직접 수치 모사를 통한 캐비테이션 소음 예측 및 모델링
서정희† · 문영준*
Cavitation Noise Prediction: Direct numerical simulation and Modeling
Jung-Hee Seo and Young J. Moon
Key Words : Cavitation noise(캐비테이션 소음), Direct numerical simulation(직접수치모사), Acoustic analogy(음향상사)
Abstract
Prediction methods for cavitation noise are presented. At first, direct numerical simulation of cavitating flow noise has been performed, and acoustic analogy equation based on the cavitation noise modeling is derived. For the direct numerical simulation, a density based homogenous equilibrium model is employed to simulate cavitating two-phase flow and the governing equations are solved with high-order numerical schemes to resolve cavitation noise. The compressible Navier-Stokes equations for mixture fluids are discretized with a sixth-order central compact scheme, and the steep gradient of flow variables and super- sonic regions are treated with the selective spatial filtering technique. The direct simulation of cavitating flow noise is performed for a 2D circular cylinder at cavitation number 0.7 and 1. The far-field noise is also predicted with the derived analogy equation. Noise spectrum predicted with the equation is well compared with the result of direct numerical simulation and also agree well with the theory.
기호설명 α : Void fraction, 기체상 체적 비율 D : 실린더 직경 (m)
K : 액체상수 (물에 대해 472.27) (J/Kg K) ρ : 밀도; (ρg:기체밀도, ρl:액체밀도) (kg/m3) p : 압력; (pv:포화증기압, pc:임계압력) (N/m2) p’: 음향 요동 압력 (N/m2)
R : 기체상수 (J/Kg K) r : 소음원으로부터 거리 (m) T : 온도; (Tc:임계온도) (K) t : 시간 (s)
τ : 점성 응력 (N/m2) u,v : 속도 (m/s)
V : 부피; (VB: 기포의 부피) (m3) Y : 건도, 기체상 질량 비율
1. 서 론
캐비테이션(cavitation) 현상은 유체 내에서 충격 파(shock wave)와 복잡한 이상유동 불안정성(two- phase flow instability)을 발생시키며, 이로 인한 유 체기계의 부품 파손, 성능 저하 및 심한 소음을 야기한다. 특히 캐비테이션 소음은 음압레벨이 높 아 그 자체로도 문제가 될 뿐만 아니라, 캐비테이 션 현상 발생 여부의 평가 지표로도 사용될 수 있 으므로 최근 이에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다. 일반적으로 캐비테이션 소음은 생성된 기포 (bubble)가 붕괴되며 발생하는 충격파에 의해 생성 되는 것으로 알려져 있으며, 실제 유체 기계에서 는 bubble cloud 의 순간적인 붕괴로 인해 매우 큰 레벨의 소음과 부품 파손이 발생하는 것으로 보고 되고 있다[1].
캐비테이션에 의한 소음 발생 및 이상 유동장 에서의 음향파 전파 는 매우 복잡하고 비선형적인 현상이기 때문에 이를 모사하기 위해서는 최소한 의 모델을 사용하는 직접 수치 모사 방법이 가장 적절하다고 할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 직
† 고려대학교 기계공학과 E-mail : [email protected]
TEL : (02)926-3818 FAX : (02)926-9290
* 고려대학교
접 수치 모사 방법을 통하여 캐비테이션 소음을 예측하였다. 캐비테이션 현상과 음향파 발생 및 전파를 동시에 모사하기 위하여는 캐비테이션 모 델의 신중한 선택과 고차의 정확도는 물론, 충격 파와 밀도의 급변화 등을 다를 수 있는 고차의 shock-capturing 수치해석 기법이 필요하다. 본 연 구에서는 밀도 변화에 기반한 homogeneous equilibrium model 을 사용하였으며 일반적인 적용 이 용이한, 새로운 고차 수치해석 기법을 제안하 였다.
본 연구에서는 또한 음향 상사 이론을 사용하 여 캐비테이션 소음 예측을 위한 모델링 식을 유 도하였다. 단일 기포(single bubble)에 의해 발생하 는 소음은 Fitzpatrik and Strasberg[2] 가 모델링을 통하여 연구하였는데, 그들은 단일 기포의 진동에 의해 발생하는 소음을 기포의 체적 변화에 의해 야기되는 단극자 소음(monopole noise)으로 모델링 하였다. 본 연구에서는 이 모델링을 기반으로 하 고 음향 상사 이론(acoustic analogy)을 적용하여 실 제 유체기계에 적용 가능한 캐비테이션 소음 예측 식을 제안하였다. 검증을 위하여 2 차원 원형 실린 더에서 발생하는 캐비테이션 소음을 직접 수치 모 사 하였으며, 이 결과를 본 연구에서 유도된 식으 로 예측한 결과와 비교하였다.
