질점의 각운동량 (Angular momentum of a particle)

Lecture Note: Kinetics of Particles

Central force motion

말을 아끼는 자는 지식이 있고 성품이 안존한 자는 명철하니라.

(잠언 17: 27)

질점의 각운동량 (Angular momentum of a particle)

질량

m

인 질점

P

가

r 

의 위치에서 속도

v 

로 운동할 때 다음과 같은 물리량을 정의할 수 있다.

v m r H   



0



여기서

H 

₀

를

O

점에 대한 질점

P

의 각운동량(Angular momentum)이라 부른다.

평면운동 시 각운동량의 성분 표기 1) 직교 좌표계 사용 시

k yv xv m v m r H

j v i v v j y i x r

x y o

y x

) ˆ (

ˆ ˆ ˆ

ˆ



















 





2) 극 좌표계 사용 시

ˆ ) ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

2









e e e e

mr v m r H

e r e r v e

r r

r z z

o

r r

















(

 

 

 





각운동량의 변화율 H_o

o oi i

o

M M F

r

a m r v m dt v

v m d r v m r

) v m r dt ( H d





 







 



 



 

































  

구심력을 받는 질점의 운동

질점에 작용하는 힘

F 

가

O

점을 향하는 경우 (예: 태양과 행성 사이의 만유인력) 이러한 힘을 구심력이라고 부른다. 그런데 구심력은

O

점에 대해 팔 길이를 가지지 못하므로

O

점에 관한 모멘트의 값은 0이 된다 (즉,

M

_o

 0

). 그러므로

0

constant

OP

o o

o

H M r F

H

    

 

결론적으로 질점에 구심력만 작용하는 경우, 그 질점의 각운동량은 보존된다.

(예) 질점이 평면운동을 할 때 극좌표계를 이용하여 각운동량을 나타내면

H ^

_o

 mr

²

 ^ e ˆ

_z

시간에 따라

eˆ

_z는 방향이 일정하므로

mr

²

 ^  const

또 질량이 일정하므로

r

²

 ^  h

아래 그림과 같이 질점이 운동할 때, OPP으로 이루어진 조각의 면적은 다음과 같다.

2 2

1 2

1 2 1

2 2

2

r h dt r d dt dA

d r dA











 





즉, 구심력을 받는 질점이 만드는 단위시간당 면적은 일정하다는 결과를 얻을 수 있는데, 이는 나중에 케플러의 제 2 행성운동 법칙을 설명하는데 사용될 수 있다.

만유인력의 법칙

뉴톤은 운동의 법칙과 케플러의 행성운동의 법칙을 통해 이 법칙을 거꾸로 유도하였다.

r

2

G Mm F

F   

G

는 만유인력상수라고 불리며 수소의 발견자로서 유명한 영국 과학자 Henry Cavendish 에 의해 1798 년 최초로 측정되었으며 나중에 정밀하게 측정된 값은 다음과 같다.

G  6 6 . 7 3  0 . 0 3 1 0 

^{1 2}

m

³

k g s  /

²

지구표면에서 질량 m을 갖는 물체에 작용하는 힘은

₂

R m G M F 

여기서

R

은 지구반경,

M

은 지구질량

mg

F 

로 통상 표기하므로 ₂

R M g  G

실제로 지구는 정확한 구가 아니고 밀도도 일정하지 않으므로 중력 가속도는 지구 표면의 위치마다 조금씩 차이가 난다. 또한 자전에 의한 원심력이 위도마다 다르다는 것을 고려한 다면 동일 질량의 무게가 지구 표면 상의 위치마다 약간씩 다르게 측정될 수 있다.

9 . 781  g  9 . 833

(

m / s

²)

10

6

37

6 

 .

