Ⅰ. 서 론
비례 추론은 수학 내적으로 초등 산술의 절정 이며 그 이후의 수학의 초석이 될 뿐 아니라 수 학 외적으로 많은 다른 학문의 영역과 일상생활 에서도 매우 중요한 역할을 한다 (Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012; Lesh, Post & Behr, 1988).
비례 추론은 비와 비율 그리고 비례 개념을 중 심으로 수와 연산 영역에서 분수와 소수 , 곱셈과 나눗셈 , 도형에서 닮음과 삼각법, 측정에서 단위 환산 , 확률에서 비율, 통계에서의 비교 상황 등 수학의 많은 부분과 관련되어 있고 , 지리학에서 인구밀도나 축척 , 과학에서 속도, 힘, 중력, 농도, 에너지 , 경제학에서의 이익과 손실, 역학에서의 운동과 같이 다양한 부분과 관련되어 있다 .
이런 비례 추론은 Inhelder & Piaget에 의하면 청소년기에 획득되는 형식적 조작 단계의 특징 중 하나이다 (Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012, pp.
50-51에서 재인용). 그러나 실제로는 구체적 조 작 단계에 해당하는 초등학생들의 경우는 물론 이고 청소년이나 어른들도 비례 추론의 오류와 오용을 많이 보인다 (Harel, Behr, Lesh, & Post, 1994; Karplus, Pulos, & Stage, 1983; Thompson &
Thompson, 1994; Tournaire & Pulos, 1985). 이런 비례 추론의 어려움은 닮음 도형에서 길이 , 넓 이 , 부피 사이의 관계를 다루는 경우나 로그함수 에 선형함수의 성질을 적용하는 경우 등과 같이 기하와 측정 , 대수, 확률 등 그 영역이 매우 광 범위하다 (De Bock, Verschaffel, & Janssens, 1998;
van Dooren, de Bock, Janssens, & Vershaffel, 2008). 따라서 많은 연구들은 학생들의 비례 추
대한수학교육학회지 수학교육학연구 제 25 권 제 1 호 Journal of Educational Research in Mathematics Vol. 25, No. 1, 21 ~ 58. Feb 2015
초등학교에서 비례 추론 지도에 관한 논의
정 영 옥
*본 연구는 초등학교 수학에서 비례 추론 지도를 위해 고려해야 할 교수학적 배경 을 알아보고 , 이를 바탕으로 우리나라와 미국, 영국 교과서의 비와 비례 관련 내용을 분석함으로써 앞으로 우리나라 초등학교 수학에서 비례 추론 지도 개선을 위한 시사 점을 제공하는 데 그 목적이 있다 . 이를 위해 여러 연구에 대한 이론적 고찰을 통해 비례 추론 지도의 교수학적 배경으로 비례 추론의 의미와 요소 , 비례 추론 발달 단계 와 학생들의 전략 , 비례 추론 과제 유형, 비례 추론 지도 모델에 대해 살펴보았고, 이 를 기초로 미국 , 영국, 우리나라 교과서를 분석하였다. 이론적 고찰과 교과서 분석 결 과를 바탕으로 이후의 우리나라 초등학교 수학에서 비례 추론 지도 개선을 위한 시 사점으로 비와 비례 내용의 비중 제고 , 곱셈적 비교의 강조와 덧셈적 비교와의 구분, 비의 동치 관계의 강조 , 양적ㆍ질적, 대수적ㆍ기하적 비교 과제와 미지값 과제의 적 절한 균형 , 비례식의 성질을 이용한 형식적 절차 도입 전 비형식적 전략의 강조, 비 형식적 ㆍ전형식적인 시각적 모델의 도입을 제안하였다.
되
* 경인교육대학교 , [email protected]
론 능력은 자연스러운 성숙에 의해 형식적 단계 에서 갑자기 출현하는 것이 아니라 연속적이고 점진적으로 발달하며 , 형식적 절차를 학습하기 전인 구체적 조작 단계에서도 잠재적인 다양한 비형식적 추론 전략을 가지고 있고 , 이런 전략들 이 형식적 절차를 학습하는 데 도움이 됨을 강 조한다 (Kastberg, D’Ambrosio, & Lynch-Davis, 2012; Lamon, 1993, 2005; Langrall, & Swafford, 2000; Post, Behr, & Lesh, 1988; Streefland, 1984, 1985).
그러나 학교 수학에서 비와 비례를 지도할 때 는 이런 학생들의 비형식적 추론 전략을 다루기 보다는 형식적 절차를 강조하는 경우가 많다 (정 은실 , 2013; Lesh, Post, & Behr, 1988). 이와 같은 비례식의 성질을 이용한 형식적 절차는 문제 상 황의 비례적 특성에 초점을 맞추는 것이 아니라 방정식을 해결하는 것에 초점을 맞추게 된다 (Shield, & Dole, 2013). 따라서 이런 형식적 절차 는 수업의 초기에 지도할 내용이 아니라 학생들 이 다양한 비례 상황에서 자신들의 비형식적 비 례 추론 전략을 통해 비례 추론의 핵심적인 요 소들을 이해할 때까지 기다릴 필요가 있다 (Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012; Langrall, &
Swafford, 2000; Streefland, 1985).
이런 관점과 맥을 같이하며 비례 추론과 관련 된 국내외의 많은 연구들이 지속적으로 이루어 져 왔다 (고은성・이경화, 2007; 김경선・박영희, 2007; 김경희・백희수, 2010; 김수현・나귀수, 2008; 박정숙, 2008; 안숙현・방정숙, 2008; 정은 실 , 2003a, 2003b, 2013; 홍지연・김민경, 2013;
Behr, Harel, Post, & Lesh, 1992; Broekman, van der Valk, & Wijers, 2000; Cramer, Post, &
Currier, 1993; Freudenthal, 1983; Freudenthal, Janssen, & Sweers, 1976; Howe, Nunes, & Bryant,
2011; Norton, 2005; Ozgun-Koca, & Altay, 2009;
Schwarz, 1988; Shield, & Dole, 2013; van den Heuvel-Panhuizen, 2003; Vergnaud, 1988). 수학 교 수 학습의 개선을 위해서는 이러한 연구 결과를 실제 교육에 접목하는 일이 매우 중요하다 . 실제 교육에서는 교사 , 학생, 교과서, 수업 등 많은 부 분들이 관련이 있지만 , 그 중에서도 기본적으로 교과서에 이런 연구 결과들이 어떻게 반영되는 지가 학생들의 교수 학습에 중요한 영향을 미칠 것으로 생각된다 .
따라서 본 연구에서는 이런 연구들을 바탕으 로 초등학교 수학에서 비례 추론 지도를 위해 고려해야 할 교수학적 배경으로 비례 추론의 의 미와 요소 , 비례 추론 발달 단계와 학생들의 전 략 , 비례 추론 과제 유형, 비례 추론 지도 모델 에 대해 이론적으로 고찰하고 , 이를 바탕으로 이 런 교수학적 배경이 교과서에 구현되고 있는지 , 구현되고 있다면 구체적으로 어떤 방식으로 이 루어지고 있는지를 알아보기 위해 우리나라와 미국 , 영국의 교과서에서 비와 비례 관련 1) 내용 을 분석한 후에 우리나라 초등학교 수학에서 비 례 추론 지도 개선을 위한 시사점을 제공하고자 한다 .
Ⅱ. 이론적 배경
이 장에서는 비례 추론의 교수학적 배경으로 비례 추론의 의미와 요소 , 비례 추론 발달 단계 와 학생들의 전략 , 비례 추론 과제 유형, 비례 추론 지도 모델에 대해 살펴보고자 한다 .
1. 비례 추론의 의미와 요소
1) 비례 추론은 우리나라 초등학교 교육과정에 비추어 볼 때 비와 비율, 비례식, 연비와 비례배분, 정비례와
반비례에 관련된 폭 넓은 범위와 관련되는 것이지만 본 연구에서는 지면의 한계로 인해 , 비와 비율, 비
례식 관련된 내용만 분석하고자 한다 .
가 . 비례 추론의 의미
비례 추론에 대해서는 많은 연구가 이루어져 왔고 , 그 의미에 관해서도 다양한 관점이 있다.
Karplus, Pulos & Stage(1983)는 ‘선형 함수 관계 가 있는 두 변수 체계에 대한 추론 ’(p. 220), Lesh, Post & Behr(1988)는 ‘공변 감각과 곱셈적 비교를 포함하고 , 추론과 예측과 관련되어 있으 며 , 질적・양적 사고방식을 포함하는 수학적 추 론의 한 유형 ’(p. 93)으로 보고 있다. 또한 Cramer, Post & Currier(1993)는 선형 함수로 표현 되는 비례 상황에 포함된 본질적으로 곱셈적인 수학적 관계를 이해하고 , 친숙하지 않은 맥락과 복잡한 수에 영향을 받지 않고 비례 상황이 포 함된 다양한 양적 ·질적 유형의 문제를 해결하는 능력과 비례 상황과 비 비례 상황을 구분하는 능력 (pp. 168-169)으로 보고 있으며, Lanius &
Williams(2003)는 ‘비례 상황과 비 비례 상황을 인식하고 , 비례 상황에 대한 문제를 해결하는 데 단지 대각선으로 곱하는 방식이 아닌 곱셈적 방 법을 사용할 수 있는 수학적 사고 방식 ’(p. 392) 으로 보고 있다 . Lamon(2005)은 ‘적절한 상황에 서 축척을 변화시키고 , 정비례와 반비례를 포함 하는 상황에서 관계를 입증하기 위해 정당화하 는 것 ’(p. 3), Norton(2005)은 ‘축척을 포함하여 비 와 비례 관계를 이해하는 데 필요한 개념과 사 고 ’(p. 17), Ozgun-Koca & Altay(2009)는 ‘비례에 서 곱셈적 관계의 이해와 적절한 곱셈 도식의 구성과 비례 도식을 사용하는 다양한 비와 비례 문제에 대한 모델을 제시하고 해결하는 능력을 포함하는 인지 과정 ’(p. 27)으로 정의하고 있다.
