A Study on the Numerical Simulation Method of Two-dimensional Incompressible Fluid Flows using ISPH Method

ISPH법을 이용한 2차원 비압축성 유체 유동의 수치시뮬레이션 기법 연구

김철호¹․ 이영길^2,†․ 정광열¹

인하대학교 대학원 조선해양공학과¹

인하대학교 기계공학부 조선해양공학전공²

A Study on the Numerical Simulation Method of Two-dimensional Incompressible Fluid Flows using ISPH Method

Cheol-Ho Kim

․ Young-Gill Lee

․ Kwang-Leol Jeong

Dept. of Naval Architecture and Ocean Engineering, Graduate School, Inha University

Dept. of Naval Architecture and Ocean Engineering, Inha University

Abstract

In SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics) method, the fluid has been assumed that it is weakly compressible to solve the basic equations composed of Navier-Stokes equations and continuity equation. That leads to some drawbacks such as non-physical pressure fluctuations and a restriction as like small time steps in computation. In this study, to improve these problems we assume that the fluid is incompressible and the velocity-pressure coupling problem is solved by a projection method(that is, by ISPH method). The two-dimensional computation results of dam breaking and gravitational wave generation are respectively compared with the results of finite volume method and analytical method to confirm the accuracy of the present numerical computation technique. And, the agreements are comparatively acceptable. Subsequently, the green water simulations of a two-dimensional fixed barge are carried out to inspect the possibility of practical application to ship hydrodynamics, those correspond to one of the violent free surface motions with impact loads. The agreement between the experimental data and the present computational results is also comparatively good.

Keywords : Incompressible Smoothed Particle Hydrodynamics(ISPH), Two-dimensional fluid flow(2차원 유체유동), Pressure distribution(압 력분포), Free surface(자유표면), Gravitational wave(중력파)

1. 서 론

SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)법은 연속적인 유체 를 많은 수의 입자들에 의한 집합으로 근사시킴으로써, 별도의 격자를 생성하지 않고 유동장을 해석하는 라그랑지안 (Lagrangian) 방법들 중의 하나로, 다음과 같은 장점들을 가지고 있다. 첫째, 격자 생성의 복잡한 작업이 불필요하며, 경계면이 크 게 변화하는 문제에도 쉽게 적용할 수 있다. 둘째, 비선형 자유수 면 유동의 수치시뮬레이션에 있어서, 격자를 이용한 해석방법에 비하여 보다 복잡한 형상의 물리현상에 유리하다. 마지막으로, 지배 방정식인 Navier-Stokes(N-S) 방정식의 대류항이 입자의 이동으로 직접 계산되기 때문에 대류항에서 발생하는 수치확산이 발생하지 않는다(Wit, 2006)

위와 같은 이유로, 최근 유럽을 중심으로 SPH법을 이용하여 격렬한 자유수면 운동과 유체-고체 연성 해석에 관한 연구가 활 발히 진행되고 있다. 그러나 SPH법은 비 물리적인 압력변동

(Pressure fluctuation)이 발생하고 그로인하여 유동장이 불안정 해지는 문제들이 지적되고 있다(Hwang et al., 2010). 이러한 압 력변동 현상은 유동 뿐 아니라 유체-구조연성 해석 중 구조물에 부자연스러운 거동을 유발하게 된다. 정도 높은 수치해석을 위해 서는 이러한 압력변동의 안정화가 시급한 실정이다.

SPH법에서 발생하는 비 물리적인 압력변동은 상태방정식을 이용하여 압력을 계산하기 때문에 발생한다. 이러한 압력변동 현 상을 개선하기 위하여, Kim et al.(2007)은 SPH법 해석에 영향을 미치는 해석 인자들에 대한 민감도 해석을 통해 개선 방안을 제 안하였다. 한편, 이러한 현상을 개선하기 위하여 Shao and Lo(2003)와 Ataie-Ashtiani and Shobeyri(2008) 등은 비압축성 유체에 대하여 비압축성 유체로의 가정을 만족시키면서 압력장을 계산하는 기법을 제안하였다. 즉, SPH법과 같은 방법으로 유체 입자의 밀도를 구하고, 속도-압력 연성문제를 풀기 위하여 Projection method를 이용하였으며, 압력은 예측단계(Prediction step)에서 얻어진 유체 입자의 보조 밀도를 이용하여 압력 포아

