공간적 상관길이와 역학적 효과에 따른 거친 단일 균열 내의 유체 흐름에 관한 수치적 연구
A Numerical Study on Characteristics of Fluid Flow in Rough Fractures with Spatial Correlation Length and Mechanical Effect
정 우 창† Jeong, Woochang
ABSTRACT : This paper investigates numerically characteristics of the fluid flow in spatially correlated variable-aperture fractures under effective normal stress conditions. Spatially correlated aperture distributions are generated by using the geostaistical method (i.e. Turning Bands algorithm). In order to represent a nonlinear relationship between the effective normal stress and the fracture aperture, a simple mechanical formula is combined with a local flow model. Obtained numerical results indicate that the fluid flow is significantly affected by the geometry of aperture distribution varying according to the applied effective normal stress as well as the spatial correlation length of aperture distribution. Moreover, by using results simulated in this study, the modified Louis formula representing the relationship between the effective normal stress and the effective permeability of fracture is proposed.
Keywords : Single fracture, Spatial correlation length, Effective normal stress, Effective permeability, Turning Bands algorithm
요 지 : 본 논문은 유효수직응력과 간극분포의 공간적 상관길이에 따른 거친 단일 균열 내에서의 유체흐름에 대한 특성을 수치적 으로 분석한 것이다. 균열 내의 공간적으로 상관된 변화하는 간극분포는 지구통계학적 방법(i.e. Turning Bands algorithm)을 이용하 여 발생시켰으며, 유효수직응력에 따른 간극분포의 변화를 묘사하기 위해 유효수직응력과 역학적 간극 사이의 단순한 비선형 관계 식를 이용하였으며, 이를 흐름 모형에 결합하였다. 모의분석결과 균열 내의 유체흐름은 적용된 유효수직응력과 간극분포의 공간적 상관길이에 따라 변화하는 간극분포의 기하학적 특성에 크게 영향을 받은 것으로 나타났다. 그밖에 본 연구에서 모의된 유체흐름의 결과를 이용하여 유효수직응력과 균열의 유효투수성 사이의 관계를 나타내는 수정 Louis 식을 제안하였다.
주요어 : 단일 균열, 공간적 상관길이, 유효수직응력, 유효투수성, Turning Bands algorithm
† 정회원, 선임연구원, 한국수자원공사 수자원연구원 통합물관리연구단(E-mail : [email protected]) 한국지반환경공학회 논문집
제8권 제4호 2007년 8월 pp. 27～39
1. 서 론
균열을 포함하고 있는 암반에서 지하수의 거동을 이해하 고 예측하기 위해서는 단일 균열에서의 유체흐름 특성을 분 석하는 것은 매우 중요하다. 지금까지 단일 균열에서의 유체 흐름에 관해 많은 연구가 실내 및 현장실험 그리고 수치적 으로 수행되어져 왔다(Witherspoon et al., 1980; Raven and Gale, 1985; Gentier, 1986; Gale, 1987; Brown, 1987, 1989;
Thompson and Brown, 1991; Hakami and Larsson, 1996).
균열을 통한 유체흐름은 서로 마주보고 있는 두 균열 벽 사이의 간극분포에 크게 의존하는 것으로 알려져 있다.
일반적으로 균열은 두 균열벽이 서로 닿아 있는 접촉영역 과 점과 점 사이에서 변화되는 간격에 의해 분리되어 있는 간극을 포함하고 있다. 간극과 접촉영역의 분포는 작용하 고 있는 수직응력(normal stress) 또는 전단응력(shear stress)
에 의존한다. 수직응력에 따른 단일 균열의 투수성에 관한 연구는 Witherspoon et al.(1980), Barton et al.(1985), Durham and Bonner(1995) 등에 의해 수행되었으며, 전단응력에 의 한 효과는 Bandis et al.(1981), Olssen and Brown(1993), Yeo et al.(1998) 등에 의해 수행되었다.
균열을 통한 유체흐름은 일반적으로 유량이 간극의 삼승 에 지배된다는 삼승법칙(cubic law)에 의해 묘사된다(Snow, 1969; Witherspoon et al., 1980). 그러나 이 법칙은 비점성 그리고 비압축성 유체가 이상적으로 매끄러운 두 균열벽 사이를 층류로 흘러간다는 가정 하에서 Navier-Stokes 방 정식으로부터 유도된 것이다. 따라서 만약 두 균열벽 사이 의 간극이 평행하고 매끄러우며, 균열 내 접촉영역이 존재 하지 않을 때 적용가능하다. 그러나 자연 상태의 균열은 거친 벽에 의해 공간적으로 변화하는 간극분포 그리고 접 촉영역을 포함하고 있다. 만약 균열이 낮은 수준의 유효수
그림 1. Turning Bands 알고리듬의 개략도 직응력을 받고 있다면 균열을 통한 유체 흐름은 간극의 공
간분포에 의해서만 지배받을 것이다. 이와는 반대로 만약 균열이 높은 수준의 유효수직응력을 받고 있다면, 유체흐 름은 간극의 공간분포뿐만 아니라 간극분포 사이의 연결정 도에 의해 지배받을 것이다. 앞의 두 가지 상황에 있어서 균열을 통한 흐름은 몇 개의 유로로 구성된 굴곡된 경로를 통해 발생할 것이며, 이를 일반적으로 유로효과(channeling effect)라 한다(Tsang and Tsang, 1987; Moreno et al., 1988).
