압축성 Navier-Stokes 방정식 해를 위한 고차 정확도 내재적 불연속 갤러킨 기법의 개발
최 재 훈,1 이 희 동,1 권 오 준*2
DEVELOPMENT OF A HIGH-ORDER IMPLICIT DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD FOR SOLVING COMPRESSIBLE NAVIER-STOKES EQUATIONS
J.H. Choi1, H.D. Lee1 and O.J. Kwon*2
A high-order discontinuous Galerkin method for the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations was developed on unstructured triangular meshes. For this purpose, the BR2 methd(the second Bassi and Rebay discretization) was adopted for space discretization and an implicit Euler backward method was used for time integration. Numerical tests were conducted to estimate the convergence order of the numerical solutions of the Poiseuille flow for which analytic solutions are available for comparison. Also, the flows around a flat plate, a 2-D circular cylinder, and an NACA0012 airfoil were numerically simulated. The numerical results showed that the present implicit discontinuous Galerkin method is an efficient method to obtain very accurate numerical solutions of the compressible Navier-Stokes equations on unstructured meshes.
Key Words : 불연속 갤러킨 기법(Discontinuous Galerkin Method), 내재적 시간 적분법(Implicit Time Integration), 고차 정확도 기법(High-Order Method), 비정렬 격자계(Unstructured Meshes),
압축성 나비어-스톡스 방정식(Compressible Navier-Stokes Equation)
접수일: 2011년 4월 12일, 수정일: 2011년 12월 20일, 게재확정일: 2011년 12월 21일.
1 한국과학기술원 대학원 항공우주공학과 2 정회원, 한국과학기술원 항공우주공학과
* Corresponding author, E-mail: [email protected]
1. 서 론
최근 수십년간 전산유체역학(CFD) 분야는 컴퓨터 성능의 발전에 힘입어 괄목할만한 성장을 이루어냈다. 특히 항공기의 설계 및 해석에 있어서 CFD는 이제 필수 불가결한 요소가 되었다. 하지만 그 실용성과 중요성을 학계와 산업계로부터 인정받고 있음에도 불구하고 CFD에는 여전히 해결해야할 문 제가 많이 남아있다. 그 중 한 가지는 현재 CFD 분야에서 보 편적으로 사용되고 있는 이차 정확도 유한체적법의 정확도 문제이다. 이차 정확도 기법은 전산공력소음(CAA, Computa -tional AeroAcoustics) 해석이나 LES(Large Eddy Simulation) 해 석과 같이 매우 낮은 수치오차를 요구하는 문제에 있어 충분
한 정확도의 해를 제공하지 못하며, 일반적인 공력성능 해석 에서도 충분한 정확도를 가지지 못하는 한계점을 가진다.
이런 이차 정확도 유한체적법의 한계점은 AIAA의 Drag Prediction Workshop (DPW)[1,2,3]를 통해 확인할 수 있다. 최 근의 워크샵[3]에서는 두개의 날개-동체 형상과 두개의 날개 형상[3,4]에 대한 항력 해석이 수행되었다. 워크샵에서 주어진 격자에 대해 각 CFD기법들이 예측하는 항력 계수는 5~7 drag count 의 표준 편차를 가지며 분포하였다[3,5]. 1 drag count는 일반적인 장거리 여객기의 경우 승객 8명에 해당하는 값으로 워크샵의 결과는 현재 CFD 기법이 주어진 격자에 대해 항공 기 기체 설계자들이 요구하는 정확한 해를 구하지 못함을 보 여준다. 이러한 문제는 고차 정확도 기법을 통해 수치오차를 감소시킴으로써 완화될 수 있다. 특히 고차 정확도 기법은 단 순히 요구하는 정확도를 만족시키는 해를 구할 수 있을 뿐 아니라 그에 요구되는 격자수와 계산시간을 감소시킬 수 있 다는 장점을 가지고 있다.