송 방정식(Pressure Poisson equation)의 해를 구하였다. 이 때 비압축성 유체로의 가정을 만족시키기 위하여, 유체 입자의 밀도 를 보정하는 방법(Shao and Lo, 2003)에서는 상호작용영역 안의 주위 입자의 개수를 이용하여 유체 입자의 밀도를 보정한다. 그 러나 이러한 방법은 급격하게 유동이 변화할 경우, 유체의 밀도 를 일정하게 유지하는데 어려움이 있어 비압축성 유체라는 가정 을 만족시키지 못하는 경우가 발생할 수 있다(Lee, 2007). 한편, Cummins and Rudman (1999)와 Lee(2007) 등은 유체 입자의 밀도를 일정하다고 가정하고, 비압축성 유체로의 가정을 만족시 키기 위하여 속도장의 무발산(Divergence-free velocity field) 조 건을 이용하였다. 속도-압력 연성문제는 Projection method를 이 용하여 계산하였고, 예측단계에서 얻어진 유체 입자의 보조 속도 를 이용하여 압력 포아송 방정식을 계산하였다. 본 연구에서도 비압축성 유체라는 가정을 항상 만족시키기 위하여, 유체 입자의 밀도를 일정하다고 가정하는 방법을 이용하여 연구를 수행하였으 며, 이러한 방법으로 비압축성 유체유동 문제를 시뮬레이션 하는 방법을 ISPH (Incompressible Smoothed Particle Hydrodynamics) 법이라 한다.

ISPH법의 계산정도 및 그 활용성을 판단하기 위하여, 댐 붕괴 수치계산 결과를 SPH법의 계산결과, 그리고 자유수면 해석법의 일종인 VOF(Volume Of Fluid)을 이용하는 상용 유동해석 프로그 램인 FLUENT의 계산결과와 비교하였다. 또한, 수치 조파기를 이 용하여 생성한 중력파와 2차 Stokes 파 이론의 파형과 압력분포 를 비교하였다. 더 실제적인 문제에 적용 가능성을 파악하기 위 하여 고정된 2차원 바지에서 발생하는 갑판침입수 현상을 시뮬레 이션 하였다. 시뮬레이션 결과는 공개된 실험 결과(Greco, 2001) 와 비교되었다.

2. 수치기법

2.1 분포함수와 공간구배의 이산화

SPH법은 위치에서의 물리량의 분포함수 를 주위 유동

′위치에서의 물리량의 분포함수 





   





 ′  ′′

⁽¹⁾

∇ ∙   





∇ ∙  ′  ′′

⁽²⁾

위 식들에서 는 입자간 상호작용 영역을 나타내고,



내용은 Lee(2007)에서 찾아볼 수 있다.

분포함수 와 그 공간구배 ∇·를 유한개의 입자로 이 산화 하면 식(3), 식 (4)와 같다.

 

_





_



_

 

_

_ ⁽³⁾

∇ ∙  

_





_



_

 

_

_

_ ⁽⁴⁾

식 (3), 식 (4)의   는 각 입자의 위치를, 그리고 _와 _는 입자 의 질량과 밀도를 각각 나타낸다.







∇

_

_

_



_

_



_



_

(5)

위 식의 _는 입자 와  사이의 거리이고 _ _는 입자 와 

의 위치를 나타낸다. 분포함수와 공간구배의 이산화 방법에 대한 자세한 내용은 Lee(2007)에서 찾아볼 수 있다.

2.2 경계조건

SPH법에서 완전한 유동장 내에서의 임의의 유체 입자







Fig. 1 Truncation of the kernel function near wall

이러한 문제를 보완하기 위하여, SPH법에서는 그림자 입자들 (Ghost particles)을 사용하였다(Fig. 2). 즉, 물체경계 근처에서 이웃 유체 입자들의 위치가 입자간의 상호작용 반경에 들어오면, 물체경계 입자들을 기준으로 그 유체 입자들과 동일한 밀도 및 압력을 가지고 속도는 서로 반대 방향인 그림자 입자를 배치하였 다. 그림자 입자들은 물체경계 입자와 물체경계 주변 유체입자들 의 이웃입자로 사용되어 물체경계 입자들의 수직한 방향의 속도 성분 및 평행한 방향의 속도성분 모두를 0으로 정의하게 된다.