이러한 유로효과가 발생되는 경우 삼승법칙의 적용은 부 적절하며, Pyrak-Nolte et al.(1988)은 유효수직응력이 증가 될 때 유체흐름에 대한 삼승법칙이 더 이상 적용될 수 없 다는 것을 보여주었으며, Pyrak-Nolte와 Morris(2000)는 공간 적으로 상관된 간극분포를 가진 단일 균열 내에서 유효수직 응력 하에서 유체흐름과 균열비강성계수(specific stiffness) 사이의 관계에 대한 연구를 수행하였다.
앞서 언급한 기존 연구들의 대부분은 단일 균열 내의 간극분포에 대한 공간적 상관성을 고려하지 않고 단지 유 효수직응력에 따라 변화되는 유체흐름특성에 대한 분석결 과를 나타내었으나 본 연구에서는 유효수직응력과 간극분 포의 공간적 상관길이에 따른 유체흐름특성을 수치적 방 법을 통해 분석하였다. 본 연구에서 균열 내의 공간적으로 상관된 변화하는 간극분포는 지구통계학적 방법을 이용하 여 발생시켰으며, 유효수직응력에 따른 간극분포의 변화를 묘사하기 위해 유효수직응력과 역학적 간극 사이의 단순 한 비선형 관계를 이용하였다.
2. 거친 균열에서의 유체 흐름 모형
2.1 단일 균열에서 공간상으로 상관된 간극 분포 발생
자연 상태의 단일 균열에서의 유체 흐름은 변화하는 간 극 분포에 매우 민감하다(Tsang and Witherspoon, 1981;
Gentier, 1986; Brown, 1987, 1989). 그러나 단일 균열의 간 극은 현장에서 수문지질학적 시험으로부터 측정하고 정량 화하기 매우 어려운 매개변수이다. 간극분포에 대한 대부 분의 측정은 균열 시료를 통한 실내 실험을 통해 수행되어 져 왔다(Bandis et al., 1981; Gentier, 1986; Hakami and Barton, 1990; Hakami and Larsson, 1996). 이러한 실내실 험으로부터 얻어진 결과에 따르면 단일 균열 내의 간극은 Gaussian 또는 Log-normal 법칙에 의해 공간적으로 분포된 다. 이러한 형태의 간극분포는 단일 균열에서의 유체 흐름 과 용질 이동에 대한 대부분의 수치적 및 해석적 연구에 적용되어져 왔다(Neuzil and Tracy, 1981; Tsang and Tsang, 1987; Moreno et al., 1988; Renshaw, 1995; Oron and
Berkowitz, 1998). 그 밖에 간극은 공간적으로 상관되어 있 으며, Moreno et al.(1988)과 Ewing and Jaynes(1995)는 Log-normal 법칙에 의해 발생된 변화하는 간극 분포의 공간 적 상관관계를 표현하기 위해 지구통계학적 기법을 이용하였 다. Thompson and Brown(1991), Oron and Berkowitz(1998) 그리고 Jeong and Song(2001)은 프랙탈 기법을 이용하여 서 로 마주보고 있는 두 균열 벽 사이의 간극 분포를 Gaussian 법칙을 따른다고 가정하면서 발생시켰다.
본 연구에서는 1m×1m 크기의 정사각형 균열 면에 100× 100의 격자망을 생성시켰으며, 간극 분포는 Log-normal 법칙 을 따른다고 가정하였다. 또한, 공간적으로 상관된 간극 분포 를 형성하기 위해 지구통계학적 기법이 이용되었다. 지구통 계학적 기법은 에 대한 variogram 또는 co-variogram에 따라 랜덤장(random field)에 발생시키는 것이다. 여기서
는 공간 변수(예를 들면, 간극)이며, 는 2차원 또는 3 차원 공간 좌표 벡터이다. 이러한 작업을 수행하기 위해 현재까지 개발된 알고리듬으로는 Spectral 알고리듬(Meija and Rodriguez-Itrurb, 1974), Covariance matrix 알고리듬 (Williams and El-Kadi, 1986), Sequential Gauss 알고리듬 (Gomez-Hermandez and Journel, 1991) 그리고 Turning Bands 알 고리듬(Matheron, 1973; Lantuéjoule, 1994) 등이 있다. 이러 한 알고리듬 중에서 본 연구에서는 Matheron(1973)이 개발한 Turning Bands 알고리듬을 적용하였다. 본 알고리듬은 0의 평 균과 알려진 covariance와 함께 Gaussian 법칙으로부터 공간상 으로 상관된 그리고 정상성(stationary)의 랜덤장의 구현과 그 림 1과 같이 원점으로부터 분포된 방사형의 선을 따라 일련의 1차원 무작위 과정(random process)의 발생을 허용한다.
