1. 서 론
최근 들어 급속한 경제 발전에 따라 현대인의 식습관과 생활 환경의 변화로 우리나라에서도 혈 관계 질병으로 고통 받는 사람들이 늘어나고 있다.
특히 혈관은 인체에서 산소와 양분을 공급하는 통 로로서 중요한 역할을 하고 있으며 혈관에 대한, 문제는 주로 혈관 자체의 물리적 특성의 변화로
인해 발생되고 이를 해결하기 위해 내 외과적인, , 방법으로 치료하고 있다.
혈관에 대한 외과적인 치료를 위해서 풍선혈관성 형술(Balloon Angioplasty), 혈관 이식(Blood Vessel
스텐팅 등의 시술이 수행된다 이
Grafting), (Stenting) . 러한 시술을 위해서는 혈관에 대해 생리학적인 관 점에서 인체 내 타 조직과의 적합성 및 이질재료로 인한 독성평가 외에도 혈관에 대한 역학적인 분석 과 해석이 확보되어야 한다는 의견이 힘을 얻고 있 다 이와 함께 고혈압과 같은 인체 내부의 요인이. 혈관벽에 미치는 영향을 고려해야 한다 이런 필요. 성은 혈관에 대한 역학적 특성에 대한 지식을 요구 학술논문
< > DOI http://dx.doi.org/10.3795/KSME-B.2011.35.11.1219 ISSN 1226-4881
잔류응력 효과를 고려한 고혈압 상태에 있는 혈관벽 내의 응력분포에 대한 연구
최 재 우* · 최 덕 기*
단국대학교 기계공학과
*
A Study on Effect of Residual Stress on Stress Distribution of Arterial Walls Under High Blood Pressure
Jae Woo Choi* and Deok Kee Choi*
* Dept. of Mechanical Engineering, Dankook Univ.
(Received May 2, 2011 ; Revised October 5, 2011 ; Accepted October 12, 2011)
Key Words: Energy Function(에너지함수), Hyper Elastic(초탄성),High-blood Pressure(고혈압), Residual Stress(잔류응 력), Stress Distribution(응력분포)
초록: 최근 생활 환경의 변화로 혈관계 질병으로 고통 받는 사람들이 늘어가고 있다 이에 따라 질병을. 치료하기 위해 여러 가지 시술을 하게 되는데 있어서 혈관의 역학적인 분석과 해석이 확보되어야 한 다. 본 논문에서는 초탄성 이론을 기초로 하여 탄성 대변형에서의 혈관의 역학적인 거동에 대해 알아 보았다 이를 통하여 정상혈압과 고혈압일 때 혈관에 작용하는 응력과 열림각으로 나타낼 수 있는 잔류. 응력의 효과가 각 방향 응력분포에 미치는 영향에 대해 연구하였다 그 결과 잔류응력 효과를 적용시켰. 을 때 혈관 벽내에 작용하는 최대응력은 잔류응력 효과가 없을 경우와 비교하여 약 50%응력 감소가 나 타남을 확인할 수 있고 고혈압의 경우 정상혈압일 때보다, 2배정도의 큰 응력이 혈관벽에 작용함을 확 인 할 수 있었다.
Abstract: Due to recent changes in living conditions, people who suffer from vascular disease have been increasing.
As a result, several kinds of procedures to treat diseases of the blood vessels are being carried out and the epidemiological analysis and interpretation is needed. In this paper, the mechanical behavior of blood vessels based on hyperelastic model were evaluated. The stress distributions in the arterial walls subjected to both normal blood pressure and high blood pressure are studied along with different opening angles representing as the effect of the residual stress.
As a result, when applied to residual stress effects in blood vessels to act maximum stress compared to as the absence of residual stress effect about 50% stresses can be reduced. When high blood pressure was the normal blood pressure acting on the blood vessel wall that twice stress can be confirmed.
§ 이 논문은 2011년도 대한기계학회 바이오공학부문
춘계학술대회(2011. 4. 28.-30., 포항공대 발표논문임) Corresponding Author, [email protected]
2011 The Korean Society of Mechanical Engineers
Ⓒ
하게 되고 풍선혈관성형 혈관 이식 스텐팅 등은, , 모두 혈관의 역학적인 해석을 필요로 한다.
혈관 내에서는 혈액의 유동으로 인한 압력이 작용하고 상대적으로 탄성변형이 크게 나타나게, 되어 비선형 탄성 거동을 하게 된다 혈관의 역학. 적 거동을 설명하기 위해서는 비선형 재료 모델 을 사용한 해석이 필요하게 된다.