R

(

m

)

 Comment

만유인력의 법칙은 엄밀하게는 두 질점 사이에 작용하는 힘에 관한 법칙이다. 부피를 갖는 한 물체와 (질점의 집합) 질점 사이에 작용하는 힘을 분석하면 그 힘은 일반적으로 질점과 물체의 질량중심을 연결하는 방향을 갖지 않는다. 이것이 일치하는 물체를 등심체라고(Centrobaric body) 말한다. 예를 들어, 밀도가 일정한 구는 등심체의 예라고 할 수 있다. 등심체가 아닌 물체는 중력 모멘트도 (Gravitational moment) 받게 되며 이 때 발생하는 모멘트는 질점에서 물체 질량중심까지 거리의 3승에 반비례하는 크기를 갖는다.

구심력을 받는 질점의 궤적방정식

구심력이 작용하는 고정점을 원점으로 하면 극좌표 계를 이용하여 운동을 기술하는 것이 편리하므로

< 극좌표계 운동방정식>

운동방정식을 성분 별로 분리하면,

(

2

)

m r  r    F

(1)

( 2 ) 0

m r   r  

(2)

(2)식을 적분하면

r

²

 ^  h

, 즉,

r

2

 h

 ^

(3)

그런데

1 )

2

(

r d h d d

dr r

h d

dr dt

d d dr dt r dr





 



 ^{   }



 



(4)

1 ) ( 1 ))

( (

₂

2 2 2 2

2

d r d r h r

d h d d

d r

h

d r d r

h d

r d dt d d

r d dt

r r d









 



















     





(5)

(3)식과 (5)식을 (1)식에 대입하여 정리하면,

)

( 1 )]

(

[

_{2 2} ²

2 2 2

r F mr h r

d d r

m  h   



1

u  r

이라 정의하고, 위 식을

u

에 대해 정리하면,

2 2 2

2

u mh u F d

u d  



이 식을 ‘구심력을 받는 질점의 궤적방정식’이라 부르며 각도를 독립변수로 그리고 반경을 종속변수로 하는 2 계 상미분방정식이다.







 e r r e

r r a

F a m

r

( 2 ) ˆ

) ˆ

(   

²

   



 











천체 역학에의 적용

구심력을 받는 질점의 운동에서 만유인력이 구심력으로 작용한다면

2

2

GM mu

r m

F  GM 

(6)

이것을 앞 절의 궤적방정식에 대입하면,

) constant (

2

2 2





 h

u GM d

u d



⁽⁷⁾

(7)식은 비제차 미분방정식이며, 이 방정식의 일반해는 출발점을 정점으로 정한다고 하면 (즉,

  0

일 때,

 0

 d

du

의 조건을 이용하면) 다음과 같이 나타낼 수 있다.



2

C cos h

u  GM 

(8)

/ h

2

GM

 C



이라 정의하면,

) cos 1

2

(   

 h

u GM

(9)

여기서



을 편심도(Eccentricity)라고 부른다.

<



에 따른 궤적>

1)

ε  1

(즉, ₂

h

C  GM

) 궤적은 쌍곡선 (Hyperbola)

2)

ε  1

(즉, ₂

h

C  GM

) 궤적은 포물선 (Parabola)

3)

ε  1

(즉, ₂

h

C  GM

) 궤적은 타원 (Ellipse) *

ε  0

^{은 원}

여기서

cos   -  ¹

(

ε  1

의 범위에서)

) 0

u r

(  

일때, 즉



일때의

 값

정점에서의 초기조건과 궤적의 관계

구심운동 시

)

2

(

2

o o o o

o o

o

r v v r

r r

h           ^

앞에서 구한 궤적방정식은

 cos h C

u  GM

₂



정점에서

  0

이므로 (또 지구 표면에서

GM  gR

²이므로)

2 2

2 2

1 1

o o o

o

r v

gR r h GM

C  r   

앞에서

1) ₂

h

C  GM

이면 궤적은 쌍곡선 (hyperbola)

즉,

o o

o o o o

o

r

v gR v

r gR v

r gR r

2 2

2 2 2

2

2

2

1    

2) ₂

h

C  GM

이면 궤적은 포물선 (parabola)

즉,

o

o

r

v gR 2

2

 

^탈출속도

3) ₂

h

C  GM

이면 궤적은 타원 (ellipse)

즉,

o

o

r

v gR 2

2



궤적이 타원일 때,



=0 이면 궤적은 원이 된다. 즉

C

=0 일 때에 해당되므로,

1 0

2 2

2







o o

r

o

v

gR C r

o

o

r

v gR

2





따라서 질점의 운동 초기조건에 따라 발생하는 타원의 형태는 다음 세 가지가 된다.

