Numerical Simulation of Depth-Averaged Flow with a CDG Finite Element Method

水 工 學

大 韓 土 木 學 會 論 文 集

第26卷 第5B 號·2006年 9月 pp. 447 ~ 457

CDG 유한요소법을 이용한 수심적분 흐름의 수치모의

Numerical Simulation of Depth-Averaged Flow with a CDG Finite Element Method

김태범*·최성욱**·민경덕***

Kim, Tae Beom

^·

Choi, Sung-Uk

^·

Min, Kyung Duck

···

Abstract

This paper presents a numerical model for the simulations of 2D depth-averaged flows. The shallow water equations are solved numerically by the Characteristic Dissipative Galerkin (CDG) finite element method. For validation, the developed model is applied to the hydraulic jump. The computed results are compared with the analytical solution, revealing good agree- ment. In addition, flow in a contracting channel showing standing waves is simulated. The calculated water surface profile appears to be qualitatively consistent with the observed data. The foregoing results indicate that the model is capable of sim- ulating the abrupt change in flow field. Next, the model is applied to the flow in a 180^o curved channel. The simulated results show that the velocity near the inner bank is faster than that near the outer bank and the water depth near the inner bank is shal- lower than that near the outer bank. However, the simulated results show that the velocity distribution across the channel is almost uniform in the bend except the reach close to the end of the bend. This is due to the limitation of the governing equa- tions in which the transverse convection of momentum by the secondary flows along a channel bend is not taken into account.

Keywords :

finite element method (FEM), CDG method, shallow water equations, bend flow

···

요 지

본 연구에서는 2차원 수심 적분된 흐름을 모의하기 위한 수치모델을 개발하였다. 유한요소법의 일종인 Characteristic Dissipative Galerkin(CDG) 기법을 적용시켜 천수방정식의 수치해를 구한다. 모델 검증을 위해서 1차원 도수문제에 적용하였고, 계산결과와 해석해를 비교할 때 만족스러운 결과를 얻었다. 정상파를 보이는 단면축소 수로에서의 흐름을 모의한 결과, 실험결 과와 유사한 수면분포를 얻었다. 이러한 검증 과정을 통해서 본 수치모델을 이용하여 흐름영역이 갑작스럽게 변화하는 경우

에도 모의 가능함을 알았다. 또한 180

^o

만곡수로에 적용한 결과, 만곡부 내측의 유속이 외측에 비해서 크며, 만곡부 내측의

수심은 외측에 비해서 작은 만곡부 흐름특성을 잘 나타내고 있다. 그러나 만곡수로에서 이차류에 의한 운동량의 횡방향 이 송을 고려하지 않는 지배방정식의 한계점으로 인해서, 만곡부 끝단을 제외한 만곡부 전체에 걸쳐서 단면상의 종방향 유속이 일정한 분포를 보이고 있다.

핵심용어 : 유한요소법, CDG 기법, 천수방정식, 만곡흐름

···

1. 서 론

많은 수공학적인 문제들에 있어서 물 흐름에 대한 이해가 선행되어야 하며 , 그 도구로써 수치모형을 이용한 흐름해석 이 이용되고 있다 . 자연 하천에서의 흐름 특성은 3 차원 , 난 류이며 , ^{수로형상이 불규칙적이며 시간에 따라 변화를 겪게}

된다 . 이러한 자연현상을 가장 정확히 묘사하기 위해서는 3

차원 수치모형이 필요하지만 , 엄청난 계산노력과 수치계산의 복잡성 , 방대한 양의 계산결과 처리과정이 필요하므로 결코 쉬운 접근법이 아니다 . 그러므로 2 차원 수심 적분된 흐름 방정식을 사용한 근사법이 사용되며 , 수자원 관리와 계획 , 수

리학과 환경공학 , 정책수립 등의 분야에서 여전히 정확하고 효율적인 2 ^{차원 수치모형을 요구하고 있다} . ^{특히 짧은 시간}

에 장기간의 모의결과를 얻고자 할 때나 모의영역의 수로가 길 때는 더욱 그렇고 , 3 차원 모형을 검증할 만한 실험 자료 도 부족한 현실이다 .

Kuipers ^와 Vreugdenhill(1973) ^이 2 ^{차원 수심 적분된 방정}

식을 유한차분법을 이용하여 수치해를 구할 수 있는 수학모 델을 개발한 이후에 많은 연구자들에 의해서 2 차원 차분모 형이 개발되었다 (Ponce and Yabusaki, 1981; Vreugdenhill and Wijbenga, 1982; Tingsanchali and Maheswaran, 1990;

Fennema and Chaudhry, 1989; Fennema and Chaudhry,

*

정회원·연세대학교공과대학사회환경시스템공학부박사후연구원

(E-mail : [email protected]) **

정회원·연세대학교공과대학사회환경시스템공학부교수

(E-mail : [email protected])

***

연세대학교이과대학지구시스템과학과교수

(E-mail : [email protected])

1990; Younus and Chaudhry, 1994; Molls and Chaudhry,

1995). 일반적으로 유한차분법이나 유한체적법을 이용할 경

우 몇 가지 제한적인 특성을 나타낸다 . 일단 경계조건을 인 공적으로 부여할 필요가 있다 . 경계조건이 변화율로 주어질 경우 가상의 절점이 필요하며 , 경계부에서 정확도가 떨어진 다 . 유한차분법의 경우 , 유한요소법 보다는 프로그램하기 쉽 다는 장점이 있지만 , 유한요소법과 동일한 정확도를 얻기 위 해서는 더욱 많은 절점과 계산시간이 필요하다 (Lee and

Froehlich, 1986). 또한 정형화된 격자망을 사용함으로써 적

용성이 떨어지게 된다 . 근래에는 좌표변환을 통해 비직교 일 반좌표계를 이용하여 적용성을 높이고 있지만 , 지배방정식과 차분식이 복잡해지고 , 프로그램도 복잡해진다 . 또한 경계조 건 변화에 따라 알고리즘이 변화된다는 단점이 있다 . 이에 반해 , 유한요소법은 기하학적으로 불규칙적인 형태의 수로를 효과적인 방법으로 나타낼 수 있다는 장점이 있다 . 불균일한 격자망을 사용함으로써 흐름의 변화율이 큰 영역은 조밀하 게 , 균일한 흐름을 보이는 영역은 성긴 격자망을 사용함으로 써 효율적이고 최적화된 계산을 행할 수 있다 . 경계조건으로 변화율이 주어졌을 경우에도 가상의 절점들이 필요 없다 . ^또

한 사류 (superciritical flow) 와 상류 (subcritical flow) 를 동일 한 방법으로 다루므로 , 두 가지 흐름영역을 동시에 계산할 수 있다 . 유한요소법은 절점이 아닌 요소에 기초하기 때문에 ,