본 연구에서는 이와 같은 다양한 정의를 종합 하여 , 비례 추론은 비와 비례 개념에 대한 이해 를 바탕으로 다양한 비례 상황에서 곱셈적 관계 와 공변성과 일정성을 이해하며 , 질적・양적 사 고에 기초한 적절한 곱셈적 전략과 모델을 이용 하여 문제를 해결하고 , 비례 상황과 비(非) 비례
상황을 인식하는 수학적 추론의 한 유형으로 정 의한다 .
나 . 비례 추론의 요소
이 절에서는 위의 정의를 바탕으로 비례 추론 과 관련된 요소로 비와 비례 개념 , 비의 유형과 상황 , 곱셈적 비교와 덧셈적 비교, 질적 추론과 양적 추론에 대하여 살펴보고자 한다 .
1) 비와 비례 개념
비와 비례에 대한 정의는 Heath(1956)에 따르 면 유클리드 원론의 5권에 있는 정의 3에 ‘비는 같은 종류의 두 크기 사이의 수량에 관한 일종 의 관계이다 .’(p. 114), 정의 5에 ‘같은 비를 갖는 크기들을 비례라고 한다 .’(p. 114)에서 찾아볼 수 있다 . 그러나 이런 비의 정의에서 일종의 관계라 는 것은 곱셈적 관계를 의미하며 , 같은 종류만이 아닌 다른 종류로 확장되어 , Shield & Dole(2013) 가 말하는 바와 같이 비는 ‘두 대상 사이의 곱셈 적 비교 ’(p. 187) 관계를 의미하고, Lamon(2005) 이 말하는 바와 같이 그 표현은 a:b, b에 대한 a, b당 a, a/b 등 다양하다(pp. 183-184). 비례는 Ben-Chaim, Keret & Ilany(2012)에 따르면 ‘두 순 서쌍의 원소들이 일정한 비 관계에 있음 ’(p. 33) 을 의미한다 .
그러나 비와 비례 개념을 이해하는 것은 단순 히 두 대상의 곱셈적 관계를 a:b로 표현하거나 두 비의 몫 a/b, c/d를 비교하여 두 비가 같음을 a:b=c:d로 표현하고 계산하는 것 이상이다. 이 때 a:b라는 곱셈적 관계로서의 비에서 a/b와 같이 하나의 수인 비의 몫으로 이행하는 과정은 역사 적으로 매우 오랜 세월에 걸쳐 이루어진 것이고 , 이를 이해하는 일은 학생들에게도 매우 쉽지 않 은 일이다 . 이와 관련하여 Freudenthal(1983)은
‘비는 수의 순서쌍들 또는 크기의 값들의 순서
쌍들의 집합 위에서의 동치 관계 ’(p. 180)이며,
비의 개념을 이해한다는 것은 비의 몫을 비교하 기 전에 ‘b에 대한 a는 d에 대한 c와 같다.’(p.
180)를 의미 있게 말할 수 있어야 함을 강조한 다 . 이런 관점에서 보면, 어떤 두 대상의 관계를 2:3이라 표현하고, 2:3의 비의 값이 2/3, 4:6의 비 의 값이 4/6이고, 2/3=4/6이므로 2:3=4:6이라고 하 는 것은 여러 상황 속에서 2에 대한 3의 관계가 4에 대한 6의 관계가 같음을 이해하는 것이 아 니라 비의 의미를 매우 형식적으로 취급함으로 써 비의 개념에 대한 피상적 이해에 머무르게 하기 쉽다 . 이와 같은 의미로 Thompson, Kaput
& Maxwell-West는 비 개념에는 두 가지 고정된 양 사이에 존재하는 곱셈적 관계를 인지하는 비 의 수준과 두 양의 곱셈적 관계의 인식뿐만 아 니라 관계의 결과가 일정함을 인식하는 내면화 된 비의 수준이 있으며 , 내면화된 비의 수준이 비의 개념에 대한 진정한 이해라고 말한다 (유현 주 , 1995, pp. 48-49에서 재인용). 이런 관점에 따 라 유현주 (1995)는 ‘비는 ‘한 대상에서의 곱셈적 변화 ’가 ‘다른 대상에서의 곱셈적인 변화’로 수 송되는 공변을 인식하면서 조직되는 비의 동치 관계를 인식하는 것 , 즉 내적비의 불변성에서 외 적비의 일정성을 인식하는 것이 비의 진정한 의 미 ’(p. 105)라고 말한다. 이와 같이 여러 상황에 서 구조적 유사성이나 불변성을 인식하는 것은 수학적 사고의 핵심이며 , 비와 비례 개념을 기초 로 하는 비례 추론에서 이런 불변성과 일정성의 인식 , 즉 비의 동치관계를 파악하는 것은 매우 중요한 요소이다 (Behr, Harel, Post & Lesh, 1992;
Freudenthal, 1983; Harel, Behr, Lesh, & Post, 1994; Lesh, Post, & Behr, 1988: van de Walle, 2008).
따라서 비의 개념을 이해한다는 것은 두 종류
의 페인트 A, B를 2통, 3통의 비로 섞어서 새로 운 색을 만들어 칠한다고 할 때 , 두 종류의 페인 트의 비를 2:3으로 표현하는 것만이 아니라 같은 색을 만들기 위해서는 페인트 A가 4통이 되면 페인트 B는 6통, 페인트 A가 6통이 되면 페인트 B는 9통이 되는 것과 같이 A가 2배, 3배, … 될 때 , B도 2배, 3배, …와 같이 변하는 공변성과 2:3=4:6=6:9=…에서 2:3이라는 곱셈적 관계는 본 질적으로 변하지 않는 일정성을 인식하는 비의 동치관계를 이해하는 것이다 .
지금까지의 논의를 종합하면 , 비는 두 대상의 곱셈적 관계를 의미하고 , 비례는 두 비가 같음을 의미하는 것으로 구분하여 사용하기도 하지만 , 비의 개념에 대한 진정한 이해가 비의 동치관계 를 파악하는 것이라면 , 비와 비례는 그 뿌리는 하나이며 , 두 순서쌍의 비에 한정되지 않는다.
2) 비의 유형과 상황
비례 추론을 위해서는 다양한 비례 상황에 접 해야 하며 , 이와 관련하여 비의 유형을 고려할 필요가 있다 . 유클리드 원론의 정의에서 살펴볼 수 있는 바와 같이 역사적으로 비는 같은 종류 의 크기에만 한정해서 사용하다가 , 이후에 과학 의 발전과 더불어 다른 종류의 크기에 대해서도 사용하기 시작하였다 . 현재에도 이런 전통을 따 라 비의 유형을 비와 비율의 두 가지로 구분한 다 . Bell et al. (2007)에 의하면 비(ratio)는 한 학 급에서 남학생과 여학생의 비 같은 전체와 부분 , 부분과 부분을 비교하는 ‘같은 단위를 가진 두 양의 나눗셈에 의한 비교 ’(p. 424), 비율(rate)은 단위당 가격 , 속도, 인구밀도 등과 같은 ‘다른 단 위를 가진 두 양의 나눗셈에 의한 비교 ’(p. 424) 를 의미한다 . 2) 또한 이를 구분하기 위해 내적비
2) ratio를 비, rate를 비율로 번역하였으나, 우리나라 초등학교 교과서(교육과학기술부, 2012)에서는 비와 비
율을 같은 단위인지 , 다른 단위인지를 구분하는 용어가 아니라 관계인지, 수인지를 구분하는 용어로 사
용하기 때문에 본고에서는 혼란을 피하기 위해 원어를 병기하였고 , 이 절에서는 비율이 다른 단위에 대
한 비를 , 다른 절에서는 하나의 수로 나타낸 비를 의미하는 용어로 사용하고자 한다.
와 외적비 , 체계 내의 비와 체계 간의 비, 스칼 라 연산자와 함수 연산자 등 다양한 용어가 사 용된다 (Freudenthal, 1983; Harel, Behr, Lesh &
Post, 1994; Lamon, 2005; Thompson & Thompson, 1994; van de Walle, 2008; Vergnaud, 1988).
한편 , 비의 유형을 내적비, 외적비, 축척비의 세 가지로 구분할 수 있다 . 축척비는 직각삼각형 에서 변과 빗변 사이의 비 , 원주와 반지름의 비, 축척이나 닮음비처럼 같은 단위로 크기나 양을 비교하는 내적비이지만 전체와 부분의 관계는 아닌 개념적으로 관련된 두 양의 비이다 (Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012; Freudenthal, 1983; van de Walle, 2008). 한편, 비례 추론은 시 각적인 비를 다루는 기하적 추론과 수치적 비와 관련된 연산들을 다루는 대수적 추론으로 구분 할 수 있는데 , Freudenthal(1983)은 비와 비례 지 도가 대수적 추론 위주로 이루어지는 것을 비판 하면서 , 개념으로서의 비는 상당히 높은 수준에 속하는 것이지만 , 합동과 닮음은 타고난 특성이 라고 생각할 만큼 비에 대한 시각적 인식과 감 각은 아주 일찍 발달하며 이런 감각이 닮음 개 념으로 발달하는 데는 오랜 시간이 필요하기 때 문에 , 닮음을 삼각형에서 형식적으로 시작하는 것이 아니라 풍부한 구조를 가진 축소와 확대에 관련된 많은 상황을 접하면서 시각화를 통해 일 찍부터 경험시키는 것이 중요함을 강조한다 (pp.