유한체적법에서의 고차 정확도 기법은 스텐실을 확장하여 유동 분포를 고차의 다항식으로 재구성함으로써 정확도를 높
인다. 정렬 격자계의 경우 격자점이 규칙적으로 배열되어 있 으므로 이러한 재구성 기법이 해석적으로 존재한다. 이에 반 해 비정렬 격자계에서의 유한체적법은 격자점 사이의 규칙적 인 연결고리가 보장되지 않아 스텐실을 확장하는데 어려움이 있을 뿐 아니라 해석적인 재구성 기법이 존재하지 않으므로 수치적으로 유동 변수를 재구성해야하는 문제점이 있다. 즉 비정렬 격자계에서 유한체적법에 기반한 이차 이상의 고차 정확도 기법은 수치적으로 유동 변수를 재구성해야하고 불규 칙적으로 배열되어 있는 스텐실을 기억해야 하므로 매우 비 효율적이고 실제적으로 비현실적이다.
최근에는 이러한 문제의 대안으로써 불연속 갤러킨 기법 [6,7]이 비정렬 격자계 기반의 고차 정확도 기법으로 각광을 받고 있다. 불연속 갤러킨 기법은 전통적인 유한 요소법과는 다르게 각 요소마다 불연속적으로 분포하는 다항식의 전개 형태로 근사해를 나타내는 기법이다. 불연속 갤러킨 기법은 유한 요소법과 같이 기법의 차수와 무관하게 공간 이산화에 필요한 스텐실이 주위 요소로만 국한된다는 장점과 유한 체 적법과 같이 요소 경계면에서 수치 유속을 사용함으로써 global assembly 과정이 요구되지 않는다는 장점을 모두 가지 고 있다. 또한 경계조건을 수치 유속을 통해 간접적으로 적용 하므로 자연스럽게 고차 정확도의 경계조건을 부과할 수 있 는 장점을 가진다.
불연속 갤러킨 기법은 hyperbolic type의 미분방정식을 풀이 하기 위해 개발된 기법으로 CFD 분야에 도입된 초기 단계에 서는 Euler 방정식에 대해 개발되어 왔다[8]. 최근에는 ellpitic type의 미분방정식에 대한 불연속 갤러킨 기법에 관한 연구도 진행되어 Navier-Stokes 방정식과 같이 advection과 diffusion이 동시에 존재하는 경우를 위한 다양한 불연속 갤러킨 기법이 제안되고 있다[9,10,11]. 본 연구에서는 이들 중에서 불연속 갤러킨 기법의 집적성(compactness)을 보장하고 안정성을 확보 할수 있는 BR2 기법[12]을 채택하였다.
일반적으로 외재적 시간 적분법에서의 시간 간격 한계는 기법의 공간 정확도가 증가함에 따라 더욱더 극심해 진다. 그 러므로 정상해석이나 시간 스케일이 매우 큰 비정상 문제에 대해서는 높은 시간 간격을 허용할 수 있는 내재적 시간 적 분법이 요구된다. 본 연구에서는 잔류항의 선형화를 통해 선 형 시스템을 구축하는 Newton계열의 내재적 시간 적분법을 적용하여 보다 효율적으로 수렴된 정상해를 얻고자 한다.
본 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 본 연구에서 해 석하고자 하는 지배방정식과 이를 해석하기 위한 수치기법에 대해 서술하였다. 이는 공간 이산화를 위한 불연속 갤러킨 기 법과 시간 적분을 위한 내재적 시간 적분법에 대한 내용을 포함한다. 3장에서는 개발된 내재적 불연속 갤러킨 기법을 이
용한 유동 해석 결과를 제시하였다. 수치 해석은 엄밀해가 존 재하는 Poiseuille 유동과 Blasius 상사해가 존재하는 평판 층 류 유동, 그리고 엄밀해가 존재하지 않는 이차원 원형 실린더 및 익형 주위 유동에 대해 수행하였다. 마지막으로 4장에서는 결론을 기술한다.
2. 지배방정식 및 수치기법
2.1 지배 방정식
본 연구에서는 이차원 점성, 압축성 유동장을 모사하는 Navier-Stokes 방정식을 지배방정식으로 사용하였다. 이차원 Navier-Stokes 방정식을 공간 영역 와 시간 영역 에 대해 지수 표기법으로 표현하면 다음과 같다.
Ux
FkU
FkU∇U (1)
여기서 유동 변수 벡터 U∈ℝ4, 비점성 유속 Fe∈ℝ4×2, 그 리고 점성 유속 Fv∈ℝ4×2은 아래와 같다.