단지 절점에서의 해를 얻는 다기 보다 요소 전체에 걸쳐서 해를 얻을 수 있다 . 요소 내부에서의 내삽함수를 변경시킴으

로써 , 다양한 수치해석 기법을 얻을 수 있다 (Ghanem,

1995). 따라서 유한차분모형과 더불어 유한요소법을 이용한

흐름모형 연구가 활발히 진행되어져 왔다 . Christie ^등 (1976)

은 상향 가중 효과를 주기 위해 가중함수를 수정하는 개념 을 소개한 바 있고 , Heinrich 등 (1977) 은 이를 2 차원 흐름 으로 확장시켰다 . Wang 과 Adeff(1987) 는 수심 적분된 2 차

원 Navier-Stokes ^{방정식의 해를 구하기 위해} Petrov-

Galerkin(PG) 기법을 적용시켰으며 , Katopodes(1984a) 는 1

차원 천수방정식의 해를 구하기 위해 Dissipative Galerkin

(DG) 기법을 제안하였으며 , 2 차원으로 확장하여 적용시켰다

(Katopodes, 1984b; Akanbi and Katopodes, 1988). Hicks ^와 Steffler(1992) 는 Brooks 와 Hughes(1982) 가 제안한 Streamline Upwind/Petrov-Galerkin(SU/PG) 기법의 개념을 마찰경사를 무시한 1 차원 개수로 흐름 방정식에 적용시킨 Characteristic Dissipative Galerkin(CDG) 기법을 제안하였고 , 유한차분법 과 그 밖의 다른 유한요소법과 비교하여 CDG 기법이 천수 방정식의 해를 구하기 위한 가장 적합한 수치기법임을 보였 다 (Hicks and Steffler, 1994). Ghanem(1995) 은 Hughes 와

Mallet(1986a, 1986b) 가 제안한 다차원 이송확산계를 위한

SU/PG 기법의 개념을 적용시켜 CDG 기법을 2 차원으로 확

장 , 적용시켰다 . 국내에서는 한건연 등 (1996) 이 개수로 점변

/ 급변 부정류 해석을 위해서 PG 기법을 적용하였고 , 한건연

과 김상호 (2000) 는 2 차원 흐름해석을 위한 PG 기법을 개발

적용한 바 있다 . 또한 한건연 등 (2004a, 2004b) 은 SU/PG

기법에 대한 수치안정성 해석 및 적용한 바 있으며 , 한건연

등 (2005) ^{은 단면 급축소부} , ^{부분 댐 붕괴 등 복잡한 흐름을}

나타내는 경우에 대해서 2 차원 SU/PG 유한요소모형의 적용

성을 검증하였다 .

흐름 특성에 대한 정확한 이해와 수치해를 얻는 것은 유 사이송 , 수질분석 등과 같은 유수에 관련된 작용을 이해하 는데 있어서 필수적인 선행과정이다 . 따라서 본 연구에서는 식생수로 , 유사이송 및 농도변화 수치모형의 개발에 앞서서 ,

기존의 천수방정식을 지배방정식으로 하고 유한요소법의 일

종인 CDG 기법을 적용시켜 , 적용성이 높고 효율적인 수치

모형을 개발하고자 한다 . 전술한 바와 같이 자연하천은 수 로형상이 불규칙적이고 시간에 따라 흐름특성이 변화한다 .

이러한 다양한 경우에 대한 모형의 검증을 위해서 도수문제 와 단면축소 수로 문제를 이용하며 , 이와 더불어 만곡수로 에 적용함으로써 , 개발된 모형의 적용성에 대해 알아보고자 한다 .

2. 지배방정식

수심 적분된 연속방정식과 Reynolds 방정식을 지배방정식

으로 하며 , x, y 방향의 하상 전단응력 성분을 Manning 공

식으로 표현하고 , Boussinesq ^{와점성 개념의 포물선 분포}

모형 (parabolic eddy viscosity model) 을 적용시키면 , Eqs.

(1)~(3) 과 같은 지배방정식을 얻을 수 있다 .

(1)

(2)

(3)

여기서 p = hu , q = hv의 관계에 있으며 , p , q는 x, y방향의 단위 폭 당 유량성분 , h 는 수심 , u , v는 x, y방향의 수심평 균 유속성분이다 . 그리고 t 는 시간 , g는 중력가속도 , z

b

는 하상고 , n는 Manning 의 조도계수이며 ,

νt

는 난류 동점성 계수 또는 와점성 계수로써 , 아래와 같은 관계식을 사용한다 . (4)

여기서

κ

는 von Kármán 상수 , U

*

는 전단속도이며 ,

다음과 같이 계산된다 .

(5) Eqs. (2) 와 (3) 은 보존형태의 방정식이고 , 이를 비보존형태 의 방정식으로 나타내고 하나의 행렬식으로 표현하면 다음 과 같다 .

(6) (7)

∂h ∂t

--- ∂p + + --- ∂q ∂x --- ∂y = 0

∂p ∂t --- ∂

∂x --- p

²

--- gh h

²

--- 2

⎝ + ⎠

⎛ ⎞ ∂

∂y --- pq --- h

⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ∂

∂x --- 2 ⎝ ⎛

ν_t

^∂p _∂x --- ⎠ ⎞ –

+ +

∂y ∂

---

ν_t

⎝ ⎛ ^∂p --- ∂q _∂y + --- ∂x ⎠ ⎞ gh ∂z

_b

--- gn ∂x

²

h

^{7 3⁄}

---p p (

²

+ q

²

)

^{1 2⁄}

= 0

+ +

–

∂q ∂t

--- ∂ ∂x --- pq ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ∂ --- h

∂y --- q ⎝ ⎛ --- gh h

²

+ --- 2

²

⎠ ⎞ ∂

∂x ---

ν_t

⎝ ⎛ ^∂p --- ∂q _∂y + --- ∂x ⎠ ⎞ –

+ +

∂y ∂ --- 2 ⎝ ⎛

ν_t

^∂q --- _∂y ⎠ ⎞

– gh ∂z

_b

--- gn ∂y

²

h

^{7 3⁄}

---q p (

²

+ q

²

)

^{1 2⁄}

+ + = 0

ν_t κ

---U 6

_*

h

=

0.4 ≈

( )

U

_*

n g h

^{7 6⁄}

--- p

²

+ q

²

=

∂U ∂t

--- A∂U --- B∂U ∂x --- ∂y ∂D

_x

--- ∂x ∂D

_y

--- F ∂y

+ + + + + = 0

U

^T

= ( h p q )

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Eqs. (8) 과 (9) 에서 로 파속을 나타내고 , 와 는

이송행렬이다 .

3. 수치모형

본 장에서는 지배방정식의 수치해를 구하기 위한 기법으로 유한요소법의 일종인 CDG 기법을 소개하고 , 측벽의 활동 경계조건을 적용시키기 위한 해법을 설명한다 .

