Œ ˜ m ¹ ÅV R Ë ± q “ Ö ¨T  ŒŽ Ò Þ À W ¥ – ¥= k8 ý R Ž Ö «U ê sV R Ë; c å ¾ ˔ X ¢ [ c p Œ

R

Œ ˜ m ¹ ÅV R Ë ±  q “ Ö ¨T   ŒŽ Ò Þ À W ¥ – ¥= k8 ý R Ž Ö «U ê sV R Ë; c å ¾ ˔ X ¢ [ c p Œ

*

>

( å 0 å  ·  ™ »‡ ç ¡9 

Õ

ü æz  ´@ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , " fÖ  ¦ 156-743

(2011¸   10 Z 4 13{ 9  ~ à Î6 £ §, 2011¸   12 Z 4 15{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2012¸   1 Z 4 9{ 9  > F  S X ‰& ñ )

Y

Us Z  t Ý ¼ à º  H ç  H{ 9 ô  Ç Ä »^ ‰\   H è ß –À Ó + þ A$ í ÷ &“ ¦ s  è ß –À Ӎ  H : Ÿ x > & h “   1 p x ~ ½ Ó$ í `  ¦ ¹ Á a  .  H Û ¼H  { 9

\ " f Ä »^ ‰\  \  -t \  ¦ Å Ò{ 9  €  , è ß –À Ó\  _  # Œ \  -t  & h & h   8  Œ •“ É r Û ¼H { 9 – Ð „  s ÷ &“ ¦  Å Ò  Œ •

“ É

r Û ¼H { 9 \ " f  H & h $ í \  _  # Œ \  -t  ™ èz  ´÷ &  H õ & ñ `  ¦  u €  " f & ñ  © œ  © œI \  • ¸² ú ˜ô  Ç . F ½ ©  



o ç  H : r _  ~ ½ ÓZ O `  ¦ & h 6   x # Œ \  -t  „  s \  ¦ s  : r& h Ü ¼– Ð ì  r$ 3   9€   Û ¼H { 9 _  t à º Z O g Ë :`  ¦  Ø Ô  H 1 p x

~

½ Ó$ í ½ ¨1 l x ¸ ú š6 £ §`  ¦ • ¸{ 9    H  כ s  ¼ # o   . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H ì ø ̈́  $ í s  $ í w n ÷ &t  · ú §  H ¸ ú š6 £ § $ í ì  r`  ¦ ' ‘ 

# Œ s  כ s   l    H è ß –À Ó_     o\  ¦ ( Ž É Ó'  r Ó ý t Y Us ‚  `  ¦ : Ÿ x # Œ „ à н ¨ % i  . @ /³ ð& h Ü ¼– Ð, Y Us Z  t Ý

¼ ‚  5 Å q(flux) \  q 1 p x ~ ½ Ó& h “   ' Ÿ I 
 
" f, 0s      ¨ î ç  H& h “   \  -t  ‚  5 Å q s  q 1 p x ~ ½ Ó& h Ü ¼– Ð ” > r F  ô

 Ç   H  כ `  ¦ · ú ˜€ Œ ¤ . s – РÒ' , q ì ø ̈́  $ í _  è ß –À Ӎ  H Ä »^ ‰_  ¨ î ç  H& h “   @ /À Ó\  ¦  l ½ + É Ã º e ”    H   õ 

\ 

¦ % 3 `  ¦ à º e ” % 3  .

Ù þ

˜d ” # Q: q 1 p x ~ ½ Ó$ í Y Us Z  t Ý ¼ ‚  5 Å q, è ß –À Ó, Ä »1 l x

Study on the Asymmetry of Fluid Transport due to Noise

Byung-Hoon Min · Chang Bae Kim ^∗

Physics Department, Soongsil University, Seoul 156-743

(Received 13 October 2011 : revised 15 December 2011 : accepted 9 January 2012)

Flows of large Reynolds number show statistically isotropic turbulence. If energy is put into the turbulent fluid at large scale, the energy cascades locally to smaller scales and eventually dissipates due to viscosity, with the fluid reaching the steady state. As is proven in the renormalization-group approaches, when studying the result of the energy cascade it is useful to consider noise with an of isotropic power-law correlation spectrum. Additionally, in the present work, in order to work on the asymmetry caused by the noise, we present another element of noise that is not invariant under reflection. Numerical simulations of the two-dimensional Navier-Stokes equation reveal that the Reynolds stress becomes anisotropic and that depending both on the overall amplitude of the noise and on the relative strength of the reflection-non-invariant noise, the mean energy flux can be finite. Based on the observation, one can argue that global advection may arise due to noise, that is not invariant under reflection.

