중력관 측치로서 그림 의1 (a)에 표시된 바와 같이 육상과 해상에 서 측정된 총6,296점의 중력관측치를 이용하였다 중력측. 정자료는 국토지리정보원과 부산대학교 등에 의해 측정된 총4,298점의 육상 중력측정자료 및Topex/Poseidon, ERS 와Geosat데이터를 처리하여DNSC(danish national space 에 의하여 계산된 총 점의 해상 중력측정자 center) 1,998
료로 구성되어 있다 중력측정자료의 경우 다양한 기관. 의 자료에 대하여 기준면으로 사용되는 지구 중력장모델 과의 비교분석을 수행하였으며 서로 간의 편의․ , (bias)가 가장 작은 자료만을 선택하여 이용하였다 이러한 편의. 는 각 자료별로 중력측정 시 설정된 기준 절대중력점 및( 중력보조점 및 측정정확도에 따라 발생하는 것으로 판) 단되며 동일한 기준을 이용한 중력자료의 재처리 등에, 의하여 해결될 수 있다 또한 기준면과의 비교를 통해서. 이용되는 중력자료 내에도 다소의 과대오차(gross error) 가 포함되어 있는 것이 발견되었으며 이를 제거한 후 중,
력 환산을 수행하였다.
중력관측치 상에서 제거되는 기준 중력이상치를 구하 기 위한 중력장모델로서 윤홍식 등(2005a, 2005b)의 연 구에서 한국의 정밀지오이드 결정을 위하여 그 효용성이 증명된EIGEN-CG03C지구중력장 모델(Förste 등, 2005) 을 사용하였다 중력관측치 상에서 지형의 영향의 제거. 는 중력학적 환산방법에 의하여 수행되게 되며 각 환산, 방법은 각각 다른 방법으로 지형을 취급하여 최종적인 잔여중력이상을 산출하게 된다(Omang 등, 2000).각 질 량 환산방법에 대한 중력치 상에서의 지형의 직접효과
는 다음과 같이 표현될 수 있다(Bajracharya등, 2003).
(2)
여기서, 는 지오이드 위의 모든 지형의 질량에 작용 하는 인력이며, 는 Helmert 응축 방법, 방법 및 방법에 의하여 응축되거나 Airty-isostatic RTM
기준화된 지형의 질량에 작용하는 인력을 나타내고 있다. 따라서 본 연구에서는 각 환산방법의 적용 시 식, (2)에 서 얻어지는 지형의 직접효과만을 고려하였으며 이러한, 직접효과는 부우게 판(bouguer plate)과 지형보정량(terrain 의 두 부분으로 구성된다 지형의 직접효과는 correction) .
전체적인 지형의 신호를 포함하지 않으며 단지 기준면,
그림1. 중력관측치의 환산을 위하여 사용된 기초자료
에서 벗어나는 지형에 기인한 질량 이상(mass anomaly) 의 체적을 적분하는 것(Forsberg, 1984)으로 계산되기 때 문에 각 중력관측치에 지형보정량을 필수적으로 계산해, 주어야 한다(Omang 등, 2000).
공간상의 한점 에서 평면근사(planar approxi- mation)로 구해지는 고전적인 지형보정량()은 다음과 같이 표현된다(Heiskanen 등, 1967).
(3)여기서, 는 중력상수, 는 질량의 밀도, 은 거리,
는 높이 를 가지는 적분점이다.
본 연구에서는50km의 최대cap크기(maximum cap size) 에 대하여 지형보정량을 계산하여 각 환산방법에 적용하 였으며 지형효과의 산출을 위한 기준면 및 지형보정량, 의 계산을 위한 지형자료로 환경부에서 남한 일원에 대 하여30m × 30m간격으로 제작한DEM과 성균관대학교 해양해안연구실에서 구축한․ 1 × 1″ ″간격의 수심자료를 약0.0009° × 0.0011°(약100m × 100m)간격의 동일한 격자로 재구성하여 사용하였다 그림 의( 1 (b)).
