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자연수와 분수 연산에 대한 학생들의 이해 분석
1)
김김 경 미 (고려대학교 교과교육연구소)
황 우 형 (고려대학교)
✝Ⅰ. 서 론
어떤 것을 이해한다는 것은 그것이 다른 것들과 어떻 게 관련되고 연결되어 있는지 아는 것이다(Hiebert et al., 1997). 즉, 이해는 관계들의 확립을 통해서 형성된다.
어떤 학문을 안다는 것은 그 안으로 들어가서 서로 다른 개념이 어떻게 그리고 왜 그렇게 연결되는지 아는 것을 의미한다(Hiebert et al., 1997). 초등수학에 있어 수 연산 에 대한 이해는 가장 기초적이고 중요하다. 그러나 현재 의 교육과정은 수 연산의 개념적 이해에 초점을 두기 보 다는 형식적인 계산 절차에 많은 시간을 할애하고 있다.
또한 학생이 자연수의 사칙연산과 분수, 소수의 사칙연 산의 관계를 의미 있게 연결하여 이해할 수 있도록 교육 과정이 조직되어 있지 못하다. 따라서 많은 초등학교 학 생들은 자연수, 분수, 소수의 사칙연산의 의미와 수 영역 간의 사칙연산의 의미 관계에 대하여 깊이 사고할 기회 를 갖지 못하였다. 동일한 십진 기수 체계를 갖는 자연 수와 소수와는 다르게, 자연수와 분수는 전혀 다른 수 체계이므로, 분수의 사칙연산을 이해하기 위해서는 자연 수의 사칙연산에 대한 스키마가 전반적으로 재구성되어 야 한다. Amato(2005)는 학생들이 유리수 지식의 개념 적 지식을 계발하기 위해서는 범자연수와 분수를 구별하 고 통합해야 한다고 주장하였다.
자연수와 분수의 사칙연산에 대한 학생들의 이해 학 습을 위해서는 우선 학생이 자연수의 사칙연산과 분수의
* 접수일(2011년 10월 10일), 수정일(2012년 1월 25일), 게재 확정일(2012년 2월 20일)
* ZDM분류 : C32
* MSC2000분류 : 97C30
* 주제어 : 범자연수, 분수, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 이해
* 본 연구는 교내연구비에 의하여 수행되었음
✝ 교신저자 : [email protected]
사칙연산을 어떻게 이해하고 있으며, 서로를 어떻게 관 련지어 이해하고 있는지에 관한 연구가 필요하다. 지금 까지 많은 연구자들에 의해 범자연수의 산술과 대수, 문 제 해결 등의 주제가 연구되어왔지만, 각 주제 사이의 발달적 상호의존관계는 명확하지 않다(Hunting, Davis,
& Pearn, 1997). Hunting, Davis와 Pearn(1997)의 연구 결과 범자연수 개념과 관련성의 발달과 기본적인 분수 지식 사이에 상호의존성이 관찰되었다.
최근 들어 자연수와 분수 연산 각각에 대한 연구보다 는 자연수와 분수 연산의 관계성에 대한 연구들이 주목 받고 있다(예를 들어, Amato, 2005; Cramer & Henry, 2002; Hunting, Davis & Pearn, 1997; Ni & Zhou, 2005;
Pearn & Stephens, 2007; Peled & Segalis, 2007; Sharp
& Adams, 2002; Toluk & Middleton, 2004). 특히, 많은 연구자들이 자연수에 대한 학생들의 수 스키마의 확장으 로서 분수에 대한 학생들의 이해 발달을 강조하고 있다 (예를 들어, Biddlecomb, 2002; Hackengerg & Tillema, 2009; Sáenz-Ludlow, 2003; Steffe, 2004). 자연수와 분수 연산 사이의 관계성에 대해 고찰한 선행 연구들을 살펴 보면, 학생의 범자연수 스킴이 분수 지식 습득에 방해가 된다는 것이 관찰된 경우가 있는 반면(Behr, Wachsmuth, Post, & Lesh, 1984; Gray, 1993; Hunting, 1986; Streefland, 1984, 1991; Tirosh, Wilson, Graeber,
& Fischbein, 1993), 범자연수가 유리수 개념 발달에 조 력자 역할을 한다는 것이 관찰된 경우도 있다(Carraher, 1993; Mack, 1990; Steffe & Olive, 1993). 자연수와 분수 학습에 관한 기존의 선행 연구는 대부분 자연수, 분수 연산에 대한 학생의 계산 절차상의 오개념이나 비형식적 문제 해결 전략에 관한 연구가 대부분이었다. 학생이 자 연수의 사칙연산과 분수의 사칙연산을 어떤 의미로 이해 하고 있으며, 스키마 확장의 관점에서 연산에 대한 학생 들의 개념적 이해를 분석한 연구는 매우 극소수이다.
따라서 본 연구에서는 초등학생들을 대상으로 학생들 이 자연수의 연산과 분수 연산을 각각 어떤 의미로 이해 하고 있는지 알아보고, 자연수 연산에 대한 지식과 분수 연산의 개념화 사이에 어떤 관련성이 있는지 알아보고자 한다. 다음은 본 연구의 연구 문제이다.
가. 학생은 자연수의 연산과 분수의 연산을 각각 어 떤 의미로 이해하고 있는가?
나. 자연수 연산에 대한 지식과 분수 연산의 개념화 사이에 어떤 관련성이 있는가?
Ⅱ. 문헌 연구
1. 이해의 정의와 모델
수학교육에서 이해에 관한 고찰은 그 역사가 매우 오 래되었음에도 불구하고 아직도 명확한 정의를 내리지 못 하고 있으며, 이해의 양상을 명확하게 기술하는 것은 불 가능하다(Sierpinska, 1994: 117). 수학교육에서 이해에 관한 연구는 크게 세 가지로 구분할 수 있다. 학생들이 이해를 더 잘하도록 도울 수 있는 교수학적 자료를 개발 하는데 초점을 맞춘 연구와 학생들의 이해를 진단하는데 집중한 연구, 이해의 모델을 보다 이론적으로 구축하는 데 초점을 둔 연구로 크게 구분할 수 있다(Sierpinska, 1994). 본 연구는 두 번째 연구 범주에 해당된다. 어떤 연구자들은 좋은 이해로 이끄는 사고의 메커니즘을 밝히 려고 노력했으며, 어떤 연구자들은 이해를 높일 수 있는 정신적 활동에 대해 설명하였다. 이해의 개념은 인식론 적 입장에 따라 다르기 때문에 한가지로 파악하기 어려 우며, 심리적 과정이 내재해 있기 때문에 규정하기가 어 렵다. Barmby, Harries와 Higgins(2009)는 이해에 대한 표상적 추론 모델을 받아들여 이해를 개념에 대한 정신 적 표상 사이에 만들어지는 연결들 또는 개념에 대한 다 른 부분들을 함께 연결하는 추론으로 정의하였다.