PACS numbers: 47.27, 47.27.Q

Keywords: Anisotropic Reynolds stress, Turbulence, Advection

∗

E-mail: [email protected]

-56-

I. " e  ] Ø

&

h

$ í s  Ø  æì  r y   Œ •  Y Us Z  t Ý ¼ à º(Re)  Å Ò  H Ä »^ ‰



 H è ß –À Ó Ò q t|   . ë ß –€  • 6   x l \  { Œ ™ e ”   H ± ú “ É r & h $ í _  Ä »

^

‰\  ¦ > 5 Å q 6 f$ # QŠҍ  H î  r X < r ç ß –s  ô  ǂ à Рt 
€   Ä »^ ‰



 H & ñ  © œ © œI \  • ¸² ú ˜½ + É  כ Ü ¼– Ð \ V8 £ ¤ ½ + É Ã º e ”   H X <, s  כ “ É r ü

@Â Ò ½ ¨1 l x j Ë µ_   0 >ü <  Œ •“ É r Û ¼H { 9 \ " f & h $ í \  _  # Œ



l ÷ &  H \  -t  ™ èz  ´ Ö  ¦ s  ° ú   t l  M :ë  H s  . 7 £ ¤, ü @ Ò

\

" f ] j/ B N   H  H Û ¼H { 9 _  \  -t   H & h & h   8  Œ •“ É r H { 9  _

 “™ è6   x[  t s ”(eddy)[ þ t – Ð „  s ÷ &  & h $ í _  \  -t  ’ < H z 

´`  ¦ Á ºr ½ + É Ã º \ O   H Û ¼H { 9 \ " f  H \  -t  ™ èz  ´÷ &  H

 כ

s  . Kolmogorov\   Ø Ô€    € ª œô  Ç Û ¼H { 9 `  ¦  6 £ § õ 

° ú

 s  [ j  Òì  r Ü ¼– Ð
¾ º  H  כ s  ¼ # o   . 7 £ ¤, \  -t  Å Ò { 9

÷ &  H  H Û ¼H { 9 _  \  -t  % ò % i , & h $ í s  ×  æ כ ¹ >  ÷ &  H



Œ

•“ É r Û ¼H { 9 _  & h $ í % ò % i , Õ ªo “ ¦ Õ ª Ñ ü t _  î  r X <\  0 Au  ô

 Ç › ' a$ í % ò % i (inertial range, IR)s  . Kolmogorov [ O 

\

  Ø Ô€   ç  H{ 9 ô  Ç  Œ ™ " é ¶ _  Ä »^ ‰\ " f  H › ' a$ í % ò % i _  Û ¼ H

{ 9 \ " f „  s ÷ &  H r ç ß – { © œ \  -t ( ˙ε)  H { 9 & ñ  “ ¦   H



½ + É Ã º e ” Ü ¼ 9, Õ ª\     • ¸Ø  ¦ ) a \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 “ É r ( Ž  É

Ó'  r Ó ý t Y Us ‚  õ  z  ´+ « >\ " f  z  ´– Ð “  & ñ `  ¦ ~ à Γ ¦ e ”  .

‰

&

³ © œ : r& h “   8 £ ¤€  \ " f è ß –À Ó_  b ” d ç õ  › ' aº   ) a % i ½ + ɓ É r “ ™ è 6

 

x[  t s  & h $ í ” (eddy viscosity)   H > h¥ Æ `  ¦  6   x # Œ [ O 

"

î ô  Ç . ô  Ǽ # , Re  H s  " é ¶ è ß –À Ó Ä »^ ‰_   â Ä º\   H  Œ ™

" é ¶ Ä »^ ‰\ " f ˜ Д > r ÷ &  H \  -t  ü @\ • ¸ vorticity_  ] jY  L

“

  enstrophy• ¸ † < Êa  ˜ Д > r s   ) a  .   " f, \  -t   ^ ‰

&

h Ü ¼– Ð Ò q t$ í ÷ & 
 ü @ Ò\ " f / B N/ å L ÷ &  H Û ¼H { 9 _  € ª œA á ¤ Ü ¼

–

Ð ¿ º > h_  › ' a$ í % ò % i s  ” > r F ½ + É Ã º e ”  . 7 £ ¤, \  -t  % ò % i 

˜

Ð   Œ •“ É r Û ¼H { 9 \ " f  H r ç ß – { © œ „  s ÷ &  H enstrophy _ 

€

ª œ( ˙η)s  { 9 & ñ >  & h & h   8  Œ •“ É r Û ¼H { 9 – Ð „  ² ú ˜÷ &  H › ' a

$ í

% ò % i (normal cascade inertial range, NCIR)õ  \  -t 

% ò

% i ˜ Ð   H Û ¼H { 9 \ " f  H ˙ ε  { 9 & ñ >   8  H Û ¼H { 9 

–

Ð „  ² ú ˜÷ &  H % i „  s  % ò % i (inverse cascade inertial range, ICIR) s  . Kolmogorovü <  7 H t ü < Ä » ô  Ç ‰ & ³ © œ : r \     Ä

