Å+ s Ǎ Ò Å• ¤ U • ¤õ u §  ºX N ˶  £ • ¤ Æ k Ó À W ¥ Y 8 Äy ¢ ° n Þ À W ¥ 5 2² Ž ù± Ž { ¢] k ù

Ž ì

Å+ s Ǎ Ò Å• ¤ U • ¤õ u §  ºX N ˶  £ • ¤ Æ k Ó À W ¥ Y 8 Äy ¢ ° n Þ À W ¥ 5 2² Ž ù± Ž { ¢] k ù



™ »g ` @® £

ô

 Dz D G “ §" é ¶ @ /† < Ɠ § Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ õ , Ø  æ· ¡ ¤ 363-791

L |a : @ª £ ^∗

"

î t @ /† < Ɠ § ~ ½ Ó3 l q l œ í“ §¹ ¢ ¤ @ /† < Æ, 6   x“   449-728 (2006¸   5 Z 4 2{ 9  ~ à Î6 £ §)

s

 ƒ  ½ ¨\ " f  H z  ´] j 4 Ÿ ¤ ¸ ú š> \ " f ˜ Ð# Œt   H  € ª œô  Ç ƒ    ‚  à º t à º ° ú כ`  ¦ ° ú   H ' ‘ • ¸ \ O   H W 1à Ô0 >ß ¼[ þ t

` 

¦ [ O " î l  0 Aô  Ç $ í  © œ — ¸+ þ A`  ¦ ] jr ô  Ç . s  — ¸+ þ A\ " f  H W 1à Ô0 >ß ¼_  $ í  © œ`  ¦ ì ø Í% ò   H ½ ©g Ë :Ü ¼– Ð" f B  r

ç ß – D h– Ðî  r ” ¸× ¼[ þ t õ  ƒ    ‚  [ þ t s  W 1à Ô0 >ß ¼\  Æ Ò  ) a  . Æ Ò÷ &  H D h– Ðî  r ƒ    ‚  [ þ t“ É r D h– Ðî  r ” ¸× ¼ ü

< l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s  ÷  r  m   l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s \ " f• ¸ + þ A$ í ÷ & 9 s  ¿ º 7 á x À Ó_  D h– Ðî  r ƒ    ‚   à º[ þ t _

 q   H B > h  à º f\  _ K  › ¸& ñ  ) a  . D h– Ðî  r ” ¸× ¼ü < l ” > r ” ¸× ¼\  ¦ ƒ       H  â Ä º  H ƒ    ‚  à º ´ ú §“ É r

”

¸× ¼[ þ t s   8 ´ ú §s  ƒ    ÷ &  H ‚    ñ& h  ƒ     ~ ½ ÓZ O \     s À Ò# Qt “ ¦, l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s _  ƒ    “ É r ‚    ñ& h 

ƒ

    ~ ½ ÓZ O õ  s Ö  © ƒ     ~ ½ ÓZ O s  B > h  à º p\     ‚  × þ ˜ ) a  . # Œl " f s Ö  © ƒ     ~ ½ ÓZ O s   † < ʓ É r ô  Ç ” ¸

×

¼_  s Ö  © ô  Ç ” ¸× ¼[ þ t  s \  ¦ ƒ       H  כ `  ¦ ´ ú ˜ô  Ç . s  — ¸+ þ A W 1à Ô0 >ß ¼\  @ /ô  Ç ¾ º& h  ƒ    ‚  à º ì  r Ÿ í† < Êà º

\

 ¦ B > h  à º f ü < p_   € ª œô  Ç ° ú כ[ þ t \  @ /K  ( Ž É Ó'  — ¸_ r Ð 3 x Ü ¼– Ð 8 £ ¤& ñ K  ‘ : r   õ  ƒ    ‚  à º t à º_  ° ú כ s

 B > h  à º ° ú כ[ þ t \     z  ´] j-[ j © œ W 1à Ô0 >ß ¼\ " f% ƒ! 3  2\ " f 3  s _  ° ú כ`  ¦ ° ú   H  כ `  ¦ S X ‰ “   % i  .

PACS numbers: 89.75.Fb, 89.75.Hc, 89.20.-a

Keywords: 4 Ÿ ¤ ¸ ú š> , ' ‘ • ¸-\ O   H W 1à Ô0 >ß ¼, $ í  © œ W 1à Ô0 >ß ¼ — ¸+ þ A

I. " e  ] Ø

4

Ÿ

¤ ¸ ú š>  W 1à Ô0 >ß ¼\  @ /ô  Ç ƒ  ½ ¨  H _ " t – З ¸” ¸á Ôü < A Ÿ íŸ í à

Ô [1], \ Ø Ô÷ &Û ¼ü < Y Um  [2] 1 p x _  Á º Œ •0 A Õ ªA á Ô s  : r (Random Graph Theory) \ " f r  Œ •÷ &% 3  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .

Õ

ª Q
 4 Ÿ ¤ ¸ ú š>  W 1à Ô0 >ß ¼_  ƒ  ½ ¨ þ j   H [ þ t # Q ´ ú §“ É r › ' a d ” 

`

 ¦ Ô  ¦  Q{ 9 Ü ¼v  9   r& h , Ò q tÓ ü t † < Æ& h , l Õ ü t& h , & ñ ˜ Ð& h  > – Ð



€ ª œ >  S X ‰ í ß –  ) a  כ “ É r [3–11]   r† < Æ  x 9 Õ ªÏ þ ›_  # Œ$ Á é

ß –>  ì  r o  (Six degrees of separation) [12]\  ‚ à Ìî ß –ô  Ç a % v

“

É r- [ j © œ (small-world) W 1à Ô0 >ß ¼ [13]ü < “  '  Å W 1à Ô0 >ß ¼ [14],  Z 4× ¼-ü <s × ¼-R / Û [15] _  ' ‘ • ¸-\ O   H (scale-free) W 1à Ô 0