Barmby et al.(2009)의 이해 모델은 한 개념에 대한 내 적 또는 정신적 표상 사이의 연결을 중요하게 강조하였 으며, 이해를 연결과 관련지어 정의하고 있는 학자들은 많다. Skemp(1987)는 관계적 수학 학습 과정을 개념 구 조를 형성하는 것으로 설명하였다. 어떤 것을 이해한다 는 것은 그것이 다른 것들과 어떻게 관련되고 연결되어
있는지 아는 것이다(Hiebert et al., 1997). 즉, 이해는 관 계들의 확립을 통해서 형성된다. Hiebert et al.(1997)는 이미 알고 있는 지식과 새로운 지식 사이의 관계, 지식 을 표현하는 다른 방법 사이의 관계, 유사한 문제를 해 결하는 다른 방법 사이의 관계를 강조하였다 (Vaisenstein, 2006). Nickerson(1985) 또한 개념 사이의 연결성을 강조하였다. Hiebert와 Carpenter(1992)는 수학 적 개념이 내적 관계망의 일부가 되었을 때 그것을 이해 했다고 보았다. 이 때 이해의 정도는 연결의 개수와 강 도에 의해서 결정되고 관계망이 강력하게 연결되고 보다 많이 연결되었을 때 개념이 잘 이해되었다고 보았다. 내 적 표상 사이에 연결이 되었을 때 지식의 관계망이 구성 된다. 그러나 연결이 무조건 유용한 것은 아니다. 연결을 통하여 진정한 통찰을 얻는 경우도 있지만 아주 사소한 내용만 확인하는 경우도 있고, 때로는 적절하지 않은 내 용을 확인하는 경우도 있다. 이해를 위해서는 어떻게 연 결하는가와 어떻게 유용한 연결을 할 수 있는가에 대하 여 깊이 생각해보아야 한다.
Freudenthal(1983)은 개념을 획득하는 것보다 정신적 조작에 의한 심상의 구성을 강조하였다. Vinner와 Dreyfus(1989)는 개념을 이해하는 것을 올바른 개념이미 지를 갖는 것으로 정의하였고, English와 Halford(1995) 는 개념의 구조를 충실히 반영한 정신적 표상이나 정신 모델을 갖는 것으로 정의하였다. Lesh, Post와 Behr(1987)는 이해를 다양한 표현 체계 속에서 개념을 파악할 수 있는 능력과 주어진 표현 체계 내에서 개념을 조작할 수 있는 능력, 표현 체계를 변환할 수 있는 능력 등 기호체계와 관련시켜 정의하였다. 본 논문에서는 개 념을 이해한다는 것은 개념의 구조를 충실히 반영한 정 신적 표상이나 정신 모델을 갖는 것이고, 그 개념이 다 른 개념들과 어떻게 관련되고 연결되어 있는지 아는 것 으로 정의한다.
이해에 관한 이론이나 모델은 크게 네 종류로 분류할 수 있다(Sierpinska, 1994:119). 첫 번째는 이해의 수준에 대한 위계에 초점을 맞춘 것이다. 기하 이해에 대한 Van Hiele 모델이 여기에 속한다. Pirie와 Kieren(1994) 의 초월적 재귀 모델이나 Herscovics(1996)이 제시한 개 념적 이해에 대한 복층 모델 또한 이 범주에 포함된다.
<그림1>은 Pirie와 Kieren(1994)이 제시한 일반적인 이
해의 성장 모델로서 초월적 재귀 모델이라 불린다.
<그림 1> 초월적 재귀 모델(Pirie & Kieren, 1994) 이해의 과정은 초기 지식에서 출발하여 이미지를 형 성하고, 이미지를 갖게 되며, 속성을 인지하고, 형식화하 며, 예리한 관찰, 구조화, 창조 순으로 성장하게 된다.
<그림 2>는 Herscovics(1996)이 제시한 개념적 이해의 복층 모델로 첫 번째 층은 물리적 선 개념의 이해를 나 타내며, 두 번째 층은 수학화 과정으로부터 내재화된 수 학적 개념의 이해를 나타낸 것이다.
<그림 2> 개념적 이해에 대한 복층 모델 (Herscovics, 1996)
두 번째는 주요 아이디어가 정신적 모델, 개념적 모 델, 인지적 구조 등과 같은 것을 발전시킨 것이다.
English와 Halford(1995)의 정신 모델과 Lesh와 Landau(1983)의 개념적 모델이 이에 속한다. 세 번째는 이해의 과정을 이해의 대상을 이해하는 두 가지 방식 사
이의 변증법적 게임으로 바라본 것이다. 변증법적 쌍 중 하나는 문제를 해결하는 도구로서의 개념이고 다른 하나 는 연구, 분석, 이론적 발달에 대한 대상으로서의 개념이 다. 이는 도구와 주제화의 변증법이다. 예를 들어 Skemp의 도구적 이해와 관계적 이해 사이의 대비, Doualy의 변증법적 도구-개체, 대수에서 Sfard의 조작적 이해와 구조적 이해 등은 이러한 범주에 속한다. 네 번 째는 역사적-경험적 접근이라고 부를 수 있다. 이 접근 에서 주요 관심사는 수학이 발달해 온 역사와 오늘날 학 생들이 직면하게 되는 이해의 장애가 되는 것들을 탐구 하는 것이다.
2. 연산의 직관모델과 의미론적 구조
직관(Intuition)은 명백한 정당화나 해석 없이 직접적 으로 파악되는 인지작용을 일컫는다. Fischbein과 Deri, Nello, Merino(1985)는 산술의 기본 연산은 일반적으로 암묵적이고, 무의식적이며, 초기의 직관 모델과 연결되어 있다고 가정하였다. Fischbein et. al.(1985)에 의하면 두 수가 포함된 문제를 해결하는데 필요한 연산을 알아내는 것은 즉시 일어나는 것이 아니라 모델에 의해 조정되는 것이다. Fischbein et. al.(1985)에 의하면 덧셈의 직관 모 델은 두 개의(또는 그 이상의) 분리되어 있는 대상 집합 을 전체 집합의 한 집합으로 합치는 것(Putting Together)으로 생각할 수 있으며, 뺄셈은 제거(Take Away)와 동등화(Buiding Up)의 두 가지 행위로 나타날 수 있다. Fischbein et. al.(1985)은 곱셈의 직관 모델로
‘반복된 덧셈(Repeated Addition)’을 제시하였으며, 나눗 셈은 ‘등분제(Partitive Division)’ 상황과 ‘포함제 (Quotative Division)’ 상황으로 나누어 제시하였다.
사칙연산 문장제의 의미론적 구조는 연산 과정이 내 포된 상황, 언어표현과 수학적 연산구조의 관계를 포함 한다. 많은 연구에서 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈의 상황 또는 문장제의 상황을 분류하였는데, 이것은 연산의 의 미론적 구조와 일치한다고 볼 수 있다. 연산의 직관모델 이 연산에 대한 학생의 내적표상을 의미한다면, 연산의 의미론적 구조는 연산이 내포된 문장 또는 상황(언어적 외적표상)에서 언어표현과 의미와의 관계를 의미한다.
덧셈과 뺄셈 상황의 분류는 학자마다 매우 다양하다.
