Investigation for the Characteristics of Cavitation Modeling for Computational Fluid Dynamics

전산유체역학을 위한 공동모델의 특성 조사

박선호¹․ 이신형^2,†

서울대학교 대학원 조선해양공학과¹

서울대학교 조선해양공학과 해양시스템공학연구소²

Investigation for the Characteristics of Cavitation Modeling for Computational Fluid Dynamics

Sunho Park

․ Shin-Hyung Rhee

Department of Naval Architecture and Ocean Engineering, Seoul National University, Seoul, Korea

Department of Naval Architecture and Ocean Engineering, Research Institute of Marine Systems Engineering, Seoul National University, Seoul, Korea

Abstract

Cavitation is one of the most difficult physical phenomena to understand and predict. Many experimental and computational studies have been conducted for better understanding of the phenomenon. Recently, with the rapid development of computing hardware capacity and numerical methods, considerable advancement is observed in prediction of cavitation using computational fluid dynamics. To that end, many cavitation models have been developed and reported. In the present paper, some of the distinguished cavitation models are categorized and reviewed in terms of the computational frame work and formulation of transport equations. Then those characteristics are compared with each other.

Keywords : Cavitation(공동), Cavitation Model(공동모델), CFD(전산유체역학)

1. 서 론

공동현상은 액체의 압력이 증기압보다 낮아지는 영역에서 액 체가 기체로 변화하는 물리적 현상으로 예측하고 이해하기 힘든 자연현상이다. 액체와 기체의 경계면은 일반적인 다상유동에서 관찰되는 현상으로 경계면의 형태에 따라 기포, 시트, 구름, 초 공 동으로 구분된다. 공동현상은 펌프, 터빈, 노즐, 추진기 등 많은 장 치 등에서 발생되고 있으며, 금속의 마모 및 침식을 유발하고 시 스템에 진동과 소음을 초래하는 등 많은 단점을 유발하여 공동현 상에 대한 이해 및 제어가 필요하다.

지난 세기와 금 세기 초에 걸쳐, 공동현상을 이해하고 해석하 기 위해 많은 실험적 연구가 진행되었고, 주된 변수인자에 대한 분석이 이루어졌다. 이를 바탕으로 공동현상을 수학적으로 모델 링 할 수 있는 방법들이 개발되었으며 다양한 수치해석에 사용되 고 있다. 최근 수치해석 기법 및 하드웨어의 발달로 인해 전산유 체역학에 기초한 연구가 활발히 진행되고 있다. 개발된 공동모델 들은 실험결과와의 비교검토를 통해 그 타당성 및 효용성을 입증 하였으며 만족할 만한 결과를 제시하였다. 그러나, 현재의 공동모 델들이 모든 자연현상에 적용하기에는 어려운 실정이다.

모델은 계산관점을 기준으로 Fig. 1과 같이 불연속체 접근 방 법과 연속체 접근 방식으로 나눌 수 있다. 불연속 접근 방법은 라

그란지안 관점에서 기포의 운동 방정식을 이용하여 궤적을 추적 하는 방법으로, Chahine(2004)이 추진기에 적용하였다. 연속체 접근방법은 Eulerian 관점에서 액체와 기체가 서로 침범하지 않 고 같은 속도로 움직이는 균질의 혼합물로 간주하고 이송방정식 을 이용하여 경계면을 정의하는 방법이다. Delannoy and Kueny (1990), Chen and Hester(1994)은 한 개의 상을 연속방정식으로 정의하고 공동의 발생을 밀도와 압력의 관계의 관계식인 barotropic 방정식으로 나타내었다. 이 방법은 조선 및 해양분야에서 많이 사 용되어 왔다. Kubota, et al.(1992), Merkle, et al.(1998), Kunz, et al.(1999), Ahuja, et al.(2001), Senocak and Shyy(2002),

Fig. 1 Category of cavitation models

Yuan, et al.(2001)은 각각의 상을 연속방정식으로 정의하고 기체 와 액체의 관계를 위한 별도의 이송 방정식을 사용하였다. 이송방 정식은 모델의 개발자마다 다르게 적용하였으며, 실험결과와 잘 일치하는 결과를 보여주고 있다.

국내에서는 공동모델의 개발보다는 공동현상에 대한 수치기법 및 실험을 통한 접근 방법이 주를 이루었다. Kim, et al.(1991, 1993)은 패널법을 이용하여 2차원 수중익과 3차원 프로펠러에 대해 공동현상을 수치적으로 접근하였으며, Ahn, et al.(2007)은 패널법을 이용하여 3차원 프로펠러의 흡입면에 발생하는 공동문 제에 대해 수치계산하고 모형시험과 비교하였다.

본 논문에서는 공동 현상에 대해 광범위하게 많이 사용되고 실 험과의 비교 등을 통해 그 효용성이 입증된 공동모델에 대해서 특성을 알아보고 그 차이점을 비교하였다.

2. 공동모델

2.1 Delannoy와 Kueny(1990)의 모델

Delannoy and Kueny(1990)는 밀도를 압력의 함수로 나타내 는 barotropic 방정식을 사용하여 캐비테이션을 표현하였다. 액체 와 기체의 밀도를 최대 기울기가 이상 혼합물의 음속을 나타낼 수 있도록 싸인 함수를 사용하였다. 계산은 Navier-Stokes 방정 식이 아닌 Euler 방정식을 이용하여 벽면 근처의 유동을 잘 포착 하지 못하는 단점이 있다. 또한, barotropic 모델은 경계면에서 상 들 간의 미끄러짐 속도가 없는 것으로 가정하기 때문에 경계면에 서의 항력을 고려해야 한다. 기체와 액체의 밀도비가 1:10^-5로 되 어야 하나 본 계산에서는 1:10^-2로 제한되어 있어서 실험 결과와 약 2배 이상 차이를 나타낸다.