U
Fk
Fk
with
(2)
여기서 는 밀도, 는 속도벡터의 방향 성분, 는 총 내부에너지, 는 압력을 타나낸다. 그리고 는 Kronecker delta function을 의미하며, 전단응력 와 열유속 를 텐서의 형태로 표현하면 다음과 같다.
(3)
(4)
여기서 는 온도를 나타내며 는 열전도율을 나타낸다. 는 프란틀 수로 층류유동일 때 공기의 경우 0.72의 값을 가지 며 는 비열비로 1.4를 사용하였고 는 점성 계수로 Sutherland law로부터 구할 수 있다.
마지막으로 점성 유속 Fv∈ℝ4×2는 homogeneity tensor
A∈ℝ4×2×4×2를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
ξ1
ξ2
v1 v2
v3
e1
e2
e3
−1
−1 1
1
ξ1
ξ2
v1 v2
v3
e1
e2
e3
−1
−1 1
1
Fig. 1 Triangular reference element
FU∇UU
where U≡
F
with ⋯ and
(5)
2.2 공간 이산화 기법
불연속 갤러킨 기법에 사용되는 유한 요소와 그 공간은 다 음과 같이 정의된다. 주어진 공간 영역 는 중복되지 않는 유한 요소 들의 분할(tessellation) 로 근사된다. 물리적인 영역(physical domain)에서의 각 요소 는 표준 영역(reference domain)에서의 기준 요소(reference element) 로부터 사상된 다. 표준 영역의 기준 요소는 Fig. 1과 같이 좌표 에서 정의되며, 좌표로부터 물리적 영역의 x 좌 표로의 전단사(bijective) 사상 는 다음과 같이 표현된다.
x (6)
유한 요소 공간을 정의하기 위한 기준 요소 상에서의
차 다항식 공간은 다음과 같이 기저함수를 생성원으로 한 다. 이때 는 근사해 Uh를 표현하는 자유도의 개수이다.
… (7)
물리적인 유한 요소 에서의 함수공간 는 기준 요 소에서 정의된 다항식 공간 의 에 의한 사상 공 간이다.
∘ … (8)
이를 이용하여 각 유동 변수를 근사하기 위한 유한 요소 공간 V
는 유한 요소 이내에서만 정의되는 의 벡 터 형태로 다음과 같이 정의된다.
V v∈
v∈ ∈ (9)
불연속 갤러킨 기법은 기본적으로 연속 갤러킨 기법과 동 일하게 유동 변수 벡터 Ux를 다항식 기저함수의 선형조 합으로 근사하여 나타낸다.
≈xtxtx (10)
이때 사용한 기저함수의 차수가 일 때를 가리켜 DG[] 기 법이라고 한다.
식 (10)에서 정의되는 근사해의 계수 를 결정하기 위해 서는 연속 갤러킨 기법과 동일하게 weak formulation 과정이 필요하다. 하지만 불연속 갤러킨 기법은 hyperbolic type 미분 방정식에 대해 개발된 기법이므로 이차 미분 형태의 소산항 이 포함된 Navier-Stokes 방정식에 바로 적용할 수는 없다. 그 러므로 보조 변수 를 이용하여 식(1)을 다음 과 같이 두 개의 일차 미분방정식으로 분해한다.
(11)
분해된 두 개의 식에 각각 가중함수 를 곱하고 유 한요소 에 대해 적분을 취하면 weak formulation을 수행할 수 있다. 여기에 적분항 중 공간항에 대해 Green 정리를 적용 하고 엄밀해 U를 근사해 Uh로 대체한다. 그리고 요소 경계 면에서 유속을 수치 유속 , , 으로 대체하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
find∈∈
∀∈∀∈
∈
(12)
∈
여기서 는 요소 경계면 외부로 향하는 단위 수직 벡터이 고, 와 는 요소 경계면에서 값이 유한 요소 내부(+) 와 외부(-)로부터 trace를 의미한다.
식 (12)는 구해야할 미지수가 유동 변수와 보조 변수로써 이들 모두를 기억해야하고 계산 과정 중에서 각각 해를 구해 야하므로 계산비용 측면에서 비효율적이다. 이러한 문제는 보 조 변수를 유동 변수의 함수로 나타냄으로써 보조 변수를 소 거하는 primal formulation으로 해결이 가능하다. 본 연구에서 는 Bassi-Rebay가 제안한 BR2 기법[12]을 이용하여 primal formulation을 수행하였으며 보조 변수와 유동 변수의 관계 및 점성 수치 유속은 아래와 같다. 이때 비점성 수치 유속 은 Roe의 유속 함수[13]을 사용하였다.