응축 방법 2.1 Helmert
응축 방법은 실제적인 지오이드 결정에 있어 Helmert
서 가장 일반적으로 사용되는 중력학적 환산기법 중의 하나이다 이 방법에서는 지형의 질량이 지오이드 상에. 서 표면층(surface layer)으로 응축되는데, Helmert는 이 러한 응축 기법을 극미하게 응축된 얇은 층에 따라 가지2 방법으로 정의하였다. Helmert 응축의 차 방법에서는1 지형의 질량이 지오이드 아래21km지점에 위치하는 지 오이드와 평행한 면상에 응축되는데 여기서 값, 21km는 기준타원체의 장반경과 단반경 간의 차이를 나타낸다.
반면에 Helmert 응축의 차 방법에서는 지형의 질량이2
지오이드 면 상에 응축되게 된다(Heiskanen 등, 1967;
여기서 차 방법은 지오이드의 Heck, 1993; Heck, 2003). 1
결정에는 사용되지 않고 있었으나, Heck(2003)에 의하여 최근에 지오이드 결정에서의 사용이 제안되었다 다음의. 그림 는2 Helmert응축의 차 방법을 표현한 것으로 본2 , 연구에서 사용된Helmert 응축 방법은Helmert 응축의2 차 방법을 뜻한다.
응축 방법에서는 지오이드 상의 지형의 질량이 Helmert
그림 와 같은 응축면2 (condensation layer)로 이동되어야 하며 이 때 응축면의 표면밀도는 지형의 밀도와 표고의, 곱과 같다. Helmert 응축 방법에서는 응축된 지형의 질 량에 의한 인력은 응축된 질량의 규칙적인 부분(regular 와 불규칙한 부분 로 나뉘어 다음과 같 part) (irregular part)
이 표현된다.
(4)
여기서 규칙적인 부분의 질량에 의한 인력은 무한한 반, 경을 가진 부우게 판의 수직 인력을 나타내며 불규칙한, 부분에 의한 인력은 으로 주어진다0 (Sideris, 1990; Wang 등, 1990; Heck, 1993).
지오이드 위의 모든 지형의 질량에 작용하는 인력는 부우게 판에 완전한 부우게 환산을 적용한 것과 같으므 로, Helmert응축 방법에서 직접적인 지형효과는 다음과 같이 표현된다(Bajracharya, 2003)
(5)
즉, Helmert응축 방법에서 중력관측치에 대한 직접적 인 지형효과는 지형보정량과 같으며 이는 지형보정량, 자체가 평면 근사(planar approximation)에서는 지형의 인력과 응축된 지형의 인력과의 차이를 뜻하기 때문이다 (Moritz, 1968; Wichiencharoen, 1982; Sideris, 1990).결 국Helmert응축 방법에서 중력 신호의 장파장을 나타내 는 지형보정량은Stokes기법을 이용한 고전적인BVP해 법뿐만 아니라, Molodensky기법을 이용한 현대적인BVP 해법에도 이용되는 매우 중요한 중력학적 값이다.
고전적인 지형보정량은 식(3)에 의하여 일반적으로 표 현되나 지형을 질량을 가지는 직사각형의 프리즘으로, 표현하는 프리즘 모델을 이용할 경우 다음의 식에 의하 여 해석된다(Nagy, 1966). 본 연구에서도 지형보정량의 계산을 위하여 프리즘 모델을 적용한 다음의 식을 사용 하였다.
(6) 그림2. Helmert 응축 방법의 개념
여기서, ,,는 중력관측점의 좌표, , , 는 프리즘의 코너를 나타내는 좌표, 이다. 위의 과정을 통해 최종적인Helmert 중력이상은 다음 과 같이 표현된다.
(7)
방법 2.2 RTM
지오이드 결정에 있어서RTM(residual terrain method) 방법은 가장 일반적으로 사용되는 중력관측치의 환산방법 중의 하나이다 이 방법은. Forsberg(1984)에 의하여 발표 되었는데 지역적인 지형의 높이에 대한, low pass filtering 에 의하여 정의되는 기준면 평균표고면
(Forsberg, 1984) ( )
을 중력관측치의 환산 시에 사용하는 방법이다 이 방법. 에서는 기준면 위의 지형의 질량은 제거하고 기준면 아, 래의 빈 질량은 채워 넣은 방식을 사용한다 그림 은. 3 방법에 대하여 표현하고 있으며 이 환산방법을 이용
RTM ,
할 경우 의사지오이드(quasigeoid)를 얻게 된다(Bajracharya, 2003).
