Optimized Flowing Charateristics for Effective Lifting of Deep Ocean Manganese Nodules

심해저 망간단괴의 효율적 양광을 위한 최적화 전산유동특성 연구

윤치호¹⁾* · 신희영¹⁾· 김인기²⁾

Optimized Flowing Charateristics for Effective Lifting of Deep Ocean Manganese Nodules

Chi Ho Yoon

, Hee Young Shin and In Kee Kim

Abstract : Several nations around the world have been concentrating on a survey of another energy resources for exhausting fossil fuel which those are concerned for essential resources necessary for manufacturing hi-tech products. In the present time, these hi-tech and aerospace industrial products are being manufactured aggressively focusing on poly-metallic contents such as Mn, Fe, Co, Ni, Cu, Mo, Li, and etc., which are all contained within the manganese nodules. Today, the highly soaring of gold price is continuously instigating the price of manganese nodules. In order to lift the manganese nodules from the deep seabed, it is necessarily important to steadily check the stable buoyancy state of manganese nodules by following the flow attraction of seawater causing the velocity difference between seawater and nodules. Therefore, it is planned and executed to develop and collect the deep ocean manganese nodules and sooner or later, the actual system will be hopefully operated in deep-sea bed depth for optimized lifting potency of the nodules.

Key words : Manganese nodules, Optimizing lifting, Slip velocity, Deep-sea bed

요 약 : 화석연료의 고갈로 인해 대체할 여타 에너지원을 찾기 위한 세계의 여러 국가들은 지구의 자원고갈에 대비한 주요 관심을 갖는 데에 집중해 왔다. 국제적 최첨단 산업의 완성제품에 필수요소로 부속되는 주요 금속은 세계 강대국의 공격적으로 확보해야 할 필수 자원으로 대두되고 있다. 이러한 최첨단 산업 및 우주개발산업에 필수적 부품요소 금속으로 그 중요성이 부각되는 시점에, 심해저에 분포하는 망간단괴의 금속성분이 Mn, Fe, Cu, Co, Ni, Mo, Li 등을 함유하고 있어 개발의 중요성은 최근 금 가치의 폭등과 더불어 주요 금속가의 급격한 상승에 따라 더욱 대두되고 있는 실정이다. 따라서 심해저 망간단괴의 개발 및 채광은 시급한 실정이고 국내에서 도 장기개발계획을 시행중에 있고 조만간 고수심 실해역 개발에 착수할 예정이다. 심해저 고수심 양광을 통한 단괴의 수송시, 중요하게 고려해야 할 부분은 해수로 가득찬 양광관내에 초기운전가동시에 해수를 따라 단괴의 안정적 상승여부가 필수적이다. 따라서 금번연구에서는 최적의 유송력으로 단괴의 안정적인 상승여부를 전산실 험하여 최소의 적절한 양광 포텐스 특성들을 분석하여 장래에 고수심 실해역에 실가동시 불안정한 문제를 예측 할 수 있도록 하였다.

주요어 : 망간단괴, 최적화 양광, 해수와 단괴간 속도차, 심해저

2013년 4월 1일 접수, 2013년 5월 30일 심사완료 2013년 6월 13일 게재확정

1) 한국지질자원연구원 광물자원연구본부 2) (주) 지오플로우서비스

*Corresponding Author(윤치호) E-mail; [email protected]

Address; Korea Institute of Geoscience & Mineral Resources, Gwahang-no 124, Yuseong-gu, Daejeon 305-350, Korea

ISSN 2288-2790(Online) http://dx.doi.org/10.12972/ksmer.2013.50.3.368

서 론

심해저 망간단괴의 파이프를 통한 양광방식에는 고압

력의 공기를 관내부에 주입하여 관내부의 슬러리 밀도를 관외부의 해수의 밀도보다 작게하여 양관관내 해수가 상 승하면서 단괴입자가 부유상승하는 방식이 있다. 반면 에, 공기를 주입하지 않고 고압력의 양광관의 최하부에 부착한 수력펌프를 이용해 양광관내 수력펌프 상부지점 에 형성한 고압력과 하부지점에 형성한 진공에 가까운 최저압력으로 양광관 외부압력과의 압력차를 극대화시 켜 양광관 외부의 심해저 해수가 양광관으로 급격히 유 입-상승함에 따라 단괴의 부상이 일어나는 방식이 있다.