∈
∈
∀
╲ ∩
╲
∩
(13)
여기서 는 local lifting operator로 식 (14)에 의해 정의 되 며, 표기는 average operator로써 와 같이 정의된다. 또한 는 stabilization parameter로써 일반적 으로 기법의 안정성을 위해 3이상의 값을 사용해야 한다고 알려져 있다[14].
Find ∈such that ∀∈
±± ≡
±
±
≡
(14)
식 (13)을 이용해 primal formulation을 수행한 결과는 다음과 같다.
Find∈such that ∀∈
∈
╲∩
∈
∈╲
∩
(15)
∈╲
∩
∈╲
∩
최종적으로 식 (15)의 근사해와 가중함수를 식 (10)으로 대체 하여 정리하면 불연속 갤러킨 기법에 의한 공간 이산화가 완 료되며, 이는 연립 상미분 방정식의 형태로 타나난다. 이를
상의 모든 유한 요소에 대해 나타내면 다음과 같이 표현 된다.
∈
╲ ∩
╲
∩
╲
∩
(16)
╲
∩
2.3 시간 적분법
본 연구에서는 식 (16)를 시간단계에서 풀이하는 완 전 내재적 방법(fully implicit method)를 적용하였다. 하나의 유한 요소 에 대해서 식 (16)의 시간항을 Euler 후방차분하 면 다음과 같다.
Fig. 2 Geometry of the Poiseuille flow
∆
(17)
여기서 잔류항 은 구하고자하는 에서의 값으로서 Newton 방법과 같이 선형화를 통해 단계의 값으로 다음과 같이 근사화될 수 있다.
≈
∆
∆ (18)식 (18)를 식 (17)에 대입하여 정리하면 다음과 같다.
∆
∆
∆ (19)
이를 계산영역상의 모든 유한 요소에 대해 나타내면 다음과 같은 선형 시스템이 구축된다.
A∆U b (20)
식 (20)의 행렬 는 매우 성긴 block 행렬로서 한 개의 삼각 형 요소에 대해 대각(diagonal) block 한 개와 세 개의 비대각 (off-diagonal) block으로 구성되며, 하나의 block은 이 공 간차원 수이고 가 근사해 Uh를 표현하는 자유도의 개수 일 때, × 의 행 및 열의 길이를 가진다.
이와 같이 구성된 선형 시스템은 Gauss-Seidel 기법을 이용하
Fig. 3 Unstructured meshes for the Poiseuille flow
여 풀이되었다.
3. 수치 결과
3.1 Poiseuille 유동
본 연구를 통해 개발된 불연속 갤러킨 해석자의 정확도를 측정하기 위해서 엄밀해가 존재하는 Poiseuille 유동에 대한 해석을 수행하였다. Poiseuille 문제는 Fig. 2와 같이 직선형 관 양 끝에 압력차가 생겼을 때 발달되는 관내유동으로 비압축 성이라는 가정하에 다음과 같은 엄밀해를 가진다.
constant
(21)
여기서 식 (21)은 비압축성 유동의 엄밀해이므로 본 연구에서 개발한 해석자의 결과와 바로 비교하는 것은 곤란하다. 그러 므로 본 해석에서는 압축성 Navier-Stokes 방정식에 점성이 일 정하다는 조건과 source항을 추가하여 식 (21)이 지배방정식을 만족시키도록 하였다. 이때 추가된 source항은 다음과 같다.
Ux
FkU
FkU∇U S where
S
(22)
개발한 해석자의 정확도를 측정하기 위해 Fig. 3과 같이 80, 266, 1096개의 삼각형 요소로 구성된 비정렬 격자계를 사 용하여 해석을 수행하였다.