190-193). 따라서 본 연구에서는 대수적 추론뿐 만 아니라 기하적 추론의 중요성을 고려하여 비 의 유형을 내적비 , 외적비, 축척비로 구분하고자 한다 .
또한 비례 추론을 위해서는 외연량과 내포량 을 이해할 필요가 있다 . 외연량은 5마일, 5도 또 는 5인분처럼 양이 얼마나 많은지의 정도를 의 미하며 , 내포량은 일반적으로 직접 세거나 측정 할 수 없고 항상 명시적으로 드러나지 않을 수 도 있는 양으로 시간 당 30km, 한 개 당 5달러,
1L당 50km, 1인당 5개, 온도, 에너지처럼 절대적 인 양이 아니라 한 양과 다른 양 사이의 단위비 율 관계를 의미한다 (Lesh, Post, & Behr, 1988;
Schwarz, 1988). 따라서 내포량은 외적비와 밀접 한 관련이 있다 . 학생들은 일반적으로 내적비보 다는 외적비를 , 외연량보다는 내포량을 훨씬 더 어려워한다 (Freudenthal, 1983; Harel, Behr, Lesh
& Post, 1994; Howe, Nunes, & Bryant, 2011;
Thompson & Thompson. 1994; van de Walle, 2008). 그러나 두 양의 곱셈적 관계라는 비의 의 미를 이해하기 위해서는 두 양을 관련지어 생각 해야 하는 ‘…당 얼마’라고 하는 내포량과 외적 비를 이해하는 것이 필수적이다 (Lamon, 2005).
따라서 비례 추론 지도를 위해서는 외연량과 내포량 , 내적비와 외적비 및 축척비에 해당하는 다양한 현실적인 비와 비례 상황을 제시하여야 하며 , 내적비의 경우는 부분과 부분, 전체와 부 분의 비를 균형 있게 다루어야 한다 . 또한 비와 비례를 다 배운 후에 응용문제를 다루면서 비례 상황이 아닌 문제들을 다루는 것이 아니라 , Van Dooren, de Bock, Hessels, Janssens & Verschaffel (2005)이 주장하는 바와 같이 비와 비례를 지도 하는 초기부터 비 비례 상황을 같이 제시해 줌 으로써 어떤 상황이 비례 상황인지 아닌지를 판 단하는 기회를 제공해야 한다 .
3) 덧셈적 비교와 곱셈적 비교
덧셈적 비교와 곱셈적 비교 또는 절대 비교와
상대 비교는 두 대상을 비교할 때 아주 중요한
개념이다 . 두 수 a, b를 비교할 때 덧셈적 비교
는 또는 과 같이 덧셈이나 뺄
셈을 사용해서 비교하는 것을 말하고 , 곱셈적 비
교는 × 또는 과 같이 곱셈이나 나
눗셈을 사용해서 비교하는 것을 말한다 (Lesh,
Post, & Behr, 1988). 즉, 곱셈적 비교는 a와 b를
비교할 때 , a가 b의 몇 배인지, b가 a의 몇 배인
지를 고려하는 것이다 . 또한 이것을 확장해서 두 비 a:b, c:d를 비교할 때에도 a와 b, c와 d 그리고 a와 c, b와 d의 관계를 덧셈적이 아닌 곱셈적으 로 비교하는 것이다 . 그러나 학생들은 가로, 세 로가 2, 3인 직사각형을 확대해서 가로가 6인 경 우 세로의 길이를 구하라고 하면 , 곱셈적 비교에 의해 9로 답하지 않고, 덧셈적 비교를 통해 7로 생각하는 것과 같이 덧셈적 비교와 곱셈적 비교 를 구분하는 데 어려움을 겪는다 . 따라서 비의 진정한 이해를 위해서는 어떤 상황에서 덧셈적 비교를 할 것인지 , 곱셈적 비교를 할 것인지 그 리고 그 의미가 어떻게 다른지를 판단할 수 있 어야 한다 . 예를 들어 두 식물 A, B가 어제 각 각 10cm, 15cm이었는데, 오늘 재어보니 각각 15cm, 20cm이었다면, 어느 식물이 더 자란 것인 지 알고자 할 때 , 덧셈적 비교로는 두 식물 모두 5cm 자란 것이므로 차이가 없는 것이지만, 곱셈 적 비교로는 즉 10에 비해 5가 15에 대한 5가 더 크기 때문에 식물 A가 더 자란 것이다. 이 때 문제의 의도가 단순히 두 식물이 하루 사이 에 얼마나 자란 것인지를 알고자 하는 것인지 , 두 식물의 상대적 성장률을 알고자 하는 것인지 에 따라 어떤 비교를 해야하는지 판단하는 것이 필요하다는 것이다 .
한편 , 곱셈적 비교에서는 비의 순서가 중요하 다 . 즉 비의 순서를 바꾸면 기준이 바뀌며 다른 비가 된다는 것이다 . 또한 Lamon(2005)에 의하면 비의 순서와 관련해서 학생들이 범하는 오류 중 하나는 수의 순서만을 바꾸고 단위를 바꾸지 않 는 경우이다 (p. 189). 또한 연비와 같은 경우 1L 로 갈 수 있는 거리를 보통 생각하지만 , 1km를 가는 데 몇 L나 필요한지 생각해도 효율성은 알 수 있다 . 그러나 해석할 때 수가 큰 것이 효율성 이 높은 것인지 , 수가 작은 것이 효율성이 높은 것인지를 잘 판단해야 한다 . 따라서 비를 다룰 때는 어느 것이 기준인지를 명확히 하고 , 이에
대한 올바른 해석이 필요하다 .
지금까지 살펴본 바와 같이 곱셈적 비교를 위 해서는 다양한 맥락을 통해 어느 상황에서 덧셈 적 비교와 곱셈적 비교를 사용하는 것이 더 적 절한지를 판단하는 경험과 비의 순서와 관련해 서 기준이 무엇인지와 기준에 따른 해석에 주의 를 기울일 필요가 있다 .
4) 질적 추론과 양적 추론
비례 추론에는 질적 추론과 양적 추론이 모두 포함되는데 , Post, Behr & Lesh(1988)에 의하면
‘질적 추론은 수를 포함하지 않는 비교, 양적 추 론은 수를 포함하는 비교 ’(p. 79)를 말한다. 일반 적으로 질적 추론보다는 양적 추론을 강조하나 , 양적 추론은 비례 추론을 사용할 수도 있지만 형식적인 연산에 머무를 수도 있다 . 이와 관련하 여 Freudenthal(1983)은 비의 지도가 지나치게 양 적 추론에만 치중하고 있음을 비판하면서 , 학생 들이 동물 그림에서 ‘키에 비해’ 몸이 너무 뚱뚱 하다거나 , 두 연못 중 ‘크기에 비해’ 어느 연못 에 꽃과 개구리가 더 많은지와 같이 상대적으로 더 많은지 더 적은지에 대한 질적 추론을 할 수 있는 많은 상황들을 현실에서 접하고 있음을 고 려할 때 , 학생들이 어려서부터 쉽게 인식할 수 있는 질적 추론에서 시작하여 점진적으로 양적 추론으로 나아가는 것이 바람직함을 강조하고 있다 (pp. 193-195). 한편, Behr, Harel, Post &
Lesh(1992)는 양적 비례 추론 문제는 추론 없이
도 암기한 절차를 적용함으로써 해결 가능하므
로 비의 변화의 방향에 대한 직관적 이해를 바
탕으로 하는 질적 추론이 양적 추론의 연습보다
앞서야 한다고 주장한다 (p. 320). 예를 들면, 오
렌지 주스 A, B가 있을 때 물의 양은 B가 많고
오렌지 원액은 같다면 , 어느 쪽의 오렌지 주스가
더 진한지를 알아보는 문제와 같이 비의 변화의
방향을 결정하는 문제가 이후의 비의 학습에 중
요하다는 것이다 . Lamon(2005)도 비례 추론을 위 해서는 어떤 상황에서 양이 변하는지 안 변하는 지 , 서로에 대한 변화의 방향에 대해 이해하는 능력을 개발하는 것의 중요함을 강조하고 , 화살 표를 이용한 증가와 감소 추론 (reasoning up and down) 활동을 제안하고 있다(p. 55). 예를 들면 거리가 멀수록 물체가 작게 보인다거나 하는 상 황을 거리 ↑크기↓, 시간이 늘어나면 거리도 늘 어나는 상황을 시간 ↑거리↑와 같이 표현하는 것과 같은 질적 추론이 비례 추론에 도움이 된 다는 것이다 .
2. 비례 추론 발달 단계와 학생들의 전략
비례 추론은 초등학교 저학년부터 중학교에 이르기까지 오랜 기간에 걸쳐 발달한다 (Ben-chaim, Keret, & Ilany 2012; Kastberg, D’Ambrosio, & Lynch-Davis, 2012). 비례 추론 발 달 단계에 대한 초기 연구에서 Inhelder & Piaget 는 비례 추론 도식이 세 단계로 발달한다고 보 았다 (Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012, pp. 50-51 에서 재인용 ). 첫째 단계는 직관적 단계로 3세에 서 7세까지의 아이들에 해당하는데, 직관적인 추 론에 의존하며 두 대상을 연결하는 능력이 존재 하지 않는다 . 둘째 단계는 구체적 단계로 8세에 서 12세 정도의 아이들에게 해당되는데, 직접 경 험한 구체적 상황에 결부된 두 대상을 연결하는 능력은 있지만 규칙에 대한 이해나 일반화하는 능력은 존재하지 않는다 . 셋째 단계는 비례 관계
의 법칙을 이해하고 비례 문제를 해결하기 위한 효과적인 비례 도식이 존재한다 . 이런 관점은 형 식적 단계에 이르기까지는 학생들이 비례 추론 이 어렵다는 것을 전제로 하지만 , 많은 연구자들 은 학생들에게는 잠재적인 비례 추론 능력이 있 을 것으로 생각하여 학생들의 비례 추론 수준과 형식적인 비례 추론 수준 이전에 사용하는 비형 식적 전략을 조사하고 , 이런 전략들이 이후의 형 식적인 비례 추론에 도움이 됨을 주장하였다 (Lamon, 1993; Lesh, Post, & Behr, 1988). 이런 연 구들을 기초로 Langrall & Swafford(2000)는 비례 추론 발달 단계를 네 수준으로 구분하고 , 각 수 준의 특징과 학생들의 사용 전략을 제시하고 있 다 . 본 연구에서는 Langrall & Swafford의 수준을 기준으로 하되 , 이들이 제시한 전략 외에 각 수 준에서 사용할 수 있는 학생들의 비형식적 전략 에 대한 연구들을 종합하여 제시하고자 한다 .