금번 연구에서는 이미 경제적, 기술적으로 판명된 후자 인 고-액 2상유동의 수력양광방식(Yoon et al., 1998)을 연구논문

Fig. 1. Schematic view of hydraulic pumping system for lifting of deep-sea bed manganese nodules.

채택하였다. 수력양광 방식에서 해수면이하 고수심에서 양광관을 통해 단괴입자가 해수를 따라 안정적으로 부유 할 수 있는 주요 요소들을 살펴보면, 기계적인 요소로는 양광관의 직경, 펌프의 토출압력과 주변 환경요소로 수 심과 단괴의 크기에 따른 해수와 단괴의 속도차, 버퍼에 서 해저펌프내로 유입하는 단괴입자의 일정 조절 체적비 가 있다(Yoon et al., 1995). 이러한 요소를 적용하여 여 러 사례연구에 따라 심해저 수력양광 방식을 이용하기 위한 최적의 결과를 도출하고자 하였다. 특히 해수심 1,000m에서 최적의 펌프의 기기압력에 따라 양광 효율 성을 수치적으로 분석하였다.

응 용

이전 전산모델은 30m급 양정의 수력펌핑 양광실험을 위한 개략적 모델(Yoon et al., 1999)을 기반으로 실제 심해역 환경에 적용할 수 있도록 이론을 개선하였다. 여 기에 우선적으로 계산할 매개변수로는 단괴입자의 관내 체적 점유비, 슬러리 속도이며, 이를 이용하여 두번째로 얻어지는 치환 매개변수는 해수의 속도, 단괴의 속도 그 리고 관내 절대압력으로서 정수두압력, 유동압력과 마찰 압력의 총합으로 정의 한다.

실해역 수력양광계통이 운용되는 양상은 최초 양광관 내부에 가하는 해수의 압력과 양광관 외부에 해수의 압 력이 평형을 이룬 후, 초기에 펌프 출력으로 펌프지점 상 부는 고압력이 형성되고 그 지점 하부는 진공에 가까운 기기 압력이 발생하여 펌프지점 하부의 해수가 펌프내를 통과하면서 펌프 상부의 양광관을 통해 상승하게 된다.

이때 최초의 평형은 붕괴되고 해수 상승에 따라 단괴의 추가 상승이 발생된다. 이때 단괴의 상승은 해수의 속도 에 따라 추격하게 되며, 슬러리에 급속한 가속력이 가해 져야 안정적으로 단괴의 부상이 유지된다. 이러한 개념 의 물리적 운동방정식은 양광관내에서 유체가 유동하는 데 필요한 운동량에 관한 것으로, 양광관 시스템내에서 단위체적당 운동량 변화율은 단위체적내에서 운동량 교 환율과 시스템에 작용하는 총 힘으로 표현된다. 이것은 정지하고 있는 물질을 움직이는데 필요한 가속력으로 묘 사되는 간단한 개념이다. 이전 연구(Kim et al., 1998, 1999)를 기반으로 진행된 고수심 실해역에 개량된 전산 모델을 적용하여 보다 안정적인 결과를 도출하는 데에 집중하였다. 또한 양광관 하부 입구로 유입하는 해수와 단괴의 슬러리의 질량유속과 해상에서의 양광관 출구로 부터 토출되는 슬러리의 질량유속은 동일한 “유동계의 질 량보존법칙”을 개념화한 연속방정식을 채택하였다. Fig. 1 은 심해저 수력펌핑양광계통을 도식화 한 그림이다.

전산실험을 위해 위에서 언급한 매개변수인 단괴의 체 적점유비와 슬러리 속도를 포함한 연속방정식과 운동방 정식을 전개· 유도하며 이에 대한 해법을 부록에 명확히 정리하였다.

