(Direct Current Circuits)

28장. 직류 회로

(Direct Current Circuits)

28.1 기전력

28.2 저항기의 직렬 및 병렬 연결 28.3 키르히호프의 법칙

28.4 RC 회로

28.5 가정용 배선 및 전기 안전

◎ Direct Current Circuits (직류회로)

- 회로에 흐르는 전류의 방향과 크기가 일정한 전류를 직류(direct current) 라고 한다.

o "Pumping" Charges

- If one want to make charge carriers flow through a resistor.

→ one needs - a Charge Pump

- Resistors ⇒ Circuit (회로 구성) - Connect (도선)

o Charge Pump :

- maintains potential difference

V

between two terminals → Keep working on charge carriers

⇒ Electro Motive Source

→ call "Electro Motive Force" E (e.m.f.)

cf

) call Force as Historical Reason

◎ Aside) History of emf E (Electro Motive Force, 기전력, 起電力)

28.1 기전력

(Electromotive Force)

- 1752년 Benjamin Franklin (1706 ~ 1790) :

연을 이용하여 번개를 일으키는 실험에 성공

⇒ 번개는 전기 방전(Electric Breakdown)임을 증명 - 1791년 Luigi Galvani (1737 ~ 1798, 생물학자) :

개구리의 척추에 놋쇠를, 다리에 철사를 꽂은 후 놋쇠와 철사 를 구리선으로 연결 → 개구리의 다리가 수축됨을 관찰

⇒ 척추(신경)와 근육에 있던 전하가 놋쇠와 대전된 후, 구리선 을 타고 흘러서 개구리의 다리를 수축시켰다고 해석

⇒ 전하의 발생은 동물의 근육이나 신경에 있다.

⇒ "동물전기“

ex

) 전기뱀장어 ※ Galvano Meter (전류계) 발명

이에 반하여

- 1800년 Alessandro Volta (1745 ~ 1827, 물리학자) : 전기 현상의 근원은 동물에 있는 것이 아니고,

두 개의 금속 (놋쇠와 철사) 사이의 접촉에 있다.

⇒ 금속의 조합과 그 사이의 물질

(Electrolyte "전해질")이 전기적 근원

- 이때 두 금속 (단자) 사이에 생긴 전하 사이의 전위차 ⇒ "기전력“ (起電力 , emf (Electro Motive Force) = E

→ 단전된 (외부로 전하가 흐르지 않을 때) 전지의 두 단자 사이의 최대의 전위차

◎ e.m.f. 내부저항 (Internal Resistance)

r

:

Q

W  E dW  E dq

dq or E  dW

◎ 기전력원, e.m.f. (Electro Motive Force) Source (or Device)

- 전지의 양단에 공급할 수 있는 최대의 전압을 전지의 기전력(emf) E이라고 한다. 기전력이란 용어는 전기를 일으키는 힘이라는 역사적인 오류에서 유래되었다. 기전력은 힘이 아니고 볼트(V)로 표현되는 전위차를 나타낸다.

- 전기적 에너지 발생 장치의 순수한 전위차의 개념

ex

) Battery (전지), 발전기, etc. → (음)전하 발생 장치

cf

) 장치 양단간의 전위차 + 장치 내부의 저항에 의한 전위차 - Symbol : E

- Work (or Energy) of e.m.f. : e.m.f. E 은 전위차

V

의 개념

(일정한 V 에 의한 q의 변화)

- 실제 전지는 화합물로 채워져 있으므로 전지 내부의 전하 흐름을 방해하는 저항이 존재한다.

- 이 저항을 내부 저항(internal resistance)

r

이라고 한다.