2. 캐비테이션 소음 직접수치모사
캐비테이션 현상을 동반한 이상유동 을 모사하 기 위하여 Shin[3] 등이 제안한 homogeneous equilibrium model 과 캐비테이션 모델을 사용하였 다. 이 모델에서는 다음과 같은 혼합밀도(mixture density)
(1 ) l g
ρ= −α ρ αρ+ (1)
를 사용하며, 상태방정식은 다음과 같이 주어진다.
( )
(1 ) ( ) ( )
c
c c
p p p
K Y p T T RY p p T
ρ= +
− + + + (2)
2 차원 등온 유동장에 대하여 지배방정식은 다음 과 같이 쓸 수 있다.
0 0
0 0
xx xy
xy yy
u v
u uu p uv
v vu vv p
t x y
Y uY vY
x y
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
τ τ
τ τ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟
∂ ⎜ ⎟+ ∂ ⎜ ⎟+ ∂ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟
∂ ∂ ∂
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ⎜ ⎟ ∂ ⎜ ⎟
= +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(3)
캐비테이션 모델에 대한 보다 자세한 내용은 참고
문헌[3] 에서 찾을 수 있다.
캐비테이션 소음의 생성과 전파를 직접 모사 하기 위하여 고차의 수치해석 기법을 사용하였다.
본 연구에서 사용한 기법은 C6SF 기법[4]으로 이 는 공간차분을 6 차의 컴팩 유한차분(compact finite difference)[5] 방법으로 수행하고, shock wave 등, 변 수의 값이 불연속한 영역에서 발생하는 에러를 선 택적 공간 필터링(selective spatial filtering)으로 제거 하는 고차, shock capturing 기법 이다. 6 차 컴팩 유 한차분식은 다음과 같다.
1 1
1 1 2 2
1 1
3 3
14 1
9 2 9 4
i i i
i i i i
f f f
f f f f
ξ ξ ξ
ξ ξ
− +
+ − + −
∂ +∂ + ∂ =
∂ ∂ ∂
− −
⋅ + ⋅
Δ Δ
(4)
또한 석택적 공간 필터링식은 다음과 같이 주어진 다.
1 1
5
1 1
0
(1 ) (1 )
2 (1 ) ( )
4 2
f i i f i
i i i n
i n i n
n
f f f
f f f a
f f
β α β α
β β
− +
+ −
+ −
=
− + + − =
+ + + − ∑ +
(5)
위 식은 β 값에 따라 고주파의 수치에러만을 제거 하는 10 차 필터링과 shock wave 주위의 에러를 제 거하는 2 차 필터링으로 변환된다. β 값은 변수의 공간 변화를 감지하여 다음식에 의해 결정된다.
2 max min
1 sgn( ( ))
2
D C fs f
β= + − − (6)
위 식에서 D2=|fi+1-2fi+fi-1| 이고 fmax, fmin 은 구간 에 서의 최대 최소 값이다. Cs 는 민감도를 결정하는 상수 값이며, 0.1~0.2 의 값이 적절한 것으로 확인 되었다. 이 기법은 특성치를 이용한 여타의 upwind 방식의 고차 수치해석 기법보다 효율적이 며 적용이 용이한 장점이 있다. C6SF 기법과 캐비 테이션 소음 직접수치모사에 대한 보다 자세한 정 보는 참고문헌[4]에서 찾을 수 있다.
3. 캐비테이션 소음 모델링
Fitzpatrik and Strasberg 는 단일 구형 기포에 의 해 발생하는 소음을 다음과 같이 모델링 하였다 [2,6].
2
' 2
4
l d VB
p r dt ρ
= π (7)
이는 기포의 체적 가속(volume acceleration)에 의한 단극자 소음으로 볼 수 있다. 일반적인 형태를 가 지는 bubble cloud 에 대하여 기포의 체적은 다음 과 같이 void fraction 의 체적 적분 형태로 나타낼 수 있다.
B V
V =∫ αdV (8)
여기서 void fraction 은 다양한 캐비테이션 모델을 사용한 캐비테이션 유동장 시뮬레이션을 통해 일 반적으로 얻어 질 수 있다. 따라서 체적 가속은 void fraction 의 이차미분 값으로 나타낼 수 있다.