»Æ Ò½ + É Ã º e ”   H ¿ º > h_  › ' a$ í % ò % i \ " f \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 

•

¸ z  ´+ « >õ  r Ó ý t Y Us ‚  \ " f “  7 £ x ÷ &“ ¦ e ”   [1]. s [ þ t \  › ' a ô

 Ç s  : r& h “   ƒ  ½ ¨\ " f ô  Çt  ~ ½ ÓZ O  : r Ü ¼– Ð & ñ ‚ Ã Ì ÷ &# Q e ” 



 H F ½ ©   oç  H : r& h (RG)“   ] X   H \ " f  H Å Ò{ 9 ÷ &  H ¸ ú š6 £ § _  Û

¼& 7 ˜à Ô! 3 \  " 4  † < Êà º\  ¦  6   x “ ¦ Õ ª t à º\  ¦   à º o # Œ

&

ñ  © œ  © œI \ " f_  \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦ > í ß –½ + É Ã º e ”   [2].

è

ß –À Ó e  ¦  Ý ¼ \ " f• ¸ ×  æ$ í Ä »^ ‰ü < q 5 p w ô  Ç ' Ÿ I \  ¦ ^  ¦ à º e ”

  H X <, RG\  ¦ & h 6   x # Œ Ä »6   x ô  Ç    : r`  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”   [3].

:

£

¤ y , $ í ç ß – / B N ç ß –% ƒ! 3   @ /ô  Ç Û ¼H { 9 _   l  © œs  ” > r F  



 H è ß –À Ó e  ¦  Ý ¼ \ " f  l  © œ_   Ò q t`  ¦ [ O " î   H RG — ¸ 4

S q– Ð" f q ì ø ̈́  $ í ¸ ú š6 £ § _  ½ ¨1 l x s  e ”   [4]. ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f



 H q ì ø ̈́  $ í ¸ ú š6 £ § \  _  # Œ s  " é ¶ Ä »^ ‰\ " f q 1 p x ~ ½ Ó& h 

“

  Ä »1 l x s   l  | ¨ c à º e ”   H t  „ à н ¨ô  Ç . s # Qt   H 2] X \ 

"

f  H ¸ ú š6 £ § _  : £ ¤$ í `  ¦ Ÿ í† < Ê # Œ r Ó ý t Y Us ‚   — ¸+ þ A`  ¦ ™ è> h

“ ¦ 3] X \ " f  H r Ó ý t Y Us ‚  _    õ ü < ì  r$ 3 `  ¦ " fÕ ü t “ ¦ 4] X \ " f  H    : r`  ¦ ë “ B  H  .

II. S ö o Ú7 _T  Ó Å { ¢¨ | 

ü

@ Ò_  ¸ ú š6 £ § s  ½ ¨1 l x   H s  " é ¶ _  ç  H{ 9 ô  Ç q · ú š» ¡ ¤$ í Ä

»^ ‰_  1 l x% i † < Æ\  › ' a ô  Ç Navier-Stokes ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r vorticity Ψ\  ¦  6   x €    6 £ § õ  ° ú   :

∂

t

Ψ + ~ v · ∇Ψ − ν∇

²

Ψ = f . (1) d ”

 (1)\ " f ~v  H Ä »^ ‰_  5 Å q • ¸, Ψ = ˆ z · ∇ × ~ v, ν  H & h $ í Õ ª o

“ ¦ f  H Ä ºr î ß – ¸ ú š6 £ § s  . Fourier / B N ç ß –_    à º ~k– Ð

³

ð‰ & ³ €   ¸ ú š6 £ § _   © œ › ' a † < Êà º  H  6 £ § õ  ° ú    [5]:

hf

~k

(t)f

_~k0

(t

⁰

)i = F

₀

k

^4−2δ



1 + iαˆ s · ˆ k 

δ

_~k+~k0=0

δ(t − t

⁰

) . (2) d ”

 (2)\ " f F

⁰

  H ¸ ú š6 £ § _  [ jl \  ¦ _ p  “ ¦ ፠ H q ì ø ̈́  

$ í

(parity non-conserving, PNC) ¸ ú š6 £ § _   © œ@ /& h “   [ jl 

\

 ¦ ³ ðr   9 ˆs  H PNC ¸ ú š6 £ § _  : £ ¤$ í ~ ½ ӆ ¾ Ós  . è ß –À Ó\  & h  6

 

x ) a l ” > r _  RG ~ ½ ÓZ O [ þ t õ    É r & h “ É r d ”  (2)\  PNC ¸ ú š 6

£

§`  ¦ ' ‘ † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ Õ ª\    É r q 1 p x ~ ½ Ó$ í _  : £ ¤$ í \  › ' a 