>ß ¼ [16] ƒ  ½ ¨\ " f q 2 Ÿ © ÷ &% 3  . W 1à Ô0 >ß ¼  H =  Gf ± & h /” ¸

×

¼ (vertices/nodes)   ÒØ Ô  H & h [ þ t õ  Õ ª[ þ t  s \  ¦ ƒ     



 H ƒ    ‚  /— ¸" fo /  ñ (links/edges/arcs)   ÒØ Ô  H ‚  [ þ t

–

Ð s À Ò# Q”   ½ ¨› ¸Ó ü t s  . \ V\  ¦ [ þ t # Q, ô  Ç   r\  ¦ ½ ¨$ í   H



| à Ð[ þ t`  ¦ ” ¸× ¼– Ð “ ¦, " f– Ð    H  | à Ð[ þ t  s \  ƒ    ‚  

`

 ¦ Õ ªÜ ¼€   • 2 ;ì  r W 1à Ô0 >ß ¼ (Acquaintance Network) ë ß – [

þ

t # Q”   .  Z 4× ¼-ü <s × ¼-R / ۓ É r y Œ •y Œ •_  R / Û ` …s t [ þ t s  ” ¸× ¼

∗

E-mail: [email protected]

s

“ ¦ Õ ª[ þ t  s _  s (  a Aß ¼  H ƒ    ‚  “   W 1à Ô0 >ß ¼s 



.

s

 Qô  Ç þ j   H _  ƒ  ½ ¨   õ  î  r X <  © œ < É ª p – Ðî  r : £ ¤f ç

“ É

r # Œ Q z  ´] j-[ j © œ (real-world) W 1à Ô0 >ß ¼[ þ t s  / B N: Ÿ x ÷ &  H

½

¨› ¸& h  : £ ¤$ í [ þ t`  ¦ ° ú   H    H  כ s  . €  $  a % v“ É r- [ j © œ ´ òõ  (small-world effect) – Ð Ô  ¦ o   H $ í | 9 “ É r ” ¸× ¼[ þ t  s _  þ j é

ß –  ⠖ Ð  o  (shortest path length) „  ^ ‰ ” ¸× ¼[ þ t s  ] j

"

Á @ /– Ð ƒ    ÷ &# Q e ” `  ¦ M :_  ° ú כ\  q K  \ V © œ ü @– Ð Â ú ª 



 H  כ s  . 7 £ ¤ ” ¸× ¼[ þ t  s _  ¨ î ç  H þ jé ß –  ⠖ Ð U  ´s  Ls  W

1à Ô0 >ß ¼_  ß ¼l  N\  @ /K  – ÐÕ ª † < Êà º& h Ü ¼– Ð 7 £ x    H (L ∼ ln N ) : £ ¤$ í `  ¦ ° ú   H  . # Œl " f ¨ î ç  H þ jé ß –  ⠖ Ð U  ´ s

  H L =

P

i6=jdij

N (N −1)

– Ð & ñ _    H € ª œs  . d

^ij

  H ” ¸× ¼ i\ 

"

f ” ¸× ¼ j\  s Ø Ô  H þ jé ß –  ⠖ Ð U  ´s , 7 £ ¤ ” ¸× ¼ i\ " f ” ¸× ¼ j – Ð   H X <  5 g    H þ j™ è ƒ    ‚  _  Ì  à º\  ¦ _ p  ô

 Ç . s  כ “ É r · ú ¡\ " f ´ ú ˜ô  Ç ‘# Œ$ Á é ß –>  ì  r o ’ [13]\  ¦ & ñ | ¾ Ó

&

h Ü ¼– Ð ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H  כ { 9  ÷  r  m   ‘\ Ø Ô÷ &Û ¼ à º (Erdo”s numbers)’ [17], ‘ Z …s †  à º (Bacon Numbers)’ [18] 1 p x`  ¦ F

  H  כ s  _ p  e ” >    H  כ s  . Ñ ü t P :  H, ” ¸× ¼[ þ t s    Z O

 (clique)t # Q4 R e ”    H  כ s  . 7 £ ¤ # Q‹ "  ” ¸× ¼\  ƒ    

 )

a e ” _ _  ¿ º ” ¸× ¼[ þ t s  " f– Ð f ” ] X  ƒ     ) a s Ö  © ” ¸× ¼{ 9  

-570-

0

p x$ í s  ß ¼   H  כ Ü ¼– Ð  Z O _  & ñ • ¸  H ô  Ç ” ¸× ¼_  s Ö  © ” ¸

×

¼ Š © œ[ þ t ×  æ " f– Ð ƒ     ) a Š © œ[ þ t _  q – Ð
 ? /# Qt   H   | 9 

>

à º (clustering coefficient)– Ð 8 £ ¤& ñ ½ + É Ã º e ”  . z  ´] j-[ j



© œ W 1à Ô0 >ß ¼[ þ t“ É r ° ú  “ É r à º_  ” ¸× ¼ü < ƒ    ‚  à º\  ¦ ° ú   H Á º



Œ

•0 A W 1à Ô0 >ß ¼\  q K  B Ä º  H   | 9  > à º\  ¦ ° ú   H  .

z 

´] j-[ j © œ W 1à Ô0 >ß ¼[ þ t s  ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H ¢ ¸   É r ×  æ כ ¹ô  Ç ½ ¨

›

¸& h  : £ ¤f ç “ É r # Q‹ "  ô  Ç ” ¸× ¼\  ƒ     ) a ƒ    ‚  à º ì  r Ÿ í (de- gree distribution)  " 4 Z O g Ë : (power law)