이때 정의된 평균표고면이 중력신호의 장파장면, (long 을 적절하게 표현하는 경우 이 환산 wavelength surface) , 법에 대한 중력상에서의 직접적인 지형효과는 다음과 같 이 근사화되어 표현될 수 있다(Forsberg, 1984).
(8) 위 식의 첫 번째 항은 두 개의 부우게 판 간의 차이를 뜻하며 이는 계산점의 표고, ()와 기준면의 표고( )를 이용하여 계산된다 즉 지오이드 위의 지형의 질량은 완. , 전한 부우게 환산(Bajracharya, 2003)에 의하여 제거된 후 기준 부우게 판을 통하여 복구된다 최종적으로. RTM
방법을 적용한 잔여중력이상은 다음과 같이 표현된다.
(9) 방법에서 사용된 평균표고면은 이론적으로는 사용 RTM
되는 중력장 모델이 가지고 있는 지형의 신호(topographical 와 일치시켜야 하며 본 연구에서는 약 의 범
signal) , 75km
위를 적용하여 평균표고면을 산출하였다. 방법
2.3 Airy-isostatic
환산방법은 측지학과 지구물리학에서 많 Airy-isostatic
이 사용되는Isostatic환산방법의 한 방법으로서 이 방법, 에서는 지각이 육상부에서는 뿌리(root)를 이루고 해상부 에서는 반뿌리(anti-root)를 형성하면서 고밀도의 물질 위 에 떠있다는 원리에 기반을 두고 있다 이 이론에 따르면. 지각은 마그마와 같이 지각보다 더 높은 밀도층 위를 부유 하고 있다고 가정되는데 이는 지형의 질량에 의한 중력학, 적 인력이 지형 아래 존재하는 고밀도 물질과의 밀도차이 에 의하여 상쇄(compensation)되기 때문이다(Bajracharya, 2003).
방법에 의한 직접적인 지형효과는 지형 Airy-isostatic
의 질량과 지각 뿌리의 깊이 범위 내에서 상쇄되는 지형 의 질량에 의한 인력의 차이로서 다음과 같이 표현될 수, 있다(Bajracharya, 2003).
(10)
여기서, 는 지형의 질량에 의한 인력, 는Airy- 방법에 의한 구해지는 상쇄되는 질량에 의한 인 isostatic
력을 뜻하며 다음과 같이 정방형의 프리즘을 이용한 적, 분식으로 표현될 수 있다(Nagy, 1966).
그림3. RTM방법의 개념 그림4. Airy-isostatic 방법의 개념
그림 5. 각 환산방법을 적용하여 계산된 잔여중력이상
(11)
(12) 여기서, 는 지각뿌리의 두께이며, 는 지각의 정규두 께로서Heiskanen등(1958)의 가정에 따라30km로 간주 된다.
최종적으로Airy-isostatic방법을 적용한 잔여중력이상 은 다음과 같이 표현된다.
(13)
그림 는5 Helmert응축, RTM및Airy-isostatic환산방법 을 적용하여 계산된 잔여중력이상을 나타낸 것으로 각 환, 산방법별로 환산된 잔여중력이상의 크기 및 환산된 잔여 중력이상과 지형과의 상관관계를 표현하였다 표 은 환산. 1 된 잔여중력이상의 크기의 통계치를 나타낸 것이다.