2.2 Kubota 등(1992)의 모델

Kubota, et al.(1992)은 BTF(bubble two-phase flow) 모델 개 념을 공동현상에 적용하였다. 거시적 관점에서 공동의 안과 밖을 한 개의 연속체로 간주하였으며, 이로 인해 밀도의 변화를 고려할 수 있는 압축성 점성 유체에 적용 가능하게 개발하였다. 미시적 관점에서는 기포의 밀도와 반지름을 가정하여 균질의 기포 집단 으로 공동을 처리하는 단순한 LHM(local homogeneous model) 이 개발되었다. BTF 모델은 혼합물의 밀도를 액체와 기체의 혼합 물로 간주하므로, 기포를 포함하는 액체의 밀도를 식 (1)과 같이 정 의한다. 한편, LHM의 정의로부터 국부적인 체적비인 fg를 식 (2) 와 같이 기포의 밀도와 반경의 식으로 표현하였다. LHM 방정식 은 식 (3)과 같으며, R은 기포의 반경, r은 기포간의 거리, PV는 기 체의 압력을 나타낸다.

(1)

(2)

(3)

저자들은 개발된 모델의 검증을 위하여 NACA0015 날개에 대 해 받음각 0, 8, 20°에서 계산을 하였다. 레이놀즈수는 입구의 속 도와 날개의 코드 길이를 기준으로 3×10⁵이며, 난류모델은 고려 하지 않았다. 실험과 계산의 비교를 통해 BTF 모델이 Fig. 2와 같 이 보오텍스 캐비테이션이 정량적으로 일치하는 결과를 얻었으며, 박리로부터 야기되는 큰 스케일의 보오텍스를 잘 구현하였다. 그 러나, 기포의 분포, 경계면에서의 물성치, 격자계에 대한 연구가 더 진행될 필요가 있다.

(a) Experiment

(b) Calculation

Fig. 2 Cavitation on NACA0015(Kubota et al.(1992))

2.3 Chen과 Hester(1994)의 모델

Chen and Hester(1994)은 액체의 압력이 기체의 압력과 같 아지는 위치를 경계면으로 간주하여 계산하는 barotropic 방정식 을 사용하였다. Delannoy and Kueny(1990)과는 달리 Navier- Stoks 방정식을 이산화하여 점성을 고려하였다. Barotropic 모델 은 공동이 발생한 후에 압력이 회복되어 공동이 없어지는 위치를 제대로 포착하지 못하는 문제점이 있다. 물리적인 관점에서 보면 re-entrance jet에 의해 압력이 회복되어 공동이 사라지게 되는 데, 모델에 이를 반영하기 위해 wake 모델을 선택하였다. Wake 모델에서는 압력이 일정하지 않은 유선을 구현할 수 있으므로, 기 포의 크기가 최대 직경의 반으로 줄어들면 유선이 공동이나 물체 의 벽에 원호로 부착되도록 하였다. 이 원호는 액체와 기체의 경 계면이 아니기 때문에 기포의 경계는 원호를 바탕으로 전단력이

없어지는 위치를 경계면으로 재정의 하였다.

검증을 위해서는 선단이 반구, 원뿔, 맞보로 이루어진 원기둥 형상에 대해 캐비테이션 모델을 적용하였다. 레이놀즈수 1.36×10⁵ 에서 계산하였고, 난류모델은 고려하지 않았다. 캐비테이션 수 0.2, 0.3, 0.4와 격자 수 100×50, 75×35, 49×24(물체수직방향×물체 표면방향)에 대해 공동 및 압력분포에 대한 영향을 검토하였다.

벽면에서의 압력 분포 및 공동의 크기에 대한 계산결과를 Fig. 3 과 4에 나타내었고, 실험결과와 잘 일치하는 것을 알 수 있다.

Fig. 3 Pressure distribution for hemisphere headform body(Chen and Hester(1994))

Fig. 4 Bubble shapes for hemisphere headform body (Chen and Hester(1994))

2.4 Merkle 등(1998)의 모델

Merkle, et al.(1998)은 공동현상이 발생하는 영역을 액체, 응 축 증기, 비응축 기체로 구분하였고, 이들의 동적, 열적 관계식을 이용하여 공동현상을 모델링하였다(실제 10ppm정도의 작은 양 의 비응축 기체도 기계의 성능에 많은 영향을 초래한다.). 액체와 기체의 연속방정식을 고려하였고, 증발과 응축간의 질량 변화를 생성항으로 고려하였다. 많은 모델들이 증기의 체적비로 공동모 델을 표현한 것과는 달리 증기의 질량비로 공동모델을 표현하였 다. 수렴을 위해서 경계면에서의 밀도변화에 대해 비물리적인 시 간으로 미분을 하는 계산 방법을 채택하였다.

기포의 생성 및 소멸을 표현하는 이송 방정식은 식 (4)와 같다.

여기서, Cdest와 Cprod는 각각 1.0과 8.0으로 기포의 응축과 생성 항에 반영되는 계수이다. Lch는 물체의 특징적인 길이를 나타낸다.

2차원 Navier-Stokes 방정식과 난류모델을 고려하였다.

(4)

검증용 문제로 받음각 4°를 갖는 NACA66 날개에 대해 레이 놀즈수 7.5×10⁴, 캐비테이션 수 1.0, 0.91에서 계산하였다. 계산영 역을 48개의 블록으로 구성하였고, 20,00개의 격자를 사용하였 다. 액체와 기포의 밀도비로 100:1을 사용하였다. Fig. 5와 6은 계 산결과를 나타낸다. Fig. 5는 여러 개의 블록으로 구성된 격자계 와 날개에서의 밀도 및 압력분포를 나타낸다. Fig. 6은 캐비테이 션수 0.91, 1.0, 받음각 4°에서의 압력분포를 나타낸다. 계산결과 를 Shen and Dimotakis (1989)의 실험결과와 비교하였다. 캐비 테이션이 발생하는 위치가 실험결과와 다소 차이가 나는 것을 알 수 있다.