한편, SPH법에서 자유수면 경계조건의 경우, 자유수면 입자를

따로 정의하지 않고, 입자의 밀도를 이용하여 압력을 계산하고, 속도는 완전한 유동장 내의 입자와 같은 방법으로 계산한다.

Fig. 2 Definition sketch for body boundary condition using ghost particles

이에 반하여, ISPH법에서는 자유수면 부근에서 Fig. 3과 같이 완전한 유동장의 유체 입자보다 이웃하는 입자의 개수가 적어짐 을 이용하여, 입자의 위치벡터의 발산(Lee, 2007)이 1.3이하가 되는 입자를 자유수면 입자로 결정하고, 이 때 자유수면 입자의 압력을 0으로 정의하여 자유수면 경계조건을 만족시켰다.

Fig. 3 Distribution of fluid particles at free surface boundary

2.3 SPH법

SPH법의 알고리즘과 수치기법은 참고문헌 Kim et al.(2010)에 서 자세한 내용을 볼 수 있다. 본 논문에서는 SPH법에서 입자의 압력을 얻기 위하여 사용되는 상태방정식(식 (6))에 대해서만 간

략하게 언급한다.

유체역학 분야에서 일반적으로 물과 같은 액체를 비압축성 유 체로 가정하여 계산하나, SPH법에서는 약간의 압축성이 있는 유 체로 가정하여 계산한다. Cleary and Monaghan(1999)은 인공 압축성(Artificial compressibility)이라는 개념을 적용하여 입자 

의 압력을 상태방정식으로부터 계산하였다(식 (6)).



_



_

^

 





_

 ^

 ⁽⁶⁾

위 식에서

  











 ≈ 



SPH법을 이용하여 폭 0.2m, 높이 0.06m의 천정이 열린 상자 에서 발생하는 댐 붕괴 현상을 수치시뮬레이션 하였다. 초기 물 기둥의 폭과 높이는 0.057m이다. 초기 입자간 간격은 0.001m이 고 시간 간격은 0.0001초이다.

Fig. 4는 SPH법을 이용하여 댐 붕괴 시뮬레이션을 수행한 계 산결과의 압력분포이다. 댐의 붕괴가 진행되면서 유동장의 압력 분포는 정압에 의하여 자유수면의 형상에 지배적인 영향을 받으 면서 분포해야 한다. 그러나 SPH법을 이용한 댐 붕괴의 수치시 뮬레이션 결과를 보면(Time = 0.04sec ~ 0.14sec), 압력분포가 자유수면의 형상에 관계성이 없는 압력분포를 보이고 있다. 또한 자유수면 부근에 존재하는 유체 입자의 압력 값은 0(pa)에 가까 워야 하지만, Fig. 4의 0.10초부터 0.14초의 그림에 보이듯이 자 유수면 바로 밑에 위치하는 유체 입자의 압력 값이 0(pa)이 아닌 600(pa) 이상의 압력 값을 가지는 것을 확인할 수 있다. 이러한 현상은 유체 입자의 압력을 계산함에 있어서, 상태방정식(식 (6)) 을 이용하기 때문에 유체입자 밀도의 작은 오차에 의하여 이러한 압력변동 현상이 발생하는 것으로 여겨진다.

Fig. 4 Dam breaking simulation using SPH method

2.4 ISPH법

SPH법에서 발생하는 압력변동 현상을 개선하고 동시에 계산 시간의 단축을 위하여, 유체를 완전 비압축성으로 가정하는 경 우, projection method를 이용하여 속도와 압력을 연성문제로 한 압력의 포아송 방정식을 풀어서 압력을 계산하였다. ISPH법은 유체를 비압축성으로 가정하기 때문에 비압축성의 연속방정식(

식 (7))과 N-S 방정식(Naiver-Stokes equations) (식 (8))만을 지 배방정식으로 사용한다.

∇ ∙  

⁽⁷⁾





 

∇  ∇

^

⁽⁸⁾

식 (7), 식 (8)의 ^, , , , ^



∆



^



^

 ∇

^



^

⁽⁹⁾

∆



^{  }



^

 

∇

^{   (10)}

위 첨자   은 각각 반복계산에 있어서 현 단계와 다음 단계를 나타내며, ∆는 시간간격이고, ^^는 보정속도(auxiliary velocity)이다. 보정속도 ^^는 점성항과 외력항으로만 계산되기 때문에 무발산(divergence free) 조건을 만족하지 않지만, 비압축 성 유체라는 가정에 의해

^ 



∇

^

^{  }

 ∇ ∙



^ (11)

예측단계(식 (9))에서 점성항의 라플라시안(Laplacian) 연산자

∇^를 직접 차분근사하는 경우, 계산 결과가 입자의 배치에 따라 민감하게 변하기 때문에 Cleary and Monaghan(1999)은 식 (12) 와 같이 근사식을 제안하였다.