Riley, Greeno와 Heller(1983)는 덧셈과 뺄셈 문장제를
변화(Change) 문제, 합병(Combine) 문제, 비교(Compare) 문제로 분류하였다. 변화 문제는 어떤 양이 증가되거나 감소하고, 미지수가 처음량이거나 변화량이거나 결과량 인 경우로 다시 세분화된다. 합병 문제는 적어도 두 개 의 양이 합병되며, 전체량을 구하게 하거나 부분의 양을 구하는 상황이다. 비교 문제에서는 “더 많은(more)”, “더 적은(less)”과 같은 관계를 사용하여 두 양 사이를 비교 하는 상황을 수반한다. 미지수는 대상이거나 비교된 양, 두 양 사이의 차이가 될 수 있다. Fuson(1992)은 자연수 의 덧셈과 뺄셈을 크게는 “비교(Compare)”, “합병 (Combine)”, “첨가에 의한 변화(Change Add To)”, “제 거에 의한 변화(Change Take From)”로 분류하였다. 두 양이 존재하는 경우, 하나의 양을 다른 양과 비교하거나, 하나의 양을 다른 양에 합병할 수 있다. 반면, 오직 하나 의 양이 존재하는 경우, 그것에 다른 양이 첨가되거나, 그것의 부분이 제거될 수 있다.
Greer(1992)는 곱셈의 상황을 “동치 묶음(Equal Groups)”, “곱셈적 비교(Multiplicative Comparison)”,
“조합(Cartesian Product)”, “직사각형 넓이(Rectangular Area)”로 분류하였다. 동치 묶음은 “세 명의 아이들이 각각 4개의 과자를 가지고 있습니다. 아이들이 가지고 있는 과자는 모두 몇 개입니까?”와 같이 각 묶음에 같은 수를 갖는 여러 묶음을 가지고 있는 상황을 말한다. 곱 셈적 비교는 기준이 되는 한 집합의 크기와 다른 집합의 크기를 비교하여, 제시되지 않은 집합의 크기가 기준이 되는 집합 크기의 몇 배가 되는지를 구하는 상황이다.
일반적으로 “~배 만큼”의 단어가 포함된 상황을 의미한 다. 조합(Cartesian Product)은 각 쌍의 처음 수가 이 라는 집합에, 두 번째 수는 이라는 집합에 속할 때 형 성될 수 있는 순서쌍의 수인 × 을 의미한다. 조합 문제는 두 개의 원소가 쉽게 교환될 수 있으므로 대칭적 이다. 이런 구조는 곱셈에 대한 언어적 암시가 없어서 학생들로 하여금 덧셈의 경우로 생각하게 할 수 있다 (English & Halford, 1995). 카테시안 곱은 두 개의 집합
과 의 교차곱으로 집합 의 각 수들이 집합 의 각 수들과 차례로 짝지어질 수 있는 조합의 집합으로 볼 수 있다(예 : “희진이는 3개의 블라우스와 4개의 치 마를 가지고 있습니다. 희진이가 서로 다른 블라우스와 치마를 입을 수 있는 방법은 모두 몇 가지입니까?”). 직
사각형 넓이는 가로가 cm, 세로가 cm인 직사각형의 넓이를 구하는 상황이다. 직사각형의 넓이는 직사각형에 가로와 세로가 cm인 정사각형(단위넓이)이 몇 번 들 어가는지 세어 구할 수 있다. 또한 직사각형 넓이는 행 열의 직사각형 정렬과 유사하다. 이 곱셈의 넓이 모델은 곱셈의 시각적 구조와 곱셈의 교환법칙을 직관적 으로 쉽게 알 수 있다는 점에서 유용한 모델이다. 나눗 셈 문장제의 의미론적 구조로는 대부분 등분제와 포함제 로 나눈다. 등분제는 승수에 의한 나눗셈으로 정의하고, 포함제는 피승수에 의한 나눗셈으로 정의한다(Greer, 1992). 국내 연구에서는 곱셈과 나눗셈의 상황을 동수누 가, 비교, 비율, 조합, 정렬로 분류하고 있다(남승인․서 찬숙, 2004; 이종욱, 2007).
Ⅲ. 연구 방법
본 연구는 자연수와 분수의 각 연산에 대한 학생의 이해를 관계적 측면에서 세밀하게 조사하기 위한 것이므 로 정성적 사례 연구(Qualitative Case Study) 방법을 사 용하였다.
1. 연구 대상
본 연구에서는 서울에 소재한 A대학교 수업에 참여 한 초등학교 4, 5, 6학년 20명의 학생들 중 10명의 학생 들을 대상으로 설문과 면담을 실시하였다. 4학년 1명(여 학생 1명), 5학년 7명(여학생 3명, 남학생 4명), 6학년 2 명(여학생 1명, 남학생 1명)으로 가정의 사회경제적 수준 은 대부분 중위권의 학생이었고, 수학 성취도는 대부분 상 수준으로 자연수의 사칙연산과 분수의 사칙연산이 모 두 가능하였다. 참여자 선정은 설문에 충실히 응답하였 거나, 자연수와 분수 연산에 대한 학생들의 이해에 대해 좀 더 알아볼 필요가 있는 학생들로 연구자가 임의적으 로 선정하였다.
2. 연구 설계
학생이 자연수의 사칙연산과 분수의 사칙연산을 어떻 게 관련지어 이해하고 있는지 알아보기 위하여 4, 5, 6학
년 10명을 대상으로 설문과 면담을 실시하였다. 학생의 일반적인 수학 수준과 수학적 성향 및 사회적 배경에 관 한 정보를 알기 위해 진단평가, 사회적 배경 관련 설문 을 실시하였다. 학생들이 자연수의 사칙연산과 분수, 분 수의 사칙연산을 어떤 의미로 이해하고 있는지 알아보기 위한 설문을 실시하였다. 진단평가를 통해 자연수의 사 칙연산과 분수의 사칙연산의 계산 능력을 측정하였고, 자연수의 사칙연산과 분수의 사칙연산 문장제 해결 능력 을 측정하기 위해 문장제 평가를 실시하였다. 설문지와 평가지1)의 결과를 토대로 분석 틀을 고안하고, 그 분석 틀에 기초하여 면담지를 작성한 후 학생들과 반구조화 면담을 실시하였다. 설문지와 평가지로 확인할 수 없는 부분들에 대해서는 개별 면담을 실시하여 확인하였다.
모든 개별 면담은 비디오로 촬영하여 전사하였다.
3. 자료 수집 및 분석
학생이 작성한 설문지와 평가지, 면담 과정이 녹화된 비디오테이프, 면담 과정에서 학생이 작성한 활동지와 면담지, 연구자가 적은 기록물과 녹음 내용 등의 자료를 수집하였다. 본 연구에서는 가설을 설정하고 증명하는 과정의 일반적인 연역적 연구법과 달리 정보를 귀납적 추론의 과정을 거쳐 분석하는 일정 비교 분석법 (Constant Comparative Method)을 사용하여 자료를 분 석하였다(Merriam, 1998). 연구자는 면담, 현장일지나 혹 은 기타 문서로부터 얻은 자료를 바탕으로 특정한 관점 을 가지고 같은 자료로부터 혹은 다른 자료와 비교하면 서 지속적으로 자료 분석을 하였다. 이러한 방법으로 수 집된 자료들을 계속해서 비교하면서 연산에 대한 특정한 이해 범주를 구성하고, 특정 범주의 특성 또는 범주들 간의 특성을 조사하였다.