(1)

o

o

r

v gR

2



출발점을 원정점으로 하는 타원

(2)

o

o

r

v gR

2



정원

(3)

o

o

r

v gR

2



출발점을 근정점으로 하는 타원

여기서 (1)번과 (3)번은 타원 그리고 (2)번 궤적은 정원을 나타낸다.

ICBM 즉 대륙간 탄도탄의 궤적설계를 할 때 이러한 내용의 지식이 사용될 수 있다.

원점



출발점

타원 궤적운동의 주기

타원의 장축을 a, 단축을 b라 하면 면적은

A   ab

그런데 앞의 강의내용 중에서 구한 바와 같이

2 2

1

2

h

dt r

dA   ^ 

그러므로 타원을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간 즉 질점의 타원운동 주기



는 다음과 같이 구할 수 있다.

h ab h

ab 

  ²

2 ) (





---- (*)

이미 앞에서 언급되었듯이

h

는 운동 초기조건

r

₀^와

v

₀를 이용하여

h  r

₀

v

₀로 구한다.

타원의 장축 및 단축의 길이는 구심운동 원점에서 근정점까지의 거리

r

₀ ^{및 원정점까지의}

거리

r

₁과 기하학적으로 다음 관계식을 갖는다.

. )

2 ( 1

1

1

b r r

r r

a 

_o

 

_o

위 식에서 보듯이 타원 장축의 길이는 원점에서 두 정점까지의 거리의 산술평균이고 단축의 길이는 원점에서 두 정점까지의 거리의 기하평균이다.

케플러의 행성운동 법칙

제 1 법칙: 태양계 내의 모든 행성은 타원 운동을 하며 태양은 타원의 한 초점에 위치한다.

제 2 법칙: 행성이 움직이며 만드는 단위 시간당 면적은 일정하다.

2 h dt dA 

제 3 법칙: 행성 주기의 제곱은 타원 장축의 3 제곱에 비례한다.

h

 ab

  ²

GM a

³

2

2

4 

 



케플러의 행성운동법칙은 뉴톤역학이 알려지기 반세기 전에 발표된 것으로서 오랜 기간에 걸친 관측된 데이터에 근거해서 제시되었다는 점에서 그의 천재성과 위대함을 보여준다.

■ 케플러의 행성운동 3 법칙의 증명

앞에서

h

 ab

  ²

--- (1)

) 2 (

1 r

1

r

a 

_o



,

b  r

_o

r

₁ --- (2) 또한 57 쪽 (8)식에

  0

과

  

를 넣어 얻어진 두 식을 더하면

1 2

1 1 2

r r h GM

o





식 (2)를 이용하여 위 식을 정리하면

a h GMb

2

2



--- (3)

식(1)을 제곱한 식에 식(3)을 대입하면

3 2 3

2 2

2 2 2

2

4 4

GM a a h

b

a   

   



<예제>

<문제> 정지궤도위성의 높이를 구하라.

<주어진 정보>

) 3600 (

93 . 23

2 ) ( 81 . 9

) ( 10 37 . 6

2 6

s rad s

m g

m R

 

 





 







 ^ 

<풀이>

F

: 만유인력

이 높이는 지구반경의 약 5.6 배에 해당한다.

<Comment>

정지궤도위성은 지구와 동일 각속도로 도는 위성 중 적도 상 동일 지점의 상공에 위치한다.

