1. 서 론
잠수함 스크류 회전에 의해 생성되는 난류는 주변과 대비되는 운동에너지(TKE : Turbulent Kinetic Energy) 집합체로서 확산을 통해 그 영역을 넓히게 된다. 에너 지 확산 과정에서 최초 생성된 거대 난류는(Large Scale Turbulent) 보다 작은 규모의 난류로 분화하면서
*Corresponding author, E-mail: [email protected] Copyright ⓒ The Korea Institute of Military Science and Technology
항적이 유지되도록 에너지를 공급하는 역할을 하나, Kolmogorov Length Scale 이하 크기의 미소 난류(Small Scale Turbulent) 유체 입자간 점성효과에 의해 자신의 운동에너지를 열에너지로 전환 후 소멸함으로써 난류 항적의 에너지를 제거하는 역할을 한다. 따라서 난류 가 생성 후 소멸하기 까지 지속 유지되는 구간이 존 재하게 되는데 이 구간을 에너지 준 평형 구간(Quasi- Equilibrium State[1], Fig. 1 참조).이라 부르며 난류항적 의 물리적 특성을 연구하는 영역이다.
난류항적의 물리적 특성은 잠수함 후방 임의 위치 Research Paper 해상․수중 부문
잠수함 난류항적 기술을 위한 무차원 난류 에너지 분포함수 B(ξ) 예측
이 용 철*,1)
1)해군사관학교 교수부 이학처
Analytical Solution of Non-dimensional Turbulent Kinetic Energy Distribution Function in the Turbulnet Wake behind a Submarine
YongChol Lee*,1)
1)Division of Science, Korea Naval Academy, Korea
(Received 6 April 2014 / Revised 15 October 2014 / Accepted 9 January 2015)
ABSTRACT
To describe turbulent wake behind a submarine, it is very important to know turbulent kinetic energy distributions in the wake. To get the distribution is to solve the turbulent kinetic energy equation, and to solve the equation, it is needed both information of λ and σ which define physical characteristics of the wake. This paper gives analytical solution of the equation, which is driven from 8th order polynomial fitting, as a function of given λ, even though there is no information of σ. In comparison between numerical solution(i.e. exact solution) and analytical solution, the relative errors between them are less than to 5% in the range of 0 < ξ < 0.95 in most given λ.
Key Words : Submarine's Turbulent Wake, Turbulent Kinetic Energy Distribution Fuction
(준 에너지 평형 구간)에서 난류항적의 확산범위, 에 너지 분포, 그리고 에너지 소멸률로 표현할 수 있으며 이는 항적 내 난류 운동 에너지 방정식의 해를 구함 으로써 알 수 있다. 방정식의 해를 구하기 위해선 먼 저 난류 에너지 방정식의 물리적 특성을 정의하는 두 매개변수(, )에 대한 값이 결정되어야 한다. 하지만 이 둘 중 어느 한 가지를 모를 경우 방정식의 정확한 해를 찾는 것은 사실상 쉽지 않은 문제이다.
Fig. 1. Conceptual diagram of quasi-equilibrium state 거대난류의 분화에 의한 에너지 공급 영역과 유체점성에 의해 소멸되는 에너지 영역사이의 부분으로 난류가 유지 되는 동안 일정한 에너지 평형상태를 이룬다.
따라서 본 연구에서는 가 가질 수 있는 다양한 값 에 대한 수치해(Numerical Solution)를 제시하고, 와 수치해와의 연관성을 찾음으로써, 에 대한 정보가 없 는 상황에서도 비교적 정확한 형태의 난류 에너지 방 정식의 해를 예측하고자 한다.
2. 자유전단류 가정을 이용한 난류항적 표현
자유전단류 가정을 이용한 난류항적의 표현 및 난 류에너지에 대한 식은 이[2]의 연구에서 이미 기술되었 으나 식 유도에 관한 이해를 위해 본 장에서 보다 자 세히 기술한다.