학생들이 자연수와 분수의 사칙연산을 어떤 의미로 이해하고 있는지 알아보기 위하여 자연수와 분수의 사칙 연산의 의미 이해 설문지와 자연수와 분수의 사칙연산 문장제 평가지를 각각 실시하였다. 설문 결과를 토대로 분석 틀을 만들고, 학생들과의 면담을 통해서 자연수의
1) 본 연구에서 사용한 설문지, 면담지 및 문장제 평가지의 내 용은 본 연구의 선행연구인 김경미․황우형(2009)과 김경 미․황우형(2011)의 논문을 참조한다.
사칙연산에 대한 학생들의 이해 범주와 분수의 사칙연산 에 대한 학생들의 이해 범주 사이의 관련성을 분석하였 다. 자연수의 사칙연산과 분수의 사칙연산을 같은 의미 로 이해하고 있는 경우와 그렇지 않은 경우 연산에 대한 학생의 개념적 이해와 문제해결에서의 특성을 살펴보고, 자연수의 사칙연산을 어떤 의미로 이해하는 것이 분수의 사칙연산으로의 개념 구조 확장을 용이하게 하는지도 살 펴보았다.
Ⅳ. 연구 결과 및 분석
1. 자연수와 분수 연산에 대한 학생의 이해
자연수의 사칙연산과 분수의 사칙연산에 대한 학생들 의 이해는 각 연산에 대하여 학생이 작성한 의미와 표 상, 문제 상황의 의미론적 구조, 문제 해결 방법에 기초 하여 분석을 하고 면담을 통해 최종 확정하였다. 이해 범주에 대한 설명은 선행연구인 황우형, 김경미(2008), 김경미, 황우형(2009), 김경미, 황우형(2011)에 자세히 기 술하였으므로, 본 논문에서는 간략히 설명하기로 한다.
<표 1>은 본 연구에 참여한 학생들이 자연수의 사칙연 산과 분수의 사칙연산을 어떤 의미로 이해하고 있는지 분석한 결과표이다.
1) 자연수와 분수의 덧셈
10명의 학생들을 대상으로 자연수와 분수의 덧셈을 어 떤 의미로 이해하고 있는지 분석한 결과 자연수의 덧셈은
“첨가”, “합병”, “뺄셈의 역”, 분수의 덧셈은 “첨가”, “합 병”, “뺄셈의 역”, “분수의 덧셈 절차”로 범주화되었다.
자연수와 분수의 덧셈의 이해 범주에서 “첨가”는 덧 셈을 하나의 양에 다른 양을 더 첨가하거나 늘리는 상황 으로 이해하는 경우이고, “합병”은 덧셈을 두 개의 독립 된 양을 동시에 모아 하나의 양으로 합치는 상황으로 이 해하는 경우이다. 이는 Ⅱ장에서 살펴 본 Fuson(1992)의
“첨가에 의한 변화”, “합병”과 각각 동일한 의미이다.
“뺄셈의 역”은 학생 F에게서만 나타난 것으로 덧셈을 뺄셈의 역으로 이해하고 있는 경우로, F는 자연수와 분 수의 덧셈과 뺄셈을 모두 덧셈과 뺄셈의 역의 관계를 이 용하여 개념화하고 있었다. 그리고 자연수의 덧셈과 달
<표 1> 자연수와 분수의 사칙연산에 대한 학생의 이해
학생연산 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈
자연수 분수 자연수 분수 자연수 분수 자연수 분수
A 합병 합병 제거 제거 곱셈적 비교 곱셈적 비교 등분할,
측정 등분할, 측정
B 첨가 분수의
덧셈 절차 제거 제거 동치묶음 분수의 곱셈
절차 측정 *분수의
나눗셈절차
C 첨가 첨가 제거 제거 곱셈적 비교 곱셈적 비교 등분할 *등분할
D 첨가 첨가 제거 제거 곱셈적 비교 곱셈적 비교 등분할 측정
E 첨가 첨가 제거 제거 동치묶음 동치묶음 등분할 *등분할
F 첨가
뺄셈의 역 첨가,
뺄셈의 역 제거, 덧셈의 역
덧셈의제거, 역
동치묶음, 곱셈적 비교, 나눗셈의 역
부분중의부분, 곱셈적 비교, 나눗셈의 역
등분할측정 등분할 측정 G 첨가, 합병 분수의
덧셈 절차 제거 제거 동치묶음 동치묶음 등분할 *분수의
나눗셈절차
H 첨가, 합병 첨가, 합병 제거, 덧셈적비교
덧셈적제거, 비교
동치묶음,
직사각형 넓이 동치묶음 측정 측정
I 첨가, 합병 첨가, 합병 제거 제거 동치묶음 부분중의부분 등분할,측정 측정
J 첨가 합병 제거,
덧셈적비교 제거 동치묶음,
직사각형 넓이 동치묶음, 부분중의부분
(동수누측정
감) 곱셈의 역
* : 연산의 의미를 정확히 이해하지 못함
리 분수의 덧셈은 “분수의 덧셈 절차”라는 이해 범주가 추가되었는데, 그 이유는 몇 몇 학생들(학생 B, 학생 G) 이 분수의 덧셈의 의미를 분수의 덧셈 방법과 동일시하 여 이해하고 있었기 때문이다. 이것은 동분모 분수의 덧 셈보다 이분모 분수의 덧셈에 대한 학생들의 이해에 더 많이 나타났다. 예를 들어, 분수의 덧셈을 특정 상황과 연결 지어 이해하기 보다는 “분모를 통분해서 더하는 것”과 같이 분수의 덧셈의 계산 절차를 분수의 덧셈의 의미로 이해하고 있는 경우를 말한다.
<그림 3> E가 작성한 분수 덧셈의 첨가 상황 자연수와 분수의 덧셈에 대한 학생들의 이해를 분석
한 결과 자연수의 덧셈을 첨가의 상황으로 이해하고 있 는 학생이 9명으로 가장 많았고, 합병의 상황으로 이해 하고 있는 학생이 4명, 뺄셈의 역의 상황으로 이해하고 있는 학생이 1명이었다. 학생 F는 유일하게 자연수의 덧 셈을 뺄셈의 역의 상황으로 이해하고 있었던 학생이었 다. 다음은 자연수의 덧셈 ‘3+5’의 상황을 나타내는 문제 를 만들고 문제 상황을 그림으로 나타내어 풀게 했을 때 학생 F가 작성한 내용이다.
<그림 4> F가 작성한 자연수 덧셈의 뺄셈의 역 상황 분수의 덧셈에서도 첨가의 상황으로 분수의 덧셈을 이해하고 있는 학생이 8명으로 가장 많았으며, 합병의 상황으로 이해하고 있는 학생이 4명, 뺄셈의 역의 상황 으로 이해하고 있는 학생이 1명(학생 F)이었다. 대다수
의 학생들이 자연수의 덧셈과 분수의 덧셈을 첨가의 상 황으로 이해하고 있었고, 자연수의 덧셈과 분수의 덧셈 을 같은 의미로 이해하고 있었다. 다음은 자연수와 분수 의 덧셈을 첨가와 합병의 상황으로 이해하고 있는 학생 I와의 면담내용이다.