Fig. 4는 방향 속도에 대한 norm 오차를 격자의 특성 길이 ∝에 대해 log-log plot으로 나타낸 것이다. 이
h0/h
||uh-uexact||L2
2 4 6 8
10-13 10-11 10-9 10-7 10-5 10-3
DG[1]
DG[2]
DG[3]
DG[4]
Optimal rate 2.12
2.04
3.60
3.39 4.63
4.39
3.98 5.66
Fig. 4 Errors in norm in dependence of mesh spacing:
Poiseuille flow
DOF
|uh-uexact||L2
102 103 104
10-13 10-11 10-9 10-7 10-5 10-3
DG[1]
DG[2]
DG[3]
DG[4]
Fig. 5 Errors in norm in dependence of degrees of freedom:
Poiseuille flow
론적으로 충분히 부드러운 해를 가지는 유동의 경우 근사해 를 차 다항식으로 나타내는 DG[]기법의 최적의 정확도 (optimal error)는 이 된다고 알려져 있으며[15], 실제 수 치 해석 결과 역시 이 됨을 확인할 수 있다.
Fig. 5는 norm 오차를 근사해를 결정하기 위해 필요한 자유도(DOF)에 대해 나타낸 것이다. 격자를 사용한 DG[4] 기법의 경우가 격자를 사용한 DG[1] 기법 의 경우보다 더 작은 자유도를 가지면서도 낮은 norm 오 차를 가지므로 주어진 오차 이내의 정확한 해를 얻기 위해서 는 고차 정확도 불연속 갤러킨 기법을 사용하는 것이 보다 효율적임을 알 수 있다.
X X X XX
X X
X X X X X X X X X X XXXXX
CPU Time(sec)
Residual
100 101 102 103 104 10-14
10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2
Exp DG[1]
Exp DG[2]
Exp DG[3]
Exp DG[4]
Imp DG[1]
Imp DG[2]
Imp DG[3]
Imp DG[4]
X
Fig. 6 Comparison of residual histories for explicit and implicit methods
Fig. 6과 Table 1은 격자에 대해 외재적 시간 적분 법과 내재적 시간 적분법을 각각 적용하여 해석을 수행하였 을 때 해가 수렴할 때까지 소요된 iteration 수와 CPU time을 비교한 결과이다. 내재적 시간 적분법이 외재적 시간 적분법 보다 큰 시간 간격을 허용함으로 인해 해석에 필요한 CPU time이 더 작은 것을 알 수 있으며, 이를 통해 내재적 시간 적분법의 효율성을 확인할 수 있다.
Fig. 7은 내재적 시간 적분법을 사용하였을 때 기법의 차 수 에 따른 잔류항의 수렴곡선을 나타낸 것이다. 잔류항의 수렴속도는 기법의 차수와 무관함을 확인할 수 있다. 본 연구 에서 사용한 내재적 시간 적분법은 식 (19)의 좌변을 구성하 고 있는 내재항과 우변을 구성하고 있는 외재항/잔류항이 동 일한 정확도를 가지도록 구성되므로 동일한 격자계에서는 기 법의 정확도와 무관한 수렴성(-independent convergence)을 확 보할 수 있다.
3.2 평판 층류 유동
불연속 갤러킨 해석자에 대한 추가적인 검증을 위하여 평 판 층류 유동에 대한 해석을 수행하여 표면 마찰 계수와 유
Explicit Implicit
Iteration CPU time Iteration CPU time
DG[1] 600000 400 300 1.5
DG[2] 485700 650 280 15
DG[3] 477600 1670 310 100
DG[4] 465600 3880 330 320
Table 1 Comparison of elapsed CPU times for explicit and implicit methods
Iteration
Residual
0 100 200 300 400
10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4
DG[1]
DG[2]
DG[3]
DG[4]
Fig. 7 -independent convergence of residuals for implicit method ( mesh)
Fig. 8 Computational mesh for flat plate problem
동 속도 분포를 Blasius의 상사해와 비교하였다. 해석에 사용 된 유동 조건은 자유류 마하수 0.2, 레이놀즈 수 100,000 이 다. Fig. 8은 해석에 사용된 비정렬 격자계로 1999개의 삼각형 요소로 구성되어 있으며 전체 계산 영역은 ×
의 사각형 영역이고 이때 평판은 에서부터 시작된다.
평판 표면에서의 첫 격자점 수직방향 높이는 × 으 로 결정되었다.
왼쪽과 윗면의 경계에서는 Riemann invariant를 이용한 아 음속 흡입/배출 경계 조건을 사용하였고 오른쪽의 경계에서는 외삽 경계 조건(extrapolation boundary condition)을 사용하였다.