표 과 그림 의 결과에서 나타나듯이1 5 RTM과Airy- 잔여중력이상은 매우 유사하게 지형과의 상관관 isostatic
계를 제거하는 형태를 나타내고 있었으며, RTM잔여중 력이상의 표준편차가 약±13mGal로 나타나 가장 완만한 잔여중력장을 산출하는 것으로 나타났다 하지만 잔여중. , 력이상의 최대값과 최소값의 범위는Airy-isostatic환산 방법이 약25mGal정도로 가장 작은 것으로 나타났으며, 환산방법을 통해 산출된 잔여중력이상의 경우는 Helmert
기준중력이상치만을 제거한 중력이상과 매우 비슷한 통 계치를 보이는 것으로 나타나 지형과의 상관관계 제거의 정도가 낮은 것으로 판단되었다 최종적으로 산출된 각. 잔여중력이상치의 통계적인 수치를 통하여 각 환산방법 이 적절히 고려되었다고 판단되며 이에 따라 중력측정, 자료 상에서 직접적인 지형효과가 각 환산방법에 따라 적합하게 제거되었다고 판단될 수 있다.
환산방법별 잔여 지오이드 효과
3. (residual
의 결정 geoid effect)
각 중력학적 환산방법을 적용하여 계산되는 중력지오 이드는 다음과 같이R-R기법의 복구(restore)과정을 통 하여 결정된다(Omang 등, 2000).
∈ (14)
여기서, 는 최종 지오이드고, 은 지구중력장 모 델로부터 계산되는 지오이드고,
는 중력학적 환산방 법을 적용하여 산출된 잔여중력이상을 이용하여 계산되 는 잔여 지오이드고, ∈ 은 사용된 환산방법에 따라 결 정되는 지오이드 상에서의 간접효과(indirect effect)를 말 하며 일반적으로 지오이드 상에서의 지형의 영향을 말, 한다(Bajracharya, 2003).
각 환산방법을 통하여 산출된 잔여중력이상을 이용하여 구해지는 중파장효과인
을 계산하기 위하여multi-band 구면FFT방법(Forsberg등, 1993;윤홍식 등, 2005a)을 이용하였다 이를 통하여 중력관측치 상에서 기준 중력이. 상과 직접적인 지형효과가 제거된 중력이상치에Stokes 공식을 적용하게 되는데 지오이드 결정을 위한 고전적, 인Stokes공식은 다음과 같이 주어진다(Omang등, 2000).
(15)여기서, 은 잔여중력이상, 는 정규중력, 는 함수를 말한다
Stokes .
위 식은 지구전체에 대한 적분을 통하여 지오이드고를 산출하는데 지구전체를 포함하는 중력관측자료를 획득, 할 수는 없다 따라서 지구중력장 모델과 함께 지역적인. 중력관측자료와 표고자료를 이용하여 지역적인 지오이드 를 결정하게 된다 위 식을. FFT기법을 적용하여(, )에 대한convolution 적분의 형태로 다시 쓰면 구면해석의,
표1. 환산된 잔여중력이상의 통계치 (단위: mGal)
구분 최소값 최대값 평균 표준편차
중력관측점의 표고(m) -0.600 1950.100 145.048 ±201.219
(free-air 이상) -26.050 176.100 25.488 ±21.944
-65.116 141.932 -6.230 ±19.946
잔여중력이상
Helmert -64.804 176.555 -4.735 ±21.114
잔여중력이상
RTM -52.866 104.489 0.660 ±13.009
잔여중력이상
Airy-isostatic -72.419 99.426 -4.501 ±15.224
경우는 다음과 같이 표현된다(Strang van Hees, 1990).
(16)여기서, 와 은 각각 퓨리에 및 역퓨리에 변환을 말한다 그리고. Stokes함수인는 다음과 같이 정의 된다.
(17) 여기서,
(18)이고, , , 와는 계산점의 좌 표를 말한다.
위의 과정에Helmert잔여중력이상 및Airy-isostatic잔 여중력이상을 적용하여 각 환산방법에 따른 잔여 지오이 드를 결정할 수 있다 하지만 의사지오이드를 산출하는. 환산방법의 경우는 이상과 식 를 통하여
RTM free-air (9)
구해지는 잔여중력이상이 지표면에 기준하기 때문에, 공식 대신에 잔여 의사지오이드고 표고이상 를 산
Stokes ( )
출하는 Molodensky 적분을 사용하여야 한다.
(19)여기서, , 는 경위도 좌표, 는 지표면 상에서의 정 규중력,은Molodensky전개의 첫 번째 항이며 이때의,
는 지표면에 기준한free-air 이상이다.