Ir IR  E 

r I R

 E 

r I R

I I

P  E 

²



²

◎ 전원과 내부저항

∴

- e.m.f. 내부 저항

r

에 의한 내부 (자체) 전위차

V

_r =

Ir

- e.m.f.의 두 terminal 사이의 전위차

V

:

V

= E -

V

_r = E -

Ir cf

) if

I

=0, then

V

= E :

- e.m.f. 값 E 은 기전력원이 회로에 연결되지 않은 상태에서 e.m.f.가 가지는 순수한 전위차 이다.

o Single-Loop Circuit

- 저항

R

과 e.m.f. 만으로 구성된 Circuit

- Circuit에 흐르는 전류를

i

, 외부 저항

R

에 의한 회로내의 전위차

o 단자 전압

- 외부 저항

R

에 대하여 :

- 내부 저항

r

에 대하여 :

 V  E  Ir

a

,

d

V

V V  



IR V 



: "e.m.f.-R Single Loop Current"

∴

- 일률

전지의 단자 전압 예제 28.1

기전력이 12.0V이고 내부 저항이 0.05Ω인 전지가 있다. 이 전지의 양 단자 사이에는 3.00 Ω 의 부하 저항이 연결되어 있다.

(A) 회로에 흐르는 전류와 전지의 단자 전압을 구하라.

풀이 ^(A)

V A

r

I R

3.93

) 05 . 0 00

. 3 (

0 .

12







 



E



V A

V Ir

V    12 . 0  ( 3 . 93 )( 0 . 05  )  11 . 8

 E

V A

IR

V   ( 3 . 93 )( 3 . 00  )  11 . 8



(B) 부하 저항에서 소모되는 전력과 전지의 내부 저항에서 소모되는 전력 및 전지가 공 급하는 전력을 구하라.

(B)

P

_R

 I

²

R  ( 3 . 93 A )

²

( 3 . 00  )  46 . 3 W W A

R

r

 I

²

 ( 3 . 93 )

²

( 0 . 05  )  0 . 772 P

W W

r

W

R

  46 . 3  0 . 772  47 . 1

 P P P

☆

부하 저항

◎ 예제 28.2

그림에서 부하 저항에 최대 소모 전력을 전달하는 부하 저항 R의 값을 구하라.

Sol

2 2 2

) ( R r R R

I  

 E

P

- 최대전력 전달 정리 (Maximum Power Transfer Theorem) - 최대 e.m.f. Power P_max

- e.m.f. Source의 Power가 최대가 되게하는 부하 저항 R의 크기?

- 이 경우 P_max는 부하 저항 R에 의한 전력 소모 P_R 을 의미 :

r I R

 E 

0 ] ) (

) [ (

2 2

2

2

   



 





  R R r

^

dR d r

R R dR

d dR

d P E E

0 ] ) )(

2 ( [

] ) (

[ E

²

R  r

^2

 E

²

R  R  r

^3



) 0 (

) (

) (

2 )

(

) (

3 2

3 2 3

2





 

 





r R

R r r

R

R r

R

r

R

E E

E

r r

r r

r r r

R R

r

R

( ) 4 4

) (

2 2

2 2

2 2

2 max

E E

E

E  

 

 

 





 



P

- 전력을 부하 저항 R에 대해서 미분하고 그 결과를 영(0) 으로 놓고 전력의 최대값을 구한다.

- 최대 e.m.f. Power

P

_max :

r R 



28.2 저항기의 직렬 및 병렬 연결

(Resistors in Series and Parallel)

o in Series(직렬연결) : 전류

I

가 일정 cf ) 전류 측정시 Ameter는 직렬연결

o in Parallel (병렬연결) : 각

V

가 일정 cf ) 전압 측정시 Voltmeter는 병렬연결

 

iR

eq

R R

R i

iR iR

iR

V V

V V





















3 2

1

3 2

1

3 2

1













i i eq

S

R R

Series in

R R

R

R

_{1 2 3}

※ 등가저항

V

는 각 단자에 걸리는

V

_i 의 합

Req

V

R R

V R

R V R

V R

V

R i V i

i i i





 



  

















3 2

1

3 2

1

3 2 1

1 1

1













j j

eq P

R R

Parallel R in

R R R

1 1

1 1

1 1

3 2

1

I

는 각 Junction에서 분배되는

i

_j의 합

등가 저항 구하기 예제 28.3

네 개의 저항기가 그림과 같이 연결되어 있다.