Fig. 5 Density and pressure distribution on NACA66 at α=4 deg., and σ=0.91(Merkle, et al.(1998))

Fig. 6 Comparison of predicted surface pressure dis- tribution with experimental results(symbols)(Merkle, et al.(1998))

2.5 Kunz 등(1999)의 모델

Kunz, et al.(1999)은 공동모델을 액체 부피비에 관한 이송방 정식, 응축되지 않는 기체 및 혼합체에 관한 방정식 3개로 구성하 였다. Merkle, et al.(1998)이 사용한 질량비 대신 부피비를 사용 하였다. 각 상에서의 밀도는 일정하다고 가정하였으며, 비정상상 태 해석을 위해 물리적인 시간 미분이 포함되어 있다. 계산의 안 정적인 수렴을 위해서 가상의 시간개념을 도입하여 방법을 구체 적으로 기술하였으며 방정식에 포함시켰다.

식 (5)는 사용된 이송방정식을 나타낸다. Hohenberg and Halperin(1977)가 제시한 식을 간략화하여 기체에서 액체로의 상 변화를 CpordρLαL2(1-αL)/(Lch/U∞) 로 표현하였다. 2개의 연속방정 식과 증기 부피비로 방정식을 구성하였다. 여기서, Cdest와 Cprod

는 실험결과를 이용하여 각각 0.2로 계수를 선정하였다. 난류해석 을 위해서는 k-ε 난류모델과 벽함수를 적용하였다. 검증용으로 선 단이 반구, 원뿔, 뭉툭한 모양의 원기둥 형상에 대해 캐비테이션 수를 달리하면서 계산을 하였다. 레이놀즈수 1.36×10⁵에서 계산 하였으며, 격자 의존도를 검토하기 위해서 65×17, 129×33, 257×

65(물체표면방향×물체수직방향)의 격자계를 사용하였다.

(5)

Fig. 7과 8에서와 같이 선단이 반구 형상인 실린더에 대해서는 여러 캐비테이션 수에서 압력분포가 이론값과 수치해석 결과가 잘 일치하는 것을 알 수 있다. 반면 선단이 원뿔과 뭉툭한 모양의 원기둥에서는 이론값과 수치해석 결과가 다소 차이점을 나타내는 것을 알 수 있다. 이는 난류모델과 복잡한 형상에서 캐비테이션이 불안정하기 때문으로 판단된다. 또한, 3차원에 원기둥에 대해서는 받음각을 달리하면서 캐비테이션에 대한 해석을 하였다.

2.6 Ahuja 등(2001)의 모델

Ahuja, et al.(2001)은 음향학적으로 완전한 이상 형태의 혼합 물에 관한 방정식을 이끌어내기 위해서 음속을 사용하였다. 이 모 델은 기체와 액체 각각의 상에 대해 밀도 미분의 형식으로 음속 을 정의하였으며, 계산 시스템의 안정을 위해 가상의 시간 개념을 도입하였다. 따라서 다상현상에서 열역학과 음향학적으로 완전한 압축성 공동모델을 개발하였다.

3차원 Navier-stokes 방정식과 k-ε 난류모델을 정렬과 비정렬 격자계에 적용하였로, 이송방정식을 식 (6)으로 나타내었다. 여기 서, τf는 기체 상태에 대한 상수를 나타내고, τb는 액체 상태로 다 시 돌아갈 때의 상수를 나타낸다. 오른쪽 항의 첫번째 식은 압력 이 국부적으로 증기압보다 낮아지는 영역에서 액체로부터 생성된 기체에 관한 변화율을 나타내고, 두번째 식은 첫번째 식과는 반대 로 증기압보다 높아진 영역에서 기체가 다시 액체상태로 변화하 는 것에 변화율을 나타낸다. 식 (7)은 등온 음속으로 정의 한 혼합

(a) hemispherical headform body

(b) blunt headform body

Fig. 7 Comparison of predicted and measured surface pressure distributions at several cavitation numbers (Kunz, et al.(1999))

(a) hemispherical headform body

(b) blunt headform body

Fig. 8 Predicted liquid volume fraction and surface pressure contours, selected streamlines and computational grid(σ=0.3)(Kunz, et al.(1999))

물의 밀도를 나타낸다. 여기서, ρm, ρL, ρv는 혼합물, 액체, 증기의 밀도를 나타내고, cL, cv는 등온조건에서의 액체와 증기의 음속을 나타낸다. 개발된 모델의 검증을 위해 선단이 반구인 원기둥 형상 에 대해서는 정렬 격자를 이용하여 레이놀즈수 1.36×10⁵에서 계 산하였고, NACA66 날개에 대해서는 비정렬 격자를 이용하여 레 이놀즈수 2×10⁶에서 계산하였다.

