Development of Sequential Mixing Model for Analysis of Shear Flow Dispersion

水 工 學

第26卷 第4B 號·2006年 7月 pp. 335 ~ 344

전단류 분산 해석을 위한 순차혼합모형의 개발

Development of Sequential Mixing Model for Analysis of Shear Flow Dispersion

서일원*·손은우**

Seo, Il Won·Son, Eun Woo

···

Abstract

In this study, sequential mixing model (SMM) was proposed based on the Taylor's theory which can be summarized as the fact that longitudinal advection and transverse diffusion occur independently and then the balance between the longitudinal shear and transverse mixing maintains. The numerical simulation of the model were performed for cases of different mixing time and transverse velocity distribution, and the results were compared with the solutions of 1-D longitudinal dispersion model (1-D LDM) and 2-D advection-dispersion model (2-D ADM). As a result it was confirmed that SMM embodies the Tay- lor's theory well. By the comparison between SMM and 2-D ADM, the relationship between the mixing time and the trans- verse diffusion coefficient was evaluated, and thus SMM can integrate 2-D ADM model as well as 1-D LDM model and be an explanatory model which can represents the shear flow dispersion in a visible way. In this study,the predicting equation of the longitudinal dispersion coefficient was developed by fitting the simulation results of SMM to the solution of 1-D LDM. The verification of the proposed equation was performed by the application to the 38 sets of field data. The proposed equation can predict the longitudinal dispersion coefficient within reliable accuracy, especially for the river with small width-to-depth ratio.

Keywords

···

요 지

본 연구에서는 Taylor의 이론, 즉 종방향 이송과 횡방향 확산이 서로 독립적으로 일어나며 두 과정이 서로 균형을 이룬다 는 개념을 바탕으로 순차혼합모형을 제안하였다. 서로 다른 혼합시간과 유속 분포 등을 사용하여 수치모의를 실시하였으며, 여기서 얻어진 단면평균 농도분포를 1차원 종분산모형과 2차원 이송-분산 모형과 비교하였다. 그 결과, 순차혼합모형이 1차 원 종분산모형으로 요약되는 Taylor의 이론을 잘 구현하고 있음을 알 수 있었다. 2차원이송-확산모형과의 비교를 통해 혼합 시간과 횡확산계수와의 관계를 밝힐 수 있었으며, 따라서 순차혼합모형이 1차원 종분산모형뿐 아니라 2차원 이송-분산모형까 지 연계하여 전단류 분산을 통합적으로 설명하는 모형임을 알 수 있었다. 본 연구에서는 순차혼합모형의 수치모의 결과와 1 차원 종분산모형과의 적합을 통해 종분산계수를 결정하고, 회귀식을 사용해 종분산계수 추정식을 제안하였다. 본 연구에서 제 안한 종분산계수 추정식은 38개의 현장실험자료를 사용하여 검증하였다. 그 결과, 하폭 대 수심 비가 비교적 작은 하천에 대해서 높은 신뢰성을 나타내었으며, 대체적으로 기존의 경험식과 비슷한 신뢰도를 나타내었다.

핵심용어 : 전단류 분산, 순차혼합모형, 수치모의, 혼합시간, 유속 분포, 분산계수

···

1. 서 론

1950년대 초 Taylor(1953, 1954)가 층류 및 난류에서의 전단류 분산(shear flow dispersion)에 관한 논문을 처음 발 표한 이래, Taylor의 이론은 개수로 및 자연하천에서의 오염 물질의 분산 메카니즘을 해석하는 데에 적용되어 왔다 (Fischer 등, 1979). 전단류란 3차원 흐름이 존재하는 수로에 서 단면 내 위치에 따라 서로 다른 유속을 갖는 흐름을 말 하며, 일반적인 하천에서의 물의 흐름은 전단흐름으로 분류

된다. 전단류 분산은 유속차에 의한 흐름방향의 전단이송과 횡방향 난류확산의 결합작용에 의한 오염물질의 퍼짐현상이 라 할 수 있다. 따라서 전단흐름이 존재하는 경우, 단면 전 체에서 모두 같은 유속을 가지는 흐름과는 다른 분산특성을 가진다.

많은 연구자들이 Taylor 이론을 적용하여 유도된 이송-분 산 방정식에 대해 수학적 또는 수치적 방법을 통해 해를 구 하고 이를 공학적 문제 해결에 적용하기 위한 연구를 수행 해 왔다. 하천에서의 오염물질의 이동을 지배하는 방정식인 *

(E-mail : [email protected])

**

(E-mail : [email protected])

1차원 종분산 방정식의 수치해에 대해 다양한 Eulerian-type 방법을 적용하는 연구가 수행되었으며(강주환과 이길성, 1987), 이송-확산 방정식의 이송과정을 제대로 반영하기 위 하여 Lagrangian-type 방법이 사용되기도 하였다(Noye, 1987).