3.1 CDG 기법

유한요소법을 이용한 수치해를 구하기 위해서 Eq. (6) 에 가중 잔차법을 적용한다 .

(13)

여기서 는 i 번째 절점에 해당하는 가중함수이다 . 이 연약 식의 해에 대한 유한요소 근사해 U 는 다음과 같이 표현된다 .

(14)

여기서 NP는 모의 영역 내에 존재하는 모든 절점의 개수이 고 , U

j

는 j 번째 절점에서 변수값 , N

j

는 j 번째 절점에서의 기저함수 ( 또는 형상함수 ) 이다 . 천수방정식의 해를 구하기 위

한 SU/PG 기법에서의 가중함수는 다음과 같다 (Brooks and

Hughes, 1982).

(15)

여기서 는 x, y방향의 상향가중행렬이고 ,

ω

는 상향 계수 (Upwinding Coefficient) 이다 . ∆x , ∆y는 Katopodes(1984b)

가 제안한 아래와 같은 표현식을 적용시켰으며 , 요소의 형상 이 불규칙적이고 왜곡되어진 경우에도 적용할 수 있다 .

(16) (17)

여기서

ξ

,

η

는 수치적분을 위한 Gauss 구적법을 수행하기 위해서 변환된 정규화 좌표계 (normalized local coordinates)

에서의 좌표축으로 , 사각형 요소에서는 각각 [-1, 1] 값을 갖 고 , 삼각형 요소에서는 [0, 1] 값을 갖는다 . Eq. (15) 를 Eq.

(13) 에 대입하면 아래와 같다 .

(18)

시간에 대한 편미분항을 이산화시키기 위해서 본 연구에서 는 Beam 과 Warming(1976) 의 ADI 기법을 응용한 유한차 분 음해기법을 사용한다 .

(19)

여기서 n -1 과 n은 이미 알고 있는 시간준위이고 , n +1 은 미 지의 시간준위를 나타내며 ,

θ

는 음해도 (implicitness) 를 나타 내는 매개변수로

θ

가 0.0, 0.5, 1.0 인 경우 각각 양해법 ,

Crank-Nicolson 법 또는 중앙차분법 , 그리고 음해법이 된다 .

Eq. (19) 를 미지의 시간준위에 대한 미분항으로 정리하면 다

음과 같다 .

(20) (21a) (21b)

단 , n =0 일 경우에는 을 적용한다 . Eq. (18) 에서

좌변의 시간에 대한 편미분항에 Eq. (20) 을 적용시키고 , 개 별 방정식으로 표현하면 다음과 같다 .

(22)

(23)

(24)

A

0 1 0 gh p

²

h

²

--- – 2p h --- 0 pq h

²

--- – q h --- p h ---

0 1 0 c u – 2u 0

²

u

υ

–

υ

u

= =

B

0 0 1 pq h

²

--- – q h --- p

h --- gh q

²

h

²

--- – 0 2q h ---

0 0 1 u

υ

–

υ

u c –

υ²

0 2

υ

= =

D

_x

0 2

ν_t

^∂p _∂x ^---

ν_t

⎝ ⎛ ^∂p _∂y --- ∂q + ∂x --- ⎠ ⎞

=

D

_y

0

ν_t

^∂p _∂y --- ∂q

∂x ---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞

2ν

_t

∂q

∂y ---

=

F

0 gh ∂z

_b

--- gn ∂x

²

h

^{7 3⁄}

---p p

²

+ q

²

+

gh ∂z

_b

--- gn ∂y

²

h

^{7 3⁄}

---q p

²

+ q

²

+

=

c = gh A B

N

_i^*

∂U --- A∂U ∂t

--- B∂U ∂x --- ∂y ∂D

_x

--- ∂x ∂D

_y

--- F ∂y

+ + + + +

⎝ ⎠

⎛ ⎞ Ω d = 0

∫Ω

N

_i^*

U N

_j

U

_j

j 1= NP∑

=

N

_i^*

N

_i

ω∆x ∂N

_i

---W ∂x

_x

ω∆y ∂N

_i

---W ∂y

_y

+ +

=

W

_x

, W

_y

∆x 2 ∂x

∂

ξ

---

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

²

∂x

∂

η

---

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

²

+

=

∆y 2 ∂y ^{⎝ ⎠ ⎛ ⎞} ∂ ^---

ξ

2

∂y

∂

η

---

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

²

+

=

N

_i ω

∆x ∂N

_i

---W ∂x

_x ω

∆y ∂N

_i

---W ∂y

_y

+ +

⎝ ⎠

⎛ ⎞

∫Ω

∂U --- A∂U ∂t --- B∂U ∂x --- ∂y ∂D

_x

--- ∂x ∂D

_y

--- F ∂y

+ + + + +

⎝ ⎠

⎛ ⎞dΩ 0 =

×

U

^{n 1+}

– U

ⁿ

--- ∆t =

θ

⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ^∂U --- _∂t

^{n 1+}

+ ( 1 –

θ

) ∂U ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ --- ∂t

ⁿ

∂U ∂t ---

⎝ ⎠ ⎛ ⎞

^{n 1+}

=

α

U

^{n 1+}

–

β^{n 1+} α

=

θ

--- ¹ ∆t

β^{n 1+}

¹

θ

^---

α

U

ⁿ

1 –

θ

---

θ βⁿ

–

=

β¹

=

α

U

⁰

E

₁ α

h

^{n 1+} β₁^{n 1+}

^∂p --- ∂q _∂x --- ∂y + + –

=

E

₂ α

p

^{n 1+} β₂^{n 1+}

gh p

²

h

²

---

⎝ – ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞∂h

--- 2p ∂x h ---∂p

∂x --- + +

–

= pq

h

²

---∂h

∂y --- q h ---∂p

--- p ∂y h ---∂q

∂y ---

+ +

–

∂x ∂

--- 2 ⎝ ⎛

ν_t

^∂p _∂x --- ⎠ ⎞ ∂

∂y ---

ν_t

^∂p _∂y --- ∂q

∂x ---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞

–

– +gh ∂z

_b

--- gn ∂x

²

h

^{7 3⁄}

---p p (

²

+ q

²

)

^{1 2⁄}

+

E

₃ α

q

^{n 1+}

–

β₃^{n 1+}

pq h

²

---∂h

∂x --- q h ---∂p

--- p ∂x h ---∂q

∂x ---

+ +

–

= gh q

²

h

²

---

⎝ – ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞∂h

∂y --- 2q h ---∂q

--- ∂y

+ +

∂x ∂

---

ν_t

⎝ ⎛ ^∂p --- ∂q _∂y + --- ∂x ⎠ ⎞ ∂

∂y --- 2 ⎝ ⎛

ν_t

^∂q --- _∂y ⎠ ⎞

– gh ∂z

_b

--- gn ∂y

²

h

^{7 3⁄}

---q p (

²

+ q

²

)

^{1 2⁄}

+ +

–

Eqs. (22)~(24) 를 이용하여 Eq. (18) 을 행렬식으로 표현하면 다음과 같다 .