P (k) ∼ k

^−γ

(1)

\

 ¦   É r    H  כ s  . s    $ í | 9 `  ¦ ° ú   H W 1à Ô0 >ß ¼\  ¦ ' ‘ • ¸-

\ O

  H W 1à Ô0 >ß ¼ “ ¦  ÒØ Ô“ ¦ ㍠ H ƒ    ‚  à º t à º “ ¦  ÒØ Ô 9 @ / Òì  r _  z  ´] j-[ j © œ W 1à Ô0 >ß ¼[ þ t _  ƒ    ‚  à º t à º  H 2 \ " f 3  s _  ° ú כ`  ¦ ° ú   H    H  כ s  · ú ˜ 9& ’  . ƒ    ‚  à º ì

 r Ÿ í Ÿ í 5 Å x ì  r Ÿ í– Ð
 
  H Á º Œ •0 A W 1à Ô0 >ß ¼ ” ¸× ¼ [

þ

t s   © œ ´ ú §s  ° ú   H ¨ î ç  H& h “   ƒ    ‚  à º e ”   H  כ õ   H

² ú

˜o , ' ‘ • ¸ \ O   H W 1à Ô0 >ß ¼  H Y > Y > _  : £ ¤& ñ ô  Ç ” ¸× ¼[ þ t s   

 É

r ” ¸× ¼[ þ t \  q K   s `›   ´ ú §“ É r ƒ    ‚  à º\  ¦ ° ú   H ½ ¨› ¸  ) a



. s  Qô  Ç ƒ    ‚  à º ´ ú §“ É r ” ¸× ¼[ þ t s  W 1à Ô0 >ß ¼\ " f ) ‡ Ú

Ô % i ½ + É`  ¦ >  ÷ & 9 Õ ª\        ü < ° ú  “ É r & ñ  © œ W 1à Ô0 >

ß

¼
 Á º Œ •0 A W 1à Ô0 >ß ¼ü <  H   É r : £ ¤$ í [ þ t`  ¦ ˜ Ðs >   ) a  .

Õ

ª \ V– Ð" f ' ‘ • ¸ \ O   H W 1à Ô0 >ß ¼  H Ô  ¦: £ ¤& ñ ” ¸× ¼[ þ t`  ¦ Á º Œ • 0

A– Ð ] j    H ~ ½ Ód ” \  _ K " f  H ~ 1 >  W 1à Ô0 >ß ¼ Ô  æ õ 

÷

&t  · ú §t ë ß – ) ‡Ú Ô% i ½ + É`  ¦   H ×  æ כ ¹ô  Ç ” ¸× ¼[ þ t`  ¦ f ” ] X  / B N

 

   H  â Ä º  H ì ø Í@ /– Ð ~ 1 >  W 1à Ô0 >ß ¼ Ô  æ õ   ) a   [19].

¢

¸ô  Ç ' ‘ • ¸ \ O   H W 1à Ô0 >ß ¼\  ¦ l ì ø ÍÜ ¼– Ð  s  QÛ ¼
 „  % i 

# î

s  ( t   H  â Ä º & ñ  © œ W 1à Ô0 >ß ¼\ " fü <  H ² ú ˜o  „  % i Ò  ¦ s

  Å Ò  Œ • 8 • ¸ ~ 1 >  „  ^ ‰ W 1à Ô0 >ß ¼– Ð ( t   H : £ ¤$ í s  e ”

  [20]. s  Qô  Ç : £ ¤$ í [ þ t“ É r — ¸¿ º ƒ    ‚  à º ´ ú § " f ) ‡ Ú

Ô % i ½ + É`  ¦ ½ + É Ã º e ”   H ” ¸× ¼[ þ t s  ” > r F    H ' ‘ • ¸-\ O   H W 1 à

Ô0 >ß ¼_  : £ ¤$ í s  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .

s

 Qô  Ç ' ‘ • ¸ \ O   H : £ ¤$ í `  ¦ ¸ ú ˜ [ O " î   H — ¸+ þ A“ É r Barab´ asi ü < Albert (BA) \  _ K  ] jr ÷ &% 3   [21]. BA

—

¸+ þ A\ " f  H W 1à Ô0 >ß ¼_  $ í  © œõ  ‚    ñ& h  ƒ     ½ ©g Ë :s  ×  æ כ

¹ô  Ç כ ¹™ è ÷ &  H X < B  r ç ß – D h– Ðî  r ” ¸× ¼\  ¦ l ” > r W 1ß ¼0 >

ß

¼\  Æ Ò† < ÊÜ ¼– Ð" f W 1à Ô0 >ß ¼_  $ í  © œ`  ¦ [ O " î “ ¦ s  M : Æ

Ò÷ &  H D h– Ðî  r ” ¸× ¼  H ƒ    ‚  à º ´ ú §“ É r ” ¸× ¼[ þ t{ 9 à º2 Ÿ ¤

‚

 × þ ˜| ¨ c S X ‰Ò  ¦ s  Z  }“ É r ‚    ñ& h  ƒ     ½ ©g Ë :\     ‚  × þ ˜ ) a l 

”