0 R : 자연수의 덧셈의 의미는?
1 I : 자연수가 두 개가 있을 때 한 자연수에다가 다 른 자연수만큼 더하는 것. 얹어 주는 것 2 R : 더한다는 것의 의미는요?
3 I : 합치는 거하고요, 더 위에다가 올려 주는 거요.
(중략) 4 R : 분수에서 덧셈의 의미는요?
5 I : 분수는요 1이 안되니까 합치는 것 같은데요. 더 추가하는 것도 있고요.
학생 I는 자연수의 덧셈과 분수의 덧셈을 같은 의미 로 이해하고 있었고, 이전 경험들을 통해 분수는 1미만 의 수라는 잘못된 개념이미지를 갖고 있었다. 학생 I는 면담과정에서 “자연수는 크게 단위를 나타내는데 분수는 세세한 부분까지 나타내며, 분수는 대부분 1미만인 수를 나타낼 때 분수를 쓴다”고 말하였다.
2) 자연수와 분수의 뺄셈
학생들이 자연수와 분수의 뺄셈을 어떤 의미로 이해 하고 있는지 분석한 결과 자연수의 뺄셈은 “제거”, “덧 셈적 비교”, “덧셈의 역”, 분수의 뺄셈은 “제거”, “덧셈적 비교”, “덧셈의 역”, “분수의 뺄셈 절차”로 범주화되었다.
자연수와 분수의 뺄셈에서 “제거”는 뺄셈을 주어진 집합 으로부터 부분 집합이 없어지거나 가져가는 상황으로 이 해하고 있는 경우이고, “덧셈적 비교”는 뺄셈을 두 개의 서로소 집합을 비교하는 상황으로 보편적으로 두 집합의 크기의 차를 구하는 것으로 이해하는 경우이다. 이는 Ⅱ 장에 살펴 본 Fuson(1992)의 “제거에 의한 변화”, “비교”
와 각각 동일한 의미이다. “덧셈의 역”은 뺄셈을 덧셈과 뺄셈의 역의 관계를 이용하여 이해하고 있는 경우이다.
덧셈에서와 마찬가지로 분수의 뺄셈에서만 “분수의 뺄셈 절차”라는 이해 범주가 추가되었는데, 이는 분수의 뺄셈 을 특정 상황과 연결 지어 이해하기 보다는 “분모를 통 분해서 빼는 것”과 같이 분수의 뺄셈의 계산 절차를 분 수의 뺄셈의 의미로 이해하고 있는 경우를 말한다.
자연수와 분수의 뺄셈에 대한 학생들의 이해 분포를
알아본 결과 본 연구에 참여한 모든 학생이 자연수의 뺄 셈을 제거 상황으로 이해하고 있었다. 자연수의 뺄셈을 제거 상황과 더불어 덧셈적 비교의 상황으로 이해하고 있는 학생이 2명(학생 H, J), 덧셈의 역의 상황으로 이해 하고 있는 학생이 1명(학생 F)이었다. 자연수의 뺄셈을 덧셈적 비교의 상황 즉, 두 양의 차로만 이해하고 있는 학생은 없었다. 학생 H만이 유일하게 자연수의 뺄셈을 덧셈적 비교의 상황으로 이해하고 있었던 학생인데, <그 림 5>에서 알 수 있듯이 자연수의 뺄셈 문제로 두 사람 이 가지고 있는 돌의 개수의 차를 물어보는 문제를 만들 었다.
<그림 5> J가 작성한 자연수의 뺄셈의 비교 상황 학생 H를 제외한 나머지 학생들은 뺄셈을 두 대상을 비교하여 그 차이를 구하는 것보다 전체 대상에서 부분 을 제거하는 것으로 이해하고 있었으며, 그 이유는 학생 들의 일상생활 속에서 뺄셈이 제거의 상황으로 더 빈번 하게 사용되고 있었기 때문이었다.
분수의 뺄셈도 본 연구에 참여한 모든 학생이 제거의 상황으로 이해하고 있었다. 다음은 학생 A가 작성한 분 수의 뺄셈 문장제이다. 대부분의 학생들이 분수의 뺄셈 문제를 만들어보라고 했을 때, <그림 6>과 비슷한 유형 의 문제를 만들었다.
<그림 6> A가 작성한 분수의 뺄셈의 제거 상황 학생 F 역시 유일하게 분수의 뺄셈을 제거 상황과 더
불어 덧셈의 역의 상황으로도 이해하고 있던 학생이었는 데, 분수의 뺄셈 문제를 분수의 덧셈과 뺄셈의 역의 관 계를 이용하여 <그림 7>과 같이 덧셈 상황으로 만들었 다. 면담과정에서 학생 F는 뺄셈을 검산할 때 덧셈 식 을 사용하기 때문에 이를 응용해서 문제를 만들었다고 하였다.
<그림 7> F가 작성한 분수의 뺄셈의 덧셈의 역의 상황 본 연구에서는 대다수의 학생들이 자연수의 뺄셈과 분 수의 뺄셈을 같은 의미로 이해하고 있었다. 다음은 학생 A가 자연수와 분수의 뺄셈의 관계에 대해 자신이 작성한 다이어그램에 대해 연구자에게 설명한 면담 내용이다.
6 R : (A가 작성한 다이어그램을 가리키며) 이게 자 연수와 분수의 뺄셈의 관계를 그린 거예요?
7 A : 네
8 R : 이것 좀 설명해줄래요?
9 A : 뺄셈도요 공통점을 자연수와 분수로 나눴는데 요, 일단 공통점은 같은 기호를 사용하고요, 무엇을 없애거나 어떤 걸 사라지게 하구요, 차 나 빼다는 의미로 불리고 있고요, 기호로는 빼 기나 같습니다란 것을 사용하고 있고요, 자연 수는 자연수로 간단하다 했는데, 예를 들어 5 처럼 간단하지만 분수는 섬세해서 소수점 100 분의 56처럼 자세히 표현한 것 같고요, 자연수 할 때 뺄셈의 예는 5 빼기 4 고요, 그리고 단 위나 만의 자리, 천의 자리처럼 사용하고요, 받아내림도 사용하고요, 그리고 분수는 소수로 도 나타낼 수 있고, 받아내림이 있고요, 약분 과 분모, 분자가 있어요.
학생 A는 자연수의 뺄셈과 분수의 뺄셈이 같은 기호 를 사용하고, 무엇을 없애거나 사라지게 하며, 제거와 덧 셈적 비교의 의미를 가진 점을 공통점으로 생각하였다.
학생 A는 기호와 같은 피상적 요소와 연산의 의미론적 구조와 같은 개념적 요소를 이용하여 자연수의 뺄셈과 분수의 뺄셈을 연결하고 있었다.
<그림 8> A가 작성한 자연수와 분수의 뺄셈 관계
3) 자연수와 분수의 곱셈
학생들이 자연수와 분수의 곱셈을 어떤 의미로 이해 하고 있는지 분석한 결과 자연수의 곱셈은 “동치묶음”,
“곱셈적 비교”, “직사각형 넓이”, “나눗셈의 역”, 분수의 곱셈은 “부분 중의 부분”, “동치묶음”, “곱셈적 비교”,
“분수의 곱셈 절차”로 범주화되었다.