수준 0은 비(非) 비례 추론의 단계로 추측이나 시각적 단서를 사용하고 , 문제 상황에서 곱셈적 관계를 인지하지 못하며 , 수, 연산, 전략을 임의 로 사용하며 덧셈적 관계를 사용하기도 하지만 , 두 대상을 연결할 수 없고 , 정답을 제시하지 못 한다 (Langrall, & Swafford, 2000). 이 수준의 전략 은 임의 전략과 덧셈 전략이며 , 이를 정리하면
<표 Ⅱ-1>과 같다.
수준 1은 비례 상황에 대한 비형식적 추론 단 계로 문제 상황에 대해 곱셈적으로 사고하며 , 그 림 또는 구체물을 이용해서 상황을 이해하고 , 질 적 비교를 하기도 한다 (Langrall, & Swafford,
전략 예시
임의 전략
근거가 명확하지 않은 전략
공 3개에 모두 2달러일 때, 24개의 공을 사려면 얼마를 지불해야 하는가?
‘3개에 2달러, 36달러, 24에 3을 곱해서 72’와 같이 해결한 경우
덧셈 전략
하나의 비에서 한 항과 다른 항의 차이를 구한 후에 그 차를 다른 비에 적용하는 전략 사탕 2개에 8센트일 때, 사탕 6개는 얼마인가?
‘사탕 2개와 사탕 6개의 차는 4이니까 8에 4를 더하면 12센트’와 같이 해결한 경우
<표 Ⅱ-1> 수준 0에 해당하는 비례 추론 해결 전략
전략 예시
시행착오 전략 25개의 물건을 영희와 민희에게 2:3의 비로 나누어 줄 때 각 사람은 몇 개씩 받게 되는가?
2개, 3개씩 여러 번에 걸쳐 직접 나누어 준 후에 답을 구한 경우
세기 전략
다양한 수 세기 전략을 이용
한 학급의 학생들을 여학생 3명을 포함해서 5명씩 모둠으로 구성하려고 할 때, 전체 학생이 25명이면 이 학급에는 여학생, 남학생이 각각 몇 명인가?
세로로 5, 10, 15, 20, 25를 쓰고, 그 옆줄에 3, 6, 9, 12, 15와 같이 뛰어 세기를 이용하여 구 한 후, 여학생 수는 15명, 남학생 수는 25-15=10으로 10명이라 구한 경우
모델링 전략
구체물을 이용하거나 그림을 이용해서 해결하는 전략
한 학급의 학생들을 여학생 3명을 포함해서 5명씩 모둠으로 구성하려고 할 때, 전체 학생이 25명이면 이 학급에는 여학생, 남학생이 각각 몇 명인가?
그림을 직접 그려서 와 같이 해결한 경우
질적 비교 전략
정확한 수치를 사용하지 않고 대략 어림을 사용하는 전략
영희는 6온스의 체리 시럽과 53온스의 물을 섞어서 체리 음료수를 만들고, 민희는 체리 시럽 5온스와 물 42온스를 섞어서 체리 음료수를 만들 때, 누구의 음료수가 체리 맛이 강한가?
‘시럽의 차이에 비해 물의 차이가 너무 많다’와 같이 해결한 경우
<표 Ⅱ-2> 수준 1에 해당하는 비례 추론 해결 전략
전략 예시
단위화 전략
비교해야 하는 두 비 중에 하나를 기준으로 정해서 나머지 비를 재해석하는 전략
여학생 7명이 3개의 피자를, 남학생 3명이 1개의 피자를 똑같이 나누어 먹는다면, 남학생와 여 학생 중 누가 더 많이 먹겠는가?
3:1을 기준이 되는 단위로 택해서, 7:3을 3:1이 두 번 들어가고, 1:1 즉 여학생 1명에 피자 하 나가 남으니까, 여학생이 더 많이 먹는 것으로 해결한 경우
합성 단위 전략
단일 단위를 기준으로 생각하지 않고 단위의 단위를 사용하는 전략 공 3개에 모두 2달러일 때, 24개의 공을 사려면 얼마를 지불해야 하는가?
공 1개의 가격을 구하는 대신 공 3개를 하나의 합성 단위로 정해서 24에 합성단위가 몇 개 포함되 는지를 알기 위해 24를 3으로 나누어 8을 구한 다음, 2달러에 8을 곱해서 16을 구한 경우 35개의 물건을 두 사람 A, B에게 3:4의 비로 나누어 줄 때 각 사람은 몇 개를 받게 되는가?
3:4를 하나의 합성 단위로 정한 다음 7을 하나의 묶음, 즉 단위로 생각하고, 3:4가 전체 또는 부분 내에 있는 어떤 묶음에도 유지됨을 인지하고, 35에 7이 몇 번 포함되는지를 계 산해서 5를 구한 다음 A는 3×5=15, B는 4×5=20으로 구한 경우
구성 전략
한 비 내에서 관계를 정하고 그것을 덧셈에 의해 계속 확장하는 전략 사탕 가게에서 사탕 2개를 8센트에 팔 때, 6개는 얼마인가?
2개에 8센트, 4개에 16센트, 6개에 24센트와 같이 더해 가면서 구한 경우 단위 비율 전략
하나에 해당하는 것이 얼마인가를 구해서 계산하는 전략
CD 4장에 3.6달러이면, 12장에는 얼마인가와 같은 문제에서 1장당 가격을 3.6÷4=0.9로 구한 다음 0.9×12를 계산해서 10.8달러를 구한 경우
조정전략
단위비율을 사용하지 않고 최소공배수를 이용하는 전략
CD 12장에 15달러하는 상점과 20장에 24달러하는 상점 중 어느 곳에서 사야하는가?
12장과 20장의 최소공배수 60장에 75달러, 72달러를 비교하여 구한 경우 전체 부분 전략
비 a:b가 주어졌을 때 이를 a/(a+b) : b/(a+b)의 전체 부분 관계로 재해석하는 전략 35개의 물건을 두 사람 A, B에게 3:4의 비로 나누어 줄 때 각 사람은 몇 개를 받게 되는가?
A, B에게 줄 물건은 전체 35개의 3/7과 35개의 4/7로 해석해서 35×3/7=15, 35×4/7=20으로 구한 경우
인수 전략
한 비 내에서의 곱셈적 관계가 다른 비에 확장되는 전략으로 같은 종류의 양을 다루는 스칼라 인수 전략과 다른 종류의 양을 다루는 함수적 인수 전략으로 구분
3시간에 90km로 가는 자전거로 6시간을 간다면 몇km를 가겠는가?
6시간은 3시간의 2배이니까 거리도 90km의 2배이니까 180km와 같이 구한 경우(스칼라 인수) 90은 3 곱하기 30이니까, 간 거리는 6 곱하기 30이므로 180km와 같이 구한 경우(함수적 인수)
<표 Ⅱ-3> 수준 2에 해당하는 비례 추론 해결 전략
2000). 이 수준에서 사용하는 전략은 시행착오 전략 , 세기 전략, 모델링 전략, 질적 비교 전략 등이다 (Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012; Kastberg, D’Ambrosio, & Lynch-Davis, 2012; Lamon, 1993).
이를 정리하면 , <표 Ⅱ-2>와 같다.
수준 2는 양적 추론의 단계로 곱셈적 사고를 하며 , 구체물 없이 추론하거나 모델을 사용하는 경우에는 그 모델을 수치적 계산과 연결할 수 있다 . 이 수준에서 사용하는 전략은 비의 단위화 전략 , 합성 단위 전략, 구성 전략, 단위 비율 전 략 , 조정 전략, 전체 부분 전략, 인수 전략, 통분 전략 등이다 (Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012;
Kastberg, D’Ambrosio, & Lynch-Davis, 2012;
Lamon, 1993; Lesh, Post, & Behr, 1998; NCTM, 2007; Tourniair & Pulos, 1985). 이를 정리하면
<표 Ⅱ-3>과 같다.
수준 3은 형식적 비례 추론 단계로 변수를 사 용해서 비례식을 세우고 비례식의 성질을 이용 한 형식적 절차를 사용하거나 두 비를 분수로 표현하여 대각선 곱이나 동치 분수를 사용하며 , 비의 동치 관계를 충분히 이해한다 (Langrall &
Swafford, 2000).