(A) a와 c 사이의 등가 저항을 구하라.

풀이 (A) a와 b 사이의 등가 저항

R

_eq

 8 . 0   4 . 0   12 . 0 

b와 c 사이의 등가 저항



 



 

 

 

0 . 3 2

0 . 6

0 . 6

3 0

. 3

1 0

. 6

1 1

eq eq

R R

a와 c 사이의 등가 저항

R

_eq



12.0

 

2.0

 

14.0



(B) 만일 a와 c 사이의 전위차를 42V로 유지한다면 각 저항에 흐 르는 전류는 얼마인가?

V A R

I V

eq

ac

3 . 0

0 . 14

42 

 

 

8.0 Ω과 4.0 Ω의 저항기에 흐르는 전류

병렬로 연결된 저항기에 흐르는 전류

1 2

2 1

2

1

V

(6.0 )

I

(3.0 )

I I

2

I

V        



A I

A I

I A

I

I

₁



₂

 3 . 0 

₁

 2

₁

 3 . 0 

₁

 1 . 0

A A

I

I

₂

 2

₁

 2 ( 1 . 0 )  2 . 0

☆

병렬로 연결된 세 저항기 예제 28.4

그림과 세 개의 저항기가 병렬로 연결되어 있다. 점 a와 b 사이의 전압은 18.0V로 유지 한다. (A) 회로의 등가 저항을 구하라.

풀이 (A)

(B) 각 저항기에 흐르는 전류는 얼마인가?

 

 

 

 

0 . 18

0 . 11 00

. 9

1 00

. 6

1 00

. 3

1 1

Req



 

 1.64 0

. 11

0 . 18 Req

V A R

I V 6.00

00 . 3

0 . 18

1

1 

 

 

V A

R

I V

3.00

00 . 6

0 . 18

2

2



 

 

V A R

I V

2.00

00 . 9

0 . 18

3

3



 

 

(C) 각 저항기에 공급되는 전력을 구하고 저항기의 병렬 연결 전체에 공급되는 전력을 구하라.

W A

R I

W A

R I

W A

R I

0 . 36 )

00 . 9 ( ) 00 . 2 ( :

00 . 9

0 . 54 )

00 . 6 ( ) 00 . 3 ( :

00 . 6

108 )

00 . 3 ( ) 00 . 6 ( :

00 . 3

2 3

2 3 3

2 2

2 2 2

2 1

2 1 1































P

P

P

28.3 키르히호프의 법칙

(Kirchhoff’s Rules)

키르히호프의 법칙(Kirchhoff’s Rules) :

복잡한 회로를 분석하는 방법

= Junction Rule + Loop Rule

◎ Multi-Loop Circuits : Kirchhoff's Rules (1824 ~ 2887)

out in

junction

I I

I   

 ⁰





 ^{  }

k

k k j

j loop

closed

R I V

V 0

cf ) I_in과 I_out은 서로 다른 부호 선택

- 여러개의 저항과 기전력이 복합되어 회로를 구성할 때, 각 Loop에 흐르는 전류 계산

1. 분기점 법칙(Junction rule): 모든 분기점에서 전류의 합은 영(0)이다 (전하 보존).

2. 고리 법칙(Loop rule): 모든 닫힌 회로에서

각 소자를 지나갈 때 전위차의 합은 영(0)이다

(에너지 보존).

o 제2법칙(고리법칙)을 적용할 때 부호의 규정 :

• 전류의 방향으로 저항을 지날 경우 전하는 저항의 높은 전위로부터 낮은 전위로 지나가므로, 저항에서의 전위차

△V

는-

IR

이다 (그림 (a)).

• 전류의 반대 방향으로 저항을 지날 때 저항에서의 전위차

△V

는 ＋

IR

이다 (그림 (b)).