(25)

하나의 요소에 대해서 가중함수 첨자 i를 사용하여 Eq.

(25) ^{를 세 개의 방정식으로 정리하면 다음과 같다} .

(26)

(27)

(28)

Eqs. (26)~(28) ^{을 모든 요소에 대해서 적용시키면 다음이 성}

립한다 .

(29a, b, c)

Eqs. (29a)~(29c) 는 비선형 방정식계를 구성하게 되며 , 비선

형계의 해 , 즉 각 절점에서의 변수 해는 Newton-Raphson

법을 적용시켜 구할 수 있다 .

(30) Eq. (30) 으로부터 Jacobian 행렬이 구성된다 ( 부록 1).

Brooks 와 Hughes(1982) 가 제안한 SU/PG 기법 , Katopodes (1984a, 1984b) 가 제안한 DG 기법 , Hicks 와 Steffler(1992, 1994) ^{가 제안한} 1 ^차원 CDG ^{기법 모두 대표적인} PG ^기법

으로써 , 흐름방향 또는 특성선을 따라서만 감쇠가 이루어지 도록 하는 가중함수를 사용한다 . DG 기법에서는 진행파와

역행파 모두 양의 특성값 (eigenvalue) 으로 스케일이 조정됨으

로써 역행파에 적용되는 상향가중이 너무 작을 수 있지만 , CDG 기법에서는 두 가지 특성값이 각각의 절대값으로 스케 일이 조정됨으로써 각각의 진행파에 적절한 상향가중이 행 해진다 . Hicks 와 Steffler(1992) 는 Saint-Venant 식을 바탕으로 가중행렬 을 제안하였으며 , 한건연 등 (2005) 은 이를 2

차원으로 확장하여 의 관계를 사용하였 다 . Hughes 와 Mallet(1986a, 1986b) 은 다차원 이송·확산계 에 대해서 이송행렬 제곱의 합의 제곱근으로 이송행렬을 나 눠줌으로써 만족할만한 상향가중행렬을 얻었고 , Ghanem

(1995) 은 이 방법을 적용시켜 아래와 같은 가중행렬을 제안

하였으며 , 이를 2 차원 CDG 기법이라 명명하였다 .

(31a, b)

제곱근의 역행렬은 Cayley-Hamilton 정리를 이용하여 계산

될 수 있다 ( 부록 2). 식 (31) 로 주어진 상향가중행렬을 1 차원 에 적용시키면 , Hicks 와 Steffler(1992, 1994) 가 제안한 1

차원 CDG 기법과 동일하며 , 이는 한건연 등 (2004) 이 제안

한 SU/PG ^{기법과도 동일하다} . ^{특히 한건연 등} (2004) ^{은 선}

형화된 Saint-Venant 방정식을 이용한 선형 안정성 해석을

통하여 CDG 기법이 단파장에서 타기법에 비해 양호한 감

쇠특성 및 위상 정확도를 보여주고 있으며 , 수치 해석적 안 정성에 있어서 매우 탁월한 우수성을 보여주고 있음을 비교 ,

검토하였다 .

3.2 활동경계조건

개수로 흐름의 경우 흐름에 대한 저항은 경계부보다 흐름 영역 내부의 조도에 큰 영향을 받기 때문에 활동 경계조건 을 가정하고 , 접선방향의 유속 또는 유량이 계산된다 . 접선 방향과 법선방향의 유속 또는 유량 모두 계산하지 않는 비 활동 경계조건도 가능하지만 , ^{경계부 근처에서 요소망을 세}

밀하게 작성하지 않는다면 , 경계부 근처에서의 해에 영향을 미치게 된다 . 활동 경계조건에서는 법선방향의 유속 또는 유량성분이 0 으로 설정된다 . 법선방향 벡터가 물리좌표축

( ^{x, y} ) ^{어느 한 쪽에 평행하다면} , ^{x, y방향의 유량성분인 p}

또는 q를 경계조건 0 으로 설정하면 된다 . 하지만 법선벡터 가 x 또는 y축 방향과 평행하지 않다면 , 축의 양의 방향과

법선벡터 사이의 각도를 구해야만 한다 . Fig. 1 과 같이 2 개

의 요소가 경계 ABC 를 이루고 있다면 , 절점 B 에서 법선 방향 각도는 Akanbi(1986) 가 제안한 Eq. (32) 를 이용하여 계산 가능하다 .

(32)

여기서

φ

는 x 축 양의 방향과 이루는 반시계 방향으로의 법선방향 각도 , N

k

는 하나의 요소 내에서 절점 B 에 해당하 는 k번째 형상함수이다 . 단 , 하나의 요소로만 구성된 절점이 나 모서리를 구성하는 절점에서는 적절한 법선방향 각도를 설정해주어야만 한다 .

Eq. (30) 에 의해 하나의 요소를 구성하는 k번째 절점에서

생성되는 행렬식은 다음과 같다 .

∫Ω

N_i 0 0 0 N_i 0 0 0 N_i

E₁ E₂ E₃

ω∆x

∂N_i

---∂x 0 0 0 ∂N_i

---∂x 0 0 0 ∂N_i

--- ∂x

W_x11 W_x12 W_x13 W_x21 W_x22 W_x23 W_x31 W_x32 W_x33

E₁ E₂ E₃ +

ω∆y

∂N_i ---∂y 0 0

0 ∂N_i ---∂y 0 0 0 ∂N_i

---∂y

W_y11 W_y12 W_y13 W_y21 W_y22 W_y23 W_y31 W_y32 W_y33

E₁ E₂ E₃

dΩ 0= +

f

_1i

N

_i ω

∆xW

_x11

∂N

_i

--- ∂x

ω

∆yW

_y11

∂N

_i

--- ∂y

+ +

⎝ ⎠

⎛ ⎞E

₁

∫Ω

=

ω

∆xW

_x12

∂N

_i

--- ∂x

ω

∆yW

_y12

∂N

_i

--- ∂y

⎝ + ⎠

⎛ ⎞E

₂

+

ω

∆xW

_x13

∂N

_i

--- ∂x

ω

∆yW

_y13

∂N

_i

--- ∂y

⎝ + ⎠

⎛ ⎞E

₃

dΩ

+

f

_2i ω

∆xW

_x21

∂N

_i

--- ∂x

ω

∆yW

_y21

∂N

_i

--- ∂y

⎝ + ⎠

⎛ ⎞E

₁

∫Ω

=

N

_i

+ ∆xW

ω _x22

∂N

_i

--- ∂x

ω

∆yW

_y22

∂N

_i

--- ∂y

⎝ + ⎠

⎛ ⎞E

₂

+

ω

∆xW

_x23

∂N

_i

--- ∂x

ω

∆yW

_y23

∂N

_i

--- ∂y

⎝ + ⎠

⎛ ⎞E

₃

dΩ

+

f

_3i ω

∆xW

_x31

∂N

_i

--- ∂x

ω

∆yW

_y31

∂N

_i

--- ∂y

⎝ + ⎠

⎛ ⎞E

₁

∫Ω

=

ω

∆xW

_x32

∂N

_i

--- ∂x

ω

∆yW

_y32

∂N

_i

--- ∂y

⎝ + ⎠

⎛ ⎞E

₂

+

N

_i

+ ∆xW

ω _x33

∂N

_i

--- ∂x

ω

∆yW

_y33

∂N

_i

--- ∂y

⎝ + ⎠

⎛ ⎞E

₃

dΩ

+

f

_1i

ne

∑

^{= f 0 ,}

∑^{ne 2i}

^{= f 0 ,}

∑^{ne 3i}

^{= 0}

∆U ∂ f [ ] --- ∂U

⎝ ⎠

⎛ ⎞

^–1

f[]