Holzapfel(1)에 의하면 Fung(2)은 토끼 대동맥 시편 을 사용하여 혈관의 기하학적 수치와 인장 하중 조 건에서 실험 결과를 바탕으로 제안한 지수함수 형 태의 변형에너지 함수를 통해 혈관에 작용하는 내 압과 변형과의 관계를 나타내었다 여기서 혈관은. 3 차원의 실린더 형태의 간략한 모델로 제안 되었으 며 잔류응력에 대한 효과는, Vossoughi(3)에 의하면 혈관시편을 원주 방향을 따라 잘랐을 때 혈관이 벌 어지는 현상을 관찰하여 혈관이 벌어진 상태를 아 무런 응력이 작용하지 않는 상태(Stress-free 로 하고 혈관이 벌어진 각도를 측정하 configuration) ,
여 혈관이 벌어진 상태에서 원통형 상태(Load free– 의 혈관으로 오무려지게 만드는 응력을 configuration)
혈관에 작용하는 잔류응력으로 생각하였다.
실제혈관은 단순한 실린더 형태가 아닌 여러 개의 층으로 이루어져 있고 각 층은 파이버가 들 어있는 복합재료의 형태를 취하고 있다.(4)
Holzapfel(1)은 섬유강화 복합재료(Fiber-reinforced 의 역학적 이론을 바탕으로 하여 복층 composites)
구조의 섬유강화 복합재료 모델을 제시하고 이를 사용하여 혈관에 작용하는 내압과 혈관의 확장에 대해 연구하였다.
최근에는 동물의 혈관이 아닌 사람의 혈관을 사용하여 유한요소법을 사용하여 혈관의 응력 분 포를 구하는 연구나 혈관을 원주방향으로 잘랐을 때 발생하는 열림각이 일정한 각도를 유지하는 모델이 아닌 열림각이 원주방향에 따라 다른 모 델에 대한 연구등이 진행되고 있다.
본 논문에서는 해석적 방법을 통하여 복잡한 형 태의 혈관 모델이 아닌 단순한 형태의 등방성 혈 관 재료모델부터 시작하여 복층구조의 비등방성 혈 관 재료모델에 대하여 역학적인 거동에 대해 알아 보고 이를 통하여 정상혈압과 고혈압일 때 혈관에, 작용하는 각 방향 응력분포와 열림각으로 나타낼 수 있는 잔류응력의 효과가 각 방향 응력분포에 미 치는 영향을 알 수 있고 혈관에 작용하는 응력이 혈압에 따라 어떠한 변화를 갖는지 연구하였다.
2. 배경이론
2.1 혈관의 구조
일반적으로 동맥혈관은 탄력성 동맥(Elastic artery) 과 근육성 동맥(Muscular artery)으로 나뉜다 탄력성. 동맥은 심장과 가까이 위치해 있고 큰 지름을 가진 다 예를 들어 대동맥. (Aorta), 경동맥(The carotid), 장 골동맥(Iliac artery) 등이 포함된다.
근육성 동맥은 심장과 떨어진 주변부에 위치한 동 맥으로 대퇴동맥(Femoral), 복강동맥(Celiac artery), 대 뇌동맥(Cerebral arteries) 등이 있다. Fig. 1은 탄력성 동맥의 내막(Intima), 중막(Media), 외막(Adventitia) 이 렇게 개의 다른 층으로 이루어진 구조를 나타내고3 있다.
먼저 내막(Intima)은 혈관의 내면을 덮는 단순 편평 상피로 된 내피를 포함하고 내피 세포들은, 서로 밀접하게 연결되어 매끄러운 표면을 형성해 혈액이 혈관강을 통해 흐를 때 마찰을 감소 시켜 준다. 중막(Media)은 환상근으로 배열된 평활근 세포와 탄력섬유로 되어있고 혈관운동신경섬유를, 포함하고 있어 인체의 요구에 따라 혈관 수축 및 확장을 일으키고 동맥에서 가장 두터운 층으로 혈압과 혈액순환 유지에 중요한 역할을 한다 마. 지막으로 외막(Adventitia)은 헐겁게 짜여진 교원 섬유로 이루어져 있고 혈관을 보호하고 혈관을, 주위 구조에 고정시키는 역할을 한다.(4)
혈관 해석을 위한 연속체역학 이론 2.2
변형전의 좌표를 X 변형 후의 좌표를, x라고
Fig. 1 Diagrammatic model of the major components of a healthy elastic artery composed of three layers : Intima, Media, Adventitia
Fig. 2 Arterial ring in the reference configuration (Ω0), the load-free configuration(Ωres) and current configuration(Ω)
하면 변형을 위한 식은 다음과 같이 주어진다.