본 연구에서는 각 환산된 잔여중력이상에 대하여 위의 과정을 적용하여 잔여 지오이드고를 산출하였으며, Stokes 와Molodensky공식의 구면상의 적용을 위한multi-band 구면 FFT 수행 시3-band 구면FFT를 적용하였다. FFT 계산 시 주기적convolution의 영향을 피하기 위하여100%
을 적용하였다 이석배 zero padding ( , 1996).
환산방법별 간접효과 의 결정
4. (indirect effect)
지오이드 상에서의 간접효과인 단파장 효과(∈ )의계 산은 각 환산방법에 따라 평면근사의 방법을 통하여 수 행하였다 일반적으로 지오이드 상에서의 간접효과는 다. 음의Bruns공식에 의하여 계산된다(Bajracharya, 2003).
∈
(20)
여기서, 은 정규중력을 나타내며, 는 사용된 환산 방법에 따른 지오이드에서의 포텐셜의 변화량으로서 다 음과 같이 표현된다.
(21)
여기서, 는 실제 지형의 질량에 대한 중력 포텐셜이며,
는Helmert, Airy-isostatic및RTM환산방 법에 대하여 각각 응축 상쇄된 질량 및 기준 질량을 나타, 낸다. RTM환산에서는 지오이드 면과 기준면 사이에 존 재하는 지형의 질량을 기준 질량이라 부른다(Bajracharya, 지형의 질량에 대한 포텐셜과 상쇄되는 질량의 포 2003).
텐셜은 환산방법에 따라서 각각 주어지게 된다 이 때. , 환산방법에 따른 포텐셜의 변화량()에 평면근사적인 해법을 적용하면 각 환산방법에 따른 간접효과를 간단하 게 표현할 수 있다.
응축 환산방법에 따른 간접효과는 다음과 같 Helmert
이 주어진다.
∈
×
(22)
여기서, 은와 사이의 평면거리를 말하 며 첫 번째 항과 두 번째 항은 각각, Helmert응축의 차1 간접효과 및 차 간접효과를 뜻한다2 (Omang 등, 2000).
본 연구에서는 간접효과로 차 및 차의 간접효과를 모1 2 두 포함한 결과를 사용하였다.
환산방법에서의 간접효과는 포텐셜 변 Airy-isostatic
화량에 대한 공식을 이용하여 다음과 같이 표현된다 (Bajracharya, 2003).
∈
(23)여기서, 는 지각의 정규두께이며, 는Airy-isostatic 환산방법에서 지각과 상부맨틀 간의 밀도차로서 밀도부 족을 뜻한다.
마지막으로RTM환산방법에 따른 의사지오이드 상에서 의 간접효과는 다음과 같이 근사적으로 표현되며(Omang 등, 2000),이에 대한 더 자세한 내용은Forsberg(1985)를 참조할 수 있다.
∈
(24)
그림6. 환산방법별 잔여 지오이드 및 지오이드 상에서의 간접효과
본 연구에서는 각 환산방법에 대하여 위와 같이 평면근 사에 의하여 표현되는 간접효과를DEM을 이용한prism
에 의하여 계산하였으며 integration(Forsberg, 1985) , DEM 은 앞서 잔여중력이상의 결정을 위하여 사용한DEM을 동일하게 이용하였다.
위 그림 은 각 환산방법을 통하여 결정된 잔여 지오이6 드고 및 간접효과를 표현한 것이며 표 는 이에 대한 통, 2 계치이다.
잔여중력이상을 이용하여 구한 잔여 지오이드의 크기 는Helmert 응축 방법에서 가장 큰 범위로 나타났으며, 이와 상대적으로RTM방법에서는 가장 작은 잔여 지오 이드의 범위가 나타났다 잔여 지오이드 분포에 대한 표. 준편차는 세 가지 환산방법 모두에서 비슷한 크기를 보 이고 있으나, RTM방법에서 가장 작은 값을 보이고 있어 방법이 가장 완만한 잔여 지오이드의 효과를 산출 RTM
하는 것으로 판단된다 이는 표 의 환산된 잔여중력이상의. 1 통계치에서 나타난 결과에서 기인하는 것으로 판단된다.
