133 [Note]
확장형 Boussinesq 방정식의 유한요소모형 개발
우승범*1·최영광2·윤병일2
1인하대학교 해양과학과
2인하대학교 해양과학·생물공학과
Development of Finite Element Method for the Extended Boussinesq Equations
SEUNG BUHM WOO*1, YOUNG KWANG CHOI2AND BYUNG IL YOON2
1Department of Ocean Science, Inha University, 253 Yonghyun-dong, Nam-gu, Incheon, Korea
2Department of Biotechnology & Marine Sciences, Inha University, 253 Yonghyun-dong, Nam-gu, Incheon, Korea
장파와단파의거동을동시에모의할수있는확장형 Boussinesq 방정식에대한유한요소모형을개발하였다. 3차
공간미분항을처리하기위한추가변수를도입하고 Galerkin 가중잔차방법을적용하여모형을수립하였으며, 시간 적분방법으로 Adams-Bashforth-Moulton Predictor Corrector 기법을적용하여 비물리적인수치분산이나수치소산
현상을줄일수있도록하였다. 이개발된모형을검증하기위해고립파가전파하는문제에적용을하였다. 개발된 모형을적용한결과이론해또는수리실험결과에매우양호한일치를보였다.
A finite element model is developed for the extended Boussinesq equations that is capable of simulating the dynamics of long and short waves. Galerkin weighted residual method and the introduction of auxiliary vari- ables for 3rd spatial derivative terms in the governing equations are used for the model development. The Adams-Bashforth-Moulton Predictor Corrector scheme is used as a time integration scheme for the extended Boussinesq finite element model so that the truncation error would not produce any non-physical dispersion or dissipation. This developed model is applied to the problems of solitary wave propagation. Predicted results is compared to available analytical solutions and laboratory measurements. A good agreement is observed.
Keywords: Extended Boussinesq Equations, Galerkin Finite Element Method, Auxiliary Variables, Adams- Bashforth-Moulton Predictor Corrector Scheme, Solitary Wave Propagation
서 론
Boussinesq 형의방정식은장파와단파의거동을동시에해석할
수있고흐름-파랑상호간의간섭으로인한비선형성을고려할수
있으며또한불규칙파의거동에적용할수있는등다양한장점이 있기때문에지난 10여년간활발한연구가수행되었다. 이식의 근간은선형비분산형파랑의전파를기술하는천수방정식이며,
여기에더하여비선형성과주파수분산성을나타내는항들이추가
되어 Boussinesq 방정식이이루어진다.
비선형성과분산성이모두약하고이두개의물리적성질의크 기가대략비슷하다는가정하에, Peregrine(1967)은수심적분된
유속을 변수로하여가변수심에서적용가능한 이른바표준형
Boussinesq 방정식을유도하였다. Peregrine의 Boussinesq 방정식은
해저면에서의유속혹은자유수면에서의유속을변수로하여다 시표현될수있다. 이러한식들은그변수를어떤것으로선택하 느냐에따라분산관계식이약간씩달라지게되는데, 수학적관점
에서봤을때이식들의정확성은모두동일한정도를갖는다고할
수있다. 표준형 Boussinesq 방정식, 혹은이와유사한방정식에근
거를둔수치모형의계산결과의검증은실제관측자료와의비교
(Elgar and Guza, 1985), 그리고수리실험자료와의비교(Goring,
1979) 등을통해서수행된바있고그결과의신뢰성이입증되었다.
그러나표준형 Boussinesq 방정식은약한분산성에가정을두고
있으므로수심이파장에비해상대적으로작은, 비교적긴장파의 거동에만적용가능하다는한계가있다. 수심적분된유속을변수
로하는표준형 Boussinesq 방정식은수심이파장의 1/5 이상이되
면수학적으로해가발산한다. 항만부진동을포함한대다수의공 학적문제에있어서는대상영역으로침입하는파랑의에너지스 펙트럼이많은주파수성분으로구성되어있으므로방정식에서수 심에대한제약이적을수록바람직하다.
이러한단점을극복하여단주기파랑에도적용이가능하고수치 적불안정성을감소시킨, 이른바확장형 Boussinesq 방정식을개발 하고자많은연구자들이노력해왔다(예, Madsen et al., 1991; Nwogu, 1993; Beji and Nodaoka, 1996; Chen and Liu, 1995). 이러한노력
의결실로써다양한형태의확장형 Boussinesq 방정식이개발되었
*Corresponding author: [email protected]
는데, 비록그유도과정은다소상이하나선형분산관계식의개선
된정도는서로유사하다. Witting(1984)은이개선된선형분산관
계식을선형파랑이전파할때의완전분산관계식에대한 [2/2]
Padé근사로표현될수있음을증명하였다. 이렇게개발된확장형
Boussinesq 방정식은파랑과흐름의상호작용을포함한심해에서
천해로의파랑의전파및변형에사용될수있음이입증되었다(Chen
et al., 1998).