3. 비례 추론 과제 유형
비례 추론 과제 유형에는 어떤 상황을 비로 나타내거나 비율이나 축척을 구하는 과제도 중
요한 부분을 차지하지만 , 이런 과제는 비례 과제 를 해결하는 데 기본적으로 포함되므로 , 본 연구 에서는 비례 추론 과제 유형을 비례 과제에 한 정하고 , 세 가지 기준, 즉 구체적인 수에 의존하 는지 아닌지에 따라 질적 과제와 양적 과제 (Behr, Harel, Post, & Lesh, 1992; Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012; van de Walle, 2008), 축척 비인지 아닌지에 따라 기하 과제와 대수 과제 (Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012; Freudenthal, 1983; Reys, Linquist, Lamdin, & Smith, 2012), 비 의 순서를 비교하는지 비의 항의 순서를 비교하 는지에 따라 비교 과제와 미지값 과제 (Lesh, Post, & Behr, 1988; Tourniaire & Pulos, 1985)로 구분하였다 . 이 때 미지값 과제는 a, b, c를 알고 있을 때 a/b=c/x인 미지수 x를 구하는 문제를 의 미하는 미지값 구하기 과제뿐만 아니라 a, c의 순서를 알고 있을 때 , b, x 중 어느 것이 더 큰 지를 구하는 질적 과제 유형까지 그 의미를 확 장하였다 . 본 연구에서는 이와 같이 세 가지 기 준을 고려하여 크게 8가지 유형으로 구분하고자 하였고 , 각 유형에 해당하는 문항의 예를 제시하 면 <표 Ⅱ-4>, <표 Ⅱ-5>와 같다.
이런 과제를 제시할 때 , 다양한 유형의 과제를 제시하는 것과 더불어 과제에 사용되는 상황이 다양하고 현실적일 필요가 있으며 , 앞에서도 언 급한 바와 같이 비례 상황과 비 비례 상황을 같 이 다룸으로써 두 가지 상황을 구별할 수 있도
과제 유형 예시
질 적 과 제
대 수
비교
민지는 운동장에서 달리기를 하는데, 오늘은 어제보다 달린 거리가 적은데 걸린 시간은 더 많이 걸렸다. 민지는 어제보다 속력이 더 빠른가, 느린가 또는 알 수 없는가?(Van de Walle, 2008)
미지값 코코아 음료 A, B가 있을 때, A의 맛이 더 진하고, 코코아 분말도 더 많이 들어 있다면, A, B 중 어느 것에 우유가 더 많이 들어 있는가?(Behr, Harel, Post, & Lesh, 1992의 문항 재구성)
기 하
비교 다음 사진들은 서로 다른 크기의 곰 인형 사진들이다. 같은 곰 인형을 찍 은 사진이라고 말할 수 있는가?(Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012의 문항 재구성)
미지값 다음 그림은 같은 시간대에 찍은 막대와 탑입니다.
오른쪽 탑에 맞는 그림자를 그려 보시오.(Treffers, 1987의 문항 재구성)
<표 Ⅱ-4> 질적 과제 유형
록 해야 한다 .
4. 비례 추론 지도 모델
수학에서 일반적으로 모델은 형식적이고 추상 적인 수학적 지식을 구체물로 구체화한 것을 의미 하였지만 , 최근 모델은 van den Heuvel-Panhuizen (2003)에 의하면 문제 상황에 관련된 다양한 표 현을 의미하며 문제 상황에 관련된 수학 개념과 구조의 본질적인 측면을 필연적으로 반영하지만 그 형태는 구체물 , 그림, 다이어그램, 도식, 상징과 기호 등 다양하다 (p. 13). 한편, Webb, Boswinkel
& Dekker(2008)는 이와 같은 다양한 모델들을 실제 또는 상상의 맥락에서의 경험에 기초한 그 림과 설명에 해당하는 비형식적 모델 , 학생들의 비형식적 표현이나 추론을 기초로 구성되며 확 장된 수학적 구조를 제공하는 전형식적 모델 , 수 학적인 상징적 표현에 해당하는 형식적 모델로 구분하고 , 교사들이 형식적 모델 외의 다양한 모 델을 인식하고 활용하는 것이 학생들의 수학 학 습에 도움이 됨을 강조하고 있다 (p. 111). 비례 추론에서도 형식적 모델인 비례식의 성질을 이 용한 절차 등은 사실상 비례 추론과는 거리가 멀기 때문에 , 비례추론의 비형식적 수준에서 형 식적 수준으로의 이행을 위해서는 적절한 모델 의 사용이 중요하다 . 이와 관련하여 많은 연구자
들이 비례 추론 지도를 위한 모델의 중요성과 그 효과에 대한 연구를 진행해 왔다 (Broekman, van der Valk, & Wijers, 2000; Dwyer, Causey-Lee,
& Irby, 2003; Freudenthal, 1983; Freudenthal, Janssen, & Sweers, 1976; Lamon, 2005; Lesh, Post, & Behr, 1988; Streefland, 1984, 1985; Reys, Lindquist, Lamdin, & Smith, 2012; Shield & Dole, 2013; Sylvana, 2013; van de Walle, 2008; Treffers, 1987; van den Heuvel-Panhuizen, 2003; Vergnaud, 1988; Webb, Boswinkel, & Dekker, 2008)
본 연구에서는 Webb, Boswinkel & Dekker (2008)의 구분에 따라 여러 연구자들이 제안하는 비례 추론 지도 모델의 유형과 특징을 제시하고 자 한다 . 비형식적 모델은 그림이나 구체물로 상 황을 표현하거나 언어로 설명하는 것을 의미한 다 . [그림 Ⅱ-1]은 4명이 피자 3개를 나누어 먹는 상황과 3명이 피자 2개를 나누어 먹는 상황을 비교하는 그림이다 . 학생들은 피자 2개와 사람 3 명을 하나의 단위로 생각하여 , 왼쪽 그림에서 하 나의 단위를 빼고 남은 부분이 피자 1개와 사람 1명이기 때문에 피자 3개를 사람 4명이 먹는 경 우가 더 많이 먹게 됨을 알게 된다 .
[그림 Ⅱ-1] 비형식적 모델
과제 유형 예시
양 적 과 제
대 수
비교 두 항아리에 빨간 구슬과 파란 구슬이 들어 있다. 항아리 A에는 각각 20개와 30개, 항아리 B 에는 15개와 20개가 들어 있다. 빨간 구슬에 비해 파란 구슬이 많은 항아리는 어느 것인가?
미지값 과자 3봉지에 1000원이면, 과자 9봉지면 얼마인가?
기 하
비교
민지는 컴퓨터에서 가로 3cm, 세로 4cm인 그림을 가로 6cm, 세로 8cm 로 확대하려고 합니다. 확대한 그림은 원래 그림과 비교해서 모양이 달 라지거나 일그러진 부분이 없는가?(Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012의 문항 재구성)
미지값 다음 그림에서 오른쪽 사진은 왼쪽 사진을 확대한 것이다. 왼쪽 사진의 가로, 세로가 6cm, 8m이고, 오른쪽 사진의 가로가 9cm이면, 오른쪽 사진 의 세로는 몇 cm인가?(Ben-Chaim, Keret, & Ilany, 2012의 문항 재구성)
<표 Ⅱ-5> 양적 과제 유형
전형식적 모델은 영역 모델 , 이중 척도 모델 3) , 닮음 모델로 분류할 수 있다 . 영역 모델은 [그림
Ⅱ-2]와 같이 원그래프, 사각형그래프, 띠그래프, 그림그래프 , 히스토그램, 격자모델로 평면도형을 분할하여 두 수 이상의 수치적 비를 나타내는 모델이다 (Freudenthal, 1983). 이 모델들은 한 부 분이 3일 때 다른 부분이 5라면, 한 부분이 6이 면 다른 부분은 10이 되는 비의 동치관계를 고 려할 수 있고 , 특히 격자 모델은 패턴과 관련된 활동을 하면서 색칠한 부분과 색칠하지 않은 부 분의 비를 나타내는 활동도 할 수 있다 (Freudenthal, Janssen, & Sweers, 1976).
[그림 Ⅱ-2] 영역 모델
이중 척도 모델은 막대 모델 (bar model), 이중 수직선 , 비표(ratio table), 행렬 모델로 모델의 위 와 아래에 서로 다른 이중의 척도를 사용하는 모델이다 . 막대 모델은 [그림 Ⅱ-3]처럼 서로 다 른 척도가 동시에 적힌 띠를 말하며 , 그 결과 하 나의 수량이 서로 다른 수량으로 표현될 수 있 다 (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003). 이중수직선 은 [그림 Ⅱ-4]와 같이 막대 모델을 더 단순화한 형태로 , 두 모델 사이에는 큰 차이가 없지만 막 대모델이 학생들이 사용하기 더 간단하고 쉬우 며 , 유연하게 사용할 수 있다 (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003). 비표는 [그림 Ⅱ-5]와 같 이 모든 열의 순서쌍들의 비가 일정하게 만들어 진 표로 비 문제의 수치적 처리 과정을 위한 도 식이다 (Streefland, 1985). 이중 척도 모델의 공통 점은 비의 동치관계를 쉽게 인식하게 하며 , 비와 비례에 관련된 문제를 해결하기 위하여 어떤 계 산을 해야 하는지를 알 수 있게 할 뿐 아니라 계산 결과에 대한 통찰을 가능하게 한다
(Freudenthal, Janssen, & Sweers, 1976; van den Heuvel-Panhuizen, 2003). 예를 들면 [그림 Ⅱ-3]과 같이 60의 60%가 얼마인지를 구할 때 그림과 같 이 위의 척도와 아래의 척도를 적은 다음 , 60의 50%는 60의 반이니까 30을 구하고, 60의 10%는 6이므로, 60는 30에 6을 더해서 36을 구할 수 있다.