전산실험

실험자료

심해저 망간단괴 양광수력펌핑 전산실험은 육상에서 실시한 30 m 심도와 달리 고려할 사항은 고수심에 위치 한 양광관 펌프의 압력 크기와 시간이다. 따라서 최초 운 전시 고수심에서는 양광시간이 더욱 연장되어 가속 또한 연장되어야 한다. 이때 해수와 단괴입자의 유동초기에 가속으로 이루어져 해수의 상승유속 한계에 도달해야 한 다. 해수의 임계유속, 즉 단괴입자의 임계 추격유속을 유 지할 수 있어야 하며 해저펌프의 출력압력을 여러 단계 의 사례연구를 통해 최적의 펌프 출력압력과 슬러리 토 출량을 도출하여 펌프동력의 운동량을 분석한다.

금번 연구에서 양광관의 직경을 30 cm로 설정한 이유 는 과거 연구결과를 토대로 슬러리 유동 마찰이 양광에 큰 영향을 주어 그 직경 이하는 해수의 적절한 유속을 유 지하기 힘들어 단괴입자의 추격이 약하거나 지체되기 때 문이다. 따라서 직경 30 cm에서는 어느 정도 슬러리의

Table 1. Basic input information for modeling

Pipe diameter 30.0 [cm]

Density of manganese nodule 2,100 [kg/m³] Density of sea water 1,050 [kg/m³] Ratio of diameter of pipe and nodules 0.15 [fraction]

Size of nodules 4.5 [cm]

Table 2. Slip velocity of Mn nodules due to size and volume fraction

Vol. fraction at inlet pipe

Particle size, cm 2.0 4.0 4.5 5.0 6.0 8.0 0.05 0.81 1.15 1.22 1.28 1.41 1.62 0.10 0.86 1.21 1.28 1.36 1.49 1.71 0.15 0.91 1.28 1.36 1.44 1.58 1.81 0.20 0.96 1.36 1.45 1.53 1.68 1.93

(a)

(b) 유동이 이루어지면서 양광관 내벽간 마찰력이 크게 발

생하지 않아 관내유체의 가속이 시작될 때는 항력을 어 느정도 형성시키지만 이후 양광관 토출이 시작된다면 즉시 단괴의 안정적 추격 유동이 이루어진다(Yoon et al., 1998). Table 1은 전산실험에 사용한 기본적 입력자 료이다.

실해역 단괴개발을 위하여 전산실험 해수심을 1,000 m로 정하였고, 이때 각 해수심별 해저의 버퍼시스템, 즉 해저 단괴채광기와 연결된 유연관의 상부지점에서의 양 광 조절장치에서 펌프로 유입되는 단괴입자의 체적점유 비를 0.1로 설정하여 실해역에서 실제 가동시와 동일한 사례로 현실화하였으며 과거 축소모형연구에서도 최적 의 점유비였다.

Table 2는 단괴입자의 크기와 양광관 입구에서의 체적 점유비에 따른 해수와 단괴의 속도차 즉 미끄럼 속도 (slip velocity, m/s)를 단괴의 체적점유비와 단괴의 크기 에 따라 도출한 것이다(Govier and Aziz, 1972). 단괴의 크기 4.5 cm와 체적점유비 0.1은 금번실험에 설정한 값 이다. 이는 이전 연구(Yoon et al., 1998)에서 최적의 단 괴의 크기 한계에 따른 부유성을 고려한 것이다. 단괴입 자의 크기변화는 슬러리의 밀도에 무관하며, 양광관내에 마찰계수에 크게 영향을 주지 않고 펌프의 토출압력에 큰 영향을 주지 않지만, 반면에 단괴의 침강속도(Govier and Aziz, 1972)에 따른 해수의 속도와 단괴의 추격속도 간에 속도차이가 발생하기 때문에 실질적인 단괴의 토출 질량은 영향을 받게 된다.

