U ؎ Ò ÞU ê sX N ËÅ k Ä8 ý Œ Ÿ « ì ÅV R ËÊ Ý ø m Ç-; c .U X N ËP

Volume 62, Number 5, 2012¸   5 Z 4, pp. 460∼463

New Physics: Sae Mulli (The Korean Physical Society), DOI: 10.3938/NPSM.62.460

Æ

U ؎ Ò ÞU ê sX N ËÅ k Ä8 ý Œ Ÿ «
ì ÅV R ËÊ Ý ø m Ç-; c .U  X N ËP 

T 4 w H ™ ¸

Ø 

æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ §  ƒ  õ † < Æ@ /† < Æ Ó ü t o † < Æõ , ' õ AÅ Ò 361-763

(2012¸   3 Z 4 14{ 9  ~ à Î6 £ §, 2012¸   4 Z 4 17{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2012¸   5 Z 4 7{ 9  > F  S X ‰& ñ )

%

i † < Æ_  { 9 -\  -t  & ñ o – Ð Ä »• ¸ô  Ç î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r r ç ß –s  › ' a >    H ý a³ ð  ¨ 8 Š \  @ /K  / B N  ô  Ç   H  z  ´

`

 ¦ µ 1 ßy “ ¦, s \  ¦ : £ ¤ y  – ÐE $ ™Þ Ô(Lorentz) j Ë µ\  & h 6   x ô  Ç .  l § 4 “ É r @ /„  { 9  \  \  -t \  ¦ „  ² ú ˜ K  Å Òt  · ú § t

ë ß –, Õ ª! 3 \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ „  l § 4 ë ß –s  l # Œ   H { 9 -\  -t  & ñ o \    É r î  r1 l x ~ ½ Ó& h d ” “ É r – ÐE $ ™Þ Ô(Lorentz) j Ë

µõ  { 9 u † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

Ù þ

˜d ” # Q: “ ¦„  & h  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” , { 9 -\  -t  & ñ o 

Covariance of the Equations of Motion and the Work-energy Theorem

Won Sik L’Yi ^∗

Chungbuk National University, Cheongju 361-763

(Received 14 March 2012 : revised 17 April 2012 : accepted 7 May 2012)

The equations of motions derived from the energy-work theorem, which are equal to the Lagrange equations of motions, are shown to transform covariantly under general time-dependent point trans- formations. We apply this concept to the Lorentz force and show that even the magnetic force does not contribute to the energy change of charged particles. Thus, the equation derived from the energy-work theorem correctly produces the Lorentz force.

PACS numbers: 01.55.+b

Keywords: Classical equations of motion, Energy-work theorem

I. " e  ] Ø

“

¦„  & h  î  r1 l x ~ ½ Ó& h d ” _  @ /³ ð& h “    כ “ É r ¾ »‡  s  ] jr ô  Ç 7 ˜ '

 + þ Ad ” Ü ¼– Ð æ ¼# Œ”   5 Å q • ¸_  Z O g Ë :s  . s  ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r f ” 

› '

a& h s l   H t ë ß – 7 ˜' d ” s    H  z  ´ M :ë  H \  ~ ½ Ó& ñ d ” _ 

$ í

ì  r s  e ” _ _  ý a³ ð> \  @ /K " f ° ú  “ É r g 1 J`  ¦ t t  · ú §  H



  H é ß –& h `  ¦ ”   . s \  q K   Õ ª| ½ Ót  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r

#

Q* ‹ô  Ç ý a³ ð> \ " f• ¸ $ í w n ÷ &  H ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð" f 4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç Ó ü t o

& h   © œ S ! \ " f• ¸ ¸ ú ˜ & h 6   x ½ + É Ã º e ”   H Ä »6   x ô  Ç ~ ½ Ó& ñ d ” { 9  ÷  r ë

ß –  m   U  ´& h ì  r € ª œ  o
 & ñ ï  r € ª œ  o\ " f• ¸ Ä »6   x  .