• 기전력의 방향(음극에서 양극)으로 기전력의 원천 (내부 저항이 없다고 가정)을 지날 때,

전위차

△V

는 ＋E이다 (그림 (c)).

• 기전력의 반대 방향(양극에서 음극)으로 기전력의 원천(내부 저항이 없다고 가정)을 지날 때,

전위차

△V

는 – E이다 (그림 (d)).

특정한 회로 문제를 풀기 위해서 필요한 독립적인 방정식의 수는 미지 전류의 수와 같아야 한다.

여러 고리를 포함하는 회로 (Kirchhoff's Rule 적용) 예제 28.6

풀이

( 1 ) I

₁

 I

₂

 I

₃

 0

☆

o 고리 법칙을 적용하면 o 분기점 법칙을 적용하면

분기점 P 에서

- 그림과 같이 회로에서 전류를 구하라.

▣ 축전기의 충전과 방전

(Charging and Discharging a Capacitor)

- 회로의 재구성

⇔

28.4 RC 회로

(RC Circuits)

◎ 축전기의 충전 Charging a Capacitor (

S

₁ On)

⇔

◎ 축전기의 방전 Discharging a Capacitor (

S

₁ Off,

S

₂ On)

RC

회로에서 축전기의 방전 예제 28.8

전기용량이 C인 축전기가 저항 R을 통해서 방전한다고 생각해 보자.

(A) 축전기의 전하가 처음 전하량의 4분의 1이 되는 데 걸리는 시간은 시간 상수의 몇 배가 되는가?

풀이 (A)

Q Qe

^t_/^RC

e

^t_/^RC

4

1 4





 



 39 . 1 39

. 1 4 1 4

1      

 t RC n RC

RC n t

양변에 로그를 취하고 t에 대해 풀면

(B) 축전기의 방전이 진행됨에 따라서 축전기에 저장된 에너지는 줄어든다. 축전기에 저 장된 에너지가 처음 에너지의 4분의 1이 되는 데 걸리는 시간은 시간 상수의 몇 배가 되 는가?

RC

e

t

C Q C

t q

U

^{2 /}

2 2

2 ) 2

( )

1

(

 

^

RC

e

t

C e Q C

Q

t RC

/ 2 4

1

2 2

4

1 ^{2 /}

2 2







^

1 4 0 . 693 0 . 693  4 2

1

2

1

 









RC n

RC t

RC n t

☆

저항기에 전달되는 에너지 예제 28.9

5.00nF의 축전기가 800V의 전위차에서 충전된 다음 저항기를 통해 방전된다. 축전기가 완전히 방전되는 동안 줄열로 손실되는 에너지를 구하라.

풀이

다른 방법으로, 전력을 무한대까지 적분하여 저항에 전달된 전체 에너지를 구하면

int



0





 U E

C R

C

E E U

U     

 ) ( 0 ) 0 0

(

_int

J V

F C

E

_R (5.00 10 )(800 ) 1.60 2

1 _{6 2}

2

2



1

 



E ^





^

^

^







0

2

0

dt I Rdt

dt E d

R

P

P E







 

 

 



 



 

  



0

/ 2 2

0

/ 2 2

2 0

2 /

dt R e

dt RC e

Rdt Q RC e

E Q

RC t

RC t RC

t R

E

2 2

1 2

2 E

E RC C

E

_R

R  



 



 



◎ 전기 계측기

(Electrical Meters)

▣ 검류계

(The Galvanometer)

◆ 전류와 전압을 측정하기 위한 아날로그 측정기의 가장 중요한 요소

▣ 전류계

(The Ammeter)

◆ 회로 내의 다른 소자와 직렬로 연결

◆ 이상적인 전류계는 측정하고자 하는 전류에 영향을 주지 않기 위해서 내부 저항이 영이어야 한다.