자연수와 분수의 곱셈에 대한 학생들의 이해 범주를 각각 나누어 설명하면, 자연수의 곱셈에서 “동치묶음”은 각 묶음에 같은 수를 갖는 여러 묶음을 가지고 있는 상 황으로 곱셈을 “2 곱하기 3이란 2를 3번 더한 것”(EI)과 같이 동수누가의 의미로 이해하고 있는 경우이다. “곱셈 적 비교”는 자연수의 곱셈을 한 양이 몇 배로 늘어나는 것으로 이해하는 경우이고, “직사각형 넓이”는 자연수의 곱셈을 어떤 대상을 가로와 세로로 정렬하는 상황 또는 가로의 길이와 세로의 길이가 자연수인 직사각형의 넓이 를 구하는 상황으로 이해하는 경우이다. 이는 Ⅱ장에서 살펴본 Greer(1992)의 “동치묶음”, “곱셈적 비교”, “직사 각형 넓이”와 각각 동일한 의미이다. “나눗셈의 역”은 곱셈과 나눗셈의 역의 관계를 이용하여 자연수의 곱셈을 나눗셈의 역으로 이해하고 있는 경우이다.
분수의 곱셈에서 “부분 중의 부분”은 분수의 곱셈을 부분의 부분을 구하는 것으로 이해하는 경우를 말한다.
예를 들어, “한 분수가 다른 분수만큼 있을 때 분수의 값(F16:2)2)”, “전체를 2로 나눈 것에서 3으로 나눈 것 중 2) 본 논문에서는 코딩 표시를 통해 제시된 자료에 대한 학생 정보와 자료 출처를 알 수 있게 하였다. (F16:2)는 학생 F가 작성한 분수의 곱셈의 의미 표상에 대한 코딩번호로 “F16:2”
은 학생 F의 자료 16번째에서 학생이 기술한 2번째 내용을
의 2개만큼 있는 것(I38:1)” 등과 같이 분수의 곱셈을 부 분의 부분을 구하는 상황으로 이해하고 있는 경우이다.
“곱셈적 비교”는 분수의 곱셈을 기준이 되는 한 집합의 크기를 분수 배로 늘리거나 줄어들게 하는 것으로 이해 하는 경우를 말한다. 예를 들어, “1/2을 1/2배로 줄여주 는 것(A18:2)”, “몇 배 한다(C40:7)”와 같이 분수의 곱셈 을 배의 의미로 이해하고 있는 경우 곱셈적 비교로 범주 화하였다. “동치묶음”은 각 묶음에 같은 수를 갖는 여러 묶음을 가지고 있는 상황으로 분수의 곱셈을 자연수 곱 셈의 동치묶음 상황으로 이해하고 있는 경우를 말한다.
예를 들어, “어떤 분수에 어떤 분수만큼 더한다(E18:2)”,
“예를 들면 1/2×1/2는 1/2을 1/2번 더한 것이다(J26:2)”와 같이 분수의 곱셈을 동수누가의 의미로 이해하고 있는 경우이다. “분수의 곱셈 절차”는 학생들이 분수의 곱셈 을 특정 상황과 연결 지어 이해하기 보다는 “분모는 분 모끼리 곱하고, 분자는 분자끼리 곱하는 것(B16:2)”과 같 이 분수의 곱셈의 계산 절차를 분수의 곱셈의 의미로 이 해하고 있는 경우를 말한다.
자연수와 분수의 곱셈에 대한 학생들의 이해 분포를 알아본 결과 자연수의 곱셈을 동치묶음의 상황으로 이해 하고 있는 학생이 7명으로 가장 많았고, 곱셈적 비교의 상황으로 이해하고 있는 학생이 3명, 직사각형 넓이 상 황으로 이해하고 있는 학생이 2명, 나눗셈의 역으로 이 해하고 있는 학생이 1명이었다. 분수의 곱셈도 분수의 곱셈을 동치묶음의 상황으로 이해하고 있는 학생이 4명, 곱셈적 비교의 상황으로 이해하고 있는 학생이 4명, 부 분 중의 부분의 상황으로 이해하고 있는 학생이 3명, 분 수의 곱셈 절차로 이해하고 있는 학생이 1명(학생 B)이 었다. 그리고 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 같은 의미 로 이해하고 있는 학생이 5명이고, 다른 의미로 이해하 고 있는 학생이 5명이었다. 덧셈, 뺄셈과 다르게 절반의 학생들이 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 다른 의미로 이해하고 있었다. 이것은 분수의 곱셈이 자연수의 곱셈 의 의미와는 다른 개념을 가지고 있기 때문이다.
자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 곱셈적 비교 상황의 같은 의미로 이해하고 있던 학생 A, C, D는 “어떤 수를 곱하는 수만큼 배로 늘려주기 때문에” 자연수와 분수의
의미한다. 학생 식별문자 뒤에 숫자가 없이 I 기호가 적힌 경우는 면담자료를 의미한다.
곱셈이 같은 의미라고 하였고, 자연수와 분수의 곱셈을 모두 동치묶음 상황으로 이해하고 있던 학생 G는 “둘 다 어떤 수에 어떤 수번을 더하는 것이기 때문”이라고 하였다. 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 다른 의미로 이 해하고 있었던 학생들은 어떤 의미론적 구조로 이해하고 있느냐에 따라서 다양한 결과가 나왔다. 자연수의 곱셈 을 동치묶음의 의미로, 분수의 곱셈을 부분 중의 부분의 의미로 이해하고 있던 학생 I는 자연수의 곱셈은 자연수 가 승수만큼 반복된다는 뜻인 반면 분수의 곱셈은 분수 안에 분수만큼을 의미하기 때문에 다른 의미를 가진다고 하였다.
<그림 9> I가 작성한 자연수와 분수의 의미 관계
4) 자연수와 분수의 나눗셈
학생들이 자연수와 분수의 나눗셈을 어떤 의미로 이 해하고 있는지 분석한 결과 자연수의 나눗셈은 “등분 할”, “측정”, “곱셈의 역”, 분수의 나눗셈은 “등분할”, “측 정”, “곱셈의 역”, “분수의 나눗셈 절차”로 범주화되었다.
자연수와 분수의 나눗셈에 대한 학생들의 이해 범주 도 각각 나누어 설명하면, 자연수의 나눗셈에서 “등분 할”은 전체를 똑같은 양으로 나누는 것 즉, 전체 양을 여러 사람에게 동일한 양으로 분배했을 때 한 사람이 가 지게 되는 몫을 구하는 등분제 상황으로 자연수의 나눗 셈을 이해하는 경우이고, “측정”은 전체를 몇 씩 묶는 상황이나 전체에 부분이 몇 번 들어가는지 알아보는 것 즉, 포함제 상황으로 자연수의 나눗셈을 이해하는 경우 이다. “곱셈의 역”은 자연수의 곱셈과 나눗셈의 역의 관 계를 이용하여 자연수의 나눗셈을 곱셈의 역의 의미로 이해하고 있는 경우이다.