[1] Õ ªX O t ë ß –  Õ ª| ½ Ót  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r ¾ »‡  _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” 

∗

E-mail: [email protected]

\

 q K " f W =  f ” › ' a& h s    H  / '¹ ¡ § s  e ”  . ¾ »‡  _  î  r1 l x

~

½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð Ä »• ¸÷ &  H { 9 -\  -t  & ñ o   H Û ¼º ú ˜ d ” Ü ¼– Ð" f

#

Q‹ "  ý a³ ð> \ " f• ¸ $ í w n  ) a  . Õ ªo “ ¦ ˜ Д > r > _   â Ä º\ 



 H ˜ Д > r ÷ &  H % i † < Æ& h  \  -t \  ¦ 1 l qw n & h “   ý a³ ð– Ð p ì  r † < Ê Ü

¼– Ð+ ‹ K { © œ ý a³ ð\  @ /ô  Ç î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  . Õ ª



Q
 s  Qô  Ç ] X   H“ É r q  ˜ Д > r > _   â Ä º  H Ô  ¦ 0 p x    H

€



•& h s  e ”  . ô  Ǽ #  { 9  " é ¶ _   â Ä º\   H { 9 -\  -t & ñ o 

¾

»‡  _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” õ  1 l x{ 9     H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . Õ ª Q Ù

¼– Ð { 9 -\  -t  & ñ o \  ¦ s 6   x K " f { 9 ì ø Í& h “   ý a³ ð> \ " f ý

a³ ð_  $ í ì  rZ > – Ð î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”   H t , Õ ªo “ ¦ ë

ß –{ 9  Õ ª Qô  Ç d ” [ þ t s  ” > r F ô  Ç €   s p  · ú ˜ 94 R e ”   H { 9 ì ø Í



o  ) a ý a³ ð> \ " f_  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “    Õ ª| ½ Ót  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”  õ

  H # Q‹ "  › ' a >  e ”   H t \  @ /K " f · ú ˜  ˜ Г ¦    H  כ

-460-

î 

r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  / B N  $ í õ  { 9 -\  -t  & ñ o  – s " é ¶ d ”  · Won Sik L’Yi -461-

“ É

r t F G y   ƒ  Û ¼ Qî  r µ 1 Ï © œs  .

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H s  Qô  Ç › ' a& h `  ¦ S X ‰ “   “ ¦, : £ ¤ y  { 9 -\  - t

 & ñ o \    É r î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  / B N  $ í `  ¦ S X ‰ “  ô  Ç . : £ ¤ y 



l § 4 “ É r @ /„   ) a Ó ü t ^ ‰\  \  -t \  ¦ „  ² ú ˜K  Å Òt  3 l w l  M

:ë  H \   l § 4 s  e ”   H – ÐE $ ™Þ Ô(Lorentz) j Ë µ\  @ /K " f { 9 -

\

 -t  & ñ o \  ¦ & h 6   x # Œ   õ & h Ü ¼– Ð
“ : r î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” s 

‘

: r A _   l § 4 `  ¦ Ÿ í† < Ê “ ¦ e ”   H t \  ¦ S X ‰ “  ô  Ç .  7 Hë  H _  ]

j2] X \ " f  H { 9 -\  -t  & ñ o ü < s \    É r î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  /

B N  $ í `  ¦, ] j3] X “ É r { 9 -\  -t  & ñ o – Ð ‘ : r – ÐE $ ™Þ Ô(Lorentz) j Ë

µ`  ¦  À Ò% 3  . Õ ªo “ ¦    : r“ É r ] j4] X \  & ñ o  % i  .