Void fraction 의 이차미분 값을 원천항으로 하는 단극자 소음은 음향 상사 이론을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
2 0
4 ' 2 V
ret
p d dV
r dt
ρ α
π = ⎢⎡ ⎤⎥
⎣ ⎦
∫ (9)
위 식에서 ‘ret’는 도달 시간, t-r/c0 에서 계산한 값 을 나타낸다. 또한 물체 주위의 캐비테이션 소음 에는 기포의 붕괴로 인한 충격이 물체 표면에 가 하는 압력에 의해 발생하는 쌍극자 소음(dipole noise)도 포함된다고 볼 수 있으므로 이를 포함하 면 다음과 같은 식을 얻는다.
2 0
2
0
4 ' cos
V S
ret ret
I II
d dp
p dV dS
r dt c r dt
ρ α θ
π = ⎡⎢ ⎤⎥ + ⎢⎡ ⎤⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
(10)
위 식에서 I 항은 bubble cloud 붕괴에 의해 발생하 는 단극자 소음을, II 항은 물체 표면 충격에 의해 발생하는 쌍극자 소음을 나타내며 표면 적분은 물 체 표면에 대하여 수행한다. 위 식 (10) 가 음향 상사이론을 이용한 캐비테이션 소음 예측 식으로, 물체 표면의 압력과 주변의 void fraction 변화 정보 로부터 원음장 에서의 캐비테이션 소음을 예측할 수 있다.
4. 결과 및 고찰
4.1 2 차원 원형실린더 주위의 캐비테이션 유동 본 논문에서 제안한 캐비테이션 소음 예측 식 을 검증 및 평가 하기 위하여 2 차원 원형실린더 주위에서 발생하는 캐비테이션 유동을 고려하였다.
본 절에서는 우선 캐비테이션 소음 직접수치모사 방법으로 2 차원 원형실린더 주위의 유동장 및 소 음장 결과를 얻어내었다.
실린더 주위의 유동은 α0=0.01 의 미세기포가 포함된 이상유동이며 293K 의 등온 상태이다. 입 구 유속 10m/s 이고 3 차원 효과 및 난류의 영향 을 제외하기 위하여 유동의 레이놀즈 수 는 ReD=200 으로 제한 하였다. 캐비테이션 수 (cavitation number)는 다음과 같이 정의되며,
0 2
0.5 0 0
p pv
σ u ρ
= − (11)
캐비테이션이 발생하는 경우인, σ=1,0.7 에 대하여 계산을 수행하였다.
그림1 은 실린더 주위의 순간 void fraction 분포
Fig. 1 Void fraction distribution for cavitating flows over a 2D circular cylinder.
-1 0 1
CL
CD σ= 1
tu0/D
250 300
-1 0 1
CL
CD σ= 0.7
Fig. 2 Drag and lift coefficients
를 나타낸 것이다. 그림에서 볼 수 있는 것처럼 캐비테이션 기포가 와류 박리와 함께 발생하고 있 다. Void fraction 분포는 와류 위치와 거의 일치하는 데 이는 낮은 압력이 와류 유동에 의해 발생하기 때문이다. 따라서 이 bubble cloud 는 와류가 분리 됨에 따라 표면에서부터 떨어져나가게 되고, 분리 된 와류와 함께 이동하게 된다. 이 분리된 sub- cloud 는 곧 높은 압력에 노출되며 이에 따라 붕 괴되어 강한 충격파를 발생 시킨다. 그림 2 는 시 간에 따른 항력/양력 계수의 변화를 보여준다. σ=1
b)
Fig. 3 Pressure fluctuation fields for various cavitation numbers: a) σ = 1, and b) σ = 0.7; normalized by ρ0u02.
의 경우에서 볼 수 있는 것처럼 갑작스런 기포의 붕괴가 만든 충격파가 물체 표면에 충격을 가하고 있음을 확인할 수 있다. σ=0.7 의 경우는 이러한 기포의 붕괴가 보다 후류 에서 일어 나고 있기 때 문에 물체의 공력 계수 자체에는 비교적 작은 영 향을 미치고 있다.