) ( 10 58 . 3 )

(

) ) (

(

3 7 1

2 2

2 2 2 3

2 2

m g R

h R

g R h GM

R

h R h GMm R

m

F ma

_r





 



 



 







 























<예제>

<문제> 질량

m

^{인 질점이}

A

^{점에서 속력}

v

₀로

OA

선에 수직으로 발사되어서 구심력

F

^를

받으며 직경

OA

로 하는 반원을 따라 운동을 한다.

r  r

₀

cos 

^이고

r

²

 ^  h

^라면,

(a) 질점의 속력이 ⁰

cos

2

v v

 

로 나타냄을 보이라.

0

cos

r  r 

^이므로

r   r

₀

 sin 

^{이다. 따라서,}

0 0

ˆ

_r

ˆ sin ˆ

_r

cos ˆ

v  re  r e 

_

  r   e  r   e

_

그러므로,

v  v  r

0



그런데,

r

²

   h r v

_{0 0}^{이므로 0 0}_{2 2} ^{0 0}₂ ⁰₂

0

cos

0

cos

r v r v v

r r r

 ^{ }  ^ 

^.

이 식을 위에 유도된 식에 대입하면

0

cos

2

v v

 

(b) 구심력

F

의 접선방향 성분을 구하라.

가속도의 접선방향 성분은

2 0

0 3 5

0

2 sin 2 sin

cos cos

t

a v v v

r



 

 

  

그러므로,

2 0

5 0

2 sin

t t

cos F m a mv

r



  



m

O A

r

v

0



r

0

<예제>

<문제> 한 우주선이 질량

M

^반경

R

인 행성의 높이

h

상공을 따라 원운동을 하고 있다.

만유인력상수를

G

라 나타낸다면,

(a) 이 우주선의 속력을 구하라.

2

( )

2

GMm mv

F  R h  R h

 

^

v GM R h

 

(b) 이 우주선이 행성 상공을 일주하는데 걸리는 시간을 구하라.

2 ( )

v GM R h

R h

     



그러므로

2 ( ) ( )

3

R h 2 R h

v GM

   ^   ^

R h

M

<예제>

<문제> 질량

m

^{인 질점이}

A

^{점에서 속력}

v

₀^로

OA

선에 수직으로 발사되어서 구심력

F

^를

받으며 식 ⁰

2 cos r r

 



^{로 주어지는} 타원을 따라서 운동을 한다. 이 때, 구심력

F

가

r

의 제곱에 반비례함을 보이라.

<풀이>

0

1 2 cos

u r r



  

따라서

0

sin du

d r



 ^

^and

2

2 0

cos d u

d r



 ^

위 두식을 궤적방정식에 대입하면,

2

2 2 2

0

2

d u F

d  ^{ } u r ^ mh u

그러므로,

2

2 2

0

2 mh 1

F  r r  r



m

O A

r v

0

v

r

0



<예제>

지구반경

R

<문제> 타원운동을 하는 우주선의 지구표면에서의 최소높이는

h

₁이고 최대높이는

h

2이다. 우주선이 최소높이

h

₁에서 원운동을 하다

A

점을 지나며 타원운동을 하도 록 속도를 증가시킨다면,

A

지점에서 발생하는 속력의 증가분은 얼마인지 구하라.

<풀이>

원주운동을 할 때의 우주선 속력을

v

_C라 하면

2

2

1 1

mv

C

F GMm

r r

 



2

1 1 1

C

GM GM gR

v  r  R h  R h

 

궤적방정식에서,

) cos 1

2

(   

 h

u GM



2 2

1 gR (1 cos ) r  h   

두 점

A

와

B

에서

2

2 1

1 gR (1 cos

_A

) R h  h   



2

2 2

1 gR (1 cos

_B

) R h  h   



위 두 항을 더하면,

2

2

1 2

1 1 2gR

R h  R h  h

 

^

  

2

1 2

1

1 2

2 ( )

2

^A

gR R h R h

h R h v

R h h

 

  

 

따라서

  

2

1 2

1 1 2

1 2

( ) 2

A

gR R h R h

v R h R h h

 

   

그러므로

  

2 2

1 2

1 1 2 1

1 2

( ) 2

A C

gR R h R h gR

v v v

R h R h h R h

 

    

   

h

1

h

₂

 

A B

지구

<예제>

<문제> 우주선이 정점

A

를 지날 때 지구중심으로부터 거리는

r

_A이고 속력은

v

_A라 하자.