Turing Bands 알고리듬의 장점은 2차원 또는 3차원 문제 를 1차원 문제로 처리할 수 있수 있으므로 계산상의 효율성 이 크다는 것이다(Mantoglou and Wilson, 1982; Thompson et al., 1989). 그러나 모의영역에서 선구조(lineation)의 출 현과 관련된 왜곡 효과(distortion effect)를 감소시키기 위 해서는 100개 또는 그 이상의 무작위로 분포된 선이 필요
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
1) 무상관 2)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
3) 4)
그림 2. 상관길이의 비에 따른 간극분포의 변화
하다. 이를 위해 본 연구에서는 300개의 무작위 선을 사용 하였다.
본 연구에서는 6개의 상관길이의 비(상관길이()/균열의 길이(), ) 즉 무상관, = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 그리고 0.5에 대한 유체 흐름 및 용질 이동의 특성을 비교 분석하 였으며, 공간적 상관을 위해 적용된 바리오그램(variogram) 모형은 선형(linear) 모형, 지수형(exponential) 모형, 구형 (spherical) 모형 중 구형 모형을 본 연구에 적용하였다. 여 기서 상관길이란 기하학적으로 두 개 또는 그 이상의 값이 서로 상관되어 있는 정도를 묘사하는 것이다. 그림 2는 상 관길이의 비(무상관, = 0.1, 0.3 그리고 0.5)에 따른 균열 면에 발생된 간극분포의 변화를 나타난 것이다.
2.2 유체 흐름 모형
앞 절에서 언급한 방법을 통해 공간상으로 상관된 간극
분포가 균열 면에 발생된 후 유량은 다음과 같은 가정을 통 해 계산 된다: 1) 유체 흐름은 항상 층류이며, 2) 삼승법칙 이 격자요소 규모에 국부적으로 적용될 수 있다. 그림 3에 서와 같이 간극 와 를 포함하고 있는 두 개의 서로 인접 한 절점 와 사이에서의 유량은 다음 식에 의해 계산된다.
(1)여기서 는 유체 밀도, 는 중력가속 도, 는 점성계수, 는 균열의 길이 그 리고 와 는 각각 절점 와 에서의 수리수두이다.
경계조건으로서 좌측경계와 우측경계 사이의 수리수두 경사는 1 가 적용되었으며, 상부와 하부의 수평경계를 따라 흐름이 없다는 조건이 부여되었다. 정상상태 조건에 서 절점과 연결된 각각의 절점 에서의 질량 보존식은
그림 4. Bandis의 식에서 유효수직응력과 역학적 간극 사이의 관계
그림 3. 변화하는 간극 분포를 통한 유체 흐름 개략도
표 1. 유체 흐름 모의에 사용된 매개변수
매개변수 값
초기 간극평균, 425 ×
초기 표준편차, 135 ×
초기 수직강성계수, 25000
다음과 같이 표현된다.
(2)
본 연구에서는 식 (2)에 5 절점 유한차분법을 적용하여 공 간상으로 이산화 하였으며, 이를 통해 얻어진 선형방정식 을 풀기 위해 preconditioned conjugate gradient 방법(Ciarlet, 1983)을 적용하였다. 계산된 해는 각 절점에서의 수리수두 이며, 두개의 인접한 절점 사이에서의 유량은 식 (1)을 이 용하여 계산하였다.
3. 수리역학적(hydromechanical) 모형
변화하는 간극을 가진 단일 균열에서의 유체 흐름과 용 질 이동에 대한 수리역학적 효과를 고려하기 위해 본 연구 에서는 실내 실험을 통해 유도된 유효수직응력(effective normal stress)과 역학적 간극(mechanical aperture 또는 closure) 사이의 비선형 관계를 적용하였다. 이러한 비선형 관계는 단일 균열 규모에서 적용 가능하며, 간극분포는 균열 면에 수직으로 작용하는 유효수직응력에 따라 변화된다고 가정 한 것이다. 본 연구에서는 식 (3)과 같이 표현되는 Bandis 의 경험적 쌍곡선식을 이용하였다(Bandis et al., 1983).