> r ” ¸× ¼[ þ t õ  ƒ     ) a  . s  Qô  Ç ‚    ñ& h  ƒ     ½ ©g Ë :\  _ K 

ƒ

   ‚  à º ´ ú §“ É r ” ¸× ¼[ þ t“ É r & h & h   8 ´ ú §“ É r ” ¸× ¼[ þ t õ  ƒ     H

†

d Ü ¼– Ð+ ‹ ) ‡Ú Ô | ¨ c à º e ” “ ¦ W 1à Ô0 >ß ¼_  ƒ    ‚  à º ì  r Ÿ í



 H " 4 Z O g Ë :`  ¦  Ø Ô>   ) a  . 7 £ ¤ ' ‘ • ¸-\ O   H W 1à Ô0 >ß ¼ ë ß – [

þ

t # Q”   . Õ ª Q
 BA — ¸+ þ A\  _ ô  Ç W 1ß ¼0 >ß ¼  H ƒ    ‚  à º t

à º ° ú כ“ É r 3 Ü ¼– Ð ƒ    ‚  à º t à º ° ú כs  2\ " f 3  s _  ° ú כ

`

 ¦ ° ú   H z  ´] j-[ j © œ W 1ß ¼0 >ß ¼[ þ t _   â Ä ºü <  H s \  ¦ ˜ Г  



. 7 £ ¤ BA — ¸+ þ A“ É r ' ‘ • ¸-\ O   H : £ ¤$ í s 
š ¸>  ÷ &  H õ & ñ `  ¦ ç

ß –é ß –ô  Ç ½ ©g Ë :`  ¦ : Ÿ x K  ¸ ú ˜ [ O " î   H ì ø ̀   z  ´] j-[ j © œ W 1à Ô0 >

ß

¼[ þ t s  ° ú   H ƒ    ‚  à º t à º_   € ª œô  Ç ° ú כ`  ¦ [ O " î l \ 



 H  Ò7 á ¤ ô  Ç €  s  e ”  “ ¦  ’ x .   " f z  ´] j-[ j © œ W 1à Ô 0

>ß ¼[ þ t \ " f µ 1 Ï| ÷ &  H  € ª œô  Ç ƒ    ‚  à º t à º ° ú כ[ þ t“ É r [ O 

"

î l  0 Aô  Ç ” ¸§ 4 [ þ t s  ‰ & ³F  ”  ' Ÿ ÷ &“ ¦ e ” Ü ¼ 9 Õ ª ô  Ç ~ ½ ÓZ O  Ü

¼– Ð D h– Ðî  r — ¸+ þ A ] jr \  ¦ : Ÿ x K   € ª œô  Ç ƒ    ‚  à º t à º ° ú כ

`

 ¦ ° ú   H B & m 7 £ §`  ¦ s K  “ ¦    H r • ¸[ þ t s  e ”  .

s

   Ð  o| à Ì\ " f s   7 Hë  H \ " f  H 4 Ÿ ¤ ¸ ú š>  W 1à Ô0 >ß ¼\  @ / ô

 Ç D h– Ðî  r $ í  © œ— ¸+ þ A`  ¦ ] jr † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ z  ´] j-[ j © œ 4 Ÿ ¤ ¸ ú š>  W

1à Ô0 >ß ¼[ þ t s   € ª œô  Ç ƒ    ‚  à º t à º ° ú כ[ þ t`  ¦ ° ú > ÷ &  H ] X

 \  ¦ [ O " î K  ˜ Г ¦  ô  Ç . s  $ í  © œ — ¸+ þ A\ " f  H D h– Ðî  r

”

¸× ¼[ þ t õ  ƒ    ‚  [ þ t s  B  r ç ß – Æ Ò÷ & 9 s  M : D h– Ðî  r ƒ  

 

‚  [ þ t“ É r D h ” ¸× ¼ü < l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s \  + þ A$ í ÷ & 9 ¢ ¸ô  Ç l

” > r ” ¸× ¼[ þ t  s \ " f• ¸ D h– Ðî  r ƒ    ‚  s  ë ß –[ þ t # Q”   .

Õ

ª ƒ    ~ ½ ÓZ O “ É r ‚    ñ& h  ƒ     ~ ½ ÓZ O õ  s Ö  © ƒ     ~ ½ ÓZ O \  _  K

 Å Ò# Q”   . s  כ [ þ t“ É r ƒ    ‚  s  ´ ú §“ É r ” ¸× ¼{ 9 à º2 Ÿ ¤   É r

”

¸× ¼[ þ t õ  ƒ    | ¨ c S X ‰Ò  ¦ s  Z  }    H  כ õ  ô  Ç ” ¸× ¼_  s Ö  © ô  Ç

”

¸× ¼[ þ t z o   H ¢ ¸ô  Ç " f– Ð ƒ    ÷ &# Q e ” `  ¦ 0 p x$ í s  ´ ú § 



 H  כ `  ¦ y Œ •y Œ • ¿ 9 ª ? /  ) a  כ “  X < z  ´] j-[ j © œ W 1à Ô0 >ß ¼ + þ A$ í

÷

&  H B & m 7 £ §`  ¦ ì ø Í% ò ô  Ç   õ  . ¢ ¸ô  Ç D h ” ¸× ¼ü < l ” > r ” ¸

×

¼[ þ t  s _  ƒ    ‚  à º ü < l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s _  ƒ    ‚  à º _

 q  B > h  à º f\  _ K  › ¸& ñ ÷ &“ ¦ ‚    ñ& h  ƒ     ~ ½ ÓZ O  õ

 s Ö  © ƒ     ~ ½ ÓZ O _  ‚  × þ ˜“ É r S X ‰Ò  ¦ B > h  à º p\  _ K  › ¸

&

ñ  ) a  . s  B > h  à º[ þ t f ü < p  H f ” ] X & h Ü ¼– Ð ƒ    ‚  à º t  Ã

º_  ° ú כ\  % ò † ¾ Ó`  ¦ p 5 g s  B > h  à º[ þ t`  ¦ › ¸& ñ † < ÊÜ ¼– Ð" f

"

é

¶   H ƒ    ‚  à º t à º ° ú כ`  ¦ ° ú   H ' ‘ • ¸-\ O   H W 1à Ô0 >ß ¼[ þ t

`

 ¦ ë ß –[ þ t à º e ”  .