기포 붕괴에 의해 발생한 충격파와 이의 전파 에 의한 캐비테이션 소음장이 그림 3 에 나타나 있 다. 일반적인 실린더 주위의 소음장과는 매우 다 르게 단극자 소음의 특징을 나타내고 있으며 충격 파의 전파가 뚜렷히 나타나고 있다. 실린더 표면 으로부터 r=70D 떨어진 위치에서의 음향 압력 요 동이 그림 4 에 나타나 있으며 이를 주파수 분석한 PSD(power spectral density)가 그림 5 에 나타나 있 다. 그림에서 볼 수 있는 것처럼 매우 뾰족한 형 태의 음향파의 형상이 나타나 있는데, 이는 캐비 테이션 소음의 전형적인 특성이다. 또한 현재의 캐비테이션 소음은 실린더 윗면과 아랫면의 반복
p’/ρ0u0
2
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
σ= 1
tu0/D p’/ρ0u0
2
250 300
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02
σ= 0.7
Fig. 4 Pressure fluctuations monitored at r=70D; non- dimensionalized by ρ0u02.
a) St
PSD
0.5 1 1.5 2
10-18 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2
b) St
PSD
0.5 1 1.5 2
10-18 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2
Fig. 5 Power spectral densities of normalized pressure fluctuations at r=70D; a) σ = 1, and b) σ = 0.7, pressure is non-dimensionalized by ρ0u02 and St
= fu0/D.
적인 기포 붕괴에 의해 발생하기 때문에 그 주기 가 와류 분리 주기의 반으로 나타난다. PSD 에서 첫번째 피크는 와류분리 주파수에 나타나 있으며,
a) St
PSD
0.5 1 1.5 2
10-18 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2
b) St
PSD
0.5 1 1.5 2
10-18 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2
Fig. 6 Power spectral densities of normalized acoustic pressure fluctuations at r=70D, a) case 2 (σ=1), b) case 3 (σ=0.7); - : direct computation, --: Eq.
(10), pressure is non-dimensionalized by ρ0u02
and St = fu0/D.
보다 큰 두번째 피크는 이의 2 배인 기포 붕괴 주 파수에 나타나 있다.
4.2 모델을 이용한 캐비테이션 소음 예측 본 논문에서 제안한 캐비테이션 소음 예측 식 은 식(10) 를 이용하여 원음장 에서의 캐비테이션 소음을 예측하였다. 소음원 계산에 필요한 void fraction 과 표면 압력은 4.1 절의 직접수치모사 결 과로부터 얻어내었다. 직접수치모사의 소음장 결 과와 비교를 위하여, r=70D 위치에서의 소음을 예 측하였다.
식(10)를 이용해 예측한 캐비테이션 소음의 PSD 를 앞절의 직접수치모사 결과의 PSD 와 비교 하여 그림 6 에 나타내었다. 그림에서 볼 수 있는 것처럼 두 결과가 매우 잘 일치하고 있다. 전체적 인 스펙트럼의 형상이 매우 유사하며, 특히 σ=1 인 경우는 첫번째와 두번째 피크 모두 정량적으로 일치하고 있다. σ=0.7 의 경우에 나타나는 약간의
a) St
PSD
0.5 1 1.5 2
10-18 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2
b) St
PSD
0.5 1 1.5 2
10-18 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2
Fig. 7 Power spectral densities of normalized acoustic pressure fluctuations at r=70D, a) case 2 (σ=1), b) case 3 (σ=0.7); - : monopole noise by bubble collapsing, --: surface dipole noise, slope is f-2. 불일치는, 이 캐비테이션 수 조건에서 보다 큰 기 포 영역이 발생하여 이에 의한 근음장에서의 비선 형적인 효과가 식(10)에서는 고려되지 않았기 때 문으로 추측된다. 직접수치모사 결과의 고주파 cut-off 는 직접수치모사에 사용된 격자의 해상도 때문에 발생한 것이다. 이 비교 결과를 통하여 식 (10)가 매우 높은 정확도로 캐비테이션 소음을 예 측할 수 있음을 확인할 수 있다.
앞 절에서 언급한 바와 같이 실린더 주위에서 발생하는 캐비테이션 소음은 기포의 붕괴에 의한 단극자 소음과 물체 표면의 충격력에 의한 쌍극자 소음으로 이루어져 있다. 이는 식(10)의 I 항과 II 항으로 각각 나타내어 지는데, 각 소음원의 강도 를 분석하기 위하여 이 두 소음을 분리하여 살펴 보았다. 그림 7 에는 이 두 소음 요소가 각각 나 타나 있다. 앞 절에서 살펴본 바와 같이 기포 붕 괴 단극자 소음의 피크는 와류 분리 주파수의 두 배 되는 주파수에서 나타나고 있고, 충격력에 의 한 쌍극자 소음은 역시 와류 분리 주파수에서 피
크가 나타나도 있다. 그러나 전반적으로는 기포 붕괴에 의한 소음 레벨이 더 크게 나타나고 있음 을 확인할 수 있다. σ=1 인 경우에는 기포 붕괴가 실린더로부터 가까운 지점에서 발생하고 있기 때 문에 충격력이 크게 나타난다. 이는 공력계수 변 화에서도 살펴 볼 수 있으며 따라서 쌍극자 소음 도 어느 정도 전체 소음레벨에 기여를 하고 있다.