또한, Eulerian방법과 Lagrangian방법의 장점을 이용하는 Euler-Lagrangian방법(ELM)에 대한 연구가 활발히 수행되어, 이송만을 지배하는 이송방정식과 분산만을 지배하는 분산방 정식을 분리하고 다양한 보간방법을 적용한 수치해석 연구 결과가 제시되었다 (서일원과 김대근, 1994). 그러나 이러한 연구들은 이송-분산 방정식에 대한 수치적 해를 구하는 것에 만 치중하여 실제의 물리적 현상에 대한 이해가 간과되어 왔다. 따라서, 자연하천에 유입된 오염물질의 분산과정에 대 한 물리적 현상을 직관적으로 이해하고, 이를 통해 분산현상 을 보다 개념적으로 설명할 수 있는 모형을 개발할 필요가 있다.

Taylor 이론을 이용하여 유도된 1차원 종분산 방정식은 다 음과 같다(Fischer 등, 1979).

(1)

여기서 는 단면 평균 농도, U는 단면평균유속, K는 종분 산계수, x는 종방향 좌표, t는 시간이다. 오염물질 덩어리가 순간적으로 한 지점에 유입된 경우에 대한 식 (1)의 대한 해석해는 다음과 같다.

(2)

여기서 M은 단면적당 질량이다.

자연하천에서의 오염물질의 농도분포 예측에 1차원 종분산 모형이 이용하는 경우 적절한 종분산계수의 선택이 중요한 과제로 대두된다. 특히 분산특성이 알려지지 않은 하천에 있 어서는 종분산계수는 상술한 바와 같이 실험식 또는 경험식 을 통해 추정하게 된다. Fischer(1966, 1968)는 하폭 대 수 심비가 충분히 크고 하폭방향으로 유속분포가 존재하는 하 천에 대해 종분산계수를 다음과 같이 유도하였다.

(3)

여기서 A는 단면적, W는 하폭, D

는 횡방향 분산계수, h는 수심, u'는 수심평균유속 u와 단면평균유속 U와의 편차, y는 하폭방향 좌표이다. Fischer는 식 (3)의 각 변수에 대해 단 면평균값을 이용한 무차원화를 통해 다음과 같이 좀더 간단 한 형태의 종분산계수식을 유도하였다.

(4)

여기서 W

은 특성폭(characteristic length)이며, I는 무차원 삼중적분항, 은 유속편차의 정도를 나타내는 유속편차강 도(Intensity of Velocity Deviation; IVD)로서 다음과 같이 정의된다.

(5)

Fischer는 식 (4)에 몇 가지 가정을 도입하여 다음과 같이 간단한 형태의 종분산계수 식을 제안하였다(Fischer, 1975).

(6)

여기서 H는 단면평균 수심, U

는 전단유속이다.

이후에도 Liu(1977), Iwasa와 Aya(1991), Seo와 Cheong (1998), Deng 등(2001) 등 많은 연구자들이 이론적 혹은 실험적 연구를 통해 다양한 형태의 종분산계수식을 제안하 였는데, 이의 일반적인 형태는 다음과 같다.

(7)

식 (7)에서 연구자 별로 제안된 계수들은 표 1과 같다.

Seo와 Cheong(1998)은 새로운 종분산계수 추정식을 개발 하여 실험자료를 이용한 검증을 통해 Liu(1977), Iwasa와 Aya(1991) 등보다 더 우수함을 밝힌 바 있다. Deng 등 (2001)은 자신들이 제안한 공식이 Seo와 Cheong의 공식 보다 오차가 더 작음을 보였다. 이러한 종분산계수 추정식 들은 특정한 하천이나 흐름조건에 제한적으로 사용이 되므 로, 광범위한 적용에는 부적합한 경우가 많다. 따라서, 이 론적 접근을 통해 일반적으로 적용가능하며 일관성 있고 신뢰도 높은 추정값을 제공하는 추정식의 개발이 필요한 실정이다.

본 연구의 목적은 Taylor의 전단류 분산 이론을 보다 물 리적 관점에서 해석하는 수치모형을 제안하고, 이를 2차원 개수로에 적용하는 것이다. 본 연구에서는 제안된 수치모형 을 이용하여 다양한 조건 아래서 수치모의를 실행하고, 해석 해 및 기존의 모형 모의결과와 비교하여 제안된 모형을 검 증하였다. 또한 본 연구에서는 제안된 수치모형을 이용하여 종분산계수를 산정하고 이를 통하여 새로운 종분산계수 추 정식을 제안하였다.

2. 순차혼합 모형

2.1 개념적 모형

본 논문에서 제안하는 순차혼합모형(Sequential Mixing Model; SMM)은 Taylor의 이론을 물리적 관점에서 해석하 는 수치모형이다. 본 모형은 2차원 개수로에 유입된 오염물 질이 종방향 전단류 이송과 횡방향 분산의 결합효과에 의해 종방향으로 퍼지는 현상을 설명하고자 한 것이다. 순차혼합 모형의 개념은 아래에 제시한 2차원 이송-분산 방정식으로부 터 유도된다.