[그림 Ⅱ-3] 막대 모델
[그림 Ⅱ-4] 이중 수직선
비표는 이런 공통점 외에도 유용한 특성이 많 은데 , 이를 살펴보면 다음과 같다(Broekman, van der Valk, & Wijers, 2000; Lamon, 2005; Sylvana, 2013; van de Walle, 2008). 비의 동치관계를 유지 하도록 덧셈 , 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 사용하여 적 절한 내삽과 외삽을 통해 비와 비례 문제에서 목표로 하는 양을 구할 때까지 체계적인 활동이 가능하다 . 이 때 덧셈과 뺄셈도 가능하지만, 비 례 추론을 위해서는 곱셈과 나눗셈이 더 효과적 이다 . 비의 성질, 비례식의 성질을 발견할 수 있 게 하고 , 가로 형태나 세로 형태 모두 가능하며, 수의 관계들을 이용하여 추론하며 , [그림 Ⅱ-5]에 서 보는 바와 같이 화살표를 이용하면 어떤 연 산을 했는지 표현이 가능하고 , 규정된 단계가 없 어 구성 전략 , 단위 비율 전략, 인수 전략 등 학 생들 자신의 수준에 맞는 전략을 자유롭게 사용 할 수 있으며 , 중간 단계를 단축하여 비례식으로 발전해가는 데 도움이 되며 , 비표에 제시된 자료 를 이용하면 그래프와의 연결도 가능하다 . 또한 Lamon(2005)에 따르면, 행렬 모델은 비표의 특수 한 경우로 비례에서 구조적 관계를 분석하는 데
3) 이중 척도 모델이라는 용어는 모델의 특징을 고려하여 연구자가 명명한 것이다.
도움이 되며 , 인수 전략을 활용하는 데 도움이 된다 (pp. 106-107).
[그림 Ⅱ-5] 비표
[그림 Ⅱ-6] 행렬 모델
닮음 모델은 닮음 직사각형 모델 , 그림자 모 델 , 닮음 격자모델과 같이 도형의 닮음이나 축소 와 확대와 관련된 것을 시각화한 모델이다 . 이 모델은 비와 비례뿐 아니라 정비례 관계를 시각 화하는 데 도움이 되며 , 초등 수업의 아이디어에 적합하고 , 비의 동치 관계를 효율적으로 보고, 이해하고 , 기술할 수 있는 모델이다(Freudenthal, 1983; Reys, Lindquist, Lamdin, & Smith, 2012).
닮음 직사각형 모델은 [그림 Ⅱ-7]과 같이 직사 각형들을 한 꼭짓점을 기준으로 겹쳐 놓은 모델 이다 . 학생들이 덧셈적으로 사고했을 경우에는 시각적으로 대각선들이 일직선에 놓이지 않아서 오류를 빨리 파악할 수 있기 때문에 덧셈적 추 론에서 곱셈적 추론으로 이행하는 데 도움이 되 고 , 축척과 비례에 대한 논의를 가능하게 하며, 대각선들을 연결한 직선은 이후에 정비례 관계 의 기울기 개념에 대한 논의와 자연스럽게 연결 되며 , 이 직선의 기울기는 각 직사각형의 두 변 의 비가 되므로 비례 추론과 대수를 연결하기에 좋은 모델이다 (Dwyer, Causey-Lee, & Irby, 2003;
Reys, Lindquist, Lamdin, & Smith, 2012).
그림자 모델은 빛과 그림자 사이의 비를 시각
화한 모델이다 . 이 때 빛은 [그림 Ⅱ-8]의 첫째 그림과 같이 햇빛 , 둘째 그림과 같이 전등일 수 도 있다 . 그림자 모델은 빛의 경로와 그림자 현 상에 대한 탐구를 통해 비의 동치 관계를 발견 하고 표현할 수 있으며 , 건물의 높이와 같은 직 접 측정 불가능한 현상에 적용할 수 있고 , 백분 율과 같은 다른 현상을 위한 시각화와 계산을 가능하게 하며 , 인수 전략과 단위 비율 전략 등 을 사용하여 비와 비례 관련 문제를 해결할 수 있다 (Freudenthal, Janssen, & Sweers, 1976;
Freudenthal, 1983; Streefland, 1985).
[그림 Ⅱ-7] 닮음 직사각형 모델
[그림 Ⅱ-8] 그림자 모델
닮음 격자 모델은 [그림 Ⅱ-9]와 같이 도형을 확대하거나 축소할 때 단위의 크기가 서로 다른 모눈종이를 활용하는 것으로 닮음과 비례 추론 을 연결하는 중요한 모델이다 (van de Walle, 2008).
[그림 Ⅱ-9] 닮음 격자 모델
형식적 모델은 비례식을 의미한다 (Webb, Boswinkel, & Dekker, 2008). 그러나 앞에서도 기 술한 바와 같이 비례식의 성질을 이용한 형식적 절차의 사용은 오히려 비례추론을 방해한다 .
지금까지 살펴본 바와 같이 학생들이 비례 추
론을 할 때 상황에 적절한 모델을 선택하여 전
략들을 활용할 수 있도록 , 교과서를 집필할 때나
교사가 수업할 때 학생들이 이런 모델들을 생각
해 내게 하거나 제공해 줄 수 있어야 한다 .
Ⅲ. 여러 나라의 비례 추론 관련 교과서 분석
이 장에서는 이론적 배경에서 살펴본 비례 추 론의 의미와 요소 , 비례 추론의 단계와 학생들의 전략 , 비례 추론 과제 유형, 비례 추론 모델을 바탕으로 교과서 분석틀을 제시하고 , 이에 따라 미국의 Mathematics in Context 교과서, 영국의 SMP Interact 교과서, 우리나라 교과서의 특징을 분석하고자 한다 . 본 연구에서 분석된 교과서는 최근의 수학교육 이론과 동향을 반영하고 있으 며 , 우리나라에서도 잘 알려진 것이다. 미국의 Mathematics in Context 교과서는 네덜란드의 Utrecht 대학의 Freudenthal 연구소와 미국의 Wisconsin-Madison 대학의 수학 과학 교육 연구 국가 센터의 공동 연구에 의해 현실적 수학교육 이론을 전미수학교사협의회가 제시한 규준에 맞 게 적용하여 개발된 것이고 , 영국의 SMP Interact 교과서는 1961년을 시작으로 영국의 수학교육과 정 개선과 교과서 개발을 위해 노력해 온 The School Mathematics 프로젝트에 의해 개발된 것 이다 . 본 연구에서 교과서를 비교 분석하는 것은
비례 추론의 교수학적 배경이 교과서에 구현되 고 있는지 , 구체적인 방법은 무엇인지를 살펴봄 으로써 우리나라 비례 추론 지도 논의를 위한 구체적인 사례를 제공하기 위한 것이다 .
1. 교과서 분석틀
본고에서 사용할 교과서의 분석틀은 <표 Ⅲ -1>과 같다. 이 분석틀은 앞에서 논의한 내용을 바탕으로 가능한 한 중복을 피하여 분석 요소를 추출하였으며 , 앞의 이론적 배경에서 살펴본 바 와 같이 비례 추론 능력은 오랜 기간에 걸쳐 발 달한다는 점을 고려할 때 , 도입하는 학년과 가르 치는 기간뿐 아니라 비중도 중요하다고 판단하 여 비와 비례 지도 학년을 포함하였다 .
2. 교과서 분석
가 . 미국의 Mathematics in Context 교과서
1) 비와 비례 지도 학년
미국의 전미수학교사협의회 (NCTM, 2007)에서
요 소 하위 요소
비와 비례 지도 학년 교육과정에서 제시하고 있는 비와 비례 지도 학년과 기간 및 교과서 단원
비례 추론 핵심 요소
비와 비율 개념 지도에서 곱셈적 비교 관계 (몇 배 또는 몇 분의 몇 배/ 곱셈과 나눗 셈 )의 강조, 덧셈적 비교와 곱셈적 비교의 구분과 비의 순서
비의 다양한 유형 (내적비-전체 대 부분, 부분 대 부분, 외적비, 축척비)과 상황의 다양한 유형 비의 동치 관계의 인식 (공변성과 일정성)
비례 추론 과제 유형 질적 ·양적, 대수적·기하적 추론의 비교 과제와 미지값 과제 비 비례 상황
비례 추론 전략 지도 비형식적 전략
비례식의 성질을 이용한 형식적 절차
비례 추론 지도 모델
비형식적 모델의 사용 (그림)
전형식적 모델의 사용 (영역 모델, 이중척도 모델, 닮음 모델) 형식적 모델의 사용 (비례식)
<표 Ⅲ-1> 비례 추론 지도를 위한 교과서 분석틀
발표한 수학교육과정과 평가를 위한 원리에서 비와 비례 관련된 내용을 살펴보면 , 3-5학년 수 와 연산 영역에서 분수 , 소수, 백분율의 일상적 인 표현 이해와 변환 , 6-8학년 수와 연산 영역에 서 분수 , 소수, 백분율의 능숙한 활용과 문제해 결 , 분수, 소수, 백분율의 크기 비교와 수직선에 서의 위치 , 100%보다 큰 백분율과 1%보다 작은 백분율의 의미 이해 , 비와 비율의 의미와 성질 이해와 양 사이의 관계 표현 , 비례식 문제를 해 결하는 방법의 개발 , 분석 및 설명, 도형 영역에 서 도형을 확대 축소했을 때의 크기 기술 , 측정 영역에서 비와 비례를 사용하여 축척이 포함된 문제 해결 , 속도와 농도와 같은 내포량의 측정과 비율이 포함된 문제해결을 다루도록 되어 있다 . 본고에서 분석할 미국의 Mathematics in Context (이하 MiC) 교과서는 5,6,7,8학년을 위한 교과서 로 한 학년에 10개의 단원으로 구성되어 있다.
이 중 비와 비례 관련 단원은 5개의 단원 [똑같 이 나누어요 ] (Van Galen, Wijers, Burrill, &
Spence, 2004), [달은 얼마나 높이 있을까]
(Streefland, Simon, Burrill, & Middleton, 2004), [백분율은 백을 좋아해] (Van den Heuvel- Panhuizen, Streefland, Middleton, & Meyer, 2004), [비와 비율] (Keijer, Abels, Brinker, Cole, &
Shew, 2003), [늘었다 줄었다] (Keijer, van den Heuvel-Panhuizen, Wijers, Shew, Brinker, Margaret, Shafer, & Brendefur, 2003)로 학년별로 정리하면
<표 Ⅲ-2>와 같다.