′
(3)
여기서 ′ 는 유효수직응력, 는 0의 유효수직응력 하에서의 초기 수직강성계수(normal stiffness),
는 0의 유효수직응력 하에서의 초기 간극에 해당되는 최대 역학적 간극 그리고 는 작용된 유효수직응력 하에서의 역학적 간극이며, 적용되는 유효수직응력에 따라 증가하는 경향을 가지고 있다.
식 (3)에서 는 그림 4에서처럼 유효수직응력과 역학 적 간극 사이의 비선형 관계로부터 정의되며, 일반적으로 유효수직응력에 따른 수직강성계수 은 다음과 같은 식 에 의해 결정된다.
′
(4)
여기서, ′은 유효수직응력의 변화량이다.
본 연구에서 이러한 역학적 효과 하에서의 유체 흐름에 대한 모의는 다음의 절차를 통해 수행되었다. 0의 유효수 직응력에서 균열 내의 변화하는 간극 분포를 발생시킨 후 주어진 역학적 간극보다 작은 간극을 가진 요소를 제거함 에 의해 새로운 간극 분포를 구축하였다. 이 경우 제거된 요소는 유체 흐름이 존재하지 않는 접촉면으로 대치된다.
역학적 간극이 획일적으로 증가할 때마다 접촉면의 비, 간 극 평균 그리고 표준편차가 계산된다.
4. 모의 결과 및 분석
본 연구에서 사용된 매개변수들의 값은 표 1에 요약되 어 있다. 이러한 값들은 프랑스 Soultz-sous-Foret 지열 개
′
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
′
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
′
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
′
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
-10.0-9.1 -8.2 -7.3 -6.3 -5.4 -4.5 -3.6 Log(localflow) [m3/sec]
무상관
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
-10.0 -8.4 -6.8 -5.2 -3.6
Log(localflow) [m3/sec]
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
-10.0 -8.4 -6.8 -5.2 -3.6
Log(localflow) [m3/sec]
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
100.0
80.0
60.0
40.0
20.0
0.0
X (cm)
Y (cm)
-10.0 -8.4 -6.8 -5.2 -3.6
Log(localflow) [m3/sec]
그림 5. 상관길이비와 유효수직응력에 따른 유체흐름의 변화: 흰색부분은 두 균열벽의 접촉면을 나타낸다. Legend에서 (-)부호는 로그값을 나타낸다.
표 2. 유체 흐름 모의에 사용된 유효수직응력과 해당되는 역학적 간극
유효수직응력 역학적 간극
0.0 0.0
5.0 139.0
10.0 212.0
15.0 258.0
20.0 289.0
25.0 312.0
30.0 329.0
35.0 342.0
발 지역에서 수행된 다양한 수리학적 시험으로부터 얻어 진 자료의 분석 결과에 근거한 것이다.
표 2는 본 유체 흐름 모의에서 사용된 유효수직응력
′과 이에 해당되는 역학적 간극 을 나타낸 것이다.
유체 흐름 모의는 2.1절에 언급한 바와 같이 6개의 상관 길이의 비에 대해 수행되었다. 또한 각각의 유효수직응력 에 대해 Monte-Carlo 모의(난수 30개)를 수행하였으며, 유 체 흐름 결과는 각각의 유효수직응력에 대해 이들 30번 모 의를 통해 얻어진 결과에 대한 평균값이다.