II. ø m Ç-; c .U X N ËP Ñ ÷ Æ U ؎ Ò ÞU ê sX N ËÅ k Ä8 ý Œ Ÿ «ä _ ËV R Ë

Ó ü

t o † < Æ_  l ‘ : r ~ ½ Ó& ñ d ”  ×  æ  à º  H l  & h “   € ª œõ  Ó ü t o 

&

h “   € ª œ_  1 l x1 p x$ í Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³÷ &# Q e ”  . \ V\  ¦[ þ t # Q ¾ »‡  _  î

 r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”  m d ² x/dt ² = F “ É r à º† < Æ& h “   5 Å q • ¸ü < Ó ü t o

& h “   j Ë µõ _  › ' a > \  ¦ ³ ð‰ & ³ô  Ç . ¾ »‡  _  ×  æ§ 4  © œ ~ ½ Ó& ñ d ” 

∇ ² φ = 4πGρ õ  s \  ¦  © œ@ / : r& h Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ô  Ç  “  à » “   _

 ×  æ§ 4  © œ ~ ½ Ó& ñ d ”  R µν − 1/2g µν R = κT µν • ¸ — ¸¿ º s  Q ô

 Ç > h¥ Æ Ü ¼– Ð s K ½ + É Ã º e ”  . : £ ¤ y    ì  r + þ A_ …– Ð ³ ð‰ & ³ô  Ç



“  à » “  _  ×  æ§ 4  © œ~ ½ Ó& ñ d ”  δ

Z R = κ

Z

T µν δg ^µν

“ É

r „  ^ ‰ / B N ç ß –\  @ /ô  Ç / B GÒ  ¦ Û ¼º ú ˜ _  & h ì  r s  p ™ è    o 



 H  כ `  ¦ \  -t -î  r1 l x | ¾ Ó J $ ™" f   H Ó ü t o | ¾ Óõ  ƒ  › ' a r †   .

s

   { 9  © œ\ " f ˜ Ѐ   ¾ »‡  _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”  m d ² x/dt ² = F “ É r { 9 -\  -t  & ñ o 

δT = δW (1)

ü

< 1 l x1 p x ½ + É  כ s  “ ¦ Æ Ò : r ½ + É Ã º e ”   H X <, # Œl " f δT   H  K

ï  r „  ^ ‰ { 9  δW \  _ ô  Ç î  r1 l x \  -t _     os  .

s

\  ¦ S X ‰ “   l  0 AK   Ä »• ¸ f“    â Ä º\  ¦ Ò q ty Œ •K  ˜ Ð



.  © œ@ /$ í s  : r • ¸ { 9 ì ø Í& h “   ý a³ ð> \  ¦  6   x ô  Ç  כ õ  ° ú  s , f ”

y Œ •ý a³ ð x ⁱ , i = 1, ..., f, ˜ Ð   H s \  ¦ r ç ß –\  Á º › ' a > 



 ¨ 8 Š r †   ý a³ ð q ^a (x ⁱ ), a = 1, ..., f, \  ¦  6   x  . s   â Ä º

" é ¶ K $ 3 `  ¦ K  ˜ Ѐ   î  r1 l x \  -t  T   H  6 £ § õ  ° ú  “ É r g 1 J`  ¦

t >  H † d`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . [2]

T = 1

2 M _ab q ˙ ^a q ˙ ^b . (2)

#

Œl " f Ó ü t : r ×  æ4 Ÿ ¤ ) a ' ‘    H > _   Ä »• ¸ # 3 0 A\ " f ½ + Ëô  Ç



. Õ ª Q€   δt r ç ß – 1 l x î ß –\  Ò q t|   î  r1 l x \  -t _  7 £ x   H δT = δq ^a ∂T

∂q ^a + δ ˙ q ^a ∂T

∂ ˙ q ^a (3) s

 .