분수의 나눗셈에서 “등분할”은 “2/3를 똑같이 4개로 나누는 것(A23:2)”, “어떤 분수에 어떤 분수만큼 나눠 갖 는다(E23:2)”와 같이 분수의 나눗셈을 등분제 상황으로 이해하는 경우이다.
<그림 10> I가 작성한 분수의 나눗셈의 등분할 상황
“측정”은 “1/2 안에 1/4이 몇 번 들어있는지(I39:4)”,
“4를 2/3씩 떼어내는데, 몇 번 떼어냈는지(I41:7)”와 같이 전체에 부분이 몇 번 포함되는지 알아보는 것이다.
<그림 11> D가 작성한 분수의 나눗셈의 측정 상황
“곱셈의 역”은 분수의 나눗셈을 분수의 곱셈의 반대 로 이해하고 있는 경우이다. 예를 들어, 2/3÷4에서 나누 기의 의미로 “2/3를 1/4과 곱하는 것이다(J21:2)”라고 쓴 경우처럼 분수의 나눗셈의 의미를 분수의 곱셈의 역으로 이해하고 있는 경우를 말한다. “분수의 나눗셈 절차”는 곱셈의 이해 범주와 마찬가지로 분수의 나눗셈을 특정 상황과 연결 지어 이해하기 보다는 “역수해서 곱하는 것”(BI), “무엇에서 무엇을 나누고 또 곱하는 것(B21:2)”
과 같이 분수의 나눗셈의 계산 절차를 분수의 나눗셈의 의미로 이해하고 있는 경우를 말한다.
자연수와 분수의 나눗셈에 대한 학생들의 이해 분포 를 알아본 결과 자연수의 나눗셈은 많은 학생들이 등분 할의 상황으로 이해하고 있는 반면, 분수의 나눗셈은 등 분할과 측정 상황으로 이해하고 있는 빈도수가 비슷하게 나타났다. 특히 분수의 나눗셈을 어떤 의미 상황과 연결 짓지 못하고 분수의 나눗셈 절차로만 이해하고 있는 학
생들도 있었다. 그리고 곱셈과 마찬가지로 절반의 학생 들이 자연수의 나눗셈과 분수의 나눗셈을 다른 의미로 이해하고 있었다. 다음은 자연수와 분수의 나눗셈을 모 두 측정 상황으로 이해하고 있던 학생 H와의 면담내용 이다.
10 R : 자연수의 나눗셈과 분수의 나눗셈이 같은 의 미라고 생각해요?
11 H : 네 12 R : 왜요?
13 H : 둘 다 나누기 전의 수에 나누는 수가 몇 번 들어가는 것이기 때문에요.
학생 H는 자연수의 나눗셈을 등분할 상황으로 이해 하고 있던 다른 학생들보다는 좀 더 자연스럽게 자연수 의 나눗셈을 분수의 나눗셈에 연결하여 개념화하고 있었 다. 자연수의 나눗셈을 등분할 상황으로만 이해하고 있 었던 몇 몇 학생들(학생 C, E, G)은 자연수의 나눗셈의 등분할의 의미를 분수의 나눗셈으로 연결하면서 개념 구 성에 어려움을 겪었으며, 적절하게 분수의 나눗셈을 개 념화하지 못하였다.
본 연구에 참여한 학생들은 대부분 자연수의 연산에 대한 의미론적 구조에 기반하여 분수 연산을 개념화하고 있었다. 덧셈과 뺄셈은 동일한 의미론적 구조로 자연스 럽게 연결된 반면, 곱셈과 나눗셈에서는 자연수의 이전 지식이 인지적 장애로 분수의 곱셈과 나눗셈의 개념 이 해를 방해하기도 하였다.
2. 자연수 연산 지식과 분수 연산의 개념화
본 연구에서는 자연수 연산에 대한 지식과 분수 연산 의 개념화 사이에 어떤 관련성이 있는지 알아보기 위해 서 자연수 연산과 분수 연산에 대한 학생들의 이해 범주 사이의 관련성을 분석하고, 각 사례별로 학생들과의 면 담을 통해 연산에 대한 학생들의 개념적 이해 수준을 파 악하였다. 또한 자연수의 사칙연산과 분수의 사칙연산을 같은 의미로 확장하는 것이 분수 연산의 개념적 이해에 도움이 되는지 아니면 자연수의 사칙연산과 분수의 사칙 연산을 별개의 연산으로 구분하여 다른 의미로 이해하는 것이 분수 연산의 개념적 이해에 도움이 되는지 학생들 이 작성한 설문 내용과 문제 해결, 면담 내용을 지속적 으로 비교 분석하였다. 그리고 자연수와 분수의 각 연산
을 어떤 의미로 이해하는 것이 자연수의 사칙연산과 분 수의 사칙연산을 자연스럽게 연결하여 연산에 대한 학생 의 개념 구조를 확장할 수 있을지에 대해 고찰해 보았다.
1) 자연수와 분수의 덧셈과 뺄셈의 관련성
자연수의 덧셈과 분수의 덧셈을 같은 의미로 이해하 는 것과 다른 의미로 이해하는 경우는 분수의 덧셈의 개 념적 이해 발달에 큰 차이를 보이지 않았다. 그러나 분 수의 덧셈을 어떤 상황과 관련지어 이해하기 보다는 덧 셈 절차와 동일시하여 이해하고 있는 경우에는 문장제 해결에 있어 적절하지 않은 표상을 나타내었다. 마찬가 지로 자연수의 뺄셈과 분수의 뺄셈도 같은 의미로 이해 하는 것과 다른 의미로 이해하는 경우는 분수의 뺄셈의 개념적 이해 발달에 큰 차이를 보이지 않았다.
덧셈과 뺄셈에서는 많은 학생들이 자연수의 덧셈과 분수의 덧셈을 같은 의미로 확장하고 있었으며, 몇몇 학 생들은 이분모 분수의 덧셈과 뺄셈을 배울 때부터 자연 수의 덧셈, 뺄셈과 분수의 덧셈, 뺄셈을 다른 의미로 구 별하여 이해하기 시작하였다. 자연수와 분수의 덧셈을 같은 의미로 이해하고 있던 학생들 대부분은 “자연수의 덧셈과 분수 덧셈 모두 추가한다라는 뜻을 가지고 있기 때문에”(C5:3), “둘 다 어떤 수와 어떤 수만큼 늘어나는 것이기 때문에”(E6:3) 자연수와 분수의 덧셈은 같은 의 미라고 말하였다. 그러나 같은 의미로 이해하고 있던 학 생들 중에는 “자연수 더하기 자연수는 1보다 큰 수를 더 하는 것이고, 분수 더하기 분수는 1보다 작은 수를 분수 로 고쳐서 더한 것이다.”(G6:3), “분수는 분자와 분자를 더하거나 맞지 않으면 통분을 해서 구해야 하기 때문 에”(B6:3) 자연수와 분수의 덧셈은 다른 의미라고 생각 하는 학생들도 있었다. 자연수와 분수의 뺄셈을 같은 의 미로 이해하고 있는 대부분의 학생들도 자연수와 분수의 뺄셈을 같은 의미라고 생각하는 이유로 뺄셈의 의미론적 측면을 제시하였다(예를 들어, “두 수 다 없애거나 비교 하기 때문에”(H11:3), “자연수 빼기와 분수 빼기는 똑같 이 ‘덜어내다’, ‘뺏어간다’라는 뜻을 갖고 있다.”(D12:3)).