결 과

적정 펌프압 설정을 위한 실험테스트

금번 연구에서 해수심 1,000 m, 단괴 체적점유비 0.1 로 설정, 양광관내 망간단괴 안정적 양광을 위한 최적의 펌프출력 압력을 도출하였다. Fig. 2 (a)-(d)는 출력압력 이 각각 50, 55, 57, 60 bar 일 때 운전경과 시간에 따른 질량유속 변화를 나타낸다. 출력압력이 50 bar인 (a)에서 처음 400초까지는 토출부까지 망간이 유송되다가 이후 질량유속 변동이 크게 발생하여 500초 이후 작동을 멈 췄다. 이것은 50 bar로는 망간유송에 필요한 충분한 출 력이 되지 못함을 알 수 있다. 출력압력 55 bar인 (b)에

(c)

(d)

Fig. 2. (a) Mass flowrate at inlet and outlet pipe due to flowing time in discharged each pump pressure of 50 bar.

(b) Mass flowrate at inlet and outlet pipe due to flowing time in discharged each pump pressure of 55 bar. (c) Mass flowrate at inlet and outlet pipe due to flowing time in discharged each pump pressure. (d) Mass flowrate at inlet and outlet pipe due to flowing time in discharged each pump pressure of 60 bar.

Fig. 3. Effective production unit due to pump gage pressure.

서는 600초까지 토출부로 망간이 유동하는 것으로 보이 지만 토출부에서 질량유속 변동이 지속적으로 나타나 불 안한 상태로 망간이 요동치면서 토출부로 추격되는 것으 로 유추할 수 있다. 한편 57 bar인 (c)와 60 bar인 (d)는 토출부에서 질량유속 변동이 250초 이후부터 매우 안정

적으로 나타나 망간유송이 원활히 이루어짐을 알 수 있 었다. 따라서 수심 1,000 m, 체적점유비 0.1에서 최소압 력 57 bar이상이어야 망간단괴의 유송이 안정적임을 확 인할 수 있다. Fig. 3은 펌프압력에 따른 유효 생산량, 즉 소요출력 당 운송가능 단괴질량을 도출한 것이다. 55 bar에서 100 bar로 펌프압력이 증가할수록 유효생산량 은 감소한다. Fig. 2 (c)에 해당하는 57 bar의 유효생산량 은 78.88 kg/kwh로 Fig. 2 (d)인 60 bar의 75.53 kg/kwh 보다 4.4%의 효율성이 상승하므로 종합적인 판단 시 57 bar가 유효함을 알 수 있다. 유효생산율을 고려한 것은 심해저 망간단괴의 생산에서 생산성을 중시하여 현재에 도 그 가치에 대한 경제성이 충분한지를 검토하기 때문 에 장시간의 고용량 전력 사용량을 중시하였다.

펌프압력에서의 실험

적정 펌프압력으로 설정된 57 bar에서의 흡입부와 토 출부에서의 속도, 단괴 체적점유비를 살펴보았다. Fig. 4 의 토출부에 망간이 토출시작 후 처음 100초 까지는 6.8 m/s의 유속을 보인 후 5.9 m/s에서 안정화 후 변동이 없 었다. 이때 속도는 단괴와 해수가 동시에 유동하는 슬러 리 속도이며, 해수만의 속도는 5.78 m/s이며 미끄럼속도 1.28 m/s를 감안하면 단괴만의 추격속도는 4.50 m/s이 다. 양광관내 망간의 초기 유동시 출구부 유속은 이미 충 진된 양광관내 해수의 대기압으로의 토출상태이며 이때 유속이 흡입부의 유속보다 급속히 증가함을 알 수 있다.

또한 Fig. 5에서 단괴의 체적점유비는 토출부에서 초 기값을 유지, 55초 후 급속히 증가한 후 75초에 토출부 의 망간 점유비가 0.1에 근접해 졌으며, 250초 후 점유

Fig. 4. Velocity at inlet and outlet pipe due to flowing time in discharged pump pressure of 57 bar.

Fig. 5. Volume fraction at inlet and outlet pipe due to flowing time in discharged pump pressure of 57 bar.