∇

^

_







_

 

_ ^

^



_

_

∇

_

_ ⁽¹²⁾

본 연구에서는 식 (12)를 이용하여 식 (9)를 차분근사하였고, 이를 보정속도

^ 



_ ^



_ ^





 ^{ }

^

^{ }

^



_

_

∇

_

_







⁽¹³⁾

위 식의 ^_ _ _, ^_ _ _이고, ^_ _는 각각 유체입 자 의 속도와 위치를 나타낸다.   _ 는 두 입자사이의 거리가 0이 될 때 발생할 수 있는 특이성을 방지하기 위해 사 용되며, _ _ _이다. 그리고 식 (13)에서 계산된 ^_^를 이 용하여 압력 포아송 방정식의 ∇∙

_^는 식 (14)와 같이 나타낼 수 있다.

∇ ∙



_ ^









_



_ ^

_

_ ⁽¹⁴⁾

여기서 ^_^

_^

_^이다. 압력 포아송 방정식의 라플라시안 연산자 ∇^ 역시 점성항과 같은 이유로, 직접 차분근사하지 않고 근사 라플라시안 연산자를 사용하였다(Cummins and Rudman, 1999). 본 연구에서 이용한 근사 라플라시안 연산자는 식 (15)와 같다.



∇

^

_ ^{  }

^









_

_ ^

^



_

_

_

_

(15)

여기서 _ _ _이고, 식 (11)에 식 (14)와 식 (15)를 대입한 후, 알고리즘 Unpreconditioned Bi-CGSTAB(Van Der Vorst, 1992)을 이용하여 압력구배를 계산하게 된다. 다 음 시간단계에서의 속도를 계산하기 위한 수정단계 식(10) 에 식 (4)를 적용하여 차분근사하면 식 (16)과 같다. 계산된 압력을 식 (16)에 대입하여 다음 시간 단계의 속도를 구할 수 있다.



_ ^{  }



_ ^

 ^ 



_ 

^{   }

^

^{   }

^ 

^

^ 

⁽¹⁶⁾

마지막으로, 유체 입자는 식 (17)과 같이 번째 단계의 속도 와   번째 단계의 속도를 이용하여 새로운 위치로 이동한다.



^{  }



^



^



^{  } 

∆

⁽¹⁷⁾

작성된 ISPH법에 따른 계산에 있어서 압력변동 현상의 개선을 확인하기 위하여, 2.3절의 댐 붕괴와 동일한 조건에서 수치시뮬 레이션을 수행하였다. 수치 계산의 안정성에 따른 계산시간 단축

을 위하여 시간간격은 SPH법의 10배인 0.001초로 계산하였다.

Fig. 5는 ISPH법을 이용한 댐 붕괴 시뮬레이션의 결과로, 각 시간단계에 따른 압력분포를 나타낸다. Fig. 4와 비교하여, SPH

법에서 발생하는 비 물리적 현상으로 보이는 압력분포와 자유수면 바로 밑에 존재하는 유체입자의 압력 값이 개선되었음을 볼 수 있 다. 또한 계산시간은 SPH법에 비하여 약 20%정도 단축되었다.

Fig. 5 Dam breaking simulation using ISPH method

3. 수치계산

3.1 댐 붕괴(Dam breaking) 3.1.1 계산 조건

ISPH의 정도를 검증하기 위하여 좀 더 큰 물기둥의 댐 붕괴 현상을 시뮬레이션 하였다. Fig. 6은 댐 붕괴에 대한 계산 영역 을 보여준다. 댐 붕괴 수치계산은 SPH법, ISPH법, 그리고 상용 유동해석 프로그램인 FLUENT(FVM을 사용)를 이용하여 시뮬레 이션 되었으며, 각각의 계산결과들은 서로 비교되었다. 각 방법 의 수치계산 조건은 Table 1와 Table 2에 나타내었다.