익히 잘 알려진 난류 에너지 방정식[3]은 다음과 같다.
′
′
′
′′
잠수함 추진 시 스크류 회전에 의해 발생하는 난류 의 에너지가 해양환경에 의해 생성된 주변 난류에 비
하여 매우 높기 때문에 잠수함만이 난류의 유일한 생 성원이라 가정할 수 있으며 이 경우 유체점성에 의한 난류에너지 증가량은 난류의 에너지에 비하여 매우 작으므로 준 식의 두 번째 항은 무시되어 다음과 같 이 표현된다.
′
′
′
′′
(1)
자유 전단류(Sheer-free flow)가정을 적용하면 식 (1) 의 우변 마지막 항은 0이 되며, Prandtl, Taylor의 확산 모델, 그리고 Kolmogorov의 제 2 유사 가정(The Second Similarity Hypothesis)을 적용하면 우변의 첫째 항 및 둘째 항은 각 각 다음과 같이 표현된다.
′
′
(2)
′
(3)
여기서 : 난류확산계수, , : 비례상수, : 난류 특성적 크기(characteristic length scale of turbulence) 이다.
식 (1) 좌변의 경우 첫째 항에 비하여 둘째 항이 상 대적으로 더욱 크기 때문에 첫 항을 무시하면 식 (1)은 다음과 같이 간단히 난류운동에너지만으로 정리된다[4].
(4)
ro
x
Fig. 2. Diffusion of turbulent wake behind a submarine and axis of coordinate
ro : 잠수함으로부터의 임의거리 x에서 반지름 방향의 난 류의 최대 분포 거리를 의미.
속도 로 이동하는 잠수함을 좌표축의 원점으로 정하고 잠수함이 진행하는 반대방향을 x-축으로 선택 하면 유체 평균흐름 는 와 같고, 임의위치 x는
= 로 나타낼 수 있으므로 식 (4)의 좌변은 다음 과 같이 변형 가능하다.
(5)
이 경우 식 (5)는 임의 위치 x, 임의시간 t에서의 잠 수함 난류 확산을 기술하는 방정식을 의미하게 된다.
잠수함 난류항적의 3차원 확산은 x 축 보다는 주로 반지름 방향(Fig. 2 참조)으로 확산되므로 식 (5)의 우 변을 원통좌표계로 변형하면 다음과 같이 시간에 따 라 반지름 방향으로 확산되는 난류 에너지 방정식을 얻게 된다.
(6)
where, 0 ≤ ≤ , ≡
, = ( : 비례상수, 0 ≤ ≤ 1)
난류에너지를 아래와 같이 가정하면
≡
, (0 ≤ ≡
≤ 1)
where, = 0,
= 0
식 (6)은 무차원 난류 운동에너지 분포함수 에 관한 방정식으로 전환된다.
(7)
where,
,
위 의 양변에 , ( : 임의 상수) 곱하여 전개 한 식에서 만약 의 조건이 성립한다면 다음 과 같은 의 식을 얻을 수 있다.
(8)
식 (8)이 만족하는 보존값을 C, t = 0일 떄 항적의 폭을 잠수함의 폭(a)이라 가정하고, 잠수함 길이를 , 속력을 , 시간
로 나타내면 잠수함의 난류
항적 반지름과 운동에너지에 대한 방정식은 각 각 다 음과 같다.
(9)
(10)
≡
식 (7)～식 (10)이 의미하는 바와 같이 잠수함의 난 류항적에 대한 물리적 특성을 알기위해선 의 형 태를 알아야하며 이는 결과적으로 식 (7)의 해를 구할 수 있어야 함을 의미한다.