분산관계의괄목할만한개선에도불구하고확장형 Boussinesq
방정식은여전히비선형성이약한경우에만적용이가능하다. 파랑
이해안가에접근해옴에따라, 천수작용에의해파고가증가하여
대다수의완만한경사의해안에서쇄파된다. 이쇄파대에서의수심
대파고의비는매우커지므로(즉비선형성은매우강해지므로), 확
장형 Boussinesq 방정식을적용하는데는많은무리가따른다. 이
러한단점은확장형 Boussinesq 방정식의유도과정에서 order of
magnitude가 1인강비선형항을생략하는과정을수행하지않고모
든비선형항을지배방정식에포함시켜, 이른바완전비선형, 확장형
Boussinesq 방정식을유도함으로써극복되었다(Liu, 1994; Wei et
al., 1995). 학자에따라서이러한완전비선형, 확장형 Boussinesq
방정식은비선형성과분산성의크기가서로대략적으로비슷하다
는표준형 Boussinesq 방정식의기본 가정과다르므로 더이상
Boussinesq 방정식이라고칭하기어렵다고보는견해도있다.
식의난해성으로인해수학적인엄밀해를구하는것은매우제 한적이므로수치모형의개발은필수적이다. 지금까지제시된가장 일반적인수치모형은유한차분모형이며(Wei et al., 1995) 유한차분
모형은널리알려진대로수치모형제작의용이성과저렴한계산 비용등에는장점이있으나해안선같이복잡한임의형상의경계 를제대로재현하기힘들다는단점이있다. 항만구조물의복잡한 경계를재현하기에적합한수치모형은유한요소모형(FEM)이며근
래에들어확장형 Boussinseq 방정식에 FEM을수립하려는시도가
이루어지고있다.
본연구에서는 Nwogu(1993)의확장형 Boussinesq 방정식에대 한유한요소모형을수립하고그정확성을검증하였다. 추가변수를
도입하여 3차공간미분항의차수를줄임으로써 Galerkin 방법의사
용을가능하게하였는데, 추가변수의선택은완전반사경계조건의
유도와밀접한관계가있는것으로모형의정확성과계산의효율 성에매우큰영향을미친다. 또한추가변수를적절히선택해야만 향후본연구에서수립된수치방법을완전비선형, 확장형 Boussinesq
방정식에직접적으로사용할수있으므로추가변수의선택은매우 중요하다.
유한요소모형의 수립
일반적인 FEM에서사용되고있는편미분방정식은주로최고차 항이짝수차이며유한요소모형수립후대칭형의행렬이만들어지 게된다. 반면에홀수차편미분방정식에 FEM을수립할경우대 칭형의행렬은수립할수없게되어일반적인유한요소해석기법을 적용하기 어렵다. 특히 3차의 공간미분항을 포함하는확장형
Boussinesq 형식의편미분방정식에대한 FEM의연구는거의없는
실정이다.
2차원문제에있어서가장일반적으로사용되는선형의유한요
소를이용하기위해서는추가변수를도입하여방정식에존재하는 최고차미분항의차수를낮추는것이필수적이다. Li et al.(1999)
은자유수면에대한 1차의공간미분항을추가변수로치환하여 Beji
와 Nadaoka(1996)의 2차원확장형 Boussinesq 방정식에대한유한
요소모형을수립하였다. Nwogu(1993)의확장형 Boussinesq 방정 식에대한유한요소모형은 Walkley(1999)에의해개발되었는데그 는질량보존방정식에있는주파수분산항을이용하여 2개의추가 변수를 도입하였다. 또한 계산시간의 효율을 높이기 위하여
Walkely(1999)는추가변수를계산하는행렬식에는질량집중행렬을
사용하였고시간적분은 SPRINT라는 software package를사용하였
다. 그의수치실험결과는 2 격자크기의수치진동을감소시키기위
해서는계산영역에서비구조격자들의크기가매우완만히변해 야함을보이고있다. 이수치모델이간단한형상의항만부진동에 적용되었는데계산영역의경계부분에서입사파경계조건의부정확 한적용으로인해서계산결과는준정상상태에도달하지못하고발 산하였다.