#

Œ · ú ˜ ˜ Г ¦  † < Ês  . ô  Ǽ # , d ”  (2)_  PNC ¸ ú š6 £ §  Òì  r`  ¦ i\  ¦ Y  L # Œ ) ‡Ã º– Ð 2 [/ å L ô  Ç  כ “ É r Fourier / B N ç ß –\ " f z  ´ / B N ç ß

–Ü ¼– Ð   ¨ 8 Š €    © œ › ' a † < Êà º  H z  ´Ã º ÷ &# Q  l  M :ë  H s

 . Fourier / B N ç ß –\ " f " f– Ð   É r r ç ß –_  כ ¹1 l x  s _ 



© œ › ' a † < Êà º\  d ”  (2)ü < ° ú  s  ) ‡Ã º  Òì  r s  e ”    H  כ “ É r z  ´ /

B

N ç ß –\ " f  H ¿ º r ç ß –_  „  Ê ê › ' a > \      © œ › ' a † < Êà º  

\

 ¦ à º e ” 6 £ §`  ¦ _ p ô  Ç . d ”  (2)  H q ì ø ̈́  $ í ½ ¨1 l x _    õ 

\

 ¦ „ à н ¨ l  0 AK " f • ¸{ 9 ô  Ç  © œ ç ß –é ß –ô  Ç + þ Ad ” _  à º† < Æ& h 

“

  — ¸+ þ As  . ν  Œ •“ É r  â Ä º\  & h $ í † ½ Ó`  ¦ [ O 1 l x& h Ü ¼– Ð ] X 



 H # Œ d ”  (2)_  ¸ ú š6 £ § s  ½ ¨1 l x   H d ”  (1)\ " f 0s      Ä

»1 l x s  µ 1 ÏÒ q t½ + É Ã º e ”    H  z  ´`  ¦ K $ 3 & h Ü ¼– Ð > í ß –½ + É Ã º e ”

  [5]. d ”  (2)_  δ° ú כ`  ¦ › ¸& ñ † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹  ü @ % ò % i _  ½ ¨ 1

l x(UV forcing, δ < 2) õ  & h ü @ % ò % i _  ½ ¨1 l x(IR forcing, δ > 2)`  ¦ r Ó ý t Y Us ‚   ½ + É Ã º e ”  . 7 £ ¤, UV forcing _   â Ä º

\

 -t  % i  „  s  % ò % i _  + þ A$ í õ  Õ ª\    É r \  -t  ì  r Ÿ í\  ¦

„ Ã

н ¨½ + É Ã º e ” “ ¦, IR forcing_   â Ä º\   H \  -t  „  s % ò % i  _

 + þ A$ í `  ¦ S X ‰ “   “ ¦ \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦ „ à н ¨½ + É Ã º e ”  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H ( Ž É Ó'  r Ó ý t Y Us ‚  `  ¦ : Ÿ x K " f enstrophy

flux Ψ~ v · ∇Ψ _  q 1 p x ~ ½ Ó$ í `  ¦ S X ‰ “   “ ¦ s \  ¦ enstrophy _ 

advection Ü ¼– Ð K $ 3 ½ + É Ã º e ”   H t  „ à н ¨ô  Ç .

III. S ö o Ú7 _T  Ó Å + s ÇÊ Ý

ç

 H{ 9 ô  Ç è ß –À Ó\  ¦ r ƒ     H X < ¼ # o  • ¸2 Ÿ ¤ d ”  (1)`  ¦ Fourier / B N ç ß – (k

x

, k

_y

) – Ð „  ¨ 8 Š ô  Ç Ê ê Ä »ô  Ç ì  r # Œ r ç ß –\ 

@

/ô  Ç 5 Å q • ¸_     o\  ¦ r Ó ý t Y Us ‚   ô  Ç . s \  ¦ 0 A # Œ & ñ   y

Œ

•+ þ A_  r Ó ý t Y Us ‚   (U  ´s  L) % ò % i \   6   x ô  Ç — ¸× ¼_  > hà º



 H 1024

²

– Ð" f ~v

−~k

(t) = ~ v

_~^∗

k

(t)e ” `  ¦  Ö ¸6   x # Œ, z  ´] j  6   x 



 H — ¸× ¼_  k

^x

  H 0  Ò'  2π × 512L, k

^y

  H (−2π × 511/L) Â Ò '

 2π × 512/Ls  . d ”  (1)_  q ‚  + þ A @ /À Ó † ½ ӓ É r pseudo- spectral · ú ˜“ ¦o 1 p u`  ¦  6   x # Œ Fourier / B N ç ß –\ " f z  ´ / B N ç

ß –Ü ¼– Ð   ¨ 8 Š # Œ q ‚  + þ A † ½ Ó`  ¦ > í ß –ô  Ç Ê ê s  כ `  ¦  r  Fourier   ¨ 8 Š ô  Ç . ô  Ǽ # , Fourier   ¨ 8 Š \  à ºì ø Í÷ &  H alias- ing ë  H ] j M :ë  H \  k > k