3. 주어진 에 대한 예측
식 (7)의 해는 주어진 에 대한 고유값 에 대해서 만 해가 존재한다고 익히 알려져 있고, 이[2]의 연구에 서는 Kolmogorov length scale 이하에서도 난류의 소멸 이 없다고 가정한 경우와( = 0, = 2)와 수상함의 난류항적과 같은 형태의 확산( = 8, = 50.28)[5,6]을 할 경우에 대하여 무차원 난류운동에너지 분포함수의 해를 기술한 바 있다. 그러나 위 결과는 잠수함 난류 항적이 존재할 수 있다고 판단되는 양 극한의 경우로 서, 실제 잠수함 추진 시 발생하는 난류의 값은 2 ≤
≤ 8 사이의 임의 값이 될 수 있으므로 본 장에서 는 임의의 값을 가정하고 그에 대응하는 를 예 측하고자 한다.
3.1 의 수치해(Numerical Solution)
식 (7)의 수치해를 구하기 위해 Matlab 7을 사용하 였으며 주어진 변수를 ≡ 로 치환함으로써 원 래의 경계치 문제를 아래와 같이 초기치 문제(initial Value Problem)로 변형하였다.
where,
이 경우 의 범위는 0 ≤ ≤ 1이나, 원래의 가 항적중심으로부터 반지름 방향의 거리이고, 는 항적중심에서 최대값을 갖는 좌우가 대칭인 함수이므 로 보다 정확한 형태의 해를 찾기 위해 의 범위를 0
≤ ≤ 2로 변경 한 후 ode45를 이용하여 를 2부터 8까지 0.5씩 증가시키면서 의 값 조정을 통해 해가 존재할 경우의 값을 찾았다. 이때의 의 모양을 Fig. 3에 나타내었고 , ≡max의 값은 Table 1에 나타내었다.
Fig. 3. Non-dimensional turbulent kinetic energy distribution function
각각의 에 대한 수치해를 나타내었으며 모두 중심에 대 하여 좌우 대칭임을 보여준다.
Table 1. max and eigen value corresponding to the given constant
2 2.5 3 3.5 4 4.5
0 2.77 5.7537 8.9682 12.4275 16.145
max 0.0625 0.0575 0.0527 0.0483 0.0443 0.0406
5 5.5 6 6.5 7. 7.5
20.1333 24.4036 28.964 33.8194 38.9965 44.4801
max 0.0371 0.034 0.0311 0.0285 0.0261 0.024
3.2 의 해석해(Analytical Solution)
이[2]에서 제시된 의 두 극한의 해 중 = 2인 경우인 는 수치해나 분석해가 아 닌 정확한 해이므로, 아래의 계산 등에 있어서 = 2 에 해당하는 사항은 의 값을 사 용하기로 한다.
먼저 Fig. 3을 각 각의 최대값(max)에 대한 상대 적 크기로 변환(즉 규격화) 후 그에 대한 8차 다항식 으로 근사한 해석해(좌우 대칭임을 고려 우측 구간만 표시)와 구간 0 ≤ ≤ 0.97에서의 두 해에 대한 상 대적 오차를 Fig. 4에 나타내었다. 상대적 오차는 주어 진 구간에서 최대 1.4% 이하로서 매우 정확하게 근사 되었음을 보인다.
Fig. 4. Comparison between normalized numerical Solution max
and its 8th-order polynomial fitting
8차 다항식으로 근사한 각 다항식의 동일 차수 간 계수값과 와의 관계는 Fig. 5에 나타내었다. Fig. 5에 서 알 수 있듯이 홀수 차수의 계수는 짝 수차수의 계 수에 비하여 대부분이 0에 가까운 값을 보인다. 반면 짝수 차수항의 계수들은 에 대한 2차함수를 사용하 여 근사할 경우 잘 들어맞는 결과를 보이고 있다.
이와 같은 내용을 정리할 경우 2 < ≤ 8에 대한 규격화된 무차원 에너지 함수의 해석해는 다음과 같 이 근사 할 수 있다.