우주선이 만드는 궤적이 포물선이라 할 때, 우주선이

B

^지점에서

C

지점까지 도달하는데 걸리는 시간을 구하라.

<풀이>

궤적방정식에서,

) cos 1

2

(   

 h

u GM

^

2 2

1 gR (1 cos ) r  h   

포물선이므로,

  1

. 따라서

A

^에서

2 2

1 2

A

gR r  h

두 지점

B

^와

C

^에서,

  90

^이고

   90

^{이다. 따라서}

2 2

1 1

B B

gR r  r  h

B

^에서

C

까지 형성시키는 면적

S

는 다음 식을 이용하여 구할 수 있다.

4 8

2

3

^{B A}

3

^A

S  r r  r

구심운동을 하는 물체가 단위시간당 만드는 궤적은

h / 2

^이므로,

B

^에서

C

^{까지 걸리는}

시간

t

_BC 는 다음과 같이 구할 수 있다.

2

16

2 16

3 3

A A

BC

A A A

r r

t S

h r v v

  

r

A





A B

 _C

포물선

r

B

<예제>

<문제> 한 인공위성이 행성주위를 타원운동하며 돌고 있다. 행성 중심에서 두 정점까지의 거리를 각각

r

_A^와

r

_B 라 한다면, 두 정점에서 궤적의 곡률반경



는 다음 식으로 구할 수 있음을 증명하라.

1 1 1 1

2 r

_B

r

_B



 

   

 

<풀이>

궤적방정식에서

2

1 GM (1 cos ) r  h   

2

1 1 2

B B

GM

r  r  h

^{--- (*)}

정점

A

에서 인공위성 가속도의 법선방향 성분은,

h  r v

_{A A}이므로, 다음과 같다.

2 2

2 A n

A

v h

a ^  ^  r

따라서

2

2 2

n n

A A

mh GMm F ma

r r

   



1 GM

₂

 ^ h

^{--- (**)}

그러므로 (*)식과 (**)식을 비교하면 다음 식을 얻을 수 있다.

1 1 1 1

2 r

_A

r

_B



 

   

 

r

A

r

B

 

A  B

<예제>

Voyager 호가 명왕성 궤도에 도착하여 임무를 완수하고 명왕성을 떠나려 한다. 돌고 있던 Voyager 호가 명왕성에 가장 접근하였을 때 거리가 200000km 이라면, 근정점에서 135 도 방향으로 탈출을 하려면 탈출 속도가 얼마가 되어야 하는지를 구하라. 참고로 명왕성의 한 위성이 반경 300000km 의 정원궤도를 속도는 10km/s 로 돌고 있다.

(풀이) 궤적방정식은

) cos 1

r ( 1

2

  

 h GM

그런데 Voyager 호의 근정점(

  0

)에서의 반경과 속도를 r₀ ^와 v₀ 라 하자. 그런데

0 0

v r

h 

^이므로

1 -

2 0 0

GM v

 r



그런데 명왕성의 위성이 반경

r

₁의 원형 궤도를

v

₁의 속도로 도는 경우



0이므로

2 1 2

1 1

v GMm m

r  r 

GM r v 

_{1 1}²

그러므로

2 0 0 2 1 1

r v -1

  r v

그런데 탈출 각도가 135 도이므로

0 135

1   cos

^



^즉



 2 따라서

2 1 1 0

0

(1 )

19.03 v r v

r



  

^(km/s)

<참고>

탈출 자체는



1일 때 가능하므로 단순 탈출속도는 다음과 같이 구할 수 있다.

2 1 1 escape

0

(1 1)

r v 17.32

v r

  

^(km/s)

45 ^Satan

Tethys

Voyager

r

1

r

0