^max

/3“   — ¸× ¼[ þ t“ É r > í ß –\ " f ] jü @ ô

 Ç . œ íl _   © œ S ! \ " f d ”  (1)`  ¦ ô  Ç r ç ß – Û ¼9 \ œm ”  „  ”  r v 



 H õ & ñ “ É r 2  Runge-Kutta ~ ½ ÓZ O (×  æ ç ß –& h  ~ ½ ÓZ O )`  ¦  6   x ô  Ç



. r Ó ý t Y Us ‚  \ " f  6   x   H r ç ß – Û ¼9 \ œ ∆t d ”  (2)_ 

¸ ú

š6 £ § _   © œ › ' a r ç ß –(4 S q  † < Êà ºs Ù ¼– Ð 0)˜ Ð  Ø  æì  r y  U  ´l  M

:ë  H \  d ”  (1)_  ¸ ú š6 £ § f

k

(t)  H PNC $ í ì  r s  \ O   H  â Ä º(α

= 0)

f

~k

(t) = f

0

k

^2−δ

(∆t)

^−1/2

e

^−iθk(t)

(3) ü < ° ú  s    H   “ ¦, " f– Ð   É r — ¸× ¼ ~kz o  Õ ªo “ ¦ " f– Ð  

 É

r r ç ß – t\ " f  © œ › ' a› ' a >  „  ) € \ O   H  ½ ™ ü    à º θ

^k

(t)\  ¦

•

¸{ 9 ½ + É Ã º e ”   [6]. t ë ß –, PNC ¸ ú š6 £ § $ í ì  r _   â Ä º\ 



 H ¸ ú š6 £ § _   © œ › ' a› ' a > \  e ” # Q" f r ç ß –\  › ' a ô  Ç q  @ /g A$ í

`

 ¦ “ ¦ 9K   Ù ¼– Ð  ½ ™ ü    à º φ

k

(t)\  ¦ Æ Ò # Œ θ

k

(t) ü <

φ

k

(t − ∆t)  s \   © œ › ' a$ í s  e ” • ¸2 Ÿ ¤ ô  Ç . Á ºô  Çy   H ç  H{ 9  ô

 Ç > \ " f  H \  -t 
  ' pÛ ¼à Ԗ Ðx _  „  s \     \  - t

  H t 5 Å q& h Ü ¼– Ð „  s ÷ &# Q : £ ¤& ñ ô  Ç Û ¼H { 9 \  » ¡ ¤& h ÷ &  H ‰ & ³



© œ“ É r
 
t  · ú § ’ xt ë ß –, Ä »ô  Çô  Ç ß ¼l _  % ò % i \ " f r ' Ÿ 

  H r Ó ý t Y Us ‚  _   â Ä º\   H d ”  (2)_  δ° ú כ\      Œ •“ É r Û

¼H { 9 (δ < 0)õ   H Û ¼H { 9 (δ > 0)\ " f \  -t  » ¡ ¤& h  ) a



. s \  ¦ K    l  0 A # Œ  Œ •“ É r Û ¼H { 9 (  H k) \ " f \  -t 

»

¡ ¤& h `  ¦ cutoff r v   H  © œ& h “   œ í& h $ í (hyper-viscosity, ν

p

) ü <  H Û ¼H { 9 ( Œ •“ É r k) \ " f \  -t  cutoff\  ¦ 0 Aô  Ç 



© œ& h “   “S X ‰ í ß –> à º” µ

^p

\  ¦ • ¸{ 9 ô  Ç . 7 £ ¤, r Ó ý t Y Us ‚  \ " f



 H Fourier / B N ç ß –\ " f ³ ð‰ & ³ô  Ç d ”  (1)_  ý a  \  −(ν

p

k

^2p

+ µ

_q

k

^−q

)~ v

_~k

\  ¦ Æ Òô  Ç  [6].

‘

: r  7 Hë  H \  ˜ Г ¦  ) a   õ   H t = 0{ 9  M : ~v = 0\ " f Ø  ¦ µ

1 Ï # Œ L = 2π, ∆t = 5 × 10

⁻⁴

, ν = 1 × 10

⁻⁴

, ν

8

= 1 × 10

⁻³⁶

, µ

0

= 0.05`  ¦ l ‘ : r   à º– Ð r Ó ý t Y Us ‚   ô  Ç  כ s

 . \  -t _  % i  „  s \  _  # Œ › ' a$ í % ò % i s  + þ A$ í ÷ &  H



© œ S ! _  r Ó ý t Y Us ‚  “ É r δ = 0.5, ¸ ú š6 £ § s   Ò÷ &  H % ò % i “ É r 1 ≤ k ≤ 240, Õ ªo “ ¦ IR forcing_   â Ä º\   H δ = −3,

¸ ú

š6 £ § s   Ò÷ &  H % ò % i “ É r 6 ≤ k ≤ 240 s  . Õ ªa Ë > 1\ " f

Fig. 1. Existence of inertial ranges (40 ≤ k ≤ 140):

Nearly constant energy flux under UV forcing (noise power exponent, δ = 0.5) and constant enstrophy flux for the case of IR forcing (δ = 3.0). Positive sign means the flux is in the direction of smaller k.