Fig. 6. Transition of volume fraction of Mn nodules depending on operating time in lifting pipe in depth of 1000 m.

Fig. 7. Measurable pressure in pipe flow.

Table 3. Summarized results in depth of 1000 m

Parameter Value

[Specification]

Depth of pipe line 1000.00 m Volume fraction of Mn nodules

flowing into inlet pipe 0.10 Size of Mn nodules 4.50 cm [Output]

Discharged pump pressure to safely

lift Mn nodules 57.00 bar

Slip velocity 1.28 m/s

Slurry velocity 5.66 m/s Trace velocity of Mn nodues 4.50 m/s Volumetric flow rate of slurry 0.40 m³/s Mass flow rate of Mn nodules 4007.13 kg/min

Pump power 3039.42 kw

Effective unit production 79.15 kg/kwh

Pressure head 503.1 m

Pressure head gradient 0.50 m/m 비 0.1로 안정적인 정상상태유동에 돌입함을 알 수 있다.

양광관 각 격자에서 시간에 따른 망간점유비를 살펴보 면, 유동 10초 후에 흡입부의 46.9 m 지점 31번 격자에 서 가장 높은 점유비를 보여 유동속도가 4.6 m/s이고, 30 초, 50초 후 가장 높은 점유비는 각각 23번 격자(흡입부 로부터 296.9 m 지점), 13번 격자(흡입부에서 609.4 m 지점)로 유동속도 10.06 m/s, 11.8 m/s이다. 100초 후에 는 모든 격자에서 0.08이상의 체적점유비를 나타내며 불 안정 유동을 진행하며, 200초 후에는 전 구간에서 0.1에 도달하면서 정상상태 유동함을 확인할 수 있다(Fig. 6).

실제로 망간단괴 추격속도인 4.5 m/s로 볼 때 토출부까 지 망간의 안정적인 유동을 위해서는 대략 222초 정도 소요된다. 이는 양광관 시스템이 운전가동 후 가속유동 시간이 222초 정도이며 그 후 안정화 됨을 의미한다.

Fig. 7은 해수심 1000 m에 부착한 펌프의 압력 57 bar 로 토출하였을 때 양광관의 여러 심도에서 관측 가능한 압력을 도출하였다. 심도마다 초기 시간대에 펄스가 보

이며 어느 기간후 안정화 양상을 보이고 펌프의 최하부 흡입부에서 68 bar 이상의 순간 펄스 후 200초 이후 안

정됨을 알 수 있다.

Table 3은 해수심 1000 m, 양광관 지름 30 cm, 망간 단괴의 크기 4.5 cm, 체적 점유비 0.1로 양광할 때 결과 를 제시하였다. 펌프의 적정압력은 57 bar, 슬러리의 유 량 0.40 m³/s일 때 펌프의 정격출력은 3039.42 kw이며 분당 토출량은 약 4톤이다.

결과로 양광관 직경 30 cm, 해수심 1000 m, 단괴점유 비 0.1, 단괴크기 4.5 cm에서 단괴의 안정적 유속에 소 요되는 최적의 펌프 토출압력은 57 bar임을 확인하였다.

결 론

이번 연구의 전산실험을 통해 다음과 같은 결론을 얻 었다.

1. 단괴의 양광관 점유비가 0.1일 때 해수와 단괴가 최 소한 안정적인 즉 최적의 토출을 위해서 필요한 적정 토출압력은 해수 정수두의 약 1/2정도로 계상된다.

2. 단괴의 크기에 비해 단괴의 점유비 증가가 양광펌 프의 토출압력을 급격히 증가시킨다. 이것은 동일 한 단괴 점유비하에서 단괴의 크기변화는 마찰력 증가에 미미한 영향을 끼치는 것으로 나타난다.

3. 양광수심이 증가할수록 전력소비당 단괴의 토출량 은 급격히 감소함으로 가능한 고수심중 낮은 저부 에서 단괴의 양광이 경제성을 증대 시킬 것으로 예 상된다.