Fig. 6 Schematic of the computational domain for dam breaking

Table 1 Computational conditions of the SPH and ISPH method for dam breaking

SPH ISPH

Fluid particles 120 * 60

Boundary particles 723

Initial particle distance 0.01m Kernel Function Piecewise cubic spline Smoothing length 1.3 * 0.01 m

Time step 0.00005 sec 0.0001 sec

Table 2 Computational conditions of the commercial program FLUENT(FVM) for dam breaking

Governing equations N-S equations, continuity equation

Numerical method FVM

Convection term First order upwind Free surface definition VOF

Turbulence model Realizable k-epsilon Pressure-velocity coupling SIMPLE

Time interval 0.004sec

3.1.2 계산 결과

세 가지 수치기법의 압력분포결과를 Fig. 7에 비교하였다.

초기 반대편 벽에 물이 부딪치기 전까지 ISPH와 SPH, FLUENT 에 의한 자유수면 거동은 모두 유사하다. 하지만 SPH의 경우 압 력에 있어서 불연속적인 분포를 보인다. 물이 벽을 타고 올라가 내려오면서 발생되는 jet 형상의 경우, ISPH와 FLUENT에 의한

결과는 서로 유사하지만 SPH는 다른 모습을 보이고 있다. Jet가 수면과 만나고 다시 튀어 오르는 부분의 압력 분포를 보면, SPH 에 의한 결과의 경우 큰 압력과 작은 압력이 무질서하게 섞여 있 는 것을 볼 수 있다. 그러나 ISPH와 FLUENT에 의한 결과는 국 부적으로만 큰 압력이 발생하는 것을 볼 수 있다. 이를 통하여 SPH법에서 발생하는 압력변동이 ISPH법에서 개선되었음을 확인 할 수 있다.

Fig. 7 Comparison of dam breaking simulation results by using the SPH, ISPH method, and the commercial program FLUENT

3.2 중력파 생성(Gravitational wave generation)

ISPH법을 이용하여 수치시뮬레이션 된 중력파의 정도를 확인 하고, 그 활용 가능성을 확인하기 위해, SPH법과 ISPH법을 이용 하여 수치 조파기에 의해 생성되는 중력파를 수치시뮬레이션 하 였고, 그 결과를 2차 Stokes 파도 이론에 따른 결과와 비교하였 다.

3.2.1 계산조건

Fig. 8은 중력파를 시뮬레이션하기 위한 계산영역을 보여준다.

SPH법과 ISPH법을 이용하여 파장 0.4m, 파고 0.02m 인 중력파 를 생성하였다. 2차원 피스톤 타입의 조파기를 이용하여 중력파 를 생성하였으며, 피스톤의 운동은 Hughes(1993)의 방법을 따랐 다(식(18)).



_

_

   



^



^

cosh

 

_





(18)

식 (18)의 

_

^







Fig. 8 Schematic of computational domain for gravitational wave simulation

3.2.2 계산 결과

SPH법과 ISPH법을 이용하여 생성한 중력파는, 각각 Fig. 9 과 Fig. 10에서와 같이 조파기에 의한 국부적인 유동의 영향을 받지 않는 위치(조파기로부터 약 3파장 정도 떨어진 위치)에서 2 차 Stokes 파도의 파형, 수심에 따른 압력분포와 비교하였다.

SPH법의 경우, 생성된 중력파의 파형은 2차 Stokes 파도의 파형과 유사하게 나타나지만, 부분적으로 비 물리적 현상의 압력 변동이 나타나는 것을 Fig. 9에서 볼 수 있다. 그러나 중력파의 경우는 댐 붕괴에 비하여 유체 입자의 밀도변화량이 작기 때문에 압력변동이 그리 크지 않게 나타나는 것을 볼 수 있다. ISPH법으 로부터 생성된 중력파의 압력장을 SPH법을 이용하여 생성된 그 것과 비교하여, 부분적으로 나타나던 압력변동 현상이 개선되었

음을 Fig. 10과 Fig. 9를 비교하여 확인 할 수 있다. 또한 ISPH 법을 이용하여 생성된 중력파는 2차 Stokes 파도 이론의 파형과 수심에 따른 압력분포를 서로 비교하여, 이론적인 값과 정량적, 정성적으로 유사함을 알 수 있다(Fig. 10).