∂C ∂t

---

U∂C

∂x K∂

C

∂x

---

= +

C

C x t ( ) , M

4

πKt

---exp

( ^{x Ut}

)

4

Kt

---

⎩

⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

=

K

A

– ∫₀^W

hu′

_D

_h

∫y 0

^{hu′ y d y d y d}

∫y

=

K Iu′

W

D

---

=

u′

u′

( )

( u

)

d y

K

^U _HU

^W

=

HU K

---=

a U _{⎝ ⎠} ^{⎛ ⎞} U

_{⎝ ⎠} ^{⎛ ⎞ W}

_H

표 1. 종분산계수식의 상수

Formula a b c

Fischer (1975) 0.011 2.0 2.0

Liu (1977) 0.18 0.5 2.0

Iwasa

^와

Seo

와

Deng

^등

^0.047 _8ε

---

(8)

여기서 C는 수심평균 농도 , v는 횡방향 수심평균 유속성분 ,

D

은 종방향 분산계수이다 . 식 (8) 에서 횡방향 이송 및 종방 향 분산을 무시하면 다음과 같은 식이 유도된다 .

(9)

본 연구에서 제안하는 순차혼합모형에서는 종방향 이송과 횡방향 분산이 서로 독립적이고 순차적으로 진행되는 것으 로 가정하였다 . ^{이러한 이송과 분산 과정의 분리기법은 종래}

의 수치해석에서도 종종 사용되는 것이다 . 시간분리 (time-

split) 기법을 이용하여 x방향으로 수심이 일정한 경우에 대

한 식 (9) 를 종방향 이송식과 횡방향 분산식으로 분리하면

다음과 같이 나타낼 수 있다 ( ^{서일원과 김대근} , 1994).

(10a)

(10b)

여기서 C

은 전 시간의 농도이며 C

는 종방향 이송만이 완 료된 후의 농도 , C

⁺¹ 은 종방향 이송 후 횡방향 확산까지 모두 완료된 후의 농도분포이다 . 시간

t ₁ 과

t ₂ 는 이송시간 과 분산시간을 나타내는 것으로서 , 본 연구에서는 이송시간과 분산시간의 합이 전체 혼합시간 ( t

) 이 된다 . 본 연구에서는 이송시간이 분산시간보다 매우 큰 것으로 가정하였기 때문에 ,

∆

t ₁ 은 t _m 과 거의 같으며 ,

t ₂ 는 거의 0 에 가까운 것으로 가 정한다 .

본 연구에서 제안하는 순차혼합모형의 경우 식 (10) 을 직 접 차분화하는 종래의 유한차분법과는 다르게 식 (10) ^{의 과}

정을 물리적으로 해석하여 이를 수치해석하는 방법이다 . 순

차혼합모형의 기본적인 개념은 다음과 같다 ( 그림 1 참조 ).

전단 흐름을 가지는 직선수로에 오염물질이 일정한 농도를 가지는 선오염원 형태로서 순간적으로 주입되는 것으로 가 정한다 . 우선 정해진 혼합시간 t

동안 종방향 이송만이 일어 나는 데 , 이 때 오염물질은 횡방향 위치에 따라 서로 다른 유속에 의해 이동된다 . 이럴 경우 , 그림 1 에 도시한 바와 같이 , 오염물질은 종방향으로 분리되게 된다 . 종방향 이송이 완료된 후 횡방향 분산이 순간적으로 발생하여 횡방향의 농 도경사를 완전히 제거시키게 된다 . 그 결과 , 선형태였던 오 염원은 전단류의 유속차만큼 종방향으로 분산되어 더 넓은 띠를 형성하게 된다 . 궁극적으로 횡방향으로 평균된 오염물 질의 농도분포를 살펴보면 종방향으로 퍼짐이 발생하는 것 을 알 수 있는 것이다 . 이 과정이 반복되어 오염물은 결과 적으로 종방향으로 넓게 퍼지게 되는데 Taylor 는 이러한 퍼

짐현상을 1 차원 종분산 모형 ( 식 (1)) 로서 표현할 수 있음을

제안한 것이다 . 본 연구에서 제안한 순차혼합모형에서는 유 속의 절대크기뿐 아니라 전단흐름에 따른 유속편차 및 혼합 시간 등이 종방향 분산에 영향을 미치는 것임을 알 수 있다 .