Fig. 2. Energy spectrum for the cases of UV forcing (de- noted as +) and IR forcing (represented as ×): Scale invariant regions that are linear in the Log-Log plots are compared to the power-law functions k

^−1.5

and k

^−3.5

, re- spectively. Phenomenology asserts the proper functions are k

^−5/3

and k

⁻³

.

UV forcing _   â Ä º(¸ ú š6 £ § _  ”  ; Ÿ ¤“ É r f

0

= 2 × 10

⁻⁴

) \  - t

 e  ¦! 3 Û ¼ E(k) = R

k

0

dk

⁰

Ψ

k⁰∗

(~ v · ∇Ψ)

k⁰

/k

⁰²

( Õ ªa Ë >\ " f + l   ñ– Ð ³ ðr ), IR forcing_   â Ä º\   H( ¸ ú š6 £ § _  ”  ; Ÿ ¤“ É r f

0

= 1.5) enstrophy e  ¦! 3 Û ¼ G(k) = R

k

0

dk

⁰

Ψ

k⁰∗

(~ v · ∇Ψ)

k⁰

( Õ ªa Ë >\ " f × l   ñ– Ð ³ ðr ) y Œ •y Œ •  _  { 9 & ñ ô  Ç › ' a$ í % ò

%

i (@ /^ ‰& h Ü ¼– Ð 40 ≥ k ≥ 140)s  + þ A$ í H † d`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . e  ¦

!

3 Û ¼_  ° ú כs  6 £ §“   / B M“ É r \  -t  ¢ ¸  H enstrophy   H s  Ö

 © \ " f  Œ •“ É r s Ö  © Ü ¼– Ð „  ² ú ˜÷ &• ¸2 Ÿ ¤ e  ¦! 3 Û ¼_  & h ì  r  © œô  Ç

`

 ¦ & ñ _  % i  . UV(Õ ªa Ë >\ " f + l   ñ– Ð ³ ðr ), ü < IR(Õ ª a Ë

>\ " f × l   ñ– Ð ³ ðr ) forcing\ " f k { © œ \  -t  x 9 • ¸“  

\

 -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 “ É r Õ ªa Ë > 2\  – ÐÕ ª-– ÐÕ ª Õ ªa Ë >Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ 

%

i  . Õ ªa Ë >\ " f  _  f ” ‚  Ü ¼– Ð ˜ Ðs   H  Òì  r`  ¦ @ /| Ä Ì& h “  

Fig. 3. Asymmetric behavior of Reynolds stress under UV forcing of δ = 0.5 where along y is the characteris- tic direction of PNC noise: Plotted are mean values of Q(k

x

≥ 0) for the modes k

x

≥ 0 and Q(k

y

≥ 0) for the modes k

y

≥ 0 over 100 time-series data points with the time duration of 100∆t.

Fig. 4. Dependence of the Reynolds stress Q

_x

(k) upon the relative strength α of the PNC noise under UV forc- ing of δ = 0.5 where along y is the characteristic direction of PNC noise: Q(k

x

≥ 0) is random when α = 0 and of opposite sign for α = ±5, respectively.

t

à º † < Êà º– Ð ³ ð‰ & ³ €   Õ ª[ þ t“ É r y Œ •y Œ • k

^−1.5

ü < k

^−3.5

– Ð" f ‰ & ³



© œ : r \ " f ] jl  “ ¦ e ”   H Û ¼H { 9 a A k

^−5/3

x 9  k

⁻³

õ  Ä »  ô

 Ç ' Ÿ I \  ¦ ˜ Ðs “ ¦ e ”   [1]. Õ ªa Ë > 3“ É r PNC ¸ ú š6 £ § _  [ jl  α = −0.5, : £ ¤$ í ~ ½ ӆ ¾ Ó ˆs = ˆ y“   UV forcing\ " f Y Us Z  t Ý ¼ Û

¼à ÔY UÛ ¼ Q(~k) = Ψ

~k

∗

(~ v · ∇Ψ)

_~k

_  q 1 p x ~ ½ Ó$ í `  ¦ ³ ð‰ & ³ “ ¦ e ”