4. 전산결과 임의의 해수심에서 안정적인 단괴의 양광 에 소요되는 펌프의 최적 토출 압력을 도출을 가능 케 하였다.

추후 실해역에서 펌프의 흡입부 이하에서 해수유속에 따른 단괴의 크기별 유송 가능여부에 대한 현지실험이 필요하다.

Nomenclature

 = volume fraction, fraction

_ = frictional force of mixture fluid added on grid cell volume, ^

 = fanning friction coefficient, fraction

 = gravitational acceleration, ^

_ = Jacobian element

 = pressure, ^ or 

_ = residual function of FDCE

_ = residual function of FDME

 = velocity, 

 = difference time, 

 = size of grid cell,  Greek letters

 = convergence error

 = density, ^

 = difference density between Mn nodule and seawater density, ^

Subcripts

 = liquid phase

 = mixture phase with solid-liquid

 = solid phase

 = superficial solid

 = superficial liquid W = pump

사 사

본 연구는 해양수산부 해양과학기술연구개발사업의 연구과제인 “심해저 광물자원 양광시스템 개발 연구”의 일환으로 수행되었으며, 이에 감사드립니다.

References

Govier, G. W. and Aziz, K., 1972, The Flow of Complex Mixtures in Pipes, Van Nostrand Reinhold Co.: New York Press, p. 792.

Kim, I.K., Yoon, C.H., Kwon, K.S. and Sung, W.M., 1998,

“Intellection of Transport Mechanism of Multi-Mixtures in the Vertical Pipe by Air Lifting System for Deep Sea Manganese Nodules,” Geosystem Engineering, Vol. 1, No.

1, pp. 1-6.

Kim, I.K., Yoon, C.H., Huh, D.G., Kang, S.S. and Sung, W.M., 1999, “Effect of Unsteady State Flow for Solid-Water Slurry Transportation on Horizontal Piping System,” J. of the Korean Society of Mineral and Energy Resources Engineers, Vol. 36, No. 3, pp. 195-205.

Yoon, C.H., Kwon, K.S. and Kim, I.K., 1995, A Research on Development of the Lifting Technology for Deep-sea Manganese Nodules, Ministry of Science and Technology, KR-95-(T)-12, p. 87.

Yoon, C.H., Kim, I.K., Kwon, K.S. and Kwon, O.K., 1998,

“The Numerical Analysis of Particle Flow Patterns in Pipe for Hydraulic Pumping System in Deep-sea Manganese

Nodules,” J. of the Korean Society of Mineral and Energy Resources Engineers, Vo1. 35, No. 2, pp. 157-164.

Yoon, C.H., Kim, I.K., Kwon, K.S. and Kwon, O.K., 1999,

“Analysis of Unsteady State Flow Mechanism in Pipe for Hydraulic Pumping System in Deep-Sea Manganese Nodules,” J. of the Korean Society of Mineral and Energy Resources Engineers, Vol. 36, No. 1, pp. 33-41.

부 록

지배방정식



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 __   (A.1)

_ _ ___  _ _ (A.2)

_____  __ (A.3)

 ^ _ ^(A.4)

식 (A.2)~(A.4)를 포함하여 연속방정식은 식 (A.1)에 서 식 (A.5)로, 운동방정식은 식 (A.6)에서 식 (A.7)로 정돈된다.



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

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



 

(A.7)

유한차분

는 로 치환, 압력차분 (i+1)-(i)는 양의 값 을 가지므로 순방향 차분하고, 속도차분 (i+1)-(i-1)은 음 의 값을 가지므로 역방향 차분한다. 식 (A.5)와 식 (A.7) 을 중앙격자방식(central difference scheme)으로 차분하 면 각각 다음과 같다.