SPH법, ISPH법의 수치계산결과를 2차 Stokes 파도 이론을 기준으로 RMSE(Root Mean Square Error)를 조사하였다. 생성 된 중력파가 2차 Stokes 파도의 파형과 일치하는 지점을 고려하 여, SPH법의 경우, 조파기로부터 1.2m 떨어진 지점에서 수행하 였고, ISPH법의 경우, 조파기로부터 1.5m 떨어진 지점에서 수행 하였다. SPH법의 RMSE 값은 95.08(Pa)이고, ISPH법의 RMSE 값은 45.87(Pa)로, ISPH법은 SPH법에 비하여 그 정도가 약 2 배 정도 향상되었음을 알 수 있다.

2차 Stokes 파도 이론에 의한 속도벡터와 ISPH법을 이용하여 생성한 중력파의 속도벡터를 서로 비교하여(Fig. 11), 그 특성들 이 유사함을 확인하였다. 또한 생성된 중력파의 수심에 따른 유 체 입자의 운동궤적이 원에 가까우며, 수심이 깊을수록 그 반경 이 감소하는 것을 Fig. 12에서 볼 수 있으며, 이는 Stokes 파도 이론을 잘 따르는 것으로 판단된다.

Fig. 9 Comparison of the wave profiles and pressure distributions for the Stokes 2nd-order wave and the wave computed by SPH method (



 = 0.02m )

Fig. 10 Comparison of the wave profiles and pressure distributions for the Stokes 2nd-order wave and the wave computed by ISPH method (



 = 0.02m )

Fig. 11 Comparison of velocity vectors between the wave computed by ISPH method and the Stokes 2nd-order wave (



Fig. 12 Orbital motions of fluid particles along the water depth

3.3 갑판침입수(Green water) 3.3.1 계산 조건

ISPH법의 공학문제로의 적용 가능성을 확인하기 위해, 고정된 2차원 바지에 대한 갑판침입수의 수치시뮬레이션을 수행하였다.

유입파의 파장은 2m, 파고는 0.16m 이고, 바지의 형상은 Fig.

13과 같다. 고정된 바지에 대하여 수직벽이 없는 경우와 있는 경 우에 대하여 갑판침입수를 수치시뮬레이션 하였다.

갑판 위로 넘친 물의 높이는 선수로부터 0.0395m 떨어진 지점 (wl-1), wl-1로부터 0.075m 떨어진 지점(wl-2), wl-2로부터 0.075m 떨어진 지점(wl-3)에서 측정하였고, 수직 벽의 압력은 갑판으로부터 0.012m 떨어진 높이(pr-1)에서 계측하였다. 사용 된 유체입자의 크기는 직경이 0.01m 이고, 그 개수는 72,592개 이다. 또한 수직 벽이 있는 경우, 입자의 크기에 따른 영향을 알 아보기 위해, 본 연구에서 사용한 컴파일러에서 지원되는 최대 입자의 개수(12만개)와 계산시간을 고려하여 입자의 크기를 0.008m로 줄이고, 계산영역을 수정하여 조파기로부터 5m 떨어

진 부분까지만 취한 수치계산도 수행하였다. 이 경우 계산에 사 용된 유체입자의 개수는 78,620개이고, 갑판침입수의 수위와 수 직 벽에 작용하는 압력은 동일한 위치에서 측정하였다.

Fig. 13 Schematic of computational domain for the numerical simulation of green water on the fixed barge

3.3.2 계산 결과

Fig. 14는 수직 벽이 없는 바지의 수치계산결과와 실험결과 (Greco, 2001)를 비교한 그림이다. 갑판 위로 물이 넘쳐 들어오 기 시작할 때 자유수면 형상이 실험결과와 약간의 차이가 있지 만, 갑판 위로 넘친 물의 진행과정은 전체적으로 실험결과와 유 사한 경향을 보이고 있다. 이러한 차이는 바지에 의하여 반사되 는 파도의 영향이 실험과 계산에서 서로 다르기 때문인 것으로 여겨진다.