2.2 수치모의

제안된 순차혼합모형을 그림 2 와 같은 전단 흐름을 가지 는 직선수로에 적용하였다 . 이 수로를 여러 개의 행 (lane) 으 로 나누고 , 또한 종방향 거리를

x로 나누어 격자모형으로 구성함으로써 연속적인 물리적 현상을 이산적 형태로 나타 낼 수 있게 하였다 . 여기에 흐름방향 유속의 횡방향 분포가 정해지면 , 각 행마다 서로 다른 유속이 할당된다 . 순간주입 된 선오염원의 초기농도는 C ₀ 로 주어지고 , ^{주입위치 외의 나}

머지 영역에서의 초기농도는 모두 0 으로 주어진다 .

첫 번째 단계에서는 혼합시간 t

동안 전단류 이송이 발생 하는데 이에 따라 초기농도값이 할당된 격자가 주어진 유속 과 혼합시간 t

의 곱에 의해 계산된 거리만큼 이동하게 된 다 . 두 번째 단계에서는 종방향 이송이 완료된 후 , 횡방향 h∂C --- ∂ ∂t

∂x --- huC ( ) ∂ ∂y --- huC ( )

+ + ∂

∂x --- hD

∂C --- ∂x

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ∂

∂y --- hD

∂C --- ∂y

⎝ ⎠

⎛ ⎞

+

=

h∂C --- ∂ ∂t

∂x --- huC ( )

+ ∂

∂y --- hD

∂C --- ∂y

⎝ ⎠

⎛ ⎞

=

C

– C

∆t

--- u y + ( )∂C --- ∂x

= 0

C

– C

∆t

--- 1

h --- ∂

∂y --- hD

∂C

--- ∂y

⎝ ⎠

⎛ ⎞

≡

그림 1. 순차혼합모형 개념도

분산에 의해 오염물질이 횡방향으로 완전히 혼합되므로 , 각 열마다 평균값이 재할당되게 된다 . 다음 시간 단계에서 재할 당된 농도분포를 가지는 격자들이 다시 전단이송되고 , 횡방 향 분산에 의해 평균값이 할당되면서 계속 종방향으로 넓게 퍼지는 결과를 나타내게 된다 . 따라서 혼합시간이 한 번 경 과할 때마다 종축에 대한 단면평균 농도분포 분포를 구할 수 있게 된다 . ^{본 연구에서는} Matlab ^{을 사용하여 수치}

모형을 구성하였는데 수치모형 흐름도를 그림 3 에 도시하였 다 . 본 연구에서 모의대상영역으로 하폭 대 수심비가 충분히 큰 가상적인 직선수로를 선정하였는데 , 곡선수로의 경우에는 적절한 유속분포와 격자구성이 이루어져야 적용 가능할 것 으로 판단된다 .

2.3 유속분포와 혼합시간

본 연구에서는 하폭 대 수심 비가 매우 큰 직선하천에 적

합한 것으로 알려진 Deng 등 (2001) 의 유속분포식을 적용하

였다 . Deng 등 (2001) 은 하폭 대 수심 비가 매우 큰 하천에

서는 각각의 수심방향 부단면 (vertical) 들에 대해 Manning

공식이 성립함을 가정하여 , 하상형상에 따른 유속분포를 다 음과 같이 제안하였다 .

(11)

여기서

는 비례상수 ,

는 단면형상계수로서 Deng 등

(2001) 은 다음과 같이 제안하였다 .

(12)

단면형상계수에 따른 다양한 유속분포를 그림 4 에 도시하 였다 .

본 연구에서 제안한 순차혼합모형에서 혼합시간 t

의 적절 한 산정이 매우 중요하다 . 본 연구에서는 차원해석을 통해 혼합시간을 다음과 같이 정의하였다 .

(13)

여기서

는 비례상수이다 .

3.1 1차원 종분산 모형과의 비교

1 차원 종분산 모형 (1-D longitudinal dispersion model;

1-D LDM) 은 Taylor 의 이론으로부터 유도된 것으로서 , 이

모형의 지배방정식은 식 (1) ^{과 같으며 평균유속과 종분산계}

C x –

u y ( ) γ 1 y B ---

⎩ – ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

⋅

=

β ln W = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ H ---

t

αW

D

---

=

그림 2. 순차혼합모형에 의한 수치모의

그림 3. 순차혼합모형의 흐름도

수만 적절히 주어지면 단순하고도 편리하게 이용될 수 있어 실제 하천에서의 1 차원 분산해석에 광범위하게 적용되고 있 다 . ^{오염물질 덩어리가 순간유입되는 경우에 대한 해석해는}

식 (2) 와 같으며 이는 Gauss 분포 곡선식으로서 주어진 시간

과 종방향 거리에 따라 쉽게 도시화할 수 있다 .