(6)

(7)

Fig. 9는 정렬 격자를 이용하여 선단이 반구인 원기둥 형상에 대해 캐비테이션 수를 0.2, 0.3, 0.4로 달리하면서 계산한 결과를 나타낸다. 캐비테이션 수 0.3, 0.4에서는 캐비테이션 영역과 표면의

(a) structured grid

(b) cavitation zone and pressure profile

Fig. 9 Cavitation zone and surface pressure profile at various cavitation numbers for hemisphere head- form body (Ahuja, et al.(2001))

압력분포가 실험과 거의 동일한 것을 알 수 있다. 반면 캐비테이 션 수 0.2에서는 캐비테이션 영역이 다소 크게 계산되었는데 격 자계의 영향으로 판단된다. Fig. 10은 비정렬 격자를 이용하여 NACA66 날개에 대해 레이놀즈 수 2×10⁶에서 캐비테이션 수를 0.91과 0.84로 달리하면서 계산한 결과를 나타낸다. Singhal, et al.(1997)의 계산결과와 거의 같게 계산되었으나 실험결과와는 다 소 차이가 있는 것을 알 수 있다. 계산의 정확도를 높이기 위해 격자계, 난류모델, 이상의 경계면에 대한 보다 깊은 연구를 제기 하였다.

(a) unstructured grid

(b) cavitation zone and pressure profile at cavitation number of 0.84

(c) cavitation zone and pressure profile at cavitation number of 0.91

Fig. 10 Cavitation zone and surface pressure profile at various cavitation numbers for NACA66 hydrofoil (Ahuja, et al.(2001))

2.7 Senocak과 Shyy(2002)의 모델

Senocak and Shyy(2002)은 Navier-Stokes 방정식과 질량 이송 방정식을 이용하여 액체와 기체의 압력과 공동 내부의 압력 회복을 계산하였다. 압력수정 방정식에 압력-속도-밀도 결합방식 을 적용하였고, 공동 영역에서는 상류 밀도 차분을 적용하였다.

압력-속도-밀도 결합 계산은 공동에 의해 야기되는 밀도의 변화 를 계산하는데 적합하다. 반면 압력 기반 계산은 연속 및 운동량 방정식을 계산하여 압력을 계산하기 때문에 공동에 의한 밀도 변 화를 계산하는데 적합하지 않다. 각각의 방정식은 정상상태로 계 산되었다.

열역학적 운동학적 상변화 시스템을 설명하는 이송방정식은 식 (8)을 사용하였다. 여기서, VV,n과 V1,n은 각각 경계면에서의 증 기와 액체의 수직방향 벡터를 나타낸다. 다른 모델들에서 사용한 Cdest와 Cprod 대신 경계면에서의 수직방향 벡터 개념을 도입하였 다. 표면장력과 부력은 Weber 수와 Froude 수가 크기 때문에 무 시하였다. k-ε 난류모델을 사용하였다.

(8)

검증을 위해서는 선단이 반구인 원기둥 형상, NACA66 날개, 노즐에 대해 모델을 적용하였다. 개발된 모델의 성능을 Merkle, et al.(1998), Kunz, et al.(1999), Singhal, et al.(2002)의 모델과 비교하였다.

선단이 반구인 원기둥에 대해 레이놀즈수 1.36×10⁵, 캐비테이 션 수 0.3에서 계산하였다. Fig. 11은 4개의 모델로 계산한 밀도 및 와도 분포를 나타낸다. 경계면 형상을 보면 캐비테이션이 끝나 는 물체의 위치와 끝 부분의 뽀족한 부분 형상이 서로 다른 것을 알 수 있다. Fig. 12는 레이놀즈 수 2×10⁶, 캐비테이션 수 0.9와

Fig. 11 Cavitating region. On the left is the density distribution; on the right is the span-wise vorticity distribution(model 1: Merkle, et al.(1998), model 2: Kunz, et al.(1999), model 3: Singhal, et al.(2002))(Senocak and shyy(2002))

(a) Cavitation number = 0.9

(b) Cavitation number: 0.84

Fig. 12 Comparison of surface pressure distribution.

Experimental data is from Shen and Dimotakis (1989)(model 1: Merkle, et al.(1998), model 2:

Kunz, et al.(1999), model3: Singhal, et al. (2002)) (Senocak and shyy(2002))

0.84에서 NACA66Mod 날개에 대해 계산한 결과를 나타낸다.

캐비테이션이 끝나는 부분에서 개발된 모델의 압축성 효과로 인 해 다른 모델과 다른 현상이 나타난다.

NACA66 날개에 대해 레이놀즈수 2×10⁶, 캐비테이션 수 0.84, 0.91에서 계산하였다. 2종류의 격자 형상에 대해 y+의 크기에 따 른 영향을 검토하였다. Fig. 11은 캐비테이션 수 0.84, 0.91에서의 실험 및 계산결과를 나타낸다. 물체 표면에서는 계산결과가 실험 결과와 잘 일치하는 것을 볼 수 있다. 그러나 선단이 반구인 원기 둥 형상과 동일하게 캐비테이션이 끝나는 위치에서 서로 결과가 다른 것을 알 수 있다. 이와 같은 차이는 모델에서 유체의 압축성 능을 서로 다르게 표현했기 때문에 발생한 결과로 판단된다.

2.8 Singhal 등(2002)의 모델

Singhal, et al.(2002)은 난류와 비응축 기체의 영향을 고려하 여 캐비테이션 영역을 모델링하였다. 액체와 기체, 두 개의 상의 연속방정식을 고려하였고, 증발과 응축을 포함하는 증기 질량비 로 구성된 이송방정식을 고려하였다. 증발과 응축항은 Rayleigh- Plesset 방정식에 난류와 비응축 기체의 영향을 고려하여 유도되 었다. 이 항은 압력, 속도, 난류와 같은 국부적인 흐름과 포화 압 력, 밀도, 표면장력과 같은 유체의 물성치에 종속되어 있다. Singhal, et al.(2002)의 모델은 상용 CFD 소프트웨어인 CFD-ACE+에 사

용되고 있다.