–

=

A A ⁄

W

_x

= A A ⁄ , W

_y

= B B ⁄

W

_x

A

A

²

+ B

²

--- W

_y

B A

²

+ B

²

---

= ,

=

tan

φ

∂N

_k

--- ∂y

⎝ ⎠

⎛ ⎞ A d

∫∫A

∂N

_k

--- ∂x

⎝ ⎠

⎛ ⎞ A d

∫∫A

---

=

(33)

법선방향 각도가 결정되면 , ^{경계부에서의 x, y방향 유량성분}

인 p, q를 법선방향과 접선방향 유량성분으로 변환시킬 수

있다 . Eq. (33) 에 적합한 변환행렬은 다음과 같다 .

(34)

변환행렬 는 의 성질을 가진다 . 따라서 변환행렬

을 이용하여 Eq. (33) 를 변환시키면 다음과 같다 .

(35)

여기서 ∆q

nk

, ∆q

sk

는 각각 법선방향과 접선방향 유량성분의 변화량이다 . Eq. (35) 의 좌변 행렬은 비대칭행렬이지만 , 양변 에 변환행렬을 곱해줌으로써 대칭행렬 형태를 얻을 수 있다 .

(36)

활동 경계 절점에서 Eq. (36) 를 이용하여 좌표 변환된 흐름

에 대한 해를 구한 후에 , 다시 역변환 과정을 통해서 x, y 방향 유량성분 p, q를 얻게 된다 .

4. 모형의 검증 및 적용

전술한 지배방정식과 수치기법을 이용하여 수치모형을 구 축하였으며 , 개발된 흐름모형을 해석해가 존재하는 도수 문 제에 대해서 적용 , 검증하였다 . 또한 자연하천 수로에서 나 타날 수 있는 여러 가지 상황 중에서 , 단면축소 문제와

180

^o

만곡수로 문제를 이용하여 개발된 수치모형의 검증 및 적용성을 살펴보았다 .

4.1 도수

해석해가 존재하는 1 차원 도수문제를 이용하여 본 모형의 검증을 행하였으며 , Katopodes(1984a) 의 1 차원 흐름모형 검 증 문제 중의 하나에 해당한다 . 모의영역은 절점 간격 ∆x = 0.05 m, ∆y =0.05 m 의 1.5 m × 0.2 m 의 직선수로를 설정하였

다 . 계산시간 간격은 0.0072 초이며 , 시간항에 대해서

Crank-Nicolson 기법을 적용시켰다 . 상류단 수심은 1 m 이고 ,

단위 폭 당 유입량은 5 m

²

/s 로써 , 사류조건에 해당한다 . 하류 단의 경계조건으로는 유출량만을 지정하였고 , 측벽의 경계조 건은 활동 경계조건을 설정하였다 . ^{정류상태의 운동량 방정}

식으로부터 하상경사와 하상 마찰을 무시하고 , 수로의 횡단 면으로 수심이나 유속 변화가 없다고 가정하면 , 도수 지점 상부에서의 수심과 Froude 수를 이용하여 도수 지점 하부의 수심을 계산할 수 있다 . 따라서 도수문제를 이용한 모형의 검증 시 하상경사와 하상 마찰력은 무시하였고 , 모의영역 중 앙에 하나의 요소에서 불연속 수심을 보이도록 초기조건을 설정하였다 .

Fig. 2 ^{는 해석해와 더불어} 0.144 ^{초 경과했을 때의} Bubnov-

Galerkin(BG) 기법 결과와 CDG 기법 결과를 보이고 있다 .

이 때 BG 기법은 Eq. (15) 의 상향 계수 (

ω

) 를 0 으로 설정 하여 가중함수와 형상함수가 동일한 형태이고 , CDG 기법에

서는

ω

=0.5 ^{로 설정한 결과이다} . BG ^{기법의 결과는 수치진}

동을 보이고 있는 반면에 CDG 기법은 안정된 해를 보이고

있다 . BG 기법을 적용시켰을 때 이송에 관한 공간변화율 항

∂f

_1k

∂h

_k

--- ∂f

_1k

∂p

_k

--- ∂f

_1k

∂q

_k

---

∂f

_2k

∂h

_k

--- ∂f

_2k

∂p

_k

--- ∂f

_2k

∂q

_k

---

∂f

_3k

∂h

_k

--- ∂f

_3k

∂p

_k

--- ∂f

_3k

∂q

_k

---

h

_k

∆ p

_k

∆ q

_k

⎝ ∆ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞ f

_1k

f

_2k

f

_3k

⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ –

=

T 1 0 0

0 cos

φ

– sin

φ

0 sin

φ

cos

φ

=

T T

^T

= T

^–1

∂f

_1k

∂h

_k

--- ∂f

_1k

∂p

_k

--- ∂f

_1k

∂q

_k

---

∂f

_2k

∂h

_k

--- ∂f

_2k

∂p

_k

--- ∂f

_2k

∂q

_k

---

∂f

_3k

∂h

_k

--- ∂f

_3k

∂p

_k

--- ∂f

_3k

∂q

_k

---

T [ ]

^T

∆h

_k

∆q

_nk

∆q

_sk

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞ f

_1k

f

_2k

f

_3k

⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ –

=

T [ ]

∂f

_1k

∂h

_k

--- ∂f

_1k

∂p

_k

--- ∂f

_1k

∂p

_k

---

∂f

_2k

∂h

_k

--- ∂f

_2k

∂p

_k

--- ∂f

_2k

∂p

_k

---

∂f

_3k

∂h

_k

--- ∂f

_3k

∂p

_k

--- ∂f

_3k

∂p

_k

---

T [ ]

^T

∆h

_k

∆q

_nk

∆q

_sk

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

T [ ]

f

_1k

f

_2k

f

_3k

⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ –

=

Fig. 1 Definition sketch of boundary normal vector

Fig. 2 Comparison of calculated results with analytical

solution of hydraulic jump ( t =0.144 sec.)