아랫면에서는 평판의 앞부분 에서는 대칭 경계 조건 (symmetry condition)을 사용하였고 평판 ≥ 에서는 유동 점착 조건과 단열 조건을 사용하였다.
Fig. 9는 마하 등선도를 축 방향으로만 10배 확대하여 나
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
-0.0005 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003
mach:0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19
DG[1]
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04
-0.0005 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003
Mach:0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19
DG[4]
Fig. 9 Mach number contour for the flat plate problem (DG[1] and DG[4] result)
타낸 것이다. DG[1]의 경우 경계층에 불연속적인 부분이 관 찰되지만 DG[4]의 경우 평판 수직방향의 2개의 격자 요소만 으로 경계층을 부드럽게 표현하고 있음을 확인할 수 있다.
다음으로 사용한 DG 기법의 정확도에 따른 해석 결과의 차이를 확인하기 위해서 평판의 표면 마찰 계수를 Blasius 상 사해와 비교하였다. 이때 Blasius 상사해는 자유류의 속도를
∞, 동점성 계수를 라고 했을 때 식 (23)와 같이 나타난다.
∞
(23)
여기서 와 는 log-log plot을 하였을 때 선형의 관계를 가 짐을 알 수 있고 이러한 결과는 Fig. 10에서도 나타난다. 또한 기법의 정확도가 높아짐에 따라 수치해가 Blasius 상사해의 값으로 수렴해 가는 것을 확인할 수 있다.
Fig. 11과 Fig. 12는 지점에서 유동 속도 분포를 normalized wall distance 에 대해 나타낸 것으로, 이때 는 식 (24)와 같이 나타난다.
∞
(24)
xxxx xxxx
xx xxx
xxx xxx x x x x
x xx xx
x
SkinFrictionCoefficient
10-4 10-3 10-2 10-1 100 10-2
10-1
DG[1]
DG[2]
DG[3]
DG[4]
Blasius
x
Fig. 10 Logarithmic plot of the skin friction coefficien of the flat plate
x x
x x
x x x x x
x
x
η U/U∞
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
DG[1]
DG[2]
DG[3]
DG[4]
Blasius
x
Fig. 11 Tangential velocity profiles at
계산된 수치해를 Blasius 상사해와 비교해 보면 수평 방향 의 속도 분포는 DG[1] 기법일 때를 제외하고 기법의 정확도 차수에 따른 차이가 적은 반면, 수직방향의 속도 분포는 기법 의 차수에 따른 차이가 크게 나타나 DG[4] 기법을 사용하였 을 때 Blasius 상사해와 가장 잘 일치하는 것을 확인할 수 있 다.
source항이 없는 압축성 Naiver-Stokes 방정식을 지배 방정 식으로 사용한 경우에도 -independent convergence가 성립하 는지 확인하기 위해 DG 기법의 차수 에 따른 잔류항의 수 렴곡선을 비교하였다. Fig. 13에서 DG[1] 기법을 사용하였을 경우 다른 고차 기법에 비해 다소 빠른 수렴속도를 보이지만 이를 제외한 나머지 DG[2-4] 기법들은 동일한 수렴속도를 가
x x x
x x x
x
x x x
x
x
η V/(U∞/2sqrt(Rex))
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
DG[1]
DG[2]
DG[3]
DG[4]
Blasius
x
Fig. 12 Normal velocity profiles at
Iteration
Residual
200 400 600
10-16 10-14 10-12 10-10
10-8 DG[1]DG[2]
DG[3]
DG[4]
Fig. 13 -independent convergence of residuals for the flat plate problem
지는 것을 확인할 수 있다.
3.3 이차원 원형 실린더 주위 유동
개발된 고차 정확도 불연속 갤러킨 기법을 이용하여 이차 원 원형 실린더 주위 유동을 해석하였다. 정상 유동 해석을 위하여 자유류 마하수 0.1, 레이놀즈 수 40의 유동 조건을 채 택하여 해석을 수행하였다. 해석에 사용된 격자계는 Fig. 14에 나타낸 바와 같이 1424개의 삼각형 요소로 구성되어 있으며 실린더의 지름을 라고 할 때 계산 영역의 크기는
× 이고 실린더 표면에서 격자 요소의 크기는
이다. 이때 격자질에 의한 오차를 최소화하기 위하여 상하 대