식 (9)는 이송방정식을 나타낸다. 식 (10)과 같이 상변화 압력 에 난류의 영향이 포함되어 있으며, 난류의 영향을 표현하기 위해 확률밀도함수로 하였다. 식 (11)은 혼합물의 밀도를 나타낸다. 여 기서 아래첨자, v, g, L은 증기, 비응축 기체, 액체를 나타낸다. k 는 난류 운동에너지를 나타내고, σ는 표면장력을 나타낸다. Ccond

와 Cvap는 각각 0.1과 0.2를 사용하였다. 비응축 기체의 밀도 ρg는 이상기체 상태방정식으로부터 계산할 수 있다. 물성치는 온도 300 K에서의 값을 사용하였으며, 포화 증기압은 3540 Pa, 표면장력 은 0.0717 N/m를 사용하였다. 대류항은 2차 상류차분을 이용하 였으며, 입구와 출구에서의 비응축 기체의 양으로 1ppm을 사용 하였다.

(9)

(10)

(11)

개발된 모델의 검증을 위해서 모델을 날개와 선단이 원뿔과 뭉 툭한 형상으로 이루어진 원기둥 형상에 적용하였다. 날개에 대해 서는 전연과 중간위치에서의 캐비테이션 발생에 대해 계산하였고, 계산결과는 Shen and Dimotakis(1989)의 실험결과와 비교하였 다. 날개 전연에서 발생하는 캐비테이션 계산은 레이놀즈수 2×

10⁶, 받음각 4°, 캐비테이션 수 1.76, 1.0, 0.91, 0.84 조건에서 하 였다. 날개 중간에서 발생하는 캐비테이션 계산은 레이놀즈수 3×

10⁶, 받음각 1°, 캐비테이션 수 0.43, 0.38, 0.34에서 하였으며, 계 산결과를 Fig. 13에 나타내었다. 또한, 격자를 달리하면서 격자의 민감도를 검토하였다.

선단이 원뿔로 이루어진 원기둥 형상에 대해 계산하였고, 계산 결과를 Rouse and McNown(1948)의 실험결과와 비교하였다.

격자수 61×39과 124×39(물체표면방향×모델수직방향)에 대해 격 자 의존도를 검토하였고, 계산결과 압력계수가 1% 미만으로 변화 되었다. 캐비테이션 수 0.3, 0.4, 0.5, 0.7, 1.0, 1.3에서 계산하였으 며, Fig. 14는 캐비테이션 수 0.91, 0.43에서의 결과를 나타낸다.

실험결과와 잘 일치하는 것을 알 수 있다.

계산의 정확도 향상을 위해서는 온도의 효과와 캐비테이션에 의한 손상을 예측하는 방법에 대한 개선이 필요하다.

2.9 Yuan 등(2001)의 모델

Yuan, et al.(2001)은 기포의 크기가 시간 및 공간과 연계되어 변화하는 기포 성장 모델을 제시하였다. 상변화가 발생하면 유동 이 생기며, 이를 위해 기포의 성장과 붕괴 모델이 포함된다. 점성

(a) Leading edge cavitation

(b) Mid-chord edge cavitation

Fig. 13 Pressure variation on the suction side of a hydrofoil(Singhal, et al.(2002))

(a) Cavitation number=0.3

(b) Cavitation number=1.0

Fig. 14 Comparison between computed and measured Cp over a conical headform body(Singhal, et al.

(2002))

과 난류의 영향뿐만 아니라 혼합물의 밀도에 대한 새로운 구성 방정식을 필요로 한다. Yuan, et al.(2001)의 모델은 상용 CFD 소 프트웨어인 Fluent에 사용되고 있다.

기포 성장 모델은 식 (12)와 같은 작은 구형 기포로 이루어진 기체비율, 식 (13)과 같은 기포 성장 모델(Rayleigh 관계식), 식 (14) 과 같은 기체 생성비, 식(15)와 같은 이송방정식으로 구성되어 있 다. 여기서, α는 기체비율, R은 기포의 크기, no는 순수한 액체의 단위 부피에 포함된 입자들의 집중도를 나타내며, ρL은 액체의 밀 도, P(R) 기포의 경계에서의 압력 즉 증기압력 Pvap와 P∞가 평형을 이룰 때의 압력을 나타내고, P∞는 물체로부터 멀리 떨어진 곳의 압력을 나타낸다. k-w 난류모델과 벽함수를 사용하였다. 모델을 검증하기 위해 Fig. 15(a)와 같이 Roosen, et al. (1996)의 2차원 노즐에 대한 실험 결과와 비교하였다. 입구 경계면에서의 난류 운 동에너지 k는 6×10^-4u²in로 계산하였다. 계산영역의 격자계는 95×

13(물체표면방향×물체수직방향)개로 구성하였다.

(12)

(13)

(14)

(15)

(a) Experiment

(b) Calculation.(n0=1.0×10¹⁴ nuclei ․ m^-3 water)

(c) Calculation.(n0=2.0×10¹⁴ nuclei ․ m^-3 water) Fig. 15 Cavitation on 2-D plane injector nozzle. Experi-

mental data are from Roosen, et al.(1948)(Yuan, et al.(2001))

실험결과와의 비교를 통해 no에 대한 최적화된 수치를 계산하 였다. 계산결과를 바탕으로 액체의 입자들의 반경, 점성 및 난류, 물체의 형상에 대한 영향을 검토하였다. 캐비테이션과 박리 계산 에 대한 정확도를 향상시키기 위해서는 난류모델의 검토가 선행 될 필요가 있다.

2.10 Zwart 등(2004)의 모델

이 모델은 캐비테이션에 의한 질량 변화와 액체와 기체상의 방 정식을 기반으로 한다. 질량변화율은 Rayleigh-plesset 방정식을 사용하여 유도하였다. 이 모델은 상용 CFD 소프트웨어인 CFX에 사용되고 있다.