4.1 간극분포의 변화에 따른 유체흐름 분석
그림 5는 공간적 상관길이의 비(무상관, =0.1, 0.3, 0.5)와 적용된 유효수직응력(′=0.0, 15.0, 25.0, 35.0MPa)
그림 6. 상관길이의 비와 유효수직응력에 따른 접촉면의 변화
표 3. 상관길이의 비()와 유효수직응력(′)에 따른 간극의 주요 통계량(무: 무상관)
유효 수직 응력
( )
간극평균 (m) 표준편차 (m) 변동계수
상관길이의 비 ( ) 상관길이의 비 () 상관길이의 비 ( )
무 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 무 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 무 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.0 425 425 425 425 425 425 153 153 153 153 153 153 0.36 0.36 0.36 0.36 0.36 0.36 5.0 287 286 287 287 287 288 153 153 153 153 152 151 0.53 0.53 0.53 0.53 0.53 0.52 10.0 222 222 222 222 223 229 149 148 148 148 148 144 0.67 0.67 0.67 0.67 0.66 0.63 15.0 192 192 192 191 193 200 144 143 143 143 142 136 0.75 0.74 0.74 0.75 0.74 0.68 20.0 176 177 176 175 175 184 140 139 139 139 139 131 0.80 0.79 0.79 0.79 0.79 0.71 25.0 167 167 167 166 168 174 137 136 136 136 135 127 0.82 0.81 0.81 0.82 0.80 0.73 30.0 161 161 161 160 162 166 135 134 134 134 132 124 0.84 0.83 0.83 0.84 0.81 0.75 35.0 157 157 157 156 158 161 134 132 132 133 131 122 0.85 0.84 0.84 0.85 0.83 0.76
(a) (b)
그림 7. 상관길이의 비와 유효수직응력에 따른 간극평균(a)과 표준편차(b)의 변화 양상 에 따른 유체흐름변화에 대한 예(30개 난수 중의 하나)를
나타낸 것이다. 유효수직응력이 0MPa인 경우 공간적으로 무상관인 경우 상대적으로 큰 유량을 운반하는 특정한 유 로(channel)들이 형성되지 않는 반면 공간적으로 상관된 경우 이러한 특정한 유로들이 흐름방향으로 분포되어 있 는 것을 볼 수 있다. 또한 상관길이의 비가 클수록 흐름의 굴곡(tortuosity) 정도는 작아지며, 특정한 유로는 흐름방향
으로 직선형태가 된다. 또한 상관길이의 비가 클수록 특정 한 유로의 수가 적어지나 폭이 넓은 한두개의 유로를 형성 하며, 대부분의 유체가 이 유로를 통해 이동하는 것을 볼 수 있다.
적용된 유효수직응력에 따른 유체흐름변화를 살펴보면 유효수직응력이 커질수록 두 균열벽 사이의 접촉면(contact area)이 증가하며, 이에 따라 균열을 통과하는 국부유량의 크기가 점차적으로 감소하는 것을 볼 수 있다. 또한 상관 길이의 비가 =0.1인 경우 접촉면은 많은 수의 조그만 섬(island)과 같은 형태를 나타내며 이들 사이에 형성된 폭 이 좁은 유로를 따라 흐름이 발생된다. 그러나 상관길이의 비가 커질수록 접촉면은 점차적으로 큰 대륙과 같은 형태 를 나타내며, 흐름은 상대적으로 폭이 넓은 유로를 따라 흐름이 발생됨을 볼 수 있다. 그림 6은 상관길이의 비와 유효수직응력에 따른 접촉면의 변화를 나타낸 것으로 유 효수직응력에 따라 접촉면의 비는 0.0에서 0.3까지 증가하 는 양상을 나타내나 상관길이의 비에 따른 차이는 거의 없 는 것으로 나타났다.
표 3은 상관길이의 비와 유효수직응력에 따른 간극의 주요 통계량을 나타낸 것이며, 그림 7과 8은 이들 통계량
′
′
′
′
무상관
그림 8. 상관길이의 비와 유효수직응력에 따른 간극분포의 변화 에 대한 것을 도식화한 것이다. 간극평균의 경우 유효수직
응력에 따라 상관길이의 비에 대해 평균적으로 초기간극 평균 425m에서 157m까지 약 63%가 감소하였으며, 표 준편차의 경우도 153m에서 131m로 약 20%가 감소하 였다. 변동계수의 경우 초기 0.36부터 0.83까지 약 2.3배 증가하였다. 그림 7(a)에서처럼 간극평균은 유효수직응력 초기에 급격히 감소하다가 약 10MPa부터는 다소 완만하 게 감소하는 양상을 나타내었다. 그림 7(b)는 표준편차의 변화양상을 나타낸 것으로 유효수직응력에 따라 전반적으 로 다소 완만하게 감소하는 경향을 나타내었다. 상관길이 의 비가 0.1에서 0.4까지는 유효수직응력에 따른 간극평균 과 표준편차의 변화 양상이 거의 동일하나 상관길이의 비
가 0.5인 경우 상대적으로 간극평균은 약간 크게 나타났으 며, 반대로 표준편차의 경우는 작게 나타났다. 이는 상관길 이의 비에 따른 모의 초기에 형성된 간극분포의 차이에 의 한 것으로 판단된다. 그림 8은 그림 5에서와 동일한 난수에 대한 상관길이의 비(무상관, =0.1, 0.3, 0.5)와 유효수직 응력(′=0.0, 15.0, 25.0, 35.0MPa)에 따른 간극분포의 히스 토그램을 나타낸 것이다. 본 연구에서 얻어진 유효수직응 력의 증가에 따라 변화되는 간극분포의 경향은 Pyrak-Nolte 와 Morris(2000)에 의해 수행된 연구결과와 매우 비슷하다.