은 중앙차분식과 동일한 형태가 되며 , 이러한 중앙차분식을 이용했을 때의 진동문제는 이미 전산유체역학 분야에서 알 려져 있다 . 이송이 우세한 흐름문제에 있어서 이러한 진동문

제는 PG 기법 개발의 배경이 되었으며 , BG 기법 적용에

따른 문제는 Brooks ^와 Hughes(1982), Heinrich ^등 (1977) ^의

문헌을 통해서도 알 수 있다 . Fig. 3 은 상향 계수 변화에

따른 계산결과를 보이고 있다 . 상향 가중행렬은 흐름방향을 기초로 흐름특성에 따라 결정되는 수치적 확산량에 해당하 며 , 상향 계수는 결정된 수치적 확산량의 적용여부 및 그

적용량을 결정한다 . 상향 계수를 0.25 로 설정하였을 때 , Fig.

2 의 계산결과에 비해서 진폭과 범위가 증가함을 보이고 있는

반면에 , 상향 계수를 1.0 이상으로 증가시킴에 따라 확산량

이 증가하여 진폭과 그 범위가 감소하지만 , 도수가 발생하는 지점에서의 수치해가 과소평가되는 결과를 보이고 있으며 ,

상향 계수가 증가함에 따라 즉 확산량을 증가시킴에 따라 과소평가되는 정도가 심해진다 .

ω

=0.5 로 설정한 결과가 도수가 발생하는 지점에서의 수치 해를 비교적 정확하게 나타내고 , 또한 수치진동을 효과적으 로 안정화시킨다고 판단하여 , 이후의 모든 검증사례에서는

ω

=0.5 을 설정하였다 .

4.2 단면축소 수로

단면축소에 따른 정상파 (standing wave) 의 위치와 파고를

예측하기 위해서 본 모형에 의한 계산 결과와 Ippen ^과

Dawson(1951) 의 실험 결과를 비교하였다 . 수로 폭 0.6096 m 의 직선수로는 1.26 m 구간에 걸쳐서 0.3048 m 의 수로 폭 으로 좁아지며 , 결과적으로 6.9

^o

의 축소각도를 나타낸다 . 수 치모의를 위해 수평방향 절점 85 ^개 , ^{수직방향 절점} 11 ^개의

사각형 요소망을 구축하였으며 , Fig. 4 와 같다 . 상류에서 유 입되는 유수특성은 수심 0.03048 m, 유속 2.17932 m/s 이며 ,

Froude 수가 3.99 의 사류조건에 해당한다 . 따라서 상류단 경

계조건으로 단위 폭 당 0.06643 m

²

/s ^{의 유량과} 0.03048 m ^의

수심을 설정하였으며 , 측벽에서는 활동경계조건을 설정하였

다 . 전 구간에 걸쳐 수심 0.03048 m, 수평방향 및 수직방향

의 단위 폭 당 유량 0.06643 m

²

/s, 0.0 m

²

/s 를 초기조건으로 ,

계산시간 간격 0.05 초의 수치모의를 행하였다 .

Fig. 5(a) ^{는 실험에 의한 수면분포이며} Fig. 5(b) ^{는 본 모}

형에 의한 수렴해이다 . 전체적인 모의 결과는 실험 결과와

비교하여 만족할 만하다 . 수심 4.5 cm 와 6.0 cm 의 위치와

분포가 실험과 유사한 결과를 보이고 있다 . 하지만 , 축소부

유입 전의 3.0 cm, 수로 중심축을 기준으로 축소부 상하부에

나타나는 4.5 cm, 축소부 유출부의 6.0, 7.5 cm 분포곡선에 서 차이를 보인다 . 이러한 현상은 천수방정식이 수심에 비해

서 작은 파장을 감지하지 못하기 때문이다 (Ghanem, 1995).

그럼에도 불구하고 CDG 기법을 적용시킨 본 모형은 단면축

소로 인한 흐름특성 변화를 잘 나타내고 있으며 , 해의 수렴 성도 탁월함을 알 수 있다 .

본 모형의 지배 방정식인 천수방정식은 정수압 분포를 가 정하고 있다 . 하지만 전술한 도수문제와 단면축소 수로 모두 수면이 급경사를 보이는 급변류에 해당하며 , 급변하는 구간 내에서는 정수압 분포가 아니다 . 급변 구간에서 에너지 손실 은 급변 구간 상하부의 수심 차이와 밀접한 관련이 있으며 ,

특히 도수의 경우 수심차의 3 제곱에 비례한다 . 이 때 손실 에너지의 대부분은 연직성분 변화로 전환된다 . 하지만 천수 방정식에는 연직 성분 변화에 대한 항이 포함되어 있지 않 기 때문에 , 에너지가 보존된다 . 따라서 급변하는 단파장이 존 재할 경우 , 에너지 보존에 따른 진동이 발생하게 된다 . 그러 므로 단파장에서의 에너지를 소산시키는 수치기법이 적용되

어야 하는데 , 본 모형의 2 차원 CDG 기법이 에너지 소산과

그에 따른 수치 진동의 감쇠를 훌륭하게 수행하고 있음을 보여준다 .

Fig. 3 Effect of the upwinding coefficient on hydraulic jump ( t =0.144 sec.)

Fig. 4 Finite element mesh for Ippen and Dawson's (1951) Experiment

Fig. 5 Water surface elevation (cm) for Ippen and Dawson's

(1951) Experiment

4.3 만곡수로

De Vriend(1976) 는 Delft University of Technology 의

Fluid Mechanics Laboratory of the Civil Engineering

Department 에서 180

^o

만곡수로에서의 일련의 고정상 실험을

수행하였다 . 이 중 하나를 선택하여 본 모형의 만곡수로에서 의 흐름에 대한 모의 능력을 검증하고자 한다 . 실험에 사용

된 조건은 Table 1 과 같다 . 수치모의를 위해서 869 개 절점

과 780 개의 일차원 사각형요소로 구성된 격자를 구성하였다

(Fig. 6). 직선구간에서 ∆x =0.34 m, ∆y =0.17 m 이고 , 만곡부 에서 ∆r =0.17 m, ∆

φ

=4.29

^o

이다 . 여기서 r과

φ

는 원통좌표계 이다 . 흐름조건이 상류에 해당하므로 , 상류단에 유입유량 , 하 류단에 수심을 경계조건으로 설정하였으며 , 측벽은 활동경계 조건을 부여하였다 . 초기조건으로 0.18 m 수심을 설정하였고 ,

유량성분에 대한 초기값은 모두 0.0 으로 설정하였다 . 지형의 기울기가 없는 평평한 수로에서의 고정상 모의에 해당하며 ,

시간항에 대해서 Crank-Nicolson 기법을 적용시켰다 .