<표 Ⅲ-2>를 살펴보면, MiC에서는 5, 6학년에 비와 비례 관련 내용을 집중적으로 다루고 있고 , 분수 , 소수, 백분율을 연계하여 지도하며, 다른 영역과의 통합도 강조하고 있다 . 분량은 5, 6학 년 전체 내용의 약 25% 정도를 차지하고 있을 정도로 많이 다루고 있음을 알 수 있다 .
2) 비례 추론 핵심 요소 가 ) 곱셈적 비교와 덧셈적 비교
비와 비율의 개념에서 곱셈적 비교 강조에 대 해 살펴보면 , 비의 도입은 [GS-1] 4) 에서 가구와 사람이 제시된 그림에서 사람의 키를 중심으로 소파가 일반 소파의 몇 배인지 , 실물 화상기를 통해 물건이 몇 배 확대되었는지 알아보는 활동 을 통해 암묵적으로 이루어지고 , [GS-2]에서 아 기와 어른 사진에서 머리 길이가 키의 얼마인지 분수로 나타내는 활동을 통해 곱셈적 관계를 생 각하게 한 후에 , 인형의 키와 머리 길이를 비교 하는 활동에서 ‘인형의 머리와 키를 비교하는 것을 머리와 키의 비라고 한다 . 키가 머리의 3배 이면 머리와 키의 비를 ‘1대 3’으로 나타낸다.’(p.
14)와 같이 ‘비’와 ‘몇 대 몇’이라는 용어를 도입 한다 . 곱셈이라는 용어를 명시적으로 제시하지는 않았지만 , 앞의 여러 활동을 통해 몇 배 또는 몇 분의 몇 배를 구해 보는 것을 통해 곱셈적 비교 를 강조하면서 , 비를 도입한다. 비교하는 양이나
4) 교과서명을 지칭할 때, 미국의 MiC에서 [GS-1]과 같은 형식은 [Grasping Size]의 첫째 이야기를 의미하고, SMP에서 7T-41은 7T 교과서의 41단원을 의미하며, 우리나라 교과서에서 5-2-7은 5학년 2학기 7단원을 의미하는 것으로 사용하고자 한다 . 또한 출처 표시는 단원과 관련된 내용은 복잡함을 피하기 위하여 [GS-1] (p. 2)와 같이 저자와 연도를 생략하고 쪽수만 표시하고자 한다.
학년 교과서 단원
5 [똑같이 나누어요(Some of the Parts: SP)]
[달은 얼마나 높이 있을까(Grasping Sizes: GS)], [백분율은 100을 좋아해(Per Sense: PS)]
6 [비와 비율(Ratio and Rates: RR)], [늘었다 줄었다(More or Less: ML)]
<표 Ⅲ-2> 미국의 Mathematics in Context 교과서 비와 비례 관련 단원
기준량이라는 용어는 사용하지 않지만 , 가구나 실물화상기 상황 등에서 기준이 중요함을 강조 하고 있다 .
비율은 내적비는 [PS]에서 백분율을 다룰 때 도입하고 , 외적비는 [RR-1]의 자동차 공해에 대 한 상황에서 ‘자동차 한 대 당 평균 승차 인원 수 ’(p. 9)와 같이 하나당 얼마를 구하는 방법에서 암묵적으로 다루며 , ‘다시 생각하기’ 부분에서
‘비를 하나의 수로 나타내기 위해서는 비표를 사용하여 둘째 수가 1이 되도록 하거나 첫째 수 를 둘째 수로 나누어 구할 수 있습니다 .’(p. 14) 와 같이 곱셈적 비교를 명시하고 있다 .
덧셈적 비교과 곱셈적 비교의 구분에 관련해 서는 [GS-1]의 사람과 가구의 사진, [GS-2]의 머 리와 키의 비교 , [PS-3]의 야구기념품의 선호도, [RR-2]의 인구수와 전화대수, [ML-4]의 축소와 확대의 백분율에서 다루는데 , 일부만 살펴보면, [GS-1]에서는 가구에 사람이 앉아 있는 사진에서
‘이 의자들은 보통 의자보다 크다고 말할 수 있 는 이유 '(p. 7), '그림 속에 험프리 선생님이 없다 면 탁자나 의자의 크기를 알 수 있는지 ’(p. 8)를 질문함으로써 사람에 비해 가구가 큰지 작은지 를 생각해 보고 , 사람에게 맞는 가구를 선택하는 활동을 통해 질적이고 간접적으로 다룬다 . 또한 [RR-2]에서 여러 나라의 인구수와 전화대수에 대 한 표를 제시하고 , ‘어느 나라에 전화가 가장 많 은지 '(p. 15)와 같은 질문을 제시함으로써 상황에 따라 어떤 비교가 적절한지 생각하게 한 후에
‘전화를 이용하는 인구수를 생각하지 않고, 전화 대수만을 비교하는 것을 절대비교 , 전화를 이용
하는 사람들 수에 대한 전화대수를 비교하는 것 을 상대비교라고 합니다 .'(p. 17)라고 덧셈적 비 교와 곱셈적 비교의 구분을 명시적으로 제시하 고 있다 .
한편 비의 순서에 관해서는 6학년의 [RR-2]에 서 여러 나라의 인구수와 전화대수에 관한 문제 를 다룰 때 , 구한 값이 ‘한 사람 당 전화 대수인 지 , 전화 한 대 당 사람 수'(p. 16)인지를 질문함 으로써 비의 순서가 달라지면 그 의미를 해석하 는 데 주의해야 함을 강조하고 있다 .
나 ) 비의 유형과 상황
비의 유형과 상황에 대해 살펴보면 , MiC에서 는 <표 Ⅲ-3>에서 <표 Ⅲ-7>과 같은 비의 유형 과 상황을 제공하고 있다 .
<표 Ⅲ-3>부터 <표 Ⅲ-7>에서 보는 바와 같이 전반적으로 MiC 교과서에서는 요리법, 인구 구 성 , 키, 가구, 건물, 지도, 거리, 속도, 인구밀도, 주차 , 스포츠, 문화, 자동차와 공해, 통신, 그림 자 , 곤충과 동물, 그림자, 가격, 할인, 이자 등 다 양한 상황을 사용한다 . 또한 한 상황 내에서도 한 가지의 비의 유형과 한 가지의 과제를 해결 하는 데 그치지 않고 , 다양한 비의 유형과 다양 한 과제를 동시에 다루고 있음을 알 수 있다 . 또 한 비의 유형에서 내적비 , 외적비, 축척비를 균 형 있게 다루고 있으며 , 내적비의 경우 전체와 부분 , 부분과 부분에 대해 모두 다루고 있음을 알 수 있다 .
상 황 비의 유형
SP-3 피자 , 컵케이크 등의 요리법에서 몇 인분에 맞는 재료의 양 외적비 SP-4 치킨 도리아의 요리법에서 몇 인분에 맞는 재료의 양
한 도시에 살고 있는 다양한 인종의 구성비 , 두 초등학교의 아일랜드식 이름을 가진 학생수
외적비 내적비
<표 Ⅲ-3> 5학년의 [SP] 단원의 비의 유형과 상황
상 황 비의 유형
GS-1 사람에 비해 큰 재미있는 가구 , 스크린 위의 상 축척비
GS-2 나이에 따른 사람의 머리와 키 , 인형의 머리와 키, 사람간의 머리와 키 내적비
GS-3
닐스의 모험을 중심으로 닐스와 학생의 키 , 닐스의 손수건 닐스의 걷는 속도와 걸리는 시간
닐스의 비행에서 물체 사이의 거리와 크기 , 여러 높이에서 그린 건물의 축척 지도 의 축척과 지도상의 거리와 실제 거리
내적비 외적비 축척비 축척비
GS-4
뉴올리언스의 이전과 현재 지도 비교 , 지도의 축척, 지도상의 거리와 실제 거리 걷는 속도와 시간 및 거리 ,
지도 위의 지역의 넓이 , 지도에 나타나는 도시의 인구수, 인구밀도
축척비 외적비 내적비 외적비
GS-5
지구 , 달, 태양 사이의 거리의 비,
지구에서 달과 태양까지 걸리는 시간 , 우주선의 속도와 화성까지 걸리는 시간 분화구의 축척 , 축척에 맞는 지구, 달, 태양 그림,
내적비 외적비 축척비
<표 Ⅲ-4> 5학년의 [GS] 단원의 비의 유형과 상황
맥 락 비의 유형
PS-1 단축마라톤 성공률 , 할인, 예산, 저축, 하숙비 등에서 백분율
학교 강당에서 진행되는 팝 콘서트 , 연극, 패션쇼의 입장률, 입장료 할인
내적비 PS-2 다양한 주차장의 주차율
PS-3
야구 경기장의 팀별 응원자수의 비 , 야구 기념품에 대한 팀별 선호도 조사에서 모 자 , 스카프, 수건에 대한 선호도, 체험 학습 장소에 대한 의견 조사, 철인 3종 경기 의 참가자수와 포기자수
PS-4 음식과 관련된 팁 문화 , 저작권 사용료
<표 Ⅲ-5> 5학년 [PS] 단원의 비의 유형과 상황
상 황 비의 유형
RR-1 자동차 공해와 관련하여 자동차 한 대 당 승차한 사람 수, 자동차의 연비 외적비
RR-2 여러 나라의 인구수와 전화 대수 외적비
RR-3 자동차의 과속과 관련하여 과속 차량과 과속하지 않은 차량, 전체 주행 차량과 과속 차량 내적비 RR-4 햇빛에 의한 그림자 길이와 가로등 불빛에 의한 그림자 길이
롤러코스트의 높이와 선로의 비, 서로 다른 크기의 정사각형의 한 변과 대각선의 길이의 비 축척비 RR-5 뮤지컬에서 확대한 발그림, 고양이와 모기의 확대, 현미경을 통한 조류와 적혈규의 확
대, 개구리, 도롱뇽, 올챙이, 고래, 공룡의 확대와 축소, 가구의 축척, 지도의 축척 축척비
<표 Ⅲ-6> 6학년 [RR] 단원의 비의 유형과 상황
상 황 비의 유형
ML-1 슈퍼마켓의 과일이나 채소의 kg 당 가격을 알 때 다양한 무게에 해당하는 가격 외적비
ML-2
슈퍼마켓에 대한 설문조사 결과의 백분율과 원그래프와 막대그래프 표현
슈퍼마켓이나 백화점의 가전제품, 주방용품, 의류, 잡화의 할인과 관련해서 원래 가격 의 백분율(<100%)에 해당하는 금액과 할인 가격
내적비
ML-3 슈퍼마켓의 과일과 채소의 할인율과 할인가격 계산, 작년과 올해의 이익 비교, 변화율
을 알 때 올해 이익 계산(>100%), 세금 계산, 레모네이드 주스의 양 비교 내적비 ML-4 상점 개업 광고 전단지를 위한 사진 축소, 상점 로고와 포스터의 확대
저축과 이자, 인구 성장률
축척비 내적비
<표 Ⅲ-7> 6학년 [ML] 단원의 비의 유형과 상황
다 ) 비의 동치 관계
비의 동치 관계에 대해 살펴보면 , [SP], [GS], [PS], [RR], [ML]의 전 단원에서 비표, 막대 모 델 , 이중수직선을 사용하면서 비의 동치 관계를 매우 강조하며 두 쌍의 비가 아닌 그 이상의 비 로 확장하고 있음을 알 수 있다 . 예를 들면, 5학 년의 [GS-1]의 실물 화상기에 물건을 올려놓았을 때 비표를 사용하여 상의 크기를 알아보는 활동 (p. 11), [GS-2]의 인형의 머리와 키를 고무 밴드 에 표시하고 고무 밴드를 다양한 길이로 늘려 보는 활동 (p. 14), [GS-3]의 마법이 걸린 닐스의 물건의 원래 길이와 변화된 길이를 구하는 활동 (p. 20), 축척이 다른 세 개의 농장 그림에서 길 이와 폭의 길이를 구하는 활동 (p. 25), [GS-4]의 지도상에 시간에 따른 거리를 나타내는 활동 (p.