식 (12)는 이송방정식을 나타낸다. 여기서, αnuc is the는 단위 체적안에 있는 입자들의 비율을 나타내고, R은 기포의 반경을 나 타낸다. 기포의 생성을 모사하기 위해 기포 생성시는 αnuc(1-αV)를 사용하였다. 이송방정식에 사용된 계수는 R=10^-6m, αnuc=5×10^-4, Cvap=50, and Ccond=0.01를 사용하였다. 비정상류에 대해 3차원 Navier-Stokes 방정식을 이산화 하였다. 난류모델로는 k-w 난류 모델을 사용하였다.

(16)

모델의 검증을 위해 다양한 범위의 캐비테이션 수와 여러 유체 에 대해 캐비테이션 모델을 적용하였다. 날개, 인듀서, 벤츄리관에 서 발생하는 캐비테이션에 대해 계산하였다.

날개에 대해 받음각 1°, 캐비테이션 수 0.43, 0.38, 0.34, 레이 놀즈수 3×10⁶에서 계산하였다. Fig. 16은 계산과 실험결과를 나타 내고, 계산결과가 실험과 잘 일치하는 것을 알 수 있다. 날개에 대해

Fig. 16 Comparison of experimental and computed surface pressure coefficients for midchord cavitation on hydrofoil for three cavitation numbers(Zwart, et al.(2004))

Fig. 17 Comparison of experimental and computed surface pressure coefficients for leading edge cavitation on hydrofoil for three cavitation numbers(Zwart, et al.(2004))

받음각 4°, 캐비테이션 수 1.00, 0.91, 0.84, 레이놀즈수 2×10⁶에 서 계산하였다. Fig. 17은 계산결과를 나타낸다. 코드 중간에서 발 생하는 캐비테이션에서는 실험결과와 잘 일치하였으나, 전연에서 발생하는 캐비테이션은 실험에 비해 작게 계산되는 것을 알 수 있다.

2.11 Shin 등(2003)의 모델

캐비테이션을 지배하는 제 1인자가 압축성 효과에 있음을 착안 하여 국소균질모델의 개념에 입각하여 모델을 개발하였다. 기체 와 액체의 이상 매체를 국소적으로 유한한 기체 체적분율을 갖는 균질의 단상매체로 취급하고 압축성 계산해법을 응용하여 유동장 전체를 일괄하여 계산한다. 시간 및 공간해상도를 2차 정확도의 TVD 스킴을 적용하였다.

Chen and Cpollins(1971)이 제안한 순수한 물에서의 상태방정 식과 이상기체의 상태방정식을 고려하고 기상 및 액상의 압력과 온도가 평형상태에 있다고 가정하면 식 (17)과 같은 혼합물의 밀 도를 계산할 수 있다. 여기서 p, T는 압력과 온도, pC, TC, K는 물 에 대한 액체상수, 온도상수, 압력상수로 20℃에서는 473.27 J/kgK, 387 K, 1944.6 MPa로 평가된다. R은 기체상수를 나타내 고, Y는 기체의 질량분율을 나타낸다. 열역학적 관계를 이용하여 기체와 액체 이상 매체에서의 음속을 식 (18)과 같이 정식화 하였 다.

(17)

(18)

식 (16), (17)을 이용하여 혼합물의 질량, 운동량 방정식과 기체 상의 질량 방정식을 고려하여 캐비테이션을 계산하였다.

검증을 위해서는 평판에 수직으로 유입되는 외부유동과 90°가 굽은 관의 내부유동에 대해 모델을 적용하여 계산하였다. Fig. 18 에서는 평판에서 발생하는 캐비테이션을 엄밀해 및 실험과 비교 하였고, 잘 일치하는 것을 볼 수 있다. Fig. 19은 90°가 꺽인 관에 대한 계산결과를 나타낸다. 레이놀즈수 2×10⁵, 캐비테이션 수 0.5 에서 계산하였으며, 주 캐비테이션과 보조 캐비테이션이 관찰되 는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 18 Cavity drag of a 2-D flat plate. The analytic results obtained by the free streamline theory Experimental data are from Waid(1957)(Shin, et al. (2003))

Fig. 19 Time evolution of void fraction contours for σ

=0.5 in a 90° bent duct at (a)t=0 m/s, (b) t=0.073 m/s, (c) t=0.108 m/s, (d) t=0.171 m/s and (e) t=-0.211 m/s(Shin, et al.(2003))

2.12 Chahine(2004)의 모델

Chahine(2004)는 캐비테이션 발생, 생성, 3차원 시뮬레이션을 위대 다수의 기포에 대해 SAP(Surface Averaged Pressure) 방 법을 사용하였다. 기초연구를 통해 압력의 변화로부터 액체속에 포함된 입자들이 반응하여 커지면서 캐비테이션이 발생됨을 확인 하였다. 액체속에 포함된 작은 기포 또는 기체 입자가 입자들에 포함된다. 기포의 정적 평형상태로부터 임계 압력 Pc와 임계 반지 름 rc를 식 (19), (20)과 같이 유도하였다. 식 (18)에서 γ는 표면장 력 계수, Ro는 초기/참고 기포의 반지름, PLo는 참고 기체의 압력 을 나타낸다.

Table 1 Summary of selected papers for cavitation model

Cavitation Model Cavitation Model Numerical Algorithm / Application Reference

Delannoy and Kueny (1990)

- Barotropic model (r= f(p))

- The two constant densities were joined by a sine function

- Limitation

․ no inter-phase slip on the sub-cell level

․ Density ratios of one hundred to one

- 2-D Euler equations - Incompressible flow

Delannoy, Y. and J. L. Kueny, 1990, “Two Phase Flow Approach in Unsteady Cavitation Modeling,” Cavitation and Multiphase Flow Forum, ASME FED, vol.

98, pp. 153-158

Kubota et al.