x X (1)
변형구배텐서는 다음과 같이 정의한다.(5) FX X X (2) 에서 변형 전 상태
Fig. 2 (Reference configuration) 는 원주 방향으로 잘라져 있는 상태로써 하중과 잔류응력이 모두 작용하고 있지 않은 상태이고, 1 차적인 변형으로 원주방향으로 잘려 벌어져 있는 혈관을 관 모양으로 다시 오므려 만든 상태,
즉 하중은 작용하고 있지 않으나 잔류응력은 존재하고 있는 상태(Load free configuration)가 첫 번째 변형이 일어난 상태이다. 2차적인 변형은 혈 관 내에 내압이 가해져 혈관이 팽창한 상태로써 모든 변형이 이루어진 변형 후 상태(Current
를 말한다 에서 변형을 위한
configuration) . Fig. 2 식은 다음과 같이 정의 된다.
erzez (3) 식 (3)과 비압축성 조건( 을 통해)
는 다음과 같이 정의된다.
(4)
식 (4)에서 는 축 방향 신장률을 의미하고 불변량이다. 는 열림각( 과 관계된 변수로써) 다
음과 같이 표현할 수 있다.
(5) 식 (4)에서 정의된 를 로 미분하여
방향 신장률과 비틀림을 다음과 같이 정의 할 수 있고,
(6)
여기서 는 모두 에 대한 함수 형태 로 표현되는 것을 알 수 있다. 식 (6) 과 비압축 성조건( 을 사용하여 변형구배텐서) F를 구하면 다음과 같다.
F er⊗ER e⊗E
e⊗EZ zez⊗EZ (7)
초탄성 재료 모델 2.3
물체에 응력이 가해지면 그로 인해 변형이 생 기고 그 변형으로 인해 에너지가 물체의 내부에, 저장이 되는데 그것을 변형률 에너지라 한다 이. 러한 변형률 에너지를 함수로 표현한 것을 에너 지 포텐셜 함수라고 하며 자료의 특성을 텐서를 사용하여 식을 구성하는 경우에 유용하다.
초탄성 재료 모델을 위한 Green-Lagrange 변형 텐서(E 로 이루어진 에너지 포텐셜 함수) ( 를 응) 력의 형태로 나타내기 위해서 에너지 포텐셜 함 수를 Green-Lagrange 변형 텐서로 미분을 취하면 다음과 같이 표현된다.
S E
E (8)
식 (8)에서 S는 2차 Piola-Kirchhoff(PK2) 응력이 고 다음과 같이 구형응력, (S)과 일탈응력( S 의) 합으로 표현된다.
S S S
여기서 구형응력과 일탈응력은 다음과 같다.
S C S E
(9)
식 (9)에서 연산은 다음과 같은 deviatoric 을 의미한다.
∙ ∙
∙ C C (10)
응력은 물리적인 의미를 갖는
PK2 Cauchy 응력
으로 변환시켜 사용하는 것이 보편적이고 Cauchy 응력과 PK2응력의 관계식은 다음과 같다.(6)
FSFT (11) 식 (11)을 통해 얻은 Cauchy응력도 구형응력 ()과 일탈응력( 으로 구분되고) ,
여기서 구형응력과 일탈응력은 다음과 같다.
I F E
F (12)
식 (12)에서 연산은 다음과 같은 deviatoric 을 의미한다.
∙ ∙
∙ II (13)
평형방정식 2.4
원통 좌표계의 평형 방정식에서 체적력을 무 시하고 특이해(non-trivial)에 대한 항만 표현하면 다음과 같다.
dd
(14)
식 (14)에서 과 는 식 (11)에 의해 구한 Cauchy응력의 , 의 성분을 의미 한다.
혈관은 내압외에 외부에서의 압력은 작용하지 않 는다는 가정에서
과 같은 경계조건이 성립되고 이 경계조건을 적용하여 적분을 수행하면 다음과 같고, 은 혈관 내에서 작용하는 압력과 다음과 같은
관계를 갖는다.
d (15)
는 정리하면 와 에 관한 식으로 정리된다. 는 에 내부경계조건을 적용해 나 타낸 것으로 와는 다음과 같은 관계를 갖는다.
d
(16)
식 (16)는 직접 적분이 불가능하므로 3 point 를 통하여 수치적분 하였고 적분
Gauss-quadrature ,
형태는 다음과 같이 표현된다.