검증을 위한 모의대상영역은 하폭 10 m, 길이 2000 m 의 가상의 직선하천으로 가정하였다 . 하폭 대 수심 비가 충분히 크므로 2 차원 흐름으로 가정하며 유속분포는 전 절에서 제 시한 단면형상계수에 따른 유속분포식을 사용하였다 . 모의조 건은 표 2 에 제시하였고 , 순차혼합모형에 의한 모의결과를 그림 5 에 도시하였다 . 그림 5 에서 볼 수 있듯이 , 순차혼합모 형의 단면평균농도분포는 시간이 경과할수록 1 차원 종분산 모형의 해석해에 의한 농도분포와 비슷한 양상을 보이는 것 을 알 수 있다 . 모의 초기에는 진행방향으로 약간 왜곡된 형태를 가지다가 곧 대칭형태를 가지게 되고 , 이후 대칭형태 를 유지하면서 최고농도가 점점 낮아진다 . 주입 이후 대칭형 태가 되기까지의 구간 , 즉 초기구간은 유속분포에 따라 약간 의 차이는 있으나 혼합시간의 대략 5 -10 ^{배 정도가 된다} .

순차혼합모형에 의한 모의결과와 1 차원 종분산모형의 해석 해를 비교하여 그림 6 에 도시하였다 . 그림 6 에 나타난 바와 같이 , 오염물질 주입 후 시간이 경과할수록 농도분포곡선의 전반적인 형태 및 최대농도의 위치와 값 등에서 두 모형이 서로 거의 일치함을 알 수 있다 . 따라서 본 연구에서 제안 한 순차혼합모형은 전단류 분산에 대한 Taylor 이론을 잘 표현하고 있음을 나타낸다 .

3.2 2차원 이송-분산 모형과의 비교

2 차원 이송 - 분산 모형 (2-D Advection-Dispersion Model;

2-D ADM) 은 개수로 및 자연하천에서 오염물질의 이동 및

혼합을 2 ^{차원적으로 해석하는 모형이다} . ^식 (8) ^{로 주어지는}

2 차원 이송 - 분산 모형의 경우 간단한 경우에 대한 해석해는

존재하나 전단류 분산의 경우 횡방향으로 서로 다른 분포를

가진 종방향 유속항이 존재하여 해석적 해는 구하기 어려워 ,

보통 수치해석이 사용되고 있다 . 본 연구에서는 순차혼합모 형의 모의결과를 2 차원 이송 - 분산 모형의 수치해와 비교하였 다 . 2 차원 수치모형으로서는 RAM4 를 선정하였는데 , 이는 서울대학교에서 개발한 RAMS (River Analysis Modeling

그림 4. 단면형상계수에 따른 유속분포형태

표 2. 1차원 종분산모형과의 비교를 위한 모의 조건

(g/m²) (m/s)

^U

β t

(sec) K

Case101 100 1 2 10 0.5834

Case102 100 1 10 10 0.1766

M·

그림 5. 순차혼합모형에 의한 수치모의결과

그림 6. 순차혼합모형과 1-D 종분산모형의 해석해와의 비교

System) 의 오염물 분산해석 모형이다 ( 서일원 , 2004). RAM4

는 유한요소법을 사용하여 2 차원 이송 - 분산 방정식의 해를 구하며 , ^{횡방향에 대해 종방향 유속을 다양하게 입력할 수}

있는 수치해석모델이다 .

2 차원 이송 - 분산 모형과의 비교를 위한 수치모의조건은 표

3 에 제시한 바와 같다 . 하폭 10 m, 길이 200 m 의 가상 하

천에 초기농도 100

의 선오염원이 순간적으로 주입되었

으며 , 2.5 m 간격의 정사각형 유한요소망을 사용하였다 . 2 차

원 이송 - 분산 모형에 의해 계산된 2 차원 농도분포를 횡방향 으로 평균하여 구한 단면평균농도를 순차혼합모형의 결과와 비교하여 그림 7 에 도시하였다 . 다양한 값의 혼합시간을 가 지는 순차혼합 모형을 모의하여 2 차원 이송 - 분산 모형의 평 균농도분포곡선과 비교하였으며 , 그 결과 혼합시간이 5 초인

경우가 오차가 가장 적었다 . 따라서 식 (13) 에 이를 대입하

면

는 0.05 로 정의할 수 있다 .

4. 종분산계수 추정식

4.1 종분산계수 추정식 유도

본 연구에서는 1 차원 종분산모형의 종분산계수를 산정하 기 위하여 1 차원 종분산 모형의 해석해에 의한 농도분포를 순차혼합모형에 적절히 일치시킴으로써 종분산계수를 구하였 다 . 자료적합 방법으로는 Matlab 에서 제공되는 비선형최소자

승법의 일종인 Gauss-Newton 법을 사용하였다 . 다양한 조건

에서의 종분산계수를 산정한 후 각 변수들과 종분산계수와 의 관계를 밝혀 종분산계수 추정식을 제안하였다 . ^순차혼합

모형에서 종분산계수의 산정에 영향을 미치는 인자는 혼합 시간 , 평균유속의 크기 , 유속 편차강도 등이다 . 유속편차강도 는 정량적인 형태로 나타낼 수 있으며 단면형상계수

를 변 화시켜 다양한 값의 유속편차강도를 얻을 수 있다 . ^표 4 ^에

모의 조건 및 산정된 종분산계수를 나타내었다 .