계산을 통해 얻은 수직 벽이 있는 바지의 갑판침입수 수위와 수직 벽에서의 압력을 Fig. 15와 Fig. 16에서 실험과 비교하였 다. 입자 크기 0.01m와 입자 크기 0.008m의 경우에 따른 갑판 상 수위를 실험과 비교하면, 측정위치들(wl-1, wl-2, wl-3)에서 수위가 상승하는 경우에 입자의 크기에 상관없이 실험과 유사한 것을 Fig. 15에서 볼 수 있다. 하지만 측정 위치의 수위가 감소 하는 경우에는 계산결과와 실험결과에 차이가 나타나는 것을 볼 수 있다. 이러한 차이는 입자가 큰 경우에 더 크게 나타난다. 특 히, 실험에서는 갑판 상의 물이 완전히 빠져나가지만, 계산에서 는 입자의 크기만큼 갑판위에 물이 남아 있게 된다. 입자의 크기 가 작을수록 얇은 물을 정도 높게 표현하는 것은 당연한 것이지 만, 갑판위로 넘친 물의 수위는, 특히 수위가 낮아지는 경우, 입 자의 크기가 작을수록 실험결과와 근접한 결과를 얻음을 확인하 였다. 그러나 갑판 위에 유체 입자가 남는 것은 입자의 크기에 의한 영향보다는 물체 경계조건에 의한 영향이 더 클 것이다.

수직 벽에서 측정한 압력 최고점의 시점과 전체적인 경향은 실험결과와 유사하지만, 압력 최고점의 값에는 차이가 있다(Fig.

16). 이는 갑판 위로 넘친 유체입자의 크기와 갑판 상에 남아있 는 유체입자의 영향으로 보인다. 격자법에서 격자크기가 수치계 산의 정도에 영향을 주는 것과 마찬가지로, 입자법의 경우에도 입자의 크기에 따른 영향을 받게 된다. 입자 크기 0.01m와 입자 크기 0.008m의 계산결과를 비교하면, 입자의 크기가 작은 경우 압력 값이 실험결과와 좀 더 가까워지는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 14 Comparison of water shipping phenomena on deck without vertical wall between the results of ISPH method and the experimental results(Greco, 2001)

Fig. 15 Comparison of the water levels measured at wl-1, wl-2 and wl-3 between the results of ISPH method and the experimental results(Greco, 2001)

Fig. 16 Comparison of the pressure evolutions measured at pr-1 between the results of ISPH method depending on particle size and the experimental results(Greco, 2001)

4. 결 론

본 연구에서는 SPH법에서 발생하는 압력변동 현상을 개선하 기 위하여 ISPH법을 도입하였으며, 이를 이용하여 비선형성이 강한 자유수면 유동과 유체의 충격하중을 동반하는 현상들에 적

용하여 보았다. ISPH법에 의한 계산 결과와 SPH법에 의한 계산 결과를 비교하여, 물체경계 또는 자유수면 경계 근처에서 나타나 는 비 물리적 압력분포가 개선되었음을 보였다.

ISPH법의 정도 향상을 확인하기 위하여, ISPH법과 SPH법을 이용한 댐 붕괴 현상의 시뮬레이션 결과를 비교하였으며, 또한 유한체적법의 계산 결과와도 비교하였다. SPH법에 비하여 ISPH 법에서 압력변동이 작은 것을 확인하였으며, SPH법에 비하여 ISPH법의 파형이 유한체적법을 이용한 FLUENT에 의한 그것과 더 근접함을 알 수 있었다. 또한, SPH법과 ISPH법을 이용하여 2 차원 중력파를 수치적으로 생성하고, 그 결과를 2차 Stokes 파도 이론의 해석적인 결과와 비교하였다. 각각의 비교 결과로부터 정 량적, 정성적으로 서로 근접하는 결과들을 나타내고 있음을 확인 하였다. 실제문제에 적용가능성을 확인하기 위하여 2차원 바지의 갑판침입수를 시뮬레이션 하였고, 그 결과를 기존의 실험 결과와 비교하였다. 그리고 입자의 크기가 계산의 정도에 영향을 주는 것을 확인하였다. 수위가 상승하는 경우 입자크기의 영향이 작지 만, 수위가 내려가는 경우 입자크기의 영향이 상대적으로 큼을 알 수 있었다.

본 연구에서 개발된 ISPH법은 여러 예제들에 대한 계산을 통 하여 앞으로 보다 더 개선 발전된다면, 실질적인 2차원 유동문제 에의 적용이 가능할 것으로 판단되며, 향후 입자 크기의 영향을 줄일 수 있는 방법과 물체경계를 정의하는 방법에 대한 개선이 필요할 것이다.

후 기

이 논문은 2008년도 정부(교육과학기술부)의 재원으로 한국과학 재단의 지원을 받아 수행된 연구임 (No. R01-2008-000-20531-0).

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