s

 — ¸+ þ A_  & ñ S X ‰ ô  Ç ½ ©g Ë :“ É r  6 £ § õ  ° ú   : œ íl › ¸| Ü ¼– Ð

"

f– Ð ƒ    ÷ &t  · ú §“ É r Y >  > h (N

0

) _  ” ¸× ¼[ þ t s  e ”  . B  r ç ß –



  D h– Ðî  r ” ¸× ¼ ô  Ç> h\  ¦ ‚    ñ& h  ƒ    ~ ½ ÓZ O \  _ K  m> h _

 l ” > r ” ¸× ¼[ þ t \  ƒ    ô  Ç . ‚    ñ& h  ƒ     ~ ½ ÓZ O \  _  €   D

h ” ¸× ¼\  ƒ    | ¨ c ” ¸× ¼ i ‚  × þ ˜| ¨ c S X ‰Ò  ¦ Π (k

i

)“ É r Õ ª ” ¸

×

¼_  ƒ    ‚  à º k

ⁱ

\  q Y Vô  Ç . 7 £ ¤,

Π(k

i

) = k

_i

P

j

k

j

. (2)

¢

¸ô  Ç { 9 & ñ ô  Ç r ç ß – t

0

 t è ß –Ê ê B  r ç ß –   fm> h_  ƒ  

 

‚  s  l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s \  Æ Ò  ) a  . l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s  _

 ƒ    ‚  “ É r ¿ ºt  ~ ½ ÓZ O \  _ K  + þ A$ í  ) a  . ' Í   P :  H ‚    

ñ& h  ƒ    ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð" f, ô  Ç ” ¸× ¼\  ¦ l ” > r _  ” ¸× ¼[ þ t ×  æ \ " f Á

º Œ •0 A– Ð ‚  × þ ˜ô  Ç  6 £ § s  ” ¸× ¼\  ¦ ‚    ñ& h  ƒ     ½ ©g Ë :\   



 ‚  × þ ˜ô  Ç ” ¸× ¼\  ƒ       H ~ ½ Ód ” Ü ¼– Ð ¿ º ” ¸× ¼[ þ t`  ¦ ƒ    

  H  כ s  . ¿ º  P :  H s Ö  © ƒ     ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð" f, ô  Ç ” ¸× ¼

Fig. 1. The plot of the cumulative degree distribution versus the degree k with f = 1 and various values of p.

\

 ¦ Á º Œ •0 A– Ð ‚  × þ ˜ô  Ç  6 £ § ‚  × þ ˜ ) a ” ¸× ¼_  s Ö  © ” ¸× ¼[ þ t ×  æ

"

f– Ð ƒ    ÷ &# Q e ” t  · ú §“ É r Š © œ`  ¦ ‚  × þ ˜ # Œ ƒ       H ~ ½ Ód ”  Ü

¼– Ð ¿ º ” ¸× ¼[ þ t`  ¦ ƒ       H  כ s  . ¿ º  P : ~ ½ ÓZ O “ É r z  ´] j



 r W 1à Ô0 >ß ¼\ " f ô  Ç  | à Ðs   ’  _  • 2 ;½ ¨ ¿ º " î `  ¦ " f

–

Ð ™ è> hr ( ” Ü ¼– Ð+ ‹ " f– Ð • 2 ;½ ¨ ÷ &• ¸2 Ÿ ¤ K  Šҍ  H  â Ä º

´ ú

§   H  z  ´`  ¦ Ò q ty Œ • €   ' Í   P :_  ‚    ñ& h  ƒ     ~ ½ ÓZ O  3 l w t

 · ú §>  W 1à Ô0 >ß ¼\  ¦ + þ A$ í   H  ƒ  Û ¼ Qî  r ~ ½ ÓZ O s   

 ’

x . s  ¿ º t  ~ ½ ÓZ O  ×  æ p _  S X ‰Ò  ¦ – Ð s Ö  © ƒ    ~ ½ ÓZ O s  z 

´' Ÿ ÷ &“ ¦ 1 − p_  S X ‰Ò  ¦ – Ð ‚    ñ& h  ƒ    ~ ½ ÓZ O s  z  ´' Ÿ  ) a  .

s

 Qô  Ç ½ ©g Ë :\  _  €   t r ç ß – r ç ß – ç ß –   Ê ê 8 ú x ” ¸× ¼Ã º  H N = N

0

+ t s “ ¦ 8 ú x a Aß ¼Ã º  H m(1 + f )“   W 1à Ô0 >ß ¼ ë ß – [

þ t # Q”   .

s

 — ¸+ þ A\  @ /ô  Ç ( Ž É Ó'  — ¸_ r Ð 3 x`  ¦ m = N

0

= 5, t

₀

= 10 Ü ¼– Ð “ ¦& ñ “ ¦ à º' Ÿ  % i  . s  œ íl ° ú כ[ þ t“ É r þ j7 á x + þ A$ í

 )

a W 1à Ô0 >ß ¼[ þ t _  ½ ¨› ¸& h  : £ ¤$ í \  % ò † ¾ Ó`  ¦ p u t  · ú §  H  .