본 연구에서는 산정된 종분산계수와 각 변수들과의 관계

를 회귀분석을 이용하여 규명하였다 . 그림 8, 9 에 종분산 계수와 혼합시간 , 종분산계수와 유속편차강도 간의 관계를 나타내었다 . ^그림 8 ^{에서 종분산계수는 혼합시간과 선형관}

계를 가짐을 알 수 있었다 . 이는 개발한 순차혼합모형에서 혼합시간은 종방향 이송이 횡방향 확산에 대해 지배적인 정도를 나타내게 되는데 , 혼합시간이 클수록 전체 분산거 동에 있어 종방향 이송의 영향이 더 지배적이며 그만큼 종방향 분산이 증가하는 것으로 나타나게 됨을 의미한다 .

그림 9 에서 종분산계수는 유속편차강도의 제곱에 비례하는 것으로 나타났다 . 유속편차강도는 전단류의 특성을 대표하 는 인자로서 , ^{이것이 클수록 오염물질이 종방향으로 분리}

되는 효과가 크므로 오염물질의 종방향 펴짐도 증대되게 되는 것으로 판단된다 .

이상의 결과에 근거하여 종분산계수와 혼합시간 , 유속편차 강도의 관계를 다음과 같이 나타내었다 .

그림 7. 2차원 순차혼합모형과 2차원 이송-분산모형의 비교 (Case 202, tm=5)

표 3. 2차원 이송-분산 모형과의 비교를 위한 모의조건

(g/m²) (m/s)

^U

β t

(sec)

Case201 100 1 2 10 1

Case202 100 1 2 5 1

M·

D

표 4. 순차혼합모형의 모의 결과

Case (sec)

^t

^{U β}

(m²/s²) (m

^K

301

10

1 2 0.3351

0.5834

20 1.1572

30 1.7224

40 2.3512

302

10

1 10 0.1714

0.1766

20 0.3431

30 0.5131

40 0.6833

401 10 1

2 0.3351 0.5834

4 0.2574 0.3581

6 0.2163 0.2353

8 0.2129 0.2048

10 0.1714 0.1766

20 0.1193 0.0705

402 10 1.6

2 0.7566 1.5005

4 0.6907 0.9008

6 0.6627 0.6402

8 0.6467 0.4661

10 0.6345 0.3756

20 0.6121 0.2170

403 10 2.1

2 1.2305 2.5052

4 1.1699 1.4115

6 1.1449 1.0137

8 1.1301 0.8486

10 1.1229 0.6275

20 1.1018 0.3445

404 10 2.5

2 1.6703 3.5937

4 1.6082 2.1170

6 1.5828 1.5443

8 1.5701 1.1149

10 1.5610 0.9571

20 1.5381 0.4907

(14) 여기서

는 비례상수이다. 식 (14)에 식 (13)을 대입하면, Fischer가 제안한 식 (4)의 형태가 됨을 알 수 있다. 이 때 비례상수

는 무차원 삼중적분항 I에 관계된 항임을 유

추할 수 있고, 이는 비례상수

가 유속분포형태 즉 하폭 대 수심 비나 단면형상계수 등과 관련되어 있음을 알 수 있다. 본 연구에서는

를 다음과 같이 표현하였다(Deng 등, 2001).

(15) 식 (15)를 식(14)에 대입하면 종분산계수는 다음과 같이 유도된다.

(16) 표 4에 수록한 인자 및 종분산계수 자료에 회귀분석을 실 시하여 식 (16)의 a, b를 다음과 같이 구하였다.

(17) 식 (16)에 식 (13) 및 (17)을 대입하여 정리하면, 무차원 종분산계수 추정식은 다음과 같이 유도된다.

(18)

이 때, 횡분산계수는 다음과 같은 경험식을 이용하였다.

(19) 대부분의 하천자료에서는 횡방향 유속분포를 취득하기 어 려우므로 이 경우에는 유속편차강도를 단면평균유속으로 나 타낼 필요가 있다. 본 연구에서는 표 4에 수록한 단면평균 유속 및 유속편차강도 자료룰 이용하여 다음과 같은 관계식 을 유도하였다.

K φ u′ = ⋅ ( )

⋅ t

φ a W H = ( ⁄ )

K a W = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ --- H

( ) u′

t

a 0.3372 = , b = – 0.0635

HU K

--- 0.028 W ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ H ---

( ) u′

U

---

=

D

= 0.6HU

그림 8. K-tm관계

그림 9. K-IVD 관계

(20) 식 (20)을 식(18)에 대입하면 다음과 같은 식이 유도된다.