Fig. 5. The relation between 8th-order polynomial's coefficient and
윗 그림에서 a8, a7, a6, ...,은 각 각 8차, 7차, 6차,...항의 계수를 의미하며, x 축은 λ, y축은 각 계수의 값을 나타 낸다. 0차 항의 계수는 모두 1로 근사할 수 있기에 여기 에서는 나타내지 않았다(Fig. 4 참조). 각 그림의 붉은색 실선은 2차 함수로 fitting한 그래프이다.
Fig. 6. Comparison between normalized numerical Solution max
and its analytical solution
≡ (11)
where,
Fig. 6은 규격화된 수치해(max)와 식 (11)을 이용한 근사해 를 함께 그린 것으로 상대적 오차 율에서 알 수 있듯이 대부분의 구간에서 매우 잘 일치 하는 것을 나타내고 있다. 상대적 오차는 ≤ 0.95의 구간에서 5%이하를 나타냈으나, = 5.5, = 8인 경 우 = 0.95에서 각 각 25%, 15%로 상대적으로 높게 나타났다. 그러나 > 0.95의 영역에서 max의 원 값이 0.01～0.02 이하인 작은 값이기 때문에 비록 오차율은 크지만 그 차이는 거의 의미 없다고 할 수 있으므로, 주어진 2 < ≤ 8의 전 구간에서 는 매우 훌륭한 근사해라 할 수 있다.
임의 에 대한 max값은 에 대한 2차 다항식을 이 용하였으며 그 결과를 Fig. 7 및 식 (12)에 나타내었다.
Fig. 7. 2nd-order polynomial fitting of max
max (12)
이상의 내용을 종합하면 임의 가 주어질 경우 대 응되는 고유값인 에 대한 정보 없이도 무차원 난류 운동에너지 분포함수 를 상당히 정확하게 예측 가능하며 그 결과는 식 (13)과 같다.
≅max (13)
where, max
위 식에 대한 검증을 위해 = 3.3, = 5.2인 두 경우에 대하여 수치해와 식 (13)을 이용한 근사해를 Fig. 8에 나타내었다. 상대적 오차는 0 ≤ ≤ 0.97 구간까지 나타내었으며 대부분의 구간에서 각 각 약 1%, 2%로 매우 훌륭히 근사되었음을 보여준다.
Fig. 8. Verification of analytical non-dimensional turbulent kinetic energy distribution function
= 3.3, = 5.2인 두 경우에 대한 수치해와 식 (13)을 이용한 해석해 비교(상) 및 상대적 오차(하)
4. 결 론
본 연구에서는 잠수함 항적난류를 기술하기 위해 난 류에너지 방정식의 해 를 주어진 에 대한 해석 적 방법을 통해 근사할 수 있는 방안을 제시하였다.
이를 통해 주어진 에 대하여 고유치인 에 대한 정 보 없이도 를 근사할 수 있으며 수치해와 비교 시 상대적 오차가 대부분의 구간에서 수 % 내외로 매 우 정확하게 근사하고 있음을 알 수 있다.
References
[1] Monin, Yaglom, “Statistical Fluid Mechanics : Mechanics of Turbulence,” Vol. 2, 2nd Printing, p.
351, 1981.
[2] Lee, “The Detectability of Submarine's Turbulent Wake on the Sea Surface using Ship-Wake Theory,”
The Korea Institute of Maritime Information &
Communication Sciences, Vol. 15-4, 2011.
[3] Monin, Yaglom “Statistical Fluid Mechanics : Mechanics of Turbulence,” Vol. 1, 2nd Printing, p.
381, 1981.
[4] A. Y. Benilov, “Ship-Wake Turbulence,” Numerical Methods in Laminar and Turbulent Flow, Vol. 10, pp. 253-264, 1997.
[5] H. Tennekes, J. L. Lumley, “A First Course in Turbulence,” 13th, MIT Press, 1990.
[6] G. Zilman, A. Zapolski, M. Marom, “SAR Imaging of Ship Wakes and Inverse Ship Wake Problem,”
IWWWFB Workshop, 2004.