각 환산방법에 따라서 결정된 지오이드 상에서의 간접 효과의 크기는Helmert방법에서0.001m±0.013m로 가장 작은 수치를 보이고 있으며, Airy-isostatic방법을 적용한 경우가0.267m±0.439m로서 가장 큰 수치를 보이는 것으 로 나타났다. RTM방법은Helmert응축 방법에 비해 비 교적 큰 수치를 보이고는 있지만 그 분포가 -0.004m 로 나타나 이 방법을 위한 적절한 평균표고면이
±0.013m
고려되었음을 판단할 수 있다.
결 론
5.
우리나라에서는 현재 지능형 국토정보화 사업을 통하 여 우리나라의 정밀지오이드를 결정하고자 하는 연구가 시도되고 있으나 정밀한 지오이드의 계산을 위해서는, 중력지오이드의 결정에 작용하는 지형효과에 대한 연구 가 필수적으로 선행되어야 한다 이를 위해 본 연구에서. 는 다양한 중력학적 보정방법을 이용하여 지형효과를 산
출하고 이를 비교 분석하였다 연구를 위해 우리나라의･ . 수치표고모델을 약0.0009° × 0.0011°(약100m × 100m) 간격의 동일한 격자로 재구축하여 사용하였으며, Hemert 응축 환산방법과Airy-isostatic환산방법 및RTM환산방 법의 가지의 중력학적 환산방법에 대하여 동일한3 DEM 을 이용하여 지형효과를 계산하였다.
그 결과RTM환산방법을 이용하여 산출된 중력이상치 의 통계치가0.660±13.009mGal로 나타나 가장 완만한 잔 여중력이상의 크기를 보였으며 이는 지오이드 상에서도, 가장 작고 완만한 잔여 지오이드의 영향(0.016±0.236m) 을 산출하였다 또한 이에 따른 간접효과의 크기도. 로서 비교적 안정적인 양상을 나타내었다
-0.004±0.131m .
일반적으로 중력지오이드의 해석결과는 중력학적 환산 방법에 의하여 산출되는 잔여 지오이드의 영향 및 간접 효과가 그대로 반영되기 때문에 지오이드 모델링 시 사, 용된 환산방법에 의하여 결정되는 지형의 영향이 작거나 완만할수록 중력지오이드의 정확도에 있어 좀 더 나은 결 과를 보일 것으로 기대된다 따라서 우리나라의 정밀지오. 이드 모델의 개발 시 지형효과의 산출을 위하여RTM환 산방법을 적용하여야 가장 안정적이고 정확한 중력지오, 이드를 산출할 수 있을 것으로 판단된다.
또한 본 연구를 통하여 중력지오이드의 정밀도를 좌우 하는 지형효과가 중력학적 환산방법별로 계산되었으므 로 이 단파장효과를 통해 최종적인 중력지오이드를 계, 산하고 그 실제적인 정확도를 분석하는 연구가 필요할 것으로 판단되며 아울러 지형효과의 보정방법에 따른, 전체 지오이드의 정밀도 향상 정도를 파악하고자 하는 연구가 추가적으로 필요하다고 할 수 있다.
감사의 글
본 연구는 건설교통부 첨단도시기술개발사업 지능형- 국토정보기술혁신 사업과제의 연구비지원 과제번호( 07 국토정보C02)에 의해 수행되었습니다.
표2. 환산방법별 잔여 지오이드고와 간접효과의 통계치 (단위: m)
환산방법 지오이드 효과 최소값 최대값 평균 표준편차
Helmert 잔여 지오이드 -0.892 1.608 0.015 ±0.278
간접효과 -0.047 0.162 0.001 ±0.013
RTM 잔여 지오이드 -0.726 0.813 0.016 ±0.236
간접효과 -0.315 1.078 -0.004 ±0.131
Airy-isostatic 잔여 지오이드 -1.181 0.994 0.028 ±0.296
간접효과 0.011 2.446 0.267 ±0.439
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