W

1à Ô0 >ß ¼_  ƒ    ‚  à º ì  r Ÿ í\  ¦ 8 £ ¤& ñ † < Ê\  e ” # Q" f  H ¾ º& h  ƒ  

 

‚  à º ì  r Ÿ í † < Êà º\  ¦ s 6   x % i  . ¾ º& h  ƒ    ‚  à º ì  r Ÿ í† < Ê Ã

º P

^c

(k)  H e ” _ _  ” ¸× ¼ k > h s  © œ_  ƒ    ‚  à º\  ¦ | 9  S X

‰Ò  ¦ s  . 7 £ ¤,

P

c

(k) =

∞

X

k⁰≥k

P (k

⁰

). (3)

ƒ

   ‚  à º ì  r Ÿ í_  t à º γ{ 9  M :, ¾ º& h  ƒ    ‚  à º ì  r Ÿ í _

 t à º  H γ − 1 s   ) a  . Fig. 1“ É r ¾ º& h  ƒ    ‚  à º ì  r

Ÿ

í † < Êà º P

^c

(k) @ / ƒ    ‚  à º k\  ¦ – ÐÕ ª-– ÐÕ ª ' ‘ • ¸– Ð Õ ª



2 ; Õ ªa Ë >s  . f = 1– Ð “ ¦& ñ  ) a  © œI \ " f l Ö  ¦ l   H Õ

ªA á Ô\ " f l Ö  ¦ l   Œ • t   H Õ ªA á Ô í  H " f@ /– Ð p = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1 _   â Ä º\  y Œ •y Œ • K { © œ  ) a  . Fig. 1\ " f

˜

Ð# Œt 1 p w ¾ º& h  ƒ    ‚  à º ì  r Ÿ í † < Êà º P

c

(k) ∼ k

^−γ+1

– Ð

"

4 † < Êà º Z O g Ë :`  ¦  Ø Ô  H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ” “ ¦ B > h  à º p\   



 ƒ    ‚  à º t à º γ_  ° ú כs  ² ú ˜ t   H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

Fig. 2. The plot of the cumulative degree distribution versus the degree k with p = 1 and various values of f .

7

£

¤ D h ” ¸× ¼ü < l ” > r ” ¸× ¼\  ¦ ƒ       H ƒ    ‚   à ºü < l ” > r ” ¸

×

¼[ þ t`  ¦ ƒ       H ƒ    ‚   à º ° ú  “ É r  â Ä º l ” > r ” ¸× ¼[ þ t`  ¦

ƒ

      H ~ ½ ÓZ O s  ‚    ñ& h  ƒ    ~ ½ ÓZ O s 
 s Ö  © ƒ    ~ ½ ÓZ O s 

   H  כ \  _ K  W 1à Ô0 >ß ¼_  ½ ¨› ¸& h  $ í | 9 s  ² ú ˜ t   H

 כ

`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . p ° ú כs  & f ” \     γ ° ú כs   Œ • t   H  כ

“ É

r s Ö  © ƒ    ~ ½ ÓZ O s  ‚    ñ& h  ƒ    ~ ½ ÓZ O ˜ Ð  ƒ    ‚  à º k

 H ” ¸× ¼[ þ t`  ¦ ´ ú §s  ë ß –[ þ t # Q? /  H  כ `  ¦ ´ ú ˜K  ï  r  .

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð ‚    ñ& h  ƒ    ~ ½ ÓZ O s  ƒ    ‚  à º  H ” ¸× ¼[ þ t

`

 ¦ ´ ú §s  ë ß –[ þ t # Q ? /€  " f ƒ    ‚  à º ì  r Ÿ í " 4 Z O g Ë :`  ¦  Ø Ô

•

¸2 Ÿ ¤ K ï  r    H  כ “ É r ¸ ú ˜ · ú ˜ 9”    z  ´s  . Õ ª  X < š ¸y  9

‚

   ñ& h  ƒ    ~ ½ ÓZ O ˜ Ð • ¸ s Ö  © ƒ    ~ ½ ÓZ O s   H ƒ    ‚  à º\  ¦

”   ” ¸× ¼[ þ t`  ¦  8¹ ¡ ¤ ´ ú §s  ë ß –[ þ t # Q · p   H  כ “ É r < É ª p e ”   H

 

õ s  . s  כ “ É r   Ü ¼– Ð ˜ Ðl \   H é ß –í  H ô  Ç s Ö  © ƒ    s  t

ë ß – z  ´] j ? / Ò& h Ü ¼– Ѝ  H s  õ & ñ \  _ K  ƒ    ‚  à º  H

”

¸× ¼[ þ t s   8 ´ ú §s  ƒ    ÷ &>  ÷ &  H B & m 7 £ § s  e ”   H  כ Ü ¼

–

Ð Ò q ty Œ •½ + É Ã º e ”  . z  ´] j– Ð s Ö  © ƒ    õ & ñ \ " f ô  Ç ” ¸× ¼

 e ” _ – Ð ‚  × þ ˜ ) a Ê ê ƒ    ÷ &  H ¿ º s Ö  © ” ¸× ¼[ þ t“ É r ƒ    ‚   Ã

º ´ ú §“ É r ” ¸× ¼[ þ t { 9 à º2 Ÿ ¤ ‚  × þ ˜| ¨ c S X ‰Ò  ¦ s  Z  }  ”   . 7 £ ¤ ‚    

ñ& h  ƒ    õ & ñ \ " f  H e ” _ _  ô  Ç ” ¸× ¼ü < ƒ    ‚  à º ´ ú §

“ É

r ô  Ç ” ¸× ¼\  ƒ    ‚  s  Æ Ò | ¨ c à º e ”   H ì ø ̀   s Ö  © ƒ     õ

& ñ \ " f  H ƒ    ‚  à º ´ ú §“ É r ¿ º ” ¸× ¼ " f– Ð ƒ    | ¨ c à º e ”

  H 0 p x$ í s  & ”   .   " f s Ö  ©ƒ    õ & ñ \  _ K  ƒ  

 

‚  à º ´ ú §“ É r ” ¸× ¼[ þ t s   8 ´ ú §s  ë ß –[ þ t # Q | 9  à º e ”  .