_{ } _{ }^{  }_{ }^   _{ }^{  }_{   }^{  }_{   }^{  }

  _{ }^{  } __{   }^{  } _{   }^{  } 

(A.8)

_{ } _{ }^{  } __{ }^{  }_{ }^   _{ }^{  }_{ }^{  }_{ }^

 _{ }^{  }_{ }^{  } __{   }^{  } _{   }^{  } 

 _{ }^{  }^ 

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  _{ }^ _{ }^   _{ }_{   }

(A.9)

식 (A.9)에서 압력차분_

_

은 펌프동력으로부 터 발생하는 양광관 격자간 기기압력(gauge pressure) 차를 의미하고 _은 고-액 혼합유체와 양광관벽 간의 단위체적당 마찰력이다(Govier and Aziz, 1972). 식 (A.8)과 식 (A.9)는 각각 연속 차분식과 운동 차분식에 대한 잔존함수(residual function)이다.

매개변수의 해법

잔존함수로부터 매개변수 _와 _ 해를 얻기 위해 식 (A.10)의 뉴톤반복법을 이용한다(Kim et al., 1999).











J_{i j}

k









E_S

i

v_M

i

k  











R_C

i

R_M

i

k

(A.10)

- _

의 _^{  }에 대한 자코비안 요소

⦁ _{   }^{  }

_{ }

   _{ }^{  } (A.11a)

⦁ _{ }^{  }

_{ }

   _{   }^{  } _{   }^{  } 

 ^{  }      _{   }^{  } 

(A.11b)

⦁ _{   }^{  }

_{ }

  _{ }^{  } (A.11c)

- _

의 _^{  }에 대한 자코비안 요소

⦁ _{   }^{  }

_{ }

  _{ }^{  } _ (A.12a)

⦁ _{ }^{  }

_{ }

  ^     _{   }^{  } ^(A.12b)

⦁ _{   }^{  }

_{ }

   _{ }^{  } _ (A.12c)

- _

의 _^{  }에 대한 자코비안 요소

⦁ _{   }^{  }

_{ }

  _{ }^{  }^    ^(A.13a)

⦁ _{ }^{  }

_{ }

 _{ }^{  }_{ }^   _{ }^{  }

 _{ }^{  }_{   }^{  } _{   }^{  } 

 _{ }^{  }_{ }^   _{ }^{  }

×_{   }^{  } _{   }^{  } 

(A.13b)

⦁ _{   }^{  }

_{ }

 _{ }^{  }^    ^(A.13c)

- _

의 _^{  }에 대한 자코비안 요소

⦁ _{   }^{  }

_{ }

 _{ }^{  }_{ }^{  } _ (A.14a)

⦁ _{ }^{  }

_{ }

 _{ }^{  } _  _{ }^{  }_{ }^

  _{ }^{  } __{   }^{  } _{   }^{  } 

 _{ }^{  }_{   }^{  } _{   }^{  }

(A.14b)

⦁ _{   }^{  }

_{ }

  _{ }^{  }_{ }^{  } _ (A.14c)

- 초기조건

Fig. A. Schematic view of grid cell.

⦁_{ }    

⦁_

    

- 경계조건

⦁parameter _{  }, _

 : given at inlet pipe

⦁parameter _

 : given at outlet pipe

⦁unknown parameters : _

, _

, _

⦁explicit solution at outlet : _ __

⦁implicit solution at outlet and inlet : _

, _



양광관의 입구에서 단괴의 체적점유비와 펌프의 압력 을 설정하고 슬러리속도를 음적해(implicit solution)로 계산한다. 양광관의 선상토출구에서는 기기압력을 0으 로 설정하여 체적점유비를 양적해(explicit solution)로 계산하며, 반면에 슬러리속도를 음적해로 계산한다.

⦁양광관의 입구에서 슬러리속도: _



식 (A.8)과 식 (A.9)의 중앙차분방식을 후진차분방식 (backward difference scheme)으로 정리하고 i를 m+1로 치환하면 각각 식 (A.15), 식 (A.16)과 같다. 이때 양광 관의 입구부에서 전체 잔존함수는 식 (A.17)과 같다.