유효수직응력이 0MPa에 대해 무상관 그리고 상관길이의 비 0.1과 0.3의 경우 본 연구에서 가정된 Log-normal 분포 를 따라 거의 동일한 형태의 초기간극분포를 나타내나 상
그림 9. 상관길이의 비와 유효수직응력에 따른 간극분포에 대한 변동 계수의 변화
그림 10. 상관길이의 비와 유효수직응력에 따른 유량 변화 관길이의 비가 0.5인 경우 초기간극분포의 형태가 다소 다 르며, 이로 인해 간극평균과 표준편차 간의 차이가 발생되 는 것으로 판단된다.
그림 9는 상관길이의 비와 유효수직응력에 따른 변동계 수(Coefficient of variation, 표준편차/간극평균)의 변화를 나타낸 것으로서 전반적으로 유효수직응력이 증가할수록 변동계수는 어떤 값(본 연구에서 대략 0.83)에 수렴하면서 점차적으로 증가하는 양상을 나타내고 있다. 또한 상관길 이의 비가 0.1에서 0.4까지의 변화양상은 거의 비슷하나 0.5의 경우 다른 상관길이의 비보다 작은 값을 나타내며, 유효수직응력이 증가할수록 그 차이는 점차적으로 커지는 경향을 보이고 있다.
그림 10은 상관길이의 비와 유효수직응력에 따른 그림 3의 우측경계를 통해 유출되는 유량의 변화를 나타낸 것이 다. 전반적으로 유량은 유효수직응력이 증가할수록 감소하 는 경향을 나타내며, 이는 유효수직응력의 증가에 따라 접 촉면의 비가 증가하여 유체흐름을 위한 간극이 감소하였기 때문이다. 상관길이의 비에 따른 유량변화도 뚜렷한 양상
을 보이며, 상관길이의 비가 증가할수록 전반적으로 유량 이 증가하는 경향을 나타내었다. 유효수직응력 35.0MPa에 서 상관길이의 비가 0.1인 경우 유량은 8.65×10-6m3/sec이 며, 0.5인 경우 4.24×10-5m3/sec로 약 5배정도 큰 것으로 나타났다. 무상관인 경우의 유량변화양상은 상관된 경우와 유효수직응력이 증가함에 따라 큰 차이를 나타내며, 공간 적으로 상관된 경우 유량은 유효수직응력이 증가함에 따 라 어느 일정한 값에 수렴하면서 증가하는 경향을 나타낸 다. 그러나 무상관인 경우는 유량이 선형형태로 지속적으 로 감소하는 경향을 나타내며, 유효수직응력이 증가할수록 이러한 차이는 더욱 커진다. 유효수직응력 35.0MPa에서 무상관인 경우 유량은 9.81×10-7m3/sec이며, 이는 상관길 이의 비가 0.5일 때의 유량에 비해 약 43배 작은 값이다.
이러한 결과는 유효수직응력에 따른 간극분포의 차이에 기인하는 것으로 판단되며, 즉 무상관인 경우 유효수직응 력에 따른 접촉면의 분포양상이 상관된 경우보다 유체흐 름에 더욱 불리하다는 것을 의미한다.
4.2 유효수직응력과 균열의 유효투수성과의 관계
균열 내에서의 유체흐름과 직접적인 관계가 있는 수리 학적 유효간극(hydraulic effective aperture, )은 본 모의 에서 계산된 유량()으로부터 식 (5)와 같은 삼승법칙을 적용하여 구할 수 있다.
(5)여기서 는 무차원으로서 수리수두경사이다.
이러한 수리학적 유효간극은 유효수직응력에 따라 변화 되는 간극평균(mean aperture, )과 관련지을 수 있으며, 식 (6)과 같은 정규화된 유효투수성(normalized effective permeability, )을 정의할 수 있다.
(6)Louis(1976)는 유효수직응력과 유효투수성과의 관계에 대한 다음과 같은 경험적 지수형태의 함수를 제안하였다.
′ (7)
여기서 는 상수이다.
또한 Gangi(1978)는 유효수직응력의 작용 하에서 균열 의 투수성 변화에 관한 연구를 수행하였으며, 이를 통해 제안된 경험식은 다음과 같다.
무상관
그림 11. 유효수직응력에 따른 유효투수성의 변화에 대한 관련식들로부터 산정된 결과의 비교
′
(8)여기서 는 균열면의 조도에 대한 유효탄성계수이 며, 은 무차원으로서 0.0에서 1.0까지 변화되는 상수이다.
Swan(1983)은 수치계산에 의거하여 유효수직응력과 균 열의 투수성 사이의 관계를 나타내는 경험식을 제안하였 으며, 제안된 식은 식 (9)와 같다.
′ (9)
여기서 는 무차원 상수이며, 는 의 단위를 가지 는 상수이다.