Fig. 7 은 본 모형에 의한 모의 영역 전체에 대한 유속분

포와 수면분포를 나타내고 있으며 , Fig. 8 은 Molls 와

Chaudhry(1995) 에 의한 Rozovskii(1957) 실내실험에 대한 예측결과를 나타내고 있다 . Molls 와 Chaudhry(1995) 는 와점 성 계수에 대한 상수모형을 이용하여 유효 응력항을 표현하

였고 , time marching ADI ^{기법을 이용하여 수치해를 구하}

였다 . 이 때 인공적인 점성계수를 ADI 기법에 추가하여 , 공 간 편미분 항의 중앙차분법에 의해 발생되는 수치진동을 감 쇄시켰다 . 본 모형과 Molls 와 Chaudhry(1995) 모형의 예측 결과를 비교해보면 실내실험 조건에 있어서는 차이가 있지 만 , 만곡부 흐름특성 분포에 있어서는 상당한 유사성을 관찰 할 수 있다 . 만곡부 유속분포는 상류와 하류에 걸쳐 거의 대칭적인 분포양상을 보이고 있으며 , 외측제방 쪽 유속에 비 해서 내측제방 쪽의 유속이 큰 양상을 보이고 있다 . ^수면은

만곡 유입부를 지나자마자 외측제방에서 최고 수면고를 보

이고 있으며 , 내측제방 부근에서의 수면고가 외측제방 부근

에 비해서 낮다 . Fig. 9 ^{는 만곡 유입부에서부터 종방향을 따}

라서 일정한 거리에 해당하는 수로 단면에서 종방향 유속에 대한 모의결과와 실험결과를 비교하고 있다 . 만곡부의 90

^o

이하 부분에서는 단면에서의 유속분포가 실험과 유사하지만 , 90

^o

이상에서는 오차가 발생하고 있다 . 특히 120

^o

, 150

^o

단 면의 만곡부 내측과 180 °에서의 유속분포가 큰 오차를 나 타내고 있다 .

만곡수로에서의 주요 흐름특성은 직선수로 보다 더욱 복잡 하며 , ^{이차류의 발생은 만곡부에서 나타나는 특징 중의 하나}

로써 , 횡방향 수면경사에 의한 외력과 원심력 사이의 불균형 관계로부터 유도된다 . 유속은 자유수면과 자유수면 근처에서 가장 크기 때문에 , 원심가속도는 상부에 위치한 유체를 만곡 부의 바깥 제방 쪽으로 이동시킨다 . 연속성을 만족시키기 위

Table 1. Channel and flow parameters

Width

(m) Bend radius

(m) Discharge

(m³/s) Froude Number Chezy coeff.

(m^1/2/s) Flow depth

1.7 4.25 0.19 0.215 57 0.18(m)

Fig. 6 Finite element mesh for De Vriend's (1976) Experiment

Fig. 7 Numerical prediction for De Vriend's(1976) Experiment

해서 하부에 위치한 유체는 안쪽 제방을 향해 이동하다 . 본 모형에서의 흐름모형은 2 차원 천수방정식을 사용하고 있다 .

반면에 실험에서 얻은 유속분포는 흐름에 대한 이차류 효과 를 내포하고 있다 . 따라서 본 흐름모형이 이차류에 의한 효

과를 나타내지 못하고 있기 때문에 , Figs. 7(a) and 9 에서와

같이 만곡부를 따라 내측부에서의 유속이 높은 일정한 양상

을 나타내고 있다 . 이러한 유속분포 결과는 Rozovskii(1957)

의 180

^o

만곡수로 실험에 대해서 이차류의 효과를 고려하지 않은 Molls 와 Chaudhry(1995) 의 모의 결과 (Fig. 8) 와 Ghamry

와 Steffler(2005) 의 수심 적분된 Saint-Venant model 모의 결 과 (Fig. 9) ^{에서도 동일한 양상을 보인다} .

Lien 등 (1999) 은 이차류에 의한 운동량의 횡방향 이송을

위해서 수심적분에 의한 분산 응력항을 운동량 보존방정식 의 유효 응력항에 추가함으로써 , 이차류 효과를 나타냈다 . 그 리고 이러한 이차류 효과와 더불어 비활동 경계조건 보다

활동 경계조건을 적용시켰을 때의 유속분포가 실험에 더욱 가까운 결과를 나타냄을 보였다 . 이차류 효과를 흐름특성에 나타내기 위한 또 다른 방법으로는 운동량에 대한 모멘트 방정식을 추가하는 것이다 (Jin and Steffler, 1993; Ghamry

and Steffler, 2005). 일반적으로 사용하는 수심적분 방정식은

수심방향으로의 유속분포가 중요하지 않을 때 사용하며 , ^정

수압을 가정하지만 , 운동량에 대한 모멘트 방정식을 사용함 으로써 수심방향에 대한 흐름특성 변화를 더욱 세밀하게 나 타낼 수 있게 된다 . Ghamry 와 Steffler(2005) 는 수심적분 방정식만을 사용한 모형과 운동량에 대한 모멘트 방정식을 추가한 모형을 만곡수로에 적용한 후 , 만곡부에서의 정확한 흐름특성을 얻기 위해서는 운동량에 대한 모멘트 방정식 모 형을 사용할 것을 제안한 바 있다 .

5. 결 론

본 연구에서는 천수방정식을 지배방정식으로 하는 유한요

소법의 일종인 2 차원 CDG 기법을 적용시킨 흐름모형을 완

성하고 , 도수문제와 단면축소 수로 , 그리고 180

^o

만곡수로에 적용하여 개발된 모형의 검증 및 천수방정식을 이용한 수치 모형의 적용성에 대해서 알아보고자 하였다 .

1. 도수문제 적용 결과 , 상향 계수 값에 따라 불연속 구간의

Fig. 8 Computed results by Molls and Chaudhry(1995) for Rozovskii's (1957) Experiment

Fig. 9 Longitudinal velocity distribution across the channel for

De Vriend's (1976) Experiment

모의 결과가 영향을 받고 있으며 , 2 차원 CDG 기법의 상향 계수를 0.5 로 설정하였을 때 가장 만족할만한 모의 결과를 나타냈다 . 단면축소 문제의 경우 , 전체적인 정상파 의 분포를 잘 나타내고 있어 실험결과와 비교하여 만족할 만한 결과를 보였다 .

2. 도수나 단면축소 수로와 같이 급변하는 단파장이 존재할

경우 , 에너지 보존에 따른 진동이 발생하므로 단파장에서의 에너지를 소산시키는 수치기법이 적용되어야 한다 . 2 차원

CDG 유한요소모형이 에너지 소산과 그에 따른 수치 진동의 감쇠를 훌륭하게 수행하고 있음을 알 수 있고 , 개수로 2 차 원 흐름해석에서 상류 및 사류뿐만 아니라 모의 구간 영역 내 불규칙한 흐름특성도 탁월하게 해석 가능하다 .