Fig. 2“ É r p = 1“    â Ä º_  ¾ º& h  ƒ    ‚  à º ì  r Ÿ í † < Êà º P

c

(k)\  ¦ f = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1 \  @ /K  ƒ    ‚  à º k_  † < Ê Ã

º– Ð" f Õ ª 2 ;  כ s  . 7 £ ¤ l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s _  ƒ    “ É r † ½ Ó



© œ s Ö  © ƒ    ~ ½ ÓZ O \  _ K  + þ A$ í ÷ &  H ì ø ̀   D h ” ¸× ¼ü < l ” > r

”

¸× ¼  s _  ƒ    ‚   à ºü < l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s _  ƒ    ‚   à º _

 q       H  â Ä ºs  . s   â Ä º Õ ªA á Ô_  l Ö  ¦ l [ þ t s  f ° ú כ\     ² ú ˜ f ” `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . 7 £ ¤ D h ” ¸× ¼ü < l ” > r ” ¸

×

¼ s _  ƒ    ‚   à ºü < l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s _  ƒ    ‚   à º_ 

Fig. 3. The degree exponent γ as a function of the pa- rameter p for the various f

q

 f\    " f• ¸ W 1à Ô0 >ß ¼_  ƒ    ‚   t à º ° ú כs  ² ú ˜ t 



 H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s   â Ä º l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s \  ¦ ƒ     



 H ƒ    ‚   à º ´ ú §`  ¦ à º2 Ÿ ¤ ƒ    ‚  à º k  H ” ¸× ¼[ þ t s  ´ ú §



t   H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

s

ü < ° ú  s  ¿ º t  כ ¹“  \  _ K  W 1à Ô0 >ß ¼_  ½ ¨› ¸& h “   :

£ ¤$ í ×  æ _  
“   ' ‘ • ¸-\ O   H $ í | 9 “ É r ² ú ˜ t   H  כ `  ¦ · ú ˜ Ã

º e ”  . 7 á §  8  € ª œô  Ç B > h  à º[ þ t ° ú כ\  @ /ô  Ç ƒ    ‚  à º γ _  ° ú כ_     o\  ¦ ¶ ú ˜( R˜ Ðl  0 AK   € ª œô  Ç pü < f ° ú כ\  @ /ô  Ç γ _  ° ú כ`  ¦ 8 £ ¤& ñ % i “ ¦ Õ ª   õ \  ¦ Fig. 3 \ 
 ? /% 3  . y Œ • Õ

ªA á ԍ  H ƒ    ‚  à º t à º γ @ / p_  Õ ªa Ë >Ü ¼– Ð
 ? /# Q& ’ 

“

¦ 0 A\ " f Ò'   A – Ð y Œ •y Œ • f = 0.2, f = 0.4, f = 0.6, f = 0.8, f = 1 _   â Ä º\  K { © œ   H Õ ªA á Ôs  . Fig. 3\ 

"

f ^  ¦ à º e ” 1 p w s  pü < f_  ° ú כs  & | 9 à º2 Ÿ ¤, 7 £ ¤ l ” > r ” ¸× ¼[ þ t



s _  ƒ    ‚   à º ´ ú § | 9 à º2 Ÿ ¤ Õ ªo “ ¦ s Ö  © ƒ     ~ ½ ÓZ O 

\

 _ ô  Ç ƒ    s  ´ ú § | 9 à º2 Ÿ ¤ ƒ    ‚  à º t à º γ_  ° ú כs   Œ •



t   H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ” “ ¦ Õ ª ° ú כ[ þ t“ É r z  ´] j W 1à Ô0 >ß ¼[ þ t \ 

"

f ˜ Ð# Œt   H  ü < ° ú  s  2ü < 3  s _  ° ú כs  ÷ &  H  כ `  ¦ · ú ˜ Ã

º e ”  .   " f B > h  à º fü < p\  ¦ › ¸& ñ † < ÊÜ ¼– Ð" f z  ´] j W 1 à

Ô0 >ß ¼_  ' ‘ • ¸-\ O   H : £ ¤$ í `  ¦ ¸ ú ˜ ½ ¨‰ & ³½ + É Ã º e ” “ ¦ s  — ¸+ þ A

“

É r z  ´] j W 1à Ô0 >ß ¼[ þ t s  + þ A$ í ÷ &  H B & m 7 £ §`  ¦ ¸ ú ˜ [ O " î 

“

¦ e ”  .

כ

¹€  • €  , s   7 Hë  H \ " f  H ç ß –é ß –ô  Ç $ í  © œ— ¸+ þ A`  ¦ ] jr  

#

Œ z  ´] j-[ j © œ W 1à Ô0 >ß ¼_  ' ‘ • ¸-\ O   H : £ ¤$ í `  ¦ ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð

¸ ú

˜ [ O " î % i  . s  — ¸+ þ A\ " f  H W 1à Ô0 >ß ¼ r ç ß –s  t z Œ ™

\

    D h– Ðî  r ” ¸× ¼ü < ƒ    ‚  [ þ t s  Ò q t 
 9 $ í  © œ > 

÷

&  H : £ ¤$ í `  ¦ ì ø Í% ò # Œ B  r ç ß – D h– Ðî  r ” ¸× ¼ü < ƒ    ‚  [ þ t s

 l ” > r W 1à Ô0 >ß ¼\  Æ Ò ÷ &• ¸2 Ÿ ¤ % i  . s  M : D h ” ¸× ¼ ü

< l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s \  Ò q tl   H D h– Ðî  r ƒ    ‚  _  à ºü < l 

”

> r ” ¸× ¼[ þ t  s \  ¦ D h– Ðs  ƒ    K Šҍ  H ƒ    ‚  _  à º_  q  f   H W 1à Ô0 >ß ¼_  ' ‘ • ¸ \ O   H $ í | 9 \  % ò † ¾ Ó`  ¦ p • 2 ; . ¢ ¸ô  Ç l