그림 11은 본 연구에서 모의를 통해 얻어진 결과와 식 (7)～(9)를 통해 회귀 분석된 결과를 비교한 것이다. 비교 결과 Swan의 경험식을 제외한 Louis와 Gangi 식은 본 모 의에서 얻어진 결과의 경향과 전반적으로 만족하는 것으 로 나타났으나 0에서 5MPa까지의 초기유효수직응력에서 는 다소 과대산정하는 것으로 나타났다. 따라서 본 연구에 서는 이러한 문제점을 개선하기 위해 식 (10)과 같은 경험 식을 제안한다.
′
(10)여기서 는 무차원 상수이며, 는 의 단위를 가 지는 상수이다. 또한 는 곡선의 형태를 조절하는 1보다
표 4. 상관길이의 비()에 따른 각 식에 사용된 상수값들의 변화(무: 무상관)
구분 상관길이의 비 ()
무 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Louis (1976)
상관계수 0.9232 0.9741 0.9743 0.9739 0.9735 0.9855
0.1247 0.0967 0.0873 0.0769 0.0661 0.0568
Gangi (1978)
상관계수 0.9247 0.9744 0.9750 0.9752 0.9757 0.9869
39.4979 48.1810 50.2856 56.5667 61.9417 71.8123
0.8062 0.8399 0.8782 0.8816 0.9176 0.9133
Swan (1983)
상관계수 0.8712 0.8665 0.8463 0.8328 0.8119 0.8202
0.6651 0.7289 0.7438 0.7621 0.7853 0.8154
0.0956 0.0939 0.0898 0.0845 0.0786 0.0749
수정 Louis
상관계수 0.9999 0.9999 0.9996 0.9990 0.9972 0.9985
0.7257 0.8274 0.8321 0.8347 0.8453 0.8877
0.0305 0.0364 0.0276 0.0227 0.0166 0.0206
1.4472 1.3019 1.3597 1.3698 1.4163 1.2969
큰 상수이다.
식 (10)은 식 (7)의 Louis식을 근거로 하여 수정한 것이 며, 회귀 분석한 결과 모의를 통해 얻어진 결과와 유효수 직응력의 모든 구간에 걸쳐 매우 잘 일치하는 것으로 나타 났다(그림 11). 표 4는 각각의 경험식을 통한 회귀 분석으 로부터 결정된 상관길이의 비에 따른 상수값들의 변화를 나타낸 것이다. Louis 식에 사용되는 값의 경우 상관길이 의 비가 증가할수록 감소하는 경향을 나타내며, Gangi식에 사용되는 유효탄성계수인 과 은 대체로 증가하는 경 향을 나타내었다. 본 연구에서 제안한 수정 Louis 식에 사 용되는 와 는 상관길이의 비가 0.1에서 0.4까지 증가할 때 각각 0.8274에서 0.8453 그리고 1.3019에서 1.4163으로 점차적으로 증가하는 경향을 나타냈으나 0.5인 경우 는 0.8877로 급격히 증가하며 반대로 는 1.2969로 감소하는 경향을 나타내었다.
4.3 간극의 상대조도와 균열의 유효투수성과의 관계
균열 내에서의 유체흐름은 간극의 공간적 분포뿐만 아니 라 균열면의 조도(roughness)에 의해서도 큰 영향을 받는 것 으로 알려져 있다(Brown, 1989; Zimmerman and Bodvarsson, 1996).
Patir와 Cheng(1978)은 Reynolds 방정식을 이용한 수치 적 접근을 통해 거친 균열 내에서의 유체흐름을 연구하였 으며, 식 (11)로 표현되는 유효투수성과 상대조도 사이의 관계를 나타내는 경험식을 제안하였다.
(11)여기서 는 간극평균이며, 는 간극분포에 대한 표준편차이다.
Patir와 Cheng(1978)이 제안한 경험식은 균열면의 조도 가 증가할수록 유효투수성이 감소하는 경향을 보여준다.
그러나 식 (11)은 두 균열면 사이의 접촉면 등과 같은 요 소들을 고려하지 않고 유도된 것으로 균열에 접촉면의 분 포가 상대적으로 클 경우 큰 오차를 유발시킬 수 있다.
Zimmerman과 Bodvarsson(1996)은 간극의 조도뿐만 아 니라 접촉면의 분포를 고려한 식 (12)와 같은 해석식을 제 안하였다.
(12)여기서 는 접촉면의 비율이다.