3. 만곡수로에 적용한 모의 결과는 기존 천수방정식을 지배 방정식으로 하는 수치모형의 결과와 유사한 양상을 보였 다 . 만곡부 외측 제방 부근의 수면이 내측 제방 부근의 수면 보다 높고 , 반대로 외측 제방 부근의 유속은 내측 제방 부근의 유속에 비해 작으며 , 만곡부에 걸쳐 대체로 대칭적인 유속분포를 나타냈다 . 하지만 실내 실험 결과는 만곡부의 90

^o

^{이상에서는 내측부의 유속이 점차 감소하고}

외측부의 유속이 증가하여 , 만곡부의 끝단에서는 유속분포 가 역전되는 현상을 보이고 있다 . 이러한 현상은 기존의 천수방정식이 이차류에 의한 운동량의 횡방향 이송을 나 타내지 못하기 때문이다 .

4. 만곡수로에서의 더욱 정확한 흐름특성 모의를 위해서는 수심적분에 의한 분산 응력항을 운동량 보존방정식에 추 가 (Lien et al. , 1999) 하거나 , 운동량에 대한 모멘트 방정 식을 추가 (Jin and Steffler, 1993; Ghamry and Steffler,

2005) 하는 것이다 . 이와 같은 방법의 시도를 통해서 더욱

명확한 만곡부 흐름특성 모의가 가능할 것으로 기대되며 ,

이는 또한 만곡부에서의 오염물의 이송확산 , 유사이송에 의한 하상변동 모의의 기초가 될 것이다 .

감사의 글

본 연구는 건설교통부가 출연하고 한국건설교통기술평가원

에서 위탁시행 한 2003 년도 건설핵심기술연구개발사업 (03

산학연 C01-01) 에 의한 도시홍수재해관리기술연구사업단의 연

구성과입니다 .

참고문헌

한건연

,

^김상호

(2000) Petrov-Galerkin

^{기법에 의한 하천에서의}

이송

-

확산 해석

.

^{대한토목학회논문집}

,

대한토목학회

,

제

20

권 제

2B

호

, pp. 251-259.

한건연

,

박경옥

,

백창현

,

최규현

(2005) SU/PG

기법에 의한

2

차 원 하천 동수역학 해석

.

^{대한토목학회논문집}

,

^{대한토목학회}

,

제

25

^{권 제}

2B

^호

, pp. 89-96.

한건연

,

백창현

,

박경옥

(2004a) SU/PG

기법에 의한 하천흐름의 유한요소해석

-I.

이론 및 수치안정성 해석

.

^{대한토목학회논문}

집

,

^{대한토목학회}

,

^제

24

^{권 제}

3B

^호

, pp. 183-192.

한건연

,

^백창현

,

^박경옥

(2004b) SU/PG

^{기법에 의한 하천흐름의}

유한요소해석

-II.

적용

.

^{대한토목학회논문집}

,

대한토목학회

,

제

24

권 제

3B

호

, pp. 193-199.

한건연

,

이종태

,

박재홍

(1996)

개수로내의 점변 및 급변 부정류

에 대한 유한요소해석

: I.

^{이론 및 수치안정성 해석}

.

^한국수

자원학회논문집

,

한국수자원학회

,

제

29

권 제

4

호

, pp. 167- Akanbi, A.A. (1986) 178. Hydrodynamic modeling of two-dimensional overland flow. Ph.D. dissertation, Department of Civil Engi- neering, University of Michigan, Ann Arbor, MI.

Akanbi, A.A. and Katopodes, N.D. (1988) Model for flood propa- gation on initially dry land. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 114, No. 7, pp. 689-706.

Beam, R.M. and Warming, R.F. (1976) An implicit finite-differ- ence algorithm for hyperbolic systems in conservation-law form. Journal of Computational Physics, Vol. 22, pp. 87-110.

Brooks, A.N. and Hughes, T.J.R. (1982) Streamline-Upwind/

Petrov-Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engi- neering, Vol. 32, pp. 199-259.

Christie, I., Griffiths, D.F., Mitchell, A.R., and Zienkiewicz, O.C.

(1976) Finite element methods for second order differential equations with significant first derivatives. International Journal of Numerical Methods in Engineering, Vol. 10, pp. 1389-1396.

De Vriend, H.J. (1976) A mathematical model of steady flow in curved shallow channels. Report No. 76-1, Communications on Hydraulics, Department of Civil Engineering, Delft Univer- sity of Technology.

Fennema, R.J. and Chaudhry, M.H. (1989) Implicit methods for two-dimensional unsteady free-surface flows. Journal of Hydraulic Research, IAHR, Vol. 27, No. 3, pp. 321-332.

Fennema, R.J. and Chaudhry, M.H. (1990) Explicit methods for 2- D transient free-surface flows. Journal of Hydraulic Engineer- ing, ASCE, Vol. 116, No. 8, pp. 1013-1034.

Ghamry, H.K. and Steffler, P.M. (2005) Two-dimensional depth- averaged modeling of flow in curved open channels. Journal of Hydraulic Research, IAHR, Vol. 43, No. 1, pp. 44-55.

Ghanem, A.H.M. (1995). Two-dimensional finite element modeling of flow in aquatic habitats. Ph.D. dissertation, University of Alberta, Edmonton, Alberta.

Heinrich, J.C., Hyuakorn, P.S., Zienkiewicz, O.C., and Mitchell, A.R. (1977) An 'upwind' finite element scheme for two-dimen- sional convective transport equation. International Journal of Numerical Methods in Engineering, Vol. 11, pp. 134-143.

Hicks, F.E. and Steffler, P.M. (1992) Characteristic Dissipative Galerkin scheme for open-channel flow. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 118, No. 2, pp. 337-352.

Hicks, F.E. and Steffler, P.M. (1994) Comparison of finite element methods for the St. Venant equations. International Journal of Numerical Methods in Fluids, Vol. 20, pp. 99-113.

Hoger, A. and Carlson, D.E. (1984) Determination of the stretch and rotation in the polar decomposition of the deformation gra- dient. Quarterly of Applied Mathematics, Vol. 42, No. 1, pp.

113-117.

Hughes, T.J.R. and Mallet, M. (1986a) A new finite element formu- lation for computational fluid dynamics: III. The generalized streamline operator for multidimensional advective-diffusive systems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engi- neering, Vol. 58, No. 3, pp. 305-328.

Hughes, T.J.R. and Mallet, M. (1986b) A new finite element formu- lation for computational fluid dynamics: IV. A discontinuity- capturing operator for multidimensional advective-diffusive sys- tems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineer- ing, Vol. 58, No. 3, pp. 329-336.

Ippen, A.T. and Dawson, J.H. (1951) Design of channel contrac- tions. Transactions of the American Society of Civil Engineers, Vol. 116, pp. 326-346.

Jin, Y.C. and Steffler, P.M. (1993) Predicting flow in curved open