ô

 Ǽ #  (2)\   Ø Ô€   î  r1 l x \  -t  T   H ˙ q ^a _  s  d ” Ü ¼– Ð

³

ð‰ & ³÷ &# Q e ” l  M :ë  H \  2T = ˙q ^a ∂T /∂ ˙ q ^a s  . Õ ª QÙ ¼– Ð s

 d ” \ " f  Ò' 

2δT = δ ˙ q ^a ∂T

∂ ˙ q ^a + ˙ q ^a δ ∂T

∂ ˙ q ^a

= δ ˙ q ^a ∂T

∂ ˙ q ^a + ˙ q ^a δt d dt

∂T

∂ ˙ q ^a

= δ ˙ q ^a ∂T

∂ ˙ q ^a + δq ^a d dt

∂T

∂ ˙ q ^a (4)

`

 ¦ % 3   H  . ×  æ ç ß – 1 p xd ” \ " f δt  H z  ´] j& h “   r ç ß –â ì2 £ § s l  M

:ë  H \  ˙q ^a δt = δq ^a s “ ¦, Õ ª Q€    t } Œ • 1 p xd ” `  ¦ % 3   H  .

Õ

ªo “ ¦ (3)\  ¦  6   x €   δ ˙q ^a ∂T /∂ ˙ q ^a \  ¦ δT − δq ^a ∂T /∂q ^a

–

Ð
 è ­ q à º e ” l  M :ë  H \  (4)  H  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ o   ) a  .

δT =  d dt

∂T

∂ ˙ q ^a − ∂T

∂q ^a



δq ^a (5) Õ

ª QÙ ¼– Ð

δT = δT

δq ^a δq ^a (6)



  H d ” `  ¦ % 3   H X <, # Œl " f δT /δq ^a   H δT

δq ^a = d dt

∂T

∂ ˙ q ^a − ∂T

∂q ^a (7)

–

Ð & ñ _ ÷ &% 3  .

:

£

¤ y  { 9 -\  -t & ñ o \  _  €   î  r1 l x \  -t _  7 £ x   H  K

ï  r { 9  δW ü < ° ú  Ü ¼Ù ¼– Ð δW = (δW/δq ^a )δq ^a   ¿ º€   δT

δq ^a δq ^a = δW

δq ^a δq ^a (8)

\

 ¦ % 3   H  . ë ß –{ 9  δq ^a \  ¦ 1 l qw n & h “    כ Ü ¼– Ð 2 [/ å L ½ + É Ã º e ”  

€

 

δT δq ^a = δW

δq ^a (9)



  H d ” `  ¦ % 3   H X <, s   H  Õ ª| ½ Ót  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” õ  { 9 u ô  Ç



. 7 £ ¤  Õ ª| ½ Ót  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r { 9 -\  -t & ñ o \  ¦ { 9 ì ø Í o ô

 Ç ý a³ ð> \ " f ³ ð‰ & ³ô  Ç  כ e ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

s

] j δq ^a \  ¦ 1 l qw n & h “    כ Ü ¼– Ð 2 [/ å L ½ + É Ã º e ”   H t ü < › ' aº  

# Œ î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  / B N  $ í `  ¦ › ¸ K  ˜ Ð . s \  ¦ 0 AK  ý a

³

ð\  ¦ q ^a \ " f q ^0b – Ð  Ë ¨# Q ˜ Ѐ   (6)– РÒ'  δT

δq ^0b = δT δq ^a

∂q ^a

∂q ^0b (10) e ”

`  ¦ · ú ˜Ã ºe ”  . 7 £ ¤ δT /δq ^a   H / B N  ô  Ç . s    õ   H B Ä º Z

 t  î  r X <, s \  ¦ r ç ß –\  › ' a > ÷ &  H ý a³ ð_    ¨ 8 Š  t  “ ¦ 9 ô

 Ç  8 { 9 ì ø Í& h “    â Ä º\  @ /K " f 7 £ x" î K  ˜ Ð .