그림 12는 본 연구에서 모의를 통해 계산된 상대조도에 따른 균열의 유효투수성의 변화 결과를 식 (11)과 (12)에 의해 계산된 결과와 비교한 것이다. 그림에서 보듯이 Patir 와 Cheng(1978)에 의해 제안된 경험식은 접촉면의 비율이 취약한 즉 그림 12에서 상대조도 의 값이 약 1.87까 지는 모의된 결과와 거의 일치하나 상대조도가 작아질수 록(즉 접촉면의 비율이 커질수록) 점차적으로 편차가 커짐 을 볼 수 있다. Zimmerman과 Bodvarsson(1996)의 해석식 은 상관길이의 비가 상대적으로 작은 값(즉, < =0.3) 에서는 모의된 결과와 비교적 좋은 일치를 보이고 있으나 상관길이의 비 큰 값에서는 편차가 발생하는 것을 볼 수 있다. 이는 Zimmerman과 Bodvarsson의 해석식이 균열 내 의 간극분포에 대한 상관길이의 영향을 제대로 반영하지 못하고 있음을 의미하는 것이다.
식 (13)은 4.2절에서와 같은 방법으로 본 연구에서 모의
무상관
그림 12. 간극의 상대조도에 따른 유효투수성의 변화에 대한 관련식들로부터 산정된 결과의 비교
표 5. 상관길이의 비()에 따른 각 식에 사용된 상수값들의 변화(무:
무상관)
구분 상관길이의 비()
무 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
상관계수 0.9960 0.9966 0.9972 0.9953 0.9906 0.9946
0.7345 0.8314 0.8215 0.8109 0.8054 0.8543
8.0313 6.8234 7.0490 7.3343 8.5328 20.4648
-5.4075 -5.3525 -5.9163 -6.3245 -7.8906 -8.7885
된 결과를 이용하여 제안한 상대조도와 균열의 유효투수 성과의 관계를 나타내는 경험식이며, 본 경험식으로부터 얻어진 결과는 그림 12에 도시되어 있다.
(13)여기서 , 그리고 는 상수이다.
표 5는 상관길이의 비에 따른 식 (12)의 상수값들에 대 한 변화를 나타낸 것이다. 상관길이의 비가 0.1에서 0.4로 증가될 때 상수 는 완만하게 증가하는 경향을 나타내나
와 는 감소하는 경향을 나타내었다. 그러나 상관길이의 비가 0.5의 경우 와 는 다른 상관길이의 비에 비해 상 당한 차이를 나타내었다.
5. 결 론
본 연구에서는 수치적 방법을 이용한 유효수직응력과 간극분포의 공간적 상관길이에 따른 단일 균열에서의 유 체흐름 특성을 분석하였다. 분석결과 균열 내에서의 유체
흐름은 유효수직응력에 따라 변화되는 간극분포와 균열면 의 조도에 상당한 영향을 받는 것으로 나타났다.
본 연구에서 유효수직응력이 증가함에 따라 접촉면은 상관길이의 비에 따라 거의 동일하게 0.0%에서 30%까지 증가하는 경향을 나타내었다. 그러나 출구경계에서 계산된 유량은 유효수직응력이 증가함에 따라 감소하는 경향을 나타내었다. 이는 유효수직응력이 증가함에 따라 간극평균 이 감소하고 접촉면의 비가 증가하여 유체흐름에 기여하 는 균열 내의 간극이 감소함에 기인한다. 또한 상관길이의 비에 따라서도 계산된 유량 차이가 발생되었으며, 상관길 이의 비가 증가할수록 유량은 증가하는 것으로 나타났다.
이는 흐름에 대한 굴곡의 차이에 기인하는 것으로 상관길 이의 비가 증가할수록 흐름에 대한 굴곡정도는 감소하며, 흐름에 보다 원활한 유로를 제공하는 것으로 판단된다.
본 연구에서 모의된 결과는 기존에 제시된 다양한 경험 식들로부터 산정된 결과와 비교하였으며, 비교 결과 유효 수직응력과 균열의 유효투수성과의 관계를 나타내는 경험 식들 중 Louis와 Gangi에 의해 제안된 식들이 전반적으로 잘 일치하는 것으로 나타났으나 취약한 유효수직응력(본 연구에서 5MPa 이하)에서는 다소 과대산정되는 결과를 나 타내었다. 본 연구에서는 이러한 문제를 개선하기 위해 수 정 Louis식을 제안하였다. 균열의 상대조도와 유효투수성 과의 관계를 나타내는 식들 중 본 연구에서 모의된 결과와 비교적 좋은 일치를 나타낸 것은 Zimmerman과 Bodvarsson 에 의해 제안된 해석이나, 상관길이의 비가 상대적으로 큰 값(본 연구에서 =0.2 이상)에서는 모의된 결과와 경향 은 일치하나 다소 큰 편차를 나타내었다.
본 연구에서 분석된 결과는 향후 3차원 균열망에서의 유체흐름 분석 시 균열망을 구성하는 개별적인 균열들의 동수역학적 특성을 묘사하는데 기초적인 자료로 적용될 수 있을 것으로 기대된다.
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(접수일: 2007. 4. 18 심사일: 2007. 4. 20 심사완료일: 2007. 5. 10)