이결과에서알수있듯이항만부진동문제에있어서, 특히시
간적분형모형의경우, 입사파와반사파및방사파의처리가정확
해야만신뢰할수있는결과를얻을수있다. Walkely(1999) 방법
에서의단점은선택된추가변수의형태가너무복잡하여완전비
선형 Boussinesq 방정식에의적용이불가능하다는점과, 항만부진
동문제에의적용이검증되지못했다는것이다. 본논문에서는수 치모형수립시에도입된추가변수와유한요소모형수립과정, 시 간적분방법등을기술한다.
지배방정식
파랑의전파는파고(a), 수심 (h), 파수(k) 등의인자로특성화시
킬수있다. 무차원계수인 와 는각각파랑전 파시의비선형성과분산성을나타내는값이된다. Boussinesq 이론 은약비선형약분산성파랑전파의해석을위해 의
가정을필요로하며 Nwogu(1993)의확장형 Boussinseq 방정식은
다음과같이제시된다.
(1)
(2)
여기서
(3)
이며, η는자유수면변위, 는 , uα는z=zα에서의수평방 향유속벡터로써 uα:=(uα, vα)으로정의되고, zα는임의의수심을
나타내는변수로써zα=-0.53h에해당한다. 식(1), (2)의우변의값
은이식이포함하고있는오차의한계를나타낸다. 이오차한계
ε=a h⁄ µ2=( )kh2
O( )ε ≈O( )µ2 «1
∂η∂t
---+∇⋅[(h+εη)uα] µ+ 2∇⋅[C1h3∇ ∇ u( ⋅ α)+C3h2∇ ∇( ⋅(huα))]
O(ε2,εµ2,µ4)
=
∂uα
∂t
---+ +∇η ε2---∇ u( α⋅uα)
µ2 C2h2∇ ∇ ∂u⎝⎛ ⋅---∂tα⎠⎞ β+ h∇ ∇⎝⎛ ⋅⎝⎛h∂u---∂tα⎠⎞⎠⎞
+ =O(ε2,εµ2,µ4)
C1 1 2--- β2 1
–3---
⎝ ⎠
⎛ ⎞
= C2 β
=2---C3 β 1 +2---
= β
, , , zα
----h
=
∇ ∂
∂x ---,∂---∂y
⎝ ⎠
⎛ ⎞
를설정하는기준에따라다양한형태의확장형 Boussinesq 방정
식이존재하며주목할점은확장형 Boussinesq 방정식에서의질
량보존방정식은우변의값이 0이아닌것에서알수있듯이완벽
한질량보존을의미하는것은아니라는점이다. 또한 3차의공간
미분항이질량보존방정식에존재하고운동량방정식의최고차공 간미분항은 2차인점에유의한다.
선형요소를사용하는 Galerkin 방법을적용하기위하여 3차의
공간미분항의차수를줄이는것이필요하며이를위해다음과같 은추가변수를도입한다.
(4) (5)
여기서 :=는정의함을뜻하며, 식 (4)와같이추가변수를도입할 경우벽면근처에서 라는가정하에 와uα의관 계는식 (6)과같이기술될수있다.
=uα+ (6)
여기서 는수심적분된수평방향유속을의미한다. 불투과직벽
에서유체는물리적으로벽면을통과하지못하므로수심적분된유 속이 경계의직각방향으로 0 이어야만한다. 또한정의에 의해
이므로식 (7)이성립된다.
(7)
이러한성질을이용하면추가변수의 no-flux 경계조건도유속성분
의조건과형태가동일하며, 운동량방정식을풀때사용한경계기 법의처리방법을그대로경계에서의추가변수의처리에적용할수 있다.
이러한추가변수를이용하여지배방정식을다시기술하면다음 과같다.
= 0 (8)
= 0 (9)
= 0 (10)
(11) (12)
위의식에서상첨자 ·는시간에대한미분을나타낸다. 추가변수
의도입으로인해서상기의지배방정식은최고차가 2차가되었음
에주목한다. R1, R2, R3는해저면경사에관한항들로시간적분이
시작되기전에 1회에한하여계산된다. 와 에대한처리는 시간적분을기술하는절에서설명한다.