(1992)

- BTF (Bubble Two-phase Flow) model - In a macroscopic view

․ inside and outside of a cavity as one continuum

- In a microscopic view

․ a simple LHM (local homogeneous model)

․ treats a cavity as a locally homogeneous bubble cluster

- 2-D N-S equations - No turbulence model - NACA0015 (Re=10

)

Kubota, A., Kato, H. & Yamaguchi, H., 1992, “A new modelling of cavitating flows: a numerical study of unsteady cavitation on a hydrofoil section,” vol.

240, pp. 59-96

Chen and Hester (1994)

- Barotropic model. Interface tracking based on P=Pvap

- Pressure recovery algorithm in bubble - Consider viscous effects

- 2-D NS equation - No turbulence model - Hemispherical/Conic/Ogival

headform body (Re=1.36×10

, Ca=0.2/0.3/0.4)

Chen, Y., Heister, S.D.,1994, “A Numerical Treatment for Attached Cavitation,”

Journal of Fluid Engineering. vol. 190, pp.

299-307 (19)

(20)

기포의 운동에 있어서는 관성력이 중요하기 때문에 관성력을 고려하여 기포의 동적 방정식을 유도하였다. Rayleigh-Plesset 방 정식에서 압축성과 기체확산을 무시하고 기체의 압축성이 열역학 적 계수에 폴리트로픽(polytropic) 관계라고 가정하면, 식 (21)와 같 이 SAP 방정식을 유도할 수 있다. 여기서, R은 기포의 반지름, Pgo

는 참고 기체의 압력, u는 액체의 속도, ub는 기포의 속도, μ는 액 체의 점성을 나타낸다. k는 폴리트로픽 계수를 나타내고, Pencounter

Fig. 20 Results of SAP simulation of cavitation with gas diffusion on the Propeller(Chahine(2004))

는 기포 표면에서의 액체압력의 평균을 나타낸다. SAP 기포 동적 방정식은 기포와 액체간의 미끄러짐 속도와 기포 표면의 균질하 지 않은 압력분포를 포함한다.

(21)

SAP 방법에 대해 격자수 변화(61×61, 121×121, 181×181)에 대 해 RANS와 DNS 계산을 하여 결과를 비교하였다. Fig. 20는 추 진기에 대해 SAP 시뮬레이션을 적용한 결과를 나타낸다. 기포의 크기는 5배 크게 확대한 상태를 보여주고 있다.

3. 결 론

공동모델의 종류와 특성에 대해서 알아보았다. 공동모델은 계 산관점에서 불연속체 및 연속체 접근방법으로 나뉘어지고 연속체 접근방법은 경계면을 정의하는 이송방정식의 형태에 따라 분류되 었다. Chahine(2004)는 기포의 운동 방정식을 이용하여 불연속 한 기포의 궤적을 추적하였다. Delannoy and Kueny(1990), Chen and Hester(1994)는 barotropic 방정식을 이용하여 기포의 경계 면을 정의하였고, Kubota, et al.(1992)은 BTF(bubble two-phase flow) 모델 개념을 공동현상에 적용하였다. Merkle, et al.(1998), Kunz, et al.(1999), Ahuja, et al.(2001), Senocak and Shyy (2002)은 기체, 액체, 액체, 응축 증기, 비응축 기체로 구분하였고, 이들의 동적, 열적 관계식을 이용하여 공동현상을 모델링하였다.

Kunz, et al.(1999)은 계산의 수렴을 위해 가상의 시간개념을 도 입하여 구체적으로 기술하였으며, Ahuja, et al.(2001)은 열역학과

Table 1 Continued

Cavitation Model Cavitation Model Numerical Algorithm / Application Reference

Merkle et al.

(1998)

- Homogeneous mixture model

- Separate dynamics and thermodynamics of liquid, condensable vapor, and

non-condensable gas fields

- Two (liquid and gas phase) continuity equations by adding source terms of mass transfer between phase changes (evaporation and condensation)

- Limitation: density ratios of 100 to 1

- 2-D NS equation - Turbulence model

- NACA66 (Re=7.5×10

, Ca=0.83/

0.91)

Merkle, C.L., Feng, J., Buelow, P.E.O., 1998, “Computational Modeling of the Dynamics of Sheet Cavitation,” 3rd International Symposium on Cavitation, Grenoble, France

Kunz et al.

(1999)

- Homogeneous mixture model - Non-condensable gas

- Vapor volume fraction equation with pressure dependent source terms

- Preconditioning strategy. (pseudo time derivatives

- 3-D N-S equations - k-ε turbulence model - Hemispherical/Conic/blunt

headform body (Re=1.36×10

, Ca=0.2/0.3/0.4)

Kunz, R.F., Stinebring, D.R., Chyczewski, T.S., Boger, D.A., Gibeling, H.J., 1999,

“Multi-Phase CFD Analysis of Natural and Ventilated Cavitation about Submerged Bodies,” Proc. 3rd ASME/JSME Joints Fluid Engineering Conference - ASME Paper FEDSM 99-7364

Ahuja et al.

(2001)

- Homogeneous mixture model - Thermal effect

- Acoustic form of density differential for the individual gas and liquid phase (The local speed of sound in the two-phase mixture is a function of the local void fraction)

- 3-D N-S equations - k-ε turbulence model - Unstructured grids

- Hemispherical headform body (Re=1.36×10

, Ca=0.2/0.3/0.4) - Hydrofoil (Re=2×10

, Ca=0.84)

Ahuja, V., Hosangadi, A., Arunajatesan, S., 2001, “Simulations of Cavitating Flows Using Hybrid Unstructured Meshes,”

Journal of Fluid Engineering. vol. 253, pp.