-462- ô  Dz D GÓ ü t o † < Æ rt  “D hÓ ü t o ”, Volume 62, Number 5, 2012¸   5 Z 4

Ä

º‚   q ^a ü < q ^0b  ¿ º > h_  1 l x1 p x ô  Ç ý a³ ð> – Ð" f q ^a = q ^a (q ^0b , t) s  9, % i Ü ¼– Ð q ^0b = q ^0b (q ^a , t)    . Õ ª Q€   q ^a ü <

˙

q ^a \  ¦ 1 l qw n & h “    כ Ü ¼– Ð 2 [/ å L ½ + É  â Ä º

∂q ^a

∂ ˙ q ^0b = 0 (11) s

“ ¦, ¢ ¸

˙

q ^a = ∂q ^a

∂q ^0b q ˙ ^0b + ∂q ^a

∂t (12)

s

 . Õ ª QÙ ¼– Ð

∂ ˙ q ^a

∂ ˙ q ^0b = ∂q ^a

∂q ^0b (13)

•

¸ $ í w n ô  Ç . ô  Ǽ #  d dt

∂q ^a

∂q ^0b = ˙ q _c ⁰ ∂ ² q ^a

∂q ^0c ∂q ^0b + ∂ ² q ^a

∂t∂q ^0b (14)

\

" f ˙q ^0a ü < q ^0b   H 1 l qw n s ê ø Í  z  ´`  ¦  6   x €    À » d ” _  Ä º  

“ É r

∂

∂q ^0b



˙ q ⁰ _c ∂q ^a

∂q ^0c + ∂q ^a

∂t



= ∂ ˙ q ^a

∂q ^0b (15) s

l  M :ë  H \  (14)“ É r   ² D G d dt

∂q ^a

∂q ^0b = ∂ ˙ q ^a

∂q ^0b (16) ü

< ° ú  s  & ñ o   ) a  .

s

] j (11)\  ¦ æ ¼€   ∂T /∂ ˙q ^0b = (∂ ˙ q ^a /∂ ˙ q ^0b )∂T /∂ ˙ q ^a s  



 H  z  ´`  ¦ · ú ˜ à º e ”   H X <, s  d ” “ É r (13) \  _ K   r 

∂T

∂ ˙ q ^0b = ∂q ^a

∂q ^0b

∂T

∂ ˙ q ^a (17) s

  ) a  . s  d ” `  ¦ r ç ß –\  @ /K  p ì  r ô  Ç Ê ê (16)õ  (17), Õ ª o

“ ¦

∂T

∂q ^0b = ∂q ^a

∂q ^0b

∂T

∂q ^a + ∂ ˙ q ^a

∂q ^0b

∂T

∂ ˙ q ^a (18)

\

 ¦ & h 6   x €  

 d dt

∂T

∂ ˙ q ^0b − ∂T

∂q ^0b



= ∂q ^a

∂q ^0b

 d dt

∂T

∂ ˙ q ^a − ∂T

∂q ^a



(19)

<

 ʓ É r (10)`  ¦ % 3   H  . ô  Ǽ #  δW/δq ^a _  / B N  $ í “ É r  " î Ù ¼

–

Ð   ² D G { 9 -\  -t & ñ o \    É r î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r / B N  † < Ê`  ¦

· ú

˜ à º e ”  .

{ 9

-\  -t  & ñ o \    É r î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” s  / B N   Ù ¼– Ð ô  Ç ý

a³ ð> \ " f $ í w n    H d ” “ É r Õ ª g 1 J`  ¦ Õ ª@ /– Ð Ä »t  €  " f



 É r ý a³ ð> \ " f• ¸ $ í w n  ) a  . : £ ¤ y  f ” y Œ • ý a³ ð> \ " f  H m d ² x/dt ² = F \  _ K  δT /δx ⁱ = δW/δx ⁱ s    H  

z 

´`  ¦ ~ 1 >  S X ‰ “  ½ + É Ã º e ” Ü ¼Ù ¼– Ð { 9 ì ø Í& h “   ý a³ ð> \ " f δT /δq <sup>a</sup> = δW/δq <sup>a</sup>    H  z  ´`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s  כ “ É r   u

 (8)\ " f δq ^a   © œ_  1 l qw n & h “      o“    כ % ƒ! 3  2 [/ å L K

• ¸  ) a    H  כ Ü ¼– Ð s K K • ¸  ) a  .