반면 σ=0.7 의 경우는 기포 붕괴가 보다 후류에서 발생하기 때문에 물체 표면에 작용하는 충격력이 매우 작고, 따라서 이 경우 기포 붕괴에 의한 단 극자 소음이 지배적인 소음원으로 나타나고 있다.
또한 캐비테이션 소음의 특성 중 하나로 소음 스펙트럼의 고주파 영역이 주파수에 대하여 f-n으 로 감쇠하는 경향이 있다[6]. 이때 n 은 0.5~2 사이 의 값으로 많은 연구가 들에 의해 이론적, 실험적 으로 증명된 바 있다. 특히 f-2 는 Fitzpatrik and Strasberg 의 모델과 Rayleigh-Plesset 의 bubble dynamics 분석에서 유도되는 경향이다. 단일 bubble cloud 에서 발생하는 소음을 분석한 Wang and Brennen[7] 의 연구에서도 방사되는 소음의 스 펙트럼이 f-2 의 경향으로 감쇠하는 것이 확인되었 다. 따라서 그림 7 에 기포 붕괴에 의한 단극자 소 음에 대해 f-2 의 기울기를 나타내었다. 그림에서 확인할 수 있는 것처럼 식(4) 에 의한 예측된 캐 비테이션 소음이 f-2 의 감쇠 경향을 잘 따르고 있 는 것을 볼 수 있다.
5. 결 론
본 연구에서는 물체주위의 캐비테이션 소음 예 측을 위한 직접 수치 모사 기법과 음향 상사 이론 을 적용한 모델을 제안 하였다. 캐비테이션 소음 의 직접 수치 모사를 위하여 밀도 기반의 캐비테 이션 모델의 사용하였으며, 고차 수치해석 기법인 C6SF 기법을 적용하였다. C6SF 는 고차의 shock- capturing 기법으로 적용이 용이하며 효율적이다.
또한 본 연구에서 제안한 모델식은 Fitzpatrik and
Strasberg 의 단일 기포에 대한 소음 모델링 에 이 론적 기반을 두고 있으며, 기포 붕괴에 의한 단극 자 소음과 물체 표면 충격에 의한 쌍극자 소음에 대한 원천항을 포함하고 있다. 본 연구에서 제안 한 직접수치모사 기법 및 모델식의 검증을 위하여 2 차원 원형 실린더 주위에서 발생하는 캐비테이 션 소음을 두 가지 경우에 대해 직접 수치 모사 하였으며 원음장 에서의 캐비테이션 소음을 예측 하였다. 직접수치모사에 의한 캐비테이션 소음 결 과를 본 연구에서 제안한 모델 식으로 예측한 결 과와 면밀히 비교하였으며 두 결과가 잘 일치함은 물론 캐비테이션 소음 이론과도 잘 부합함을 확인 하였다.
참고문헌
(1) Resiman, G. E., McKenney, E. A., and Brennen, C.
E., 1994, “Cloud Cavitation on an Oscillating Hydrofoil,” Proc. of the 20th ONR Symposium on Naval Hydrodynamic.
(2) Fitzpatrik, H. M. and Strasberg, M., 1956,
“Hydrodynamic Source of Sound,” Proc. of the First ONR Symposium on Naval Hydrodynamic.
(3) Shin, B. R., Iwata, Y., and Ikohagi, T., 2003,
“Numerical Simulation of Unsteady Cavitating Flows using a Homogeneous Equilibrium Model,”
Computational Mechanics, Vol. 30, pp. 388-395.
(4) Seo, J. H., Moon, Y. J., and Shin, B. R., 2007,
“Direct Simulation of Cavitating Flow Noise,” The 13th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conference.
(5) Lele, S. K., 1992, “Compact Finite Difference Schemes with Spectral-like Resolution,” Journal of Computational Physics, Vol. 103, pp. 16-42.
(6) Brennen, C. E., 1995, “Cavitation and Bubble Dynamics,” Oxford University Press, New York.
(7) Wang, Y. C. and Brennen, C. E., 1999, “Numerical Computation of Shock Waves in Spherical Cloud of Cavitation Bubbles,” ASME Journal of Fluid Engineering, Vol. 121.