3685-692

Senocak and Shyy (2002)

- Homogeneous mixture model

- Compressibility effect (pressure-velocity-density coupling scheme)

- 3-D N-S equations - k-ε turbulence model - Upwind scheme in cavity

region

- Hemispherical headform body (Re=1.36×10

, Ca=0.3) - Hydrofoil (Re=2×10

, Ca=0.84)

Senocak, I. and Shyy, W., 2002, “A Pressure-Based Method for Turbulent Cavitating Flow Computations,” Journal of Computational Physics 176, pp. 363-383

Singhal et al.

(2002)

- Homogeneous mixture model - Non-condensable gas

- Turbulence effect on saturated pressure

- 3-D N-S equations - k-ε turbulence model - Conical headform body (Re=

1.36×10

, Ca=0.3)

- NACA66 MOD (Re=2×10

, Ca=

0.34~1.76)

Singhal, A.K., Athavale, M.M., Li, H., Jiang, Y., 2002, “Mathematical Basis and Validation of the Full Cavitation Model,”

Journal of Fluids Engineering, Vol.124, pp.617-624

Yuan et al.

(2001)

- Homogeneous mixture model - Bubble growth model

․ Two-phase flows without phase transition

․ Additional model for the growth and collapse of bubbles

․ Spatial and time dependent bubble size distribution

- 2-D N-S equations - k-ε turbulence model - Injector nozzle

Yuan, W., Sauer, J., Schnerr, G., 2001,

“Modeling and computation of unsteady cavitation flows in injection nozzles,” Mec.

Ind., vol. 2, pp. 383-394

Zwart et al.

(2004)

- Homogeneous mixture model - Non-condensable gas

- Vapor nuclei effect during vaporization

- unsteady 3-D N-S equations - k-w turbulence model - Hydrofoil (Re=2×10

, Ca=0.34~

1.00)

Zwart, P., Belamri, T. and Gerber, A. G., 2004, “A Two-Phase Model for Predicting Cavitation Dynamics,” ICMF 2004, Yokohama, Japan, May 30-June 3, 2004. Paper No. 152

Shin et al.

(2003)

- Homogeneous mixture model - Thermal effect

- Speed of sound for thermal condition - Compressibility effect

- 3-D N-S equations - k-w turbulence model - TVD scheme in cavitating flow - Density based computation - External Flow

- Internal Flow (Re=2×10

, Ca=

0.5/1.0)

Shin, B.R., Iwata, Y., Ikohagi, T., 2003,

“Numerical Simulation of Unsteady Cavitating Flows Using a Homogeneous Equilibrium Model,” Computational Mechanics vol. 30, pp.388-395

Chahine (2004)

- Discrete bubble approach

- Multi-bubble Surface Averaged Pressure (DF-Multi-SAP) method

- Bubble equation

․ static equilibrium

․ inertia effect

․ polytropic law of gas compression

- 3-D N-S equations - Turbulence model - Propeller 5206

Chahine, G. L., 2004, “Nuclei Effects on Cavitation Inception and Noise,”

Proceedings of 25th Symposium on

Naval Hydrodynamics, St. John’s

Newfoundland and Labrador, Canada, 8

– 13, August

음향학적으로 완전한 압축성 공동모델을 개발하였다. Senocak and Shyy(2002)은 압력수정 방정식에 압력-속도-밀도 결합 스킴 을 적용하고, 공동 영역에서는 상류 차분을 적용하였다. Yuan, et al.(2001)은 기포 성장 모델을 개발하였다. 본 논문에서 검토된 공 동 모델들의 특성은 Table 1에 요약되어 있다.

많은 공동모델들이 실험결과와의 비교를 통해 그 타당성을 입 증하였으나 모든 물리 문제에 대해 올바른 답을 제시하지 못하고 있다. 공동모델의 우열을 가리기는 어려우나 물리적인 관점에서 상변화 시에 액체와 응축증기 외에 비응축 기체를 포함시키는 것 이 타당하며, 기포의 생성시 밀도의 변화가 크기 때문에 밀도의 변 화를 고려할 수 있는 압축성 모델이 적합하다. 또한, 공동현상이 액체에 포함되어 있는 작은 기포 등의 분순물로부터 처음 발생하 기 때문에 상변화를 고려하지 않고 기포의 성장과 소멸을 묘사할 수 있는 모델 역시 고려할 사항이다. 이에 본 논문에서는 비응축 기체를 포함하고 상변화 시 기포의 압축성 및 온도변화에 따른 특성을 포함하고 있는 Ahuja, et al.(2001)의 공동모델과 기포 성 장모델을 제안한 Yuan, et al.(2001)의 모델이 공동현상 해석에 적합하다고 판단하였다. 향후 Yuan, et al.(2001)과 Ahuja, et al.(2001)의 공동모델들을 이용하여 실제 문제에의 해석을 할 예 정이다.

후 기

이 논문은 국방과학연구소의 “초공동 수중 운동체 통합연구 (09-01-05-26)”와 지식경제부 산업원천기술개발사업의 “친환경 추진기 캐비테이션성능 제어기술 개발(10033662)”의 지원으로 수행되었으며, 이에 감사 드립니다.

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Yuan, W. Sauer, J. & Schnerr, G., 2001. Modeling and com - putation of unsteady cavitation flows in injection nozzles.

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박 선 호

￭ 서울대학교 조선해양공학과 박사과정

￭ 관심분야: CFD, Multiphase Flow

Zwart, P.J. Belamri, T. & Gerber, A. G., 2004. A Two-Phase Model for Predicting Cavitation Dynamics. ICMF 2004, Yokohama, Japan, 30 May-3 June, 2004. pp.152.

이 신 형

￭ 서울대학교 조선해양공학과 교수

￭ 관심분야: CFD, 수조실험