(21)

4.2 검증

제안된 종분산계수 추정식을 검증하기 위하여 Godfrey와 Frederick (1970), Yotsukura 등 (1970), McQuivey와 Keefer (1974), Nordin와 Sabol (1974), Rutherford (1994) 등의 문헌자료에서 38개의 실측자료를 취득하였다(표 5 참조). 실

측자료의 유속, 하폭 등의 자료를 제안된 종분산계수 추정식 에 대입하여 계산된 종분산계수 값을 실측된 종분산계수, 기 존의 종분산계수식에 의해 계산된 종분산계수 등과 비교하 였다. 기존의 식으로는 Seo와 Cheong(1998)과 Deng 등 (2001)에 의해 제안된 식을 선택하였다. Seo와 Cheong (1998) 공식은 차원해석 및 실험자료를 사용하여 유도되었으 며, Deng 등(2001) 공식은 이론적 연구를 통하여 제안된 식으로 여타 다른 연구자들이 제안한 식보다 더 우수함이 검증된 바 있다.

표 5에 실험자료 및 계산결과를 수록하였고, 비교결과를

∼

HUK_*

--- 0.007

_{⎝ ⎠} ^{⎛ ⎞}

=

표 5. 종분산계수 추정치 비교

Reference Stream W(m) H(m) U(m/s) U*(m/s) (m^Kobs2/s) ^Kpre (m²/s)

Deng

등

와

Nordin

과

Sabol (1974)

Antietam Creek, Md. 12.8 0.3 0.42 0.057 17.5 17.55 17.96 9.69

21.03 0.48 0.62 0.069 25.9 44.37 46.93 29.39

Manocacy River, Md.

48.7 0.55 0.26 0.052 37.8 25.21 27.14 30.70

92.96 0.71 0.16 0.046 41.4 25.79 23.53 36.18

51.21 0.65 0.62 0.044 29.6 85.52 110.87 194.46

97.54 1.15 0.32 0.058 119.8 72.18 70.94 80.21

40.54 0.41 0.23 0.040 66.5 20.08 20.35 28.83

Conococheague Creek, Md. 42.98 1.13 0.63 0.081 53.3 93.05 96.69 46.28

Chattahoochee River, Ga. 75.59 1.95 0.74 0.138 88.9 168.61 169.12 67.10

Salt Creek, Nebr. 32 0.5 0.24 0.038 52.2 20.71 20.58 17.35

Dfficult Run, Va. 14.48 0.31 0.25 0.062 1.9 9.45 9.02 3.89

Bear Creek, Colo. 13.72 0.85 1.29 0.553 2.9 28.13 52.28 4.07

Little Pincy Creek, La, 15.85 0.22 0.39 0.053 7.1 16.22 16.91 18.18

Bayou Anacoco, La. 17.53 0.45 0.32 0.024 5.8 21.82 25 16.81

Comite River, La. 15.7 0.23 0.36 0.039 69 15.77 17.39 19.83

Tangipahoa River, La. 29.87 0.4 0.34 0.020 44 28.67 39.22 71.37

Sabine River, La. 116.43 1.65 0.58 0.054 131.3 188.76 218.91 284.35

160.32 2.32 1.06 0.054 308.9 508.34 718.79 1282.41

Wind/Bighorn River, Wyo. 85.34 2.38 1.74 0.153 464.6 577.23 638 351.20

Godfrey

^와

(1970) Clinch River, Va.

48.46 1.16 0.21 0.069 14.76 23.77 23.47 7.43

28.65 0.61 0.35 0.069 10.7 28.39 27.52 13.62

57.91 2.45 0.75 0.104 40.49 158.03 179.9 44.09

53.24 2.41 0.66 0.107 36.93 118.28 139.68 28.64

Yotsukura

등

McQuivey Keefer

와

(1974)

Nooksack River, Wash. 64.01 0.76 0.67 0.268 34.84 82.63 69.65 49.61

Wind/Bighorn River, Wyo. 59.44 1.1 0.88 0.119 41.81 156.59 159.96 118.11

68.58 2.16 1.55 0.168 162.58 405.53 437.37 182.00

John Day River, Oreg. 24.99 0.58 1.01 0.14 13.94 81.63 83.23 44.97

Rutherford (1994)

Minnesota River 80 2.74 0.14 0.01 34.9 49.85 57.62 27.73

Amite River 37 0.81 0.29 0.07 23.2 28.42 27.29 11.60

42 0.80 0.42 0.069 30.2 50.96 50.18 31.91

White River 67 0.55 0.35 0.044 30.2 45.4 54.32 121.94

Susquehanna River 203 1.35 0.39 0.065 92.9 134.88 150.05 378.23

Bayou Anacoco 20 0.42 0.29 0.045 13.9 17.59 17.54 10.14

Comite River 13 0.26 0.31 0.044 7 12.3 12.43 8.06

16 0.43 0.37 0.056 13.9 19.41 19.88 8.42

Missouri River 201 3.56 1.28 0.084 837 847.27 1054.37 1247.32

197 3.11 1.53 0.078 892 950.8 1317.33 2095.00

그림 10에 도시하였다. 본 연구에서 제안된 식은 전체적으로 실측치와 일치하는 경향을 보이고 있는 반면, 기존의 식들은 다소 과대평가하는 경향이 있다. 좀더 정량적인 분석을 위해 서 불일치율을 계산하였다. 불일치율은 다음과 같이 정의된 다(White 등, 1973).