30), [GS-5]에서 [그림 Ⅲ-1]과 같이 이중수직선
을 이용하여 지구에서 달까지 가는 데 시간과 거리를 구하는 활동 (p. 38)을 통해 공변성과 불 변성을 인식하게 함으로써 비의 동치 관계를 다 룬다 . 이와 같이 전 단원에서 비의 동치 관계가 지속적으로 다루어짐을 알 수 있다 .
[그림 Ⅲ-1] 이중 수직선(GS, p. 38)
3) 비례 추론 과제 유형
비례 상황에서 질적 추론 과제와 양적 추론 과제와 관련해서 살펴보면 , [GS-1]에서 [그림 Ⅲ -2]와 같이 가구에 사람이 앉아 있는 사진에서 사람을 기준으로 가구의 크기를 어림하거나 가 구가 멀리 있는 것은 작아 보이고 , 가까이 있는
과제 유형 예시
질 적
기 하
비교 [GS-1]의 실물 화상기로 스크린과의 거리를 변화시켜서 물체의 확대한 결과를 비교하여 가깝 게 또는 멀리와 같이 답하는 문제 (pp. 10-11)
미지값 [GS-1]의 가구에 사람이 앉아 있는 사진에서 사람을 기준으로 가구의 크기를 어림하는 문제 (pp. 8-9)
양 적
대 수
비교
[GS-2]의 머리와 키의 비가 제임스는 1 대 8, 낸시는 2대 15, 카루소 2대 16, 다이안 2대 20과 같이 주어졌을 때 , 누구의 머리가 큰지를 알아보는 문제(p. 17)
[PS-3]의 오늘 경기의 총 입장객수가 1600, 아기호랑이 팀 응원자수가 512, 지난 경기의 총 입 장객수가 1350명, 아기호랑이 응원자수가 459명일 때 오늘 경기와 지난 경기의 아기호랑이 팀의 응원 비율 비교 문제 (p. 27)
[RR-1]의 두 자동차의 연비 비교 문제(p. 12), [RR-2]의 여러 나라의 전화대수 비교 문제(pp.
15-18)
미지값
[GS-2]에서 자코의 머리와 키의 비는 1대 8이고, 자코의 머리 길이가 20cm일 때 키를 구하는 문제 (p. 17)
[GS-3]에서 닐스가 10m를 가는 데 걸리는 시간을 알고, 100m를 가는 데 걸리는 시간을 구하는 문제 (p. 20)
[RR-1]에서 자동차 한 대 당 승차한 사람의 수(p. 9), 자동차의 연비(p. 11), 과속한 차량의 비를 알고 있을 때 , 전체 차량 중 과속 차량의 수를 구하는 문제(p. 22)
기 하
비교
[GS-1]의 실물 화상기로 스크린과의 거리를 달리 해서 물체의 확대한 결과를 비교해서 정확하 게 거리를 구하는 문제 (pp. 10-11)
[RR-5]의 사진 4장에 대한 원래 크기와 축소한 크기가 주어졌을 때, 축척이 같은 사진을 찾는 문제 (p. 44)
미지값
[GS-3]에서 닐스의 원래 키가 마법에 걸린 키의 10배일 때, 닐스의 원래 물건들이 마법에 걸렸을 때의 길이를 구 하는 문제 (p. 20)
[GS-3],[GS-4]의 축척이 제시된 지도에서 지도상의 길이를 재어 실제 길이를 구하는 문제(pp. 26-27, pp.31-32)
[GS-6]의 지구, 달, 태양의 크기와 거리 구하는 문제(pp. 37-39)
[RR-5]에서 축척이 제시되었을 때 실제 동물의 길이를 구하는 문제(p. 43)
<표 Ⅲ-8> 과제 유형
것은 크게 보인다는 것을 통해 거리에 따라 크 기가 달라 보임을 알게 하는 활동 , 사진에 있는 사람에게 적합한 크기의 의자를 찾는 활동 , 사람 을 기준으로 큰 소파의 크기를 어림하는 활동 (pp. 7-9) 등 질적 추론 과제를 제시하고 있다.
이 외에는 대부분 양적 추론 과제를 제시하고 있다 . 또한 기하적 과제와 대수적 과제에 대해 살펴보면 , 비의 유형과 상황을 제시한 <표 Ⅲ-3>
에서 <표 Ⅲ-7>를 보면 전체적으로 대수적 과제 가 좀 더 많으나 어느 정도는 균형을 이루고 있 음을 알 수 있다 .
[그림 Ⅲ-2] 질적 추론 과제(GS, p. 8)
비교 과제와 미지값 과제도 어느 정도 균형을 이루고 있는데 , 다양한 추론 유형을 고려하여 몇 개의 예들을 살펴보면 <표 Ⅲ-8>과 같다.
비례 상황이 아닌 문제는 [GS-3]의 닐스의 모 험에서 닐스의 손수건의 넓이의 비 , 농장 지도에 서 건물의 넓이의 비를 구하는 문제 (p. 21), [GS-4]의 옛날 지도와 현재 지도에서 넓이의 비 교 (p. 33), [RR-4]의 물체의 높이와 가로등 불빛 에 의한 그림자 길이 사이의 관계 (pp. 29-32), 전 자레인지로 데울 때 핫도그의 수와 데워지는 시 간 사이의 관계 , 책 읽는 데 걸리는 시간 등이 비례 상황인지 아닌지 판단하는 문제를 다루고 학생들이 비례 상황이 아닌 경우를 찾아보게 하 는 문제 (p. 33)와 같이 넓이 과제, 불규칙한 과제 등을 다루고 있다 .
지금까지 살펴본 바와 같이 MiC 교과서에서는 대부분의 유형들을 모두 다루고 있지만 , 질적 추 론보다는 양적 추론을 좀 더 강조하고 있고 , 기 하적 과제와 대수적 과제 , 비교 과제와 미지값 과제는 어느 정도 균형을 이루고 있으며 , 비례
상황이 아닌 경우도 중요하게 다루고 있음을 알 수 있다 .
4) 비례 추론 전략 지도
비례 추론 전략에 대해 살펴보면 , [GS-1]에서 실물화상기에 올려놓은 물건의 실제 길이와 상 의 크기가 주어진 표에서 표에 적힌 두 수의 관 계를 알아보는 문제 (p. 11)에 대해 <표Ⅲ-9>와 같이 지도서 예상 답안으로 첫째 칸의 수에 4를 곱하여 둘째 칸을 구하기 등의 인수 전략과 셋 째 칸과 다섯째 칸을 더하여 여섯째 칸을 구하 기 등의 구성 전략을 제시하고 있다 .
실제 길이 1 4 5 7.5 10 15 20 상의 크기 6 24 30 45 60 90 120
<표 Ⅲ-9> [GS-1]의 전략 (Streefland, Simon, Burrill, & Middelton, 1997, p. 15)
÷5 ÷10 ÷5 ×3
![[그림 Ⅱ-2] 영역 모델 이중 척도 모델은 막대 모델 (bar model), 이중 수직선 , 비표(ratio table), 행렬 모델로 모델의 위 와 아래에 서로 다른 이중의 척도를 사용하는 모델이다](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dokinfo/5275390.371145/11.892.479.717.356.502/모델은-수직선-모델로-모델의-아래에-이중의-사용하는-모델이다.webp)