_{ }  _{  }^{  } _{ }^    _{  }^{  } _{  }^{  } _{ }^{  }

  _{  }^{  }  __{  }^{  } _{ }^{  }

(A.15)

_

  _{   }^{  }  __{   }^{  } _{   }^ 

 _{   }^{  } _{   }^{  } _{   }^ 

 _{   }^{  } _{   }^{  }  __{   }^{  } _{ }^{  }

 _{   }^{  } ^      ^      _{ }^{  }

 _{   }^  _{ }



   _{  }_

(A.16)

_{  }_



  _

_

 (A.17)

식 (A.17)의 _{  }^{  } 에 대한 자코비안 요소는 다음과 같다.

_{   }^{  }

_{  }

 _{   }^{  } _{   }^ 

  _{   }^{  } _{   }^{  } _{ }^{  }

  _{   }^{  }  __{   }^{  } _{ }^{  }

 _{   }^{  } _{   }^   _{   }^{  }  _

 _{   }^{   }_{   }^{   }_{ }^{  }

  _{   }^{  }  __{   }^{  } _{ }^{  }

  _{   }^{  }  __{   }^{  }

(A.18)

⦁양광관의 출구에서 슬러리속도: _



잔존함수 식 (A.8)과 식 (A.9)의 중앙차분방식을 전진 차분방식(forward difference scheme)으로 정리하고 i를 0으로 치환하면 각각 식 (A.19), 식 (A.20)과 같다. 이때 양광관 출구에서 전체 잔존함수는 식 (A.21)과 같다.

_{ }  _{ }^{  }_{ }^   _{ }^{  }_{ }^{  }_{ }^{  }

  _{ }^{  } __{ }^{  }_{ }^{  }

(A.19)

_{ } _{ }^{  } __{ }^{  }_{ }^   _{ }^{  }_{ }^{  }_{ }^ 

 _{ }^{  }_{ }^{  } __{ }^{  }_{ }^{  }

 _{ }^{  }^   ^   _{ }^{  }

 _{ }^  _{  }^   __

(A.20)

__{ }^{  }_{ }_{ } (A.21)

식 (A.21)의 _^{  }에 대한 자코비안 요소는 다음과 같다.

_{ }^{  }

_

 _{ }^{  }_{ }^   _{ }^{  }_{ }^{  }_{ }^{  }

  _{ }^{  } __{ }^{  } _{ }^{  }

 _{ }^{  } _  _{ }^{  }_{ }^ 

 _{ }^{  } __{ }^{  }_{ }^{  }

 _{ }^{  } __{ }^{  } _{ }

(A.22)

윤 치 호

1982년 한양대학교 자원공학과 학사 1988년 한양대학교 자원공학과 석사 1995년 한양대학교 자원공학과 박사

현재 한국지질자원연구원 책임연구원 (E-mail; [email protected])

김 인 기

1980년 한양대학교 자원공학과 학사 1987년 한양대학교 자원공학과 석사 1995년 한양대학교 자원공학과 박사

현재 (주)지오플로우서비스 대표이사 (E-mail; [email protected])

신 희 영

1982년 한양대학교 자원공학과 공학사 1985년 한양대학교 자원공학과 공학석사 2000년 한양대학교 자원공학과 공학박사

현재 한국지질자원연구원 광물자원연구본부 책임연구원 (E-mail; [email protected])

⦁경계면에서 해 도출

뉴톤반복법에서 자코비안을 다음과 같이 설정한다.

_{  }

_{   }^{  }

_{  }

(A.23a)

_{  }

_{ }^{  }

_

(A.23b)

    (A.23c)

이로부터 뉴톤행렬식을 다음과 같이 설정하여 경계면 에서 속도해를 도출한다.



 

 

^

^{   }

_{ }



^{   }

^{  }

_



^{ (A.24)} _{  }^{ }  _{  }^  _{  }^{ }

^{ }_{ }  _{ }^  _{ }^{ }

(A.25)









식 (A.24)를 반복수행하여 식 (A.25)로 갱신한 후 식 (A.26)의 요건이 충족되면 경계면에서 해가 도출되고 충 족되지 못하면 식 (A.24) 수준으로 회귀반복 수렴케 한다.