 . 1024

²

> h_  — ¸× ¼ ×  æ \ " f k

x

≥ 0“   — ¸× ¼[ þ t ë ß – ‚  × þ ˜ 

#

Œ k_  † < Êà º– Ð ³ ð‰ & ³ô  Ç Q(k; k

_x

≥ 0)\  ¦ 100∆t _  r ç ß –   8

£ ¤& ñ ô  Ç 100> h_  X <s ' \  ¦ ¨ î ç  H # Œ Õ ªa Ë >\ " f + l   ñ– Ð

¢ ,

aA á ¤ à ºf ”  » ¡ ¤ \  ³ ðr  % i  . Õ ªo “ ¦ k

y

≥ 0“   — ¸× ¼[ þ t \ 

@

/K " f• ¸ Q(k; k

y

≥ 0)\  ¦ Õ ªa Ë >\ " f × l   ñ– Ð š ¸ É rA á ¤ à º f ”

 » ¡ ¤ \  ³ ðr  % i  . Q(k; k

y

≥ 0)  H  _   ½ ™ ü  ô  Ç X < ì ø Í K

" f Q(k; k

x

≥ 0)  H Ä »ô  Çô  Ç J ‡  `  ¦
 ? /“ ¦ e ”  . Õ ª

Fig. 5. Dependence of the Reynolds stress Q(k

x

≥ 0) upon the strength f

0

of the noise under UV forcing of δ = 0.5 where along y is the characteristic direction of PNC noise of α = −0.5: Q(k) is almost random when f

0

= 2×

10

⁻⁵

while the pattern of Q(k) becomes more apparent as f

0

is increased. Note the multiplication factors for Q(k) for different f

0

’s.

Fig. 6. Asymmetric behavior of Reynolds stress under IR forcing of δ = −1.0 where along y is the characteristic direction of PNC noise: Like Fig. 3 of UV forcing, Q(k) for the modes k

x

≥ 0 is not random while Q(k) for the modes k

y

≥ 0 looks random.

a Ë

> 4  H PNC ¸ ú š6 £ § _  [ jl  α = −0.5, 0, 0.5_  [ jt   â Ä

º\  Q(k; k

x

≥ 0)\  ¦ ³ ð‰ & ³ô  Ç  כ Ü ¼– Ð" f α = 0s €    ½ ™ ü  

“

¦, α = −0.5ü < α = 0.5_  ¿ º  â Ä º  H " f– Ð ß ¼l   H ° ú  t  ë

ß –  Ҡ ñ ì ø Í@ /e ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s  כ “ É r @ /À Ó_  ~ ½ ӆ ¾ Ós  α _   Ҡ ñ\     ~ ½ ӆ ¾ Ós   7 “ ¦ @ /À Ó_  ß ¼l  α\  q Y V

# Œ 7 £ x † < Ê`  ¦ _ p ô  Ç . ¸ ú š6 £ § _  ; Ÿ ¤ \     Y Us Z  t Ý ¼ Û ¼ à

ÔY UÛ ¼ Q(k

^x

≥ 0) • ¸    o   H X <, Õ ªa Ë > 5  H δ = 0.5 s “ ¦ α = −0.5 s  9 ¸ ú š6 £ § _  : £ ¤$ í ~ ½ ӆ ¾ Ós  y~ ½ ӆ ¾ ӓ    â Ä º ¸ ú š6 £ § _  [

jl  f

0

 ×  ¦ # Q[ þ t€   Q_  ß ¼l • ¸ ×  ¦ # Q[ þ t   f

0

 Ø  æì  r u

 · ú §Ü ¼€  (f

₀

= 2 × 10

⁻⁵

) Q  H  _   ½ ™ ü     H  כ `  ¦ ˜ Ð

#

Œï  r  . IR forcing\ " f• ¸ UV forcingõ  Ä »  >  Y Us Z  t

Ý

¼ Û ¼à ÔY UÛ ¼_  q 1 p x ~ ½ Ó$ í s  ƒ  Ø  ¦| ¨ c à º e ”  . Õ ªa Ë > 6\ " f δ = −1.0, α = −0.5 s  9 PNC ¸ ú š6 £ § _  : £ ¤$ í ~ ½ ӆ ¾ Ós  y~ ½ Ó

†

¾ ӓ    â Ä º Y Us Z  t Ý ¼ Û ¼à ÔY UÛ ¼ Q(k

x

≥ 0) ü < Q(k

y

≥ 0) _  q

1 p x ~ ½ Ó$ í `  ¦ S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”   H X <, & ñ  © œ  © œI \ " f k

^x

≥ 0“  

—

¸× ¼[ þ t _  Y Us Z  t Ý ¼ Û ¼à ÔY UÛ ¼ Q(k

x

≥ 0)  H  ½ ™ ü  t  · ú §

“ É

r J ‡  s  e ” t ë ß – k

y

≥ 0“   — ¸× ¼[ þ t _  Y Us Z  t Ý ¼ Û ¼à ÔY U Û

¼ Q(k

^y

≥ 0)  H  ½ ™ ü   .