(17)
여기서 는 가중치이고 는 Gauss Point 이 다.(7) 식 (17)은 를 변수로 갖는 방정식의 형태 로 표현된다. 가 주어지면 를 미지수로 갖는 방정식 식 (17) 을 풀 수 있다 이 방정식은 매우. 복잡한 형태로 정리되기 때문에 수치적인 방법을 통하여 를 구해야 한다 여기서는 위의 방정식. 의 해를 얻기 위해 Newton법을 사용하였다 식.
의 괄호안의 식을 통해 수치적으로 구한
(16) 를
로 바꿔줄 수 있고 이것으로 내압조건이 주어졌 을 때 혈관의 변형크기를 알 수 있다.
혈관모델의 방향의 Cauchy 응력을 구하기 위해서는 식 (12) 에서 구형응력 즉 정수압 항을, 계산해 주어야 한다 정수압 항은 다음과 같이. 의 함수로 표현된다.
E
d (18)
식 (18) 에서 에 대해 정리하여 풀면 혈관의 임의의 한 지점에서의 정수압을 구할 수 있고 다 음 식을 통해 각 방향 Cauchy응력을 구할 수 있다.
ERR
E
(19)
E
ZZ
결과 및 고찰 3.
3.1 Fung 의 에너지함수를 사용한 해석 Fung
,
. Fung Humphrey(8) .
Fung
Cauchy . Fung .
exp
E EZZ ERR E EZZ
EZZERR ERRE EZ
ERZ ER (20)
Fung(9) (20)
~ , ,
, , ,
, , , 0° ,
, 160°
, . Fig. 3
0
160 .
,
Holzapfel .
. 는 내압이 없을 때 열림 각과
Fig. 4 =1.7로 인
해 발생하는 잔류응력을 그린 것이다 혈관은 체내. 에 고정 되어 있고 이로 인해 방향으로 미리 당겨 져 있는 현상을 보인다. in vivo상태에서 이러한 현 상의 값은 Fung(10)의 실험과 계산을 통해
의 값을 가짐을 알아내었고 본 연구에서도 혈관이, 인체 내에 있는 고정되어 있는 상태와 최대한 비슷 한 조건을 만족시켜주기 위하여 로 하여
Fig. 3 Deformation behavior of a rabbit carotid artery during inflation for Fung's strain energy function
Fig. 4 Plot of the residual stresses in the circum- ferential, axial and radial directions through the deformed layer in the physiological state with pi=0(kPa), α=160°
잔류응력을 계산하였다. Fig. 5 는 내압이 13.33kPa 사람의 평균 정상혈압
( ) 이 작용할 때
Cauchy .
Fig. 5
53.4%
.
.
.
Fig. 5 Plot of the principal Cauchy stresses in the circumferential, axial and radial directions through the deformed layer in the physiological state with pi=13.33(kPa)
. Fig. 6 21.33kPa
Cauchy .
109.4%
. 2
.
3.2 Multi-layer 모델을 사용한 해석 Holzapfel
.(11)
Fig. 1 3
Intima
, Von Maltzahn (12) Yu (13) Xie (14)
Media Adventitia
Fig. 6 Plot of the principal Cauchy stresses in the circumferential, axial and radial directions through the deformed layer in the physiological state with pi=21.33(kPa)
Fig. 7 . 실제 혈관의 구조를 살펴보 았을 때 혈관은 여러개의 층으로 되어있고 각 층 의 물성이 각각 다르므로 Multi-layer 모델이 실제 혈관의 구조와 더 유사한 형태를 가지고 실제혈, 관에서 볼 수 있는 섬유부분의 구현이 되어있는
모델이 등방성 재료모델로 해석된
Multi-layer
모델보다 더 정확한 예측이라 생각된 Single-layer
다 여기서. Multi-layer .
exp exp
≦ ≦
exp exp
≦ ≦ (21)
Fig. 7 Multi-layer 2-families fiber artery model proposed by Holzapfel(1)
(21) .
Media Adventitia
.
, , .
M A Media Adventitia , Media Adventitia
. Fung(9)
Media , ,
, Adventitia ,
, . Media Adventitia ,
°, , ° , 0° , 160°
.
Fig. 8 ,
0
, 160
.
, Holzapfel
. Fung
. Fig. 9
=1.7 .
Media Adventitia
Fig. 8 Deformation behavior of a rabbit carotid artery during inflation for multi-layer model energy function
Fig. 9 Plot of the residual stresses in the circum- ferential, axial and radial directions through the deformed layer in the physiological state with pi=0(kPa), α=160°
.