ô

 Ǽ #  d/dt (∂/∂ ˙q ^a ) − ∂/∂q ^a \  ¦  e  ¦  Û ¼ ƒ  í ß – _  / B N



  a−$ í ì  r s   & ñ _  €   (19)\  _ K  s  ƒ  í ß –   H / B N  

†

< Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . : £ ¤ y  f ” y Œ •ý a³ ð> \ " f  H é ß –0 A 7 ˜'  † ½ Ó



© œ { 9 & ñ ô  Ç ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ o v Ù ¼– Ð s  ý a³ ð> \ " f  e  ¦  Û ¼

ƒ

 í ß –   H

d dt

∂

∂v − ∂

∂x (20)

–

Ð ³ ð‰ & ³H † d`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .



e  ¦  Û ¼ ƒ  í ß –  / B N  ƒ  í ß –    H  z  ´“ É r % i † < Æ_  î  r 1

l

x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ³ ð‰ & ³   H X < B Ä º Ä »6   x  . \ V\  ¦[ þ t # Q ¾ »‡   _

 î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”  dp/dt + ∂V /∂x = 0 `  ¦ / B N  + þ AI – Ð ³ ð‰ & ³

l  0 AK " f  H s \  ¦ d/dt ∂( ¹ ₂ v · mv)/∂v + ∂V /∂x = 0 – Ð

³

ð‰ & ³ô  Ç Ê ê, / B N   g 1 J – Ð  Ë ¨l  0 AK 

 d dt

∂

∂v − ∂

∂x

  1

2 mv ² − V



= 0 (21)



Ë ¨€    ) a  .

III. ø m Ç-; c .U  X N ËP z º Ä ] Ø z º Ö ° Ž(Lorentz) Ì   ö

s

] j – ÐE $ ™Þ Ô(Lorentz) j Ë µ dp/dt = eE + ev × B \  { 9 -

\

 -t  & ñ o \  ¦ & h 6   x K  ˜ Ð . s \  ¦ 0 AK  Ä º‚  “ É r  e  ¦  Û ¼

ƒ

   _  / B N  $ í `  ¦ s 6   x K " f Lorentz j Ë µ`  ¦ ³ ð‰ & ³K  ˜ Ð .

E ü < B\  ¦ Û ¼º ú ˜ ( J $ ™[ >  V ü < 7 ˜' ( J $ ™[ >  A– Ð ³ ð‰ & ³ €   î

 r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r dp

dt = e



− ∂V

∂x − ∂A

∂t



+ ev ×  ∂

∂x × A



= − ∂

∂x (eV − ev · A) − d

dt eA, (22)

<

 ʓ É r d/dt (p + eA) − ∂/∂x (−eV + ev · A) = 0 \  ¦ % 3   H



. ô  Ǽ #  d/dt (p + eA) = d/dt∂ ¹ ₂ v · p + ev · A
/∂v\  ¦



6   x €    e  ¦  Û ¼ ƒ  í ß – – Ð ³ ð‰ & ³ô  Ç – ÐE $ ™Þ Ô(Lorentz) j Ë µ

“ É r

 d dt

∂

∂v − ∂

∂x

  1

2 mv ² − eV + ev · A



= 0. (23) ü

< ° ú  >   ) a  .

s

 î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ { 9 -\  -t  & ñ o – Ð Ä »• ¸K  ˜ Ð .  l 

§ 4

“ É r @ /„   ) a Ó ü t ^ ‰\  \  -t \  ¦ / B N/ å L K  Å Òt  · ú §Ü ¼Ù ¼– Ð „  

 e\  „   l  © œs  ô  Ç { 9  δW “ É r „  l § 4 \  _ ô  Ç  כ Ü ¼– Ð+ ‹

î 

r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  / B N  $ í õ  { 9 -\  -t  & ñ o  – s " é ¶ d ”  · Won Sik L’Yi -463-

eE · δx ü < ° ú   . ô  Ǽ #  „  l  © œ“ É r E = −∂V /∂x − ∂A/∂t s

Ù ¼– Ð dA/dt = ∂A/∂t + v · ∂A/∂x \  ¦  6   x €   δW = −δx · ∂

∂x eV − δx · d

dt eA + δx · ∂

∂x (ev · A) (24)