Galerkin 유한요소방법
Galerkin 유한요소방법을적용시키기위해서는지배방정식의가
중잔차가 0이되어야한다. 즉식 (8)~(12)까지의식들에가중함수
W(x, y)가곱해지고공간영역 Ω의영역에걸쳐적분된다. 가중잔
차법을사용하기위한지배방정식의 weak form 은부분적분의원
리와 Divergence 이론을이용하여유도되는Γ(경계)에서의경계적
분으로표현하면다음과같이기술된다.
(13)
(14) E E=( 1,E2):=∇ ∇ u( ⋅ α)
R1 ∂2h
∂x2
---, R2 ∂2h
∂y2
---, R3 ∂2h
∂x∂y ---
= = =
O(∇h)≈O( )µ2 u
u µ2h2C6E
u
uα:=uz z=α uα⋅n=0
η· ∂
∂x
---[(h+εη)uα] ∂∂---y[(h+εη)vα]
+
µ2∂
∂x
--- C1h3E1 C3h2 2∂---∂uxα∂∂---hx uαR1 ∂vα
∂x
---∂∂---hy vαR3 ∂vα
∂y ---∂∂---hx hE1
+ + + + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ +
µ2∂
∂x
--- C1h3E2 C3h2 ∂uα
∂y
---∂∂---hx uαR3 2∂---∂vyα∂---∂hy vαR2 ∂uα
∂x ---∂---∂hy hE2
+ + + + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ +
u·α µ2 C2h2∂2u·α
∂x2
--- βh∂2( )u·α
∂x2 --- + +
+∂
∂x --- η ε1
2---(uα2+vα2)
+ +µ2 C2h2∂2u·α
∂x∂y
--- βh∂2(hv·α)
∂x∂y --- +
v·α µ2 C2h2∂2v·α
∂y2
--- βh∂2(hv·α)
∂y2 --- +
+
+∂---∂y η ε1 2---(uα2+vα2)
+ +µ2 C2h2∂2u·α
∂x∂y
--- βh∂2(hu·α)
∂x∂y --- +
E1 ∂
∂x
--- ∂---∂uxα+∂---∂vyα
– =0
E2 ∂
∂x
--- ∂---∂uyα+∂---∂vyα
– =0
u·α v·α
Wη·d yxd
∫∫Ω
= ∂W
∂x
---[(h+εη)uα+µ2(C6h3E1
⎩⎨
⎧
∫∫Ω
+C3h2 2∂---∂uxα∂∂---hx uαR1 ∂vα
∂x
---∂∂---hy vαR3 ∂vα
∂y ---∂---∂hx
+ + + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎠⎞
+∂W
∂y
---[(h+εη)vα+µ2(C6h3E2
+C3h2 2∂---∂uyα∂∂---hx uαR3 2∂---∂vyα∂∂---hy vαR2 ∂uα
∂x ---∂∂---hy
+ + + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎠⎞ dxdy nxW h[( +εη)uα+µ2(C6h3E1
Γ{
–∫
+C3h2 2∂---∂uxα∂∂---hx uαR1 ∂vα
∂x
---∂∂---hy vαR3 ∂vα
∂y ---∂---∂hx
+ + + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎠⎞
+nyW h[( +εη)vα+µ2(C6h3E2
+C3h2 ∂uα
∂y
---∂∂---hx uαR3 2∂---∂vyα∂∂---hy vαR2 ∂uα
∂x ---∂∂---hy
+ + + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎠⎞ dΓ
W µ2W C4∂h2
∂x
---∂---∂x β ∂h
∂x ---
⎝ ⎠⎛ ⎞2
⎝ + ⎠
⎛ ⎞ ∂W
∂x
--- C5h2∂---∂x β2---∂h
2
∂x ---
⎝ + ⎠
⎛ ⎞
+ u·αd yxd
⎩ – ⎭
⎨ ⎬
⎧ ⎫
∫∫Ω
= µ2W C2∂h2
∂x ---∂v·2
∂y --- β∂h
∂x ---∂(hv·2)
∂y ---
⎩ +
⎨⎧
∫∫Ω
+∂W
∂x --- η ε1
2---(uα2+vα2) µ2 C2h2∂v·α
∂y
--- βh∂(hv·α)
∂y ---
⎝ + ⎠
⎛ ⎞
+ +
⎭⎬
⎫dxdy
− nxW η ε1 2---(uα2+vα2)
⎩ +
⎨⎧
∫Γ
+µ2C2h2 ∂u·α
∂x --- ∂v·α
∂y ---
⎝ + ⎠
⎛ ⎞ βh ∂hv·α
∂x
--- βh∂hv·α
∂y ---
⎝ + ⎠
⎛ ⎞
+ ⎭⎬⎫dΓ