Media Adventitia
Media Adventitia ,
Media Adventitia
. Adventitia Media
. Multi-layer Holzapfel
(13.33kPa) Cauchy
Cauchy .
Fig. 10 Plot of the principal Cauchy stresses in the circumferential, axial and radial directions through the deformed layer in the physiological state with pi=21.33(kPa)
612kPa,
293.2kpa 52.1%
.(1)
Fig. 10 (21.33kPa) Cauchy 97.8%
, Fung
. Media
Adventitia
. fiber
. Media fiber .
Media fiber
. Adventitia fiber Media
. fiber
Media
Adventitia .
Media
.
4. 결 론
, 4
.
Fung
456.4kPa .
212.8kPa
53.4%
.
1010.6kPa,
445.6kPa 55.9%
. .
109.4%
.
2 .
Multi-layer Media
Adventitia
,
.
612kPa , 293.2kPa 52.1%
,
1267.7kPa, 580kPa 54.2%
. Fung
,
97.8%
Fung
. 실제 혈관의 구조를 살펴보았을 때 혈관은 크 게 3개의 층으로 되어 있고 각 층의 물성이 각각 다르므로 Multi-layer 모델이 실제 혈관의 구조와 더 비슷한 형태이고 실제혈관에서 볼 수 있는 섬, 유부분의 구현이 되어 있는 Multi-layer 모델이 등 방성 재료모델로 해석된 Single-layer 모델보다 더 정확한 예측이라 생각된다.
.
.
,
.
.
참고문헌
(1) Holzapfel, G. A., Gasser, T. C. and Ogden, R.
W., 2000, "A New Constitutive Framework for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models," Journal of Elasticity, Vol.
61, No. 1~3, pp. 1~48.
(2) Fung, Y. C,. Fronek, K. and Patitucci, P., 1989,
“Pseudoelasticity of Arteries and the Choice of Its Mathematical Expression,” Am. J. Physiol, Vol. 237, No. 5 pp. H620~H631.
(3) Vossoughi, J., Hedjazi, Z. and Boriss, F.S.I., 1993, “Intimal Residual Stress and Strain in
Large Arteries,” 1993 ASME Advances in Bioengineering, pp. 434~437.
(4) Silver, F. H., Christiansen, D. L. and Buntin, C.
M., 1989, "Mechanical Properties of the Aorta : A Review," Critical Reviews in Biomed. Eng., Vol. 17, No. 4, pp. 323~358.
(5) Choi, D. K., 2007, "Introduction to Continuum Mechanics Using Tensorial Approach," Intervision, Seoul.
(6) Belytschko, T., Liu, W. K. and Moran, B., 2000, "Nonlinear Finite Elements for Contua and Structures," John Wiley&Sons, England.
(7) Hughes, T. J. R., 1987, "The Finite Element Method : Linear Static and Dynamic Finite Element Anlysis," Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ (8) Humphrey, J. D., 1995, "Mechanics of Arterial
Wall : Review and Directions," Critical Reviews in Biomed. Eng., Vol. 23, pp. 1~162.
(9) Choung, C. J. and Fung, Y. C., 1983, "Three- Dimensional Stress Distribution in Arteries,"
J.Biomech. Eng., Vol. 105, pp. 268~274.
(10) Fung, Y. C. and Liu, S. Q., 1989, “Change of Residual Strains in Arteries Due to Hypertrophy Caused by Aortic Constriction,” Circulation Research, vol 65, pp. 1340~1349.
(11) Holzapfel, G. A., 2000, "Nonlinear Solid Mechanics. A Continuum Approach for Engineering,"
Wiley, Chichester.
(12) Von Maltzahn, W. W. and Warriyar, R. G., 1984, "Experimental Measurements of Elastics Properties of Media and Adventitia of Bovine Carotid Arteries," J.Biomech. Eng., Vol. 17, pp.
839~847.
(13) Xie, J., Zhou, J. and Fung, Y. C., 1995,
"Bending of Blood Vessel Wall : Stress-Strain Laws of the Intima-Media and Adventitia Layers,"
J.Biomech. Eng., Vol. 117, No. 11, pp. 136~145.
(14) Yu, Q., Zhou, J. and Fung, Y. C., 1993,
"Neutral Axis Location in Bending and Young’s Modulus of Different Layers of Arterial Wall,"
Am. J. Physiol., Vol.265, No. 1, pp. H52~H60.