IV. + s Ç Â ] Ø

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H ì ø ̈́  $ í s  \ O   H ¸ ú š6 £ § s  Ä »^ ‰\  ¦ ½ ¨1 l x ½ + É M

:  l  | ¨ c à º e ”   H q 1 p x ~ ½ Ó& h “   à º5 Å x \  › ' a # Œ s  " é ¶ _  Navier-Stokes ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ( Ž É Ó' – Ð r Ó ý t Y Us ‚   # Œ „ à н ¨

% i  . ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð, t à º † < Êà º + þ AI _   © œ › ' a † < Êà º\  y~ ½ Ó

†

¾ ÓÜ ¼– Ð ì ø ̈́  $ í s  \ O   H כ ¹™ è\  ¦ Æ Ò # Œ ¸ ú š6 £ § _  [ jl ü <

q

ì ø ̈́  $ í _   © œ@ /& h “   ß ¼l \     Y Us Z  t Ý ¼ Û ¼à ÔY UÛ ¼\ 

 
  H q 1 p x ~ ½ Ó$ í `  ¦ ƒ  ½ ¨ % i  . r Ó ý t Y Us ‚     õ , UV

½

¨1 l x õ  IR ½ ¨1 l x — ¸¿ º\ " f \  -t  ¢ ¸  H enstrophy e  ¦! 3  Û

¼ { 9 & ñ ô  Ç › ' a$ í % ò % i s  + þ A$ í ÷ &  H  כ `  ¦ S X ‰ “   % i “ ¦ \ 



-t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 • ¸ y Œ •y Œ •_  · ú ˜ 9”   Û ¼H { 9 a A † < Êà º\    H] X 

% i  . UV ½ ¨1 l x õ  IR ½ ¨1 l x — ¸¿ º Y Us Z  t Ý ¼ Û ¼à ÔY UÛ ¼  H k

x

≥ 0“   — ¸× ¼\ " f  H ¨ î ç  H ° ú כs  0s   m t ë ß – k

^y

≥ 0“  

—

¸× ¼\ " f  H  ½ ™ ü  ô  Ç  כ Ü ¼– Ð ó ø Í& ñ % i  . q ì ø ̈́  $ í ¸ ú š6 £ §

$ í

ì  r _   Ҡ ñ\     Y Us Z  t Ý ¼ Û ¼à ÔY UÛ ¼_   Ҡ ñ• ¸  7 9, ¸ ú š6 £ § _  [ jl  Ø  æì  r t  · ú §Ü ¼€   Y Us Z  t Ý ¼ Û ¼à ÔY UÛ ¼



 H 1 p x ~ ½ Ó& h Ü ¼– Ð  ½ ™ ü  ô  Ç  כ Ü ¼– Ð › ' a ¹ 1 Ï % i  .   õ & h Ü ¼– Ð, k

_x

≥ 0“   Y Us Z  t Ý ¼ Û ¼à ÔY UÛ ¼ 0s      ¨ î ç  H ° ú כ`  ¦ ”  



  H  כ “ É r x ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ¨ î ç  H& h “   @ /À Ó e ” 6 £ §`  ¦ _ p   9 s

 @ /À Óü < › ' aº   ) a Ä »1 l x 5 Å q • ¸  H q ì ø ̈́  $ í ¸ ú š6 £ § _  [ jl \  q

Y V½ + É  כ Ü ¼– Ð Æ Ò& ñ ÷ & 9 s \  › ' a ô  Ç ì  r$ 3  Œ •\ O “ É r ‰ & ³F  ”   '

Ÿ  ×  æ Ü ¼– Ð Æ ÒÊ ê\  µ 1 ϳ ð | ¨ c  כ s  .

P

c p 8 ý ò k >

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  6   x ô  Ç r Ó ý t Y Us ‚    ï× ¼_    H ç ß –`  ¦ ] j/ B N ô

 Ç A. Mazzino ~ à Ì \ >  y Œ ™ ô  Ç . ‘ : r ƒ  ½ ¨  H ô  Dz D Gƒ  

½

¨F é ß – (õ ] j    ñ: 2011-0018745, 2011-0004280, 2011- 0018734) _  ƒ  ½ ¨q  t " é ¶ Ü ¼– Ð Ã º' Ÿ  % i  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] U. Frisch, Turbulence (Cambridge Univ. Press, Cam- bridge, 1995), p. 100.

[2] C. DeDominici and P. C. Martin, Phys. Rev. A 19, 419 (1979).

[3] C. B. Kim, Plasma Phys. Control. Fusion 49, 467 (2007).

[4] L. Ts. Adzhemyan, A. N. Vasil’ev and M. Gnatch, Theor. Math. Phys. 72, 940 (1987).

[5] C. B. Kim, Nucl. Fusion 50, 045001 (2010).

[6] A. Mazzino, P. Muratore-Ginanneschi and S. Musac-

chio, Phys. Rev. Lett. 99, 144502 (2007).