`

 ¦ % 3 >   ) a  . ¢ ¸

δT = δx · d dt

∂

∂v 1

2 mv ² (25) s

Ù ¼– Ð { 9 -\  -t & ñ o \  _ K  (24)õ  (25)s  ° ú     H   z 

´`  ¦  6   x €   δx · ∂

∂x (−eV + eA · v) = δx · d dt

∂

∂v

 1

2 mv ² + ev · A

 (26)

`

 ¦ % 3   H X <,  e  ¦  Û ¼ ƒ    _  / B N  $ í `  ¦ s 6   x l 0 AK  s

\  ¦ › ¸F K à º& ñ “ ¦ δx\  ¦ 1 l qw n Ü ¼– Ð 2 [/ å L €   (23)`  ¦ % 3 



 H  .   ² D G – ÐE $ ™Þ Ô(Lorentz) j Ë µ_   â Ä º,  l  © œ“ É r @ /„  ^ ‰

\

 { 9 `  ¦ t  · ú § " f δW \   H  l  © œ † ½ ӓ É r \ O t ë ß – { 9 -

\

 -t  & ñ o – РÒ'  Ä »• ¸ô  Ç î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r & ñ S X ‰ y  – ÐE $ ™ Þ

Ô(Lorentz) j Ë µ`  ¦ ï  r  .

IV. + s Ç Â ] Ø

Û

¼º ú ˜  d ” Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ô  Ç { 9 -\  -t  & ñ o   H 7 ˜'  ~ ½ Ó& ñ d ”  Ü

¼– Ð ³ ð‰ & ³ô  Ç ¾ »‡  _  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” õ  1 l x1 p x  9, Õ ª   õ 

&

h “   d ” “ É r ¸ ú ˜ · ú ˜ 9”    Õ ª| ½ Ót  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” s   ) a  . : £ ¤ y

 { 9 -\  -t  & ñ o  Šҍ  H î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r ý a³ ð   ¨ 8 Š \ 

@

/K  / B N  & h Ü ¼– Ð    “ ¦, Õ ªA " f s  î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r # Q

‹

"

 ý a³ ð> \ " f
 1 l x1 p x ô  Ç g 1 J`  ¦ ”   . ÷  r ë ß –  m   – Ð E $

™Þ Ô(Lorentz) j Ë µ_   â Ä º,  l  © œ“ É r @ /„  { 9  \  { 9 `  ¦ K  Å

Òt  · ú §Ü ¼Ù ¼– Ð { 9 -\  -t  & ñ o ü <  H Á º › ' a t ë ß –, Õ ªA • ¸ { 9

-\  -t  & ñ o – Ð Ä »• ¸ô  Ç / B N  & h “   î  r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r & ñ S X ‰ y

 – ÐE $ ™Þ Ô(Lorentz) j Ë µ`  ¦ ï  r  . s    _ p \ " f { 9 -\  -t 

&

ñ o   H % i † < Æ_   © œ l ‘ : r& h “   › ' a > d ” s   ½ + É ë ß –
p u ×  æ כ ¹

“ ¦• ¸ ¼ # o † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2011¸  • ¸ Ø  æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § † < ÆÕ ü tƒ  ½ ¨t " é ¶  \ O _ 

ƒ

 ½ ¨q  t " é ¶ \  _  # Œ ƒ  ½ ¨÷ &% 3 6 £ §.

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] H. Goldstein, Classsical Mechanics, 2nd ed.

(Addison-Wesley Publishing Co., 1980).

[2] K. R. Symon, Mechanics, 3rd ed. (Addison-Wesley

Publishing Co., 1971).