” > r ” ¸× ¼[ þ t  s \  ƒ    ‚  `  ¦ + þ A$ í   H ~ ½ ÓZ O _  s \  _

K " f• ¸ ' ‘ • ¸-\ O   H $ í | 9 “ É r ² ú ˜ t >   ) a  . s  — ¸+ þ A\ " f



 H l ” > r ” ¸× ¼[ þ t  s \  ¦ ƒ       H ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð s Ö  © ƒ     ~ ½ Ó Z O

õ  ‚    ñ& h  ƒ     ~ ½ ÓZ O `  ¦ S X ‰Ò  ¦ B > h  à º p\     & h 6   x

% i “ ¦ s Ö  © ƒ     ~ ½ ÓZ O \  _ K  ƒ    ‚  à º ´ ú §“ É r ” ¸× ¼[ þ t s 



8 ´ ú §s  Ò q t 
  H  כ `  ¦ S X ‰ “  Ù þ ¡ . 7 £ ¤ ¿ º> h_  B > h  à º f ü < p\  ¦ › ¸& ñ † < ÊÜ ¼– Ð" f W 1à Ô0 >ß ¼_  ' ‘ • ¸-\ O   H $ í | 9 `  ¦
 

? /  H € ª œ“   ƒ    ‚  à º t à º γ_  ° ú כ`  ¦ › ¸& ñ ½ + É Ã º e ” % 3 “ ¦ s

\  ¦ : Ÿ x K  z  ´] j W 1à Ô0 >ß ¼\ " f ˜ Ð# Œt   H  € ª œô  Ç γ_  ° ú כ

`

 ¦ [ O " î ½ + É Ã º e ” % 3  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] R. Solomonoff and A. Rapoport, Bull. Math. Bio- physics 13, 107 (1951).

[2] P. Erdo”s and A. Re’nyi, Pub. Math. 6, 290 (1959);

P. Erdo”s and A. Re’nyi, Acta Math. Sci. Hungary 12, 261 (1961).

[3] R. Albert and A. -L. Barab´ asi, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002).

[4] R. Pastor-Satorras and A. Vespiginani, Struc- ture and Evolution of the Internet: A Statisti- cal Physics Approach, (Cambridge University Press, Cambridge, 2004).

[5] M. E. J. Newman, SIAM Review 45, 167 (2003).

[6] B.Kahng, K. Goh, D. Lee and D. Kim, SAEMULLI 48, 115 (2004).

[7] Y. -M. Choi, SAEMULLI 49, 298 (2004); S. Kim, SAEMULLI 50, 267 (2005); Y. -M. Choi and H. -J.

Kim, SAEMULLI 52, 147 (2006).

[8] A. -L. Barab´ asi, Linked: The New Science of Net- works (Perseus Publishing, Cambride MA, 2002).

[9] M. Buchanan, Nexus: Small Worlds and the Ground-breaking Theory of Networks (W. W. Nor- ton, New York, 2002).

[10] D. J. Watts, Six degrees: The Science of a Connected Age (W. W. Norton, New York, 2003).

[11] S. N. Dorogovtsev and J. F. F. Mendes, Evolution of Networks: From Biological Nets to the Internet and WWW (Oxford University Press, Oxford, 2003).

[12] S. Milgram, Psychology Today 2, 60 (1967).

[13] D. J. Watts and S. H. Strogatz, Nature 393, 440 (1998).

[14] M. Faloutsos, P. Faloutsos, and C. Faloutsos, ACM SIGCOMM ’99 Comput. Commun. Rev. 29, 251 (1999); R. Pastor-Satorras, A. V´ azquez, and A.

Vespignani, Phys. Rev. Lett. 87, 258701 (2001).

[15] R. Albert, H. Jeong, and A.-L. Barab´ asi, Nature 401, 130 (1999).

[16] A. -L. Barab´ asi, R. Albert, and H. Jeong, Physica A 281, 69 (2000).

[17] R. de Castro, and J. W. Grossman, Math. Intelli- gencer 21, 51 (1999).

[18] http://www.cs.virginia.edu/oracle/

[19] R. Albert, H. Jeong, and A. -L. Barab´ asi, Nature 406, 378 (2000).

[20] T. Petermann and P. De Los Rios, Phys. Rev. E 69, 0661116 (2004).

[21] A. -L. Barab´ asi and R. Albert, Science 286, 509 (1999).

A Scale-Free Network Model with a Tunable Degree Exponent

Hyun-Joo Kim

Department of Physics Education, Korea National University of Education, Chungbuk 363-791

Yeon-Mu Choi

^∗

Bangmok College of Basic Studies, Myongji University, Yongin 449-728 (Received 2 May 2006)

We introduce an evolving model to describe real scale-free networks with various values of the degree exponent. In the model, at each time step, new links, as well as a new node, are attached to reflect the growth mechanism of real-world networks. The new links are added between the new node and the old nodes and also between old nodes. The ratio of the number of added links in two cases is controlled by the parameter f . A new node is attached to old nodes by using a preferential attachment rule in which the new links become preferentially attached to nodes with a high number of connections. For old nodes, the preferential attachment method and the neighbor attachment method are applied by using the control parameter p. In the neighbor attachment method, links are attached between neighbor nodes of a node. We perform a computer simulation with the model and measure the cumulative degree distribution. We find that the value of the degree exponent of the model network varies from 2 to 3, depending on the parameters f and p, as that of real-world networks does.

PACS numbers: 89.75.Fb, 89.75.Hc, 89.20.-a

Keywords: Complex system, Scale-free network, Evolving network model

∗

E-mail: [email protected]