▣ 전압계

(The Voltmeter)

◆ 회로 내의 다른 소자와 병렬로 연결

◆ 이상적인 전압계의 내부 저항은 무한대로서 전압계를 통해서 흐르는 전류는 영이다

28.5 가정용 배선 및 전기 안전

(Household Wiring and Electrical Safety)

▣ 가정용

배선 (Household Wiring)

활선(live wire) : 접지보다 전위가 높거나 낮은 도선을 나타내는 일반적인 표현 중립선(neutral wire) : 접지되어 있으므로

전위는 영이다.

병렬 연결을 사용하여 각 장치에 동일한 전압을 공급하고, 다른 장치의 고장 여부와 무관하게 전력이 공급되도록 한다.

▣ 전기 안전

(Electrical Safety)

전기 출력 단자의 활선이 접지에 직접 연결될 경우 회로는 합선 회로(short circuit)가 된다.

이 경우 매우 큰 전류가 흐른다.

전기 쇼크는 치명적 화상을 입게 하거나 심장과 같은 생명 기관의 근육을 마비시킬 수도 있다. 신체 손상의 정도는 전류의 크기, 전류가 흐른 시간, 활선과의 접촉 부위 및 전류가 통과하는 신체의 부위 등에 의존한다.

(a) 두 가닥 전선으로 작동하는 전기드릴.

정상적인 경우 전류 경로는 활선으로부터 모터 연결을 지나 중립선을 통해서 접지로 흘러 나간다. 이 경우에 있어서 활선이 드릴 덮개와 합선이 되는 경우를 생각할 수 있다. 이때 드릴을 잡고 있던 사람은

접지로 연결되는 전류 경로가 되어 감전된다.

(b) 세 번째 전선을 사용하여 드릴 덮개를 직접 접지에 연결하면 이와 같은 전기 감전을 피할 수 있다. 이 경우 드릴 덮개는 접지와 같은 전위를 유지하므로 사람을 통해서 전류가 흐르지 않는다.

Aside)

◎ 전위의 측정 : 전위차계

(Potentiometer)

- 알고있는 기전력과 미지의 기전력을 비교하여 미지 기전력을 측정한다 - 기지 기전력 =

ε

_S, 미지 기전력 =

ε

_x

- 회로 ①에 전류가 흐르지 않게 되면

→ ①과 ②에 흐르는 전류가 같아지면

ε

_x=

IR

_x

- 회로 ①에 기지 기전력

ε

_S^{를 연결하여}

다시 전류가 흐르지 않는 위치를 찾아주면

ε

_S⁼

^IR

_S

S x S

x S

x

R R IR

IR 



 



- 이 저항이 균일한 도선이라면,

A R   L

S x S

x

S x S

x

L L A

L A L R

R  

 







S S

x S

S x

x

L

L R

R  

  



Aside)

◎ 저항의 측정

(저항계, Wheatstone Bridge)

- 3개의 기지저항

R

₁,

R

₂,

R

₃ 를 이용하여 미지저항

R

_x 를 측정 - 이때 한 개의 기지저항은 가변저항 (ex

R

₃ )이어야 한다.

- Switch

S

On, 검류계 (

G

)가 0이 되게

R

₃ 를 조정하면 →

B

,

D

사이의 전위차

V

_BD=0

- 병렬연결 (

V

가 일정) :

AB

,

AD

는 병렬연결, 또

BC

,

BD

도 병렬연결 →

V

_AB =

V

_AD ⇒

i

₁

R

₁ =

i

₃

R

₃

V

_BC =

V

_CD ⇒

i

₂

R

₂ =

i

_x

R

_x - 직렬연결 (

i

가 일정)

AB

,

BC

는 직렬연결, 또

AD

,

DC

도 직렬연결 →

i

₁ =

i

₂

⇒

i

₃ =

i

_x

1 1

2 2 3

3

i R

R i R

i R i

_{x x}



1 2

3

R

R R

R

_x



₃

1 2

R R R

_x

 R