(22)

여기서 K

는 제안한 식으로부터 추정한 종분산계수, K

은 실제 측정된 종분산계수이다.

불일치율이 0이면 실측치와 계산치가 완전히 일치하며, 0 보다 크면 과대평가, 0보다 작으면 과소평가를 의미하게 된 다. 그림 11에 하폭 대 수심 비에 따른 불일치율을 도시하 였는데, 본 연구에서 제안한 추정식, 식 (21)는 하폭 대 수 심 비가 작은 하천에 대해서는 비교적 적절한 값을 추정하 였으나 하폭 대 수심 비가 50 이상의 하천에 대해서는 다 소 불일치율이 증가하는 경향을 보이고 있음을 알 수 있다.

5. 결 론

본 연구에서는 Taylor의 전단류 분산 이론을 보다 물리적 관점에서 해석하는 수치모형을 제안하고, 이를 2차원 개수로 에 적용하였다. 제안된 수치모형을 이용하여 다양한 조건 아

래서 수치모의를 실행하고, 해석해 및 기존의 모형 모의결과 와 비교하여 제안된 모형을 검증하였다. 또한 제안된 모형과 1차원 종분산 모형과의 비교를 통해 종분산계수를 산정하여 종분산계수 추정식을 제안하고 이를 38개의 실측자료를 이 용하여 검증하였다.

1차원 종분산 모형과의 비교 결과, 순차혼합모형의 단면평 균농도곡선은 1차원 종분산 모형의 해석해와 거의 완벽히 일치하였으며, 이는 순차혼합모형이 Taylor의 이론을 적절히 재현하고 있음을 나타낸다. 농도분포곡선은 약 t=5~10t

일 때부터 1차원 종분산모형의 해석해가 유효함을 보였다. 본 연구에서 제안한 모형과 2차원 이송-분산 모형의 모의결과를 비교한 결과, 2차원 이송-분산 모형과 순차혼합모형은 횡분 산계수와 혼합시간을 통해 연계되고 있음을 알 수 있었다. 하 폭, 횡분산계수를 이용하여 적절한 혼합시간 를 정의할 수 있었는데, 이 결과 1차원 종분산 모형과의 비교 에서 초기구간이 임을 이용하면 Chatwin(1970)이 실험적 연구를 통해 밝힌 초기구간과도 일치하는 결과를 보 였다. 이러한 결과에 의해 판단해 볼 때, 순차혼합모형은 Taylor의 이론을 적절히 모의하고 이를 가시화하여 물리적 현상에 대한 직관적 이해를 돕는 자체설명적인 모형이라고 할 수 있다.

비선형최소자승법을 사용해 2차원 순차혼합모형의 모의결 과를 1차원종분산모형의 해석해에 적합시켜 종분산계수를 산 정하였다. 종분산계수는 혼합시간과 유속편차강도의 제곱에 비례하는 것으로 나타났다. 비례상수를 하폭 대 수심 비에 대한 함수로 가정하여 회귀분석을 통해 추정한 결과, Fischer가 제안한 식과 같은 형태를 가지는 종분산계수 추정 식이 제안되었다. 제안된 추정식은 38개의 실측자료를 이용 하여 검증되었는데, 비교적 양호한 수준의 정확도를 보였다.

이 결과는 Seo와 Cheong (1998) 공식보다는 약간 낮은 정 확도인데, 이는 본 연구에서 제안한 추정식에 포함되지 않은 실제하천에서의 사행, 이차류, 사수역 등 다양한 불규칙성의 영향이라고 생각된다.

감사의 글

본 연구는 과학기술부가 관장하는 21C 프런티어 연구개발 사업, 수자원의 지속적 확보기술개발 사업단의 연구비 지원 (과제명: RAMS 개발) 및 교육인적자원부 BK21 사업의 지 원으로 이루어졌습니다. 본 연구는 서울대학교 공학연구소의 지원에 의하여 수행되었습니다.

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_K ^K

---m

=

t − ∼

W

⁄ D

t′ <

t

그림 10. 현장실측 자료를 이용한 종분산계수 추정값 비교

그림 11. 하폭 대 수심 비에 따른 불일치율 비교

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(

^접수일

^심사일

^{심사완료일}