본 연구에서는 자연수의 덧셈과 뺄셈에 대한 지식은 분수의 덧셈과 뺄셈의 개념화에 매우 큰 영향을 주지는 않았다. 다만 다양한 의미 상황으로 이해하고 있는 학생 들과 한 가지 의미로만 이해하고 있는 학생들 간에 문제
해결 능력과 표상에서 약간의 차이가 발견되었다. 그러나 그 차이는 교육적인 이슈가 될 만한 수준은 아니었다.
2) 자연수와 분수의 곱셈과 나눗셈의 관련성 곱셈과 나눗셈에서는 자연수의 곱셈과 나눗셈에 대한 지식과 분수의 곱셈과 나눗셈의 개념화 사이에 관련성이 발견되었다. 우선 곱셈에서 자연수의 곱셈과 분수의 곱 셈을 동치묶음의 의미로 동일하게 확장한 학생들은 분수 의 곱셈의 의미를 적절히 개념화하지 못하였고, 분수의 곱셈 상황도 적절하게 만들지 못하였다(<에피소드 1>).
반면, 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 곱셈적 비교의 의 미로 이해하고 있던 학생들은 상대적으로 분수의 곱셈을 자연수의 개념과 자연스럽게 연결하여 개념화하고 있었 다(<에피소드 2>).
학생 E는 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 모두 동치 묶음의 상황으로 이해하고 있었는데, 분수의 곱셈
×
를 “
에
를 두 번 더하는 것”으로 이해하고 있었다. 그래서 각 분모를 6으로 통분하여
으로 계산하였다. 다음 <에피소드 1>은
학생 E와 분수의 곱셈
×
의 의미에 대해 면담한 내용의 일부이다.
<에피소드 1> 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 동치 묶음의 의미로 확장한 경우
14 R : (E가 작성한 설문지를 가리키면서) 2분의 1 곱하기 3분의 2의 상황을 ‘철사가 1/2m 있 었다. 1/2m에다 2/3m를 더 늘렸다면 모두 몇 m인가?’ 이것이 2분의 1 곱하기 3분의 2의 상황이에요?
15 E : 아니요?
16 R : 이건 어떤 문제야?
17 E : 그냥 쓰다가.
18 R : (E가 쓴 곱셈의 의미를 읽으며) 2분의 1에 3 분의 1을 두 번 더하는 거야?
19 E : (아무 말이 없음)
20 R : 2분의 1 곱하기 3분의 1, 여기서 곱한다는 것 은 뭘 의미하는 거예요?
21 E : (아무 말이 없음)
22 R : 그림으로 그려볼래요?
23 E : (그림으로 그린다.)
<그림 12> E가 면담 중 작성한 분수의 곱셈 24 R : 어떻게 한 거예요?
25 E : 공통분모를 6으로 만들어서 여기다가 26 R : (2분의 1을 가리키며) 이건 몇 이예요?
27 E : 6분의 3
28 R : (3분의 2를 가리키며) 이건?
29 E : 6분의 4
30 R : 그래서 서로 곱하는 건 어떻게 하는 거예요?
31 E : 더하는 거
32 R : 곱하는건 더하는 거예요?
33 E : 네
학생 E는 진단평가에서도 분수의 곱셈을 덧셈으로 계 산하였다. E는 분수의 곱셈의 개념을 부적절한 의미로 이해하고 있었는데, 그 이유 중 하나가 자연수의 곱셈의 의미가 분수의 곱셈 의미 형성에 인식론적 장애로 작용 하였기 때문으로 생각되었다.
학생 G 또한 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈의 의미를 동치묶음의 상황으로만 이해하고 있었던 학생인데, G는 (자연수)×(분수)는 자연수의 동수누가의 개념을 이용하 여 문제를 풀었지만, (분수)×(분수)는 문제 상황과 의미 도 적지 못하였고 문제 상황을 그림으로 나타내지도 못 하였다.
이렇듯 자연수의 곱셈을 동치묶음의 의미로만 이해하 고 있었던 학생들은 대부분 분수의 곱셈을 자연수의 곱 셈과 같은 의미로 확장하여 이해하였는데, 이것은 분수 의 곱셈의 개념 이해에 부정적인 영향을 주었다. 반면 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 곱셈적 비교의 의미로 이해하고 있던 학생들은 상대적으로 분수의 곱셈을 자연 수의 개념과 연결하여 자연스럽게 개념화하는 것이 관찰 되었다. 학생 F는 자연수의 곱셈을 동치묶음과 곱셈적 비교의 상황으로 이해하고 있었고, 곱셈과 나눗셈의 역 의 관계를 이용하여 자연수의 곱셈을 나눗셈의 역으로 이해하고 있었던 학생이었다. 학생 F는 분수의 곱셈을 부분 중의 부분과 곱셈적 비교, 나눗셈의 역의 의미로
이해하고 있었는데, 다음 <에피소드 2>는 F와의 면담 내용으로 자연수의 곱셈의 배의 의미를 분수의 곱셈에 연결하여 분수의 곱셈을 곱셈적 비교 상황으로 개념화하 고 있는 것을 잘 보여준다.
<에피소드 2> 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 곱셈 적 비교의 의미로 확장한 경우
34 R : 자연수의 곱셈의 의미에 ‘한 자연수가 다른 자 연수만큼 있을 때 자연수의 값은?’이라고 했네 요. 자연수에서 자연수를 곱할 때 곱하기의 의 미는 뭐라고 생각해요?
35 F : 한 자연수가 다른 자연수만큼 존재할 때 그 값을 구하는 것.
36 R : 예를 들어서 3 곱하기 4를 그림으로 나타내면 요?
37 F : 사과 3개만큼 들어 있는 박스가 4개면 모두 몇 개의 사과가 되는가?
38 R : 그림으로 나타내면요?
39 F : (면담지에 그리면서) 이게 4개면, 사과는 (그림 을 다 그린 후) 전부 다 해가지고 12개 되요.
40 R : 12개?
41 F : (고개를 끄덕인다.)
42 R : 분수에서 곱하기의 의미는요?
43 F : (F가 설문지에 쓴 것을 읽으면서) 한 분수가 다른 분수만큼 있을 때 분수의 값은?
44 R : 그러면은 2분의 1 곱하기 3분의 1을 상황으로 나타내면요?
45 F : (면담지에 직사각형을 그리면서) 이 만큼의 반 개를, 반개를 다시 세 개로 나눈 것 중에 하나 를 구하는 것.
46 R : 그러면 그것은 몇 이예요?
47 F : 6분의 1.
48 R : 왜 6분의 1이예요?
49 F : (직사각형의 위 세 칸을 가리키며) 여기 위에 까지 세 개로 나눈 다음에 보면, 여기가 이렇 게 있고, 아래에 직접 나눈 것은 한 개니깐 칸은 전부다 6개, 색칠한 부분은 하나로, 6분 의 1이예요.
<그림 13> F의 분수의 곱셈
×
개념화(표상)
50 R : 이게 한 분수가 다른 분수만큼 있다는 거예 요?
51 F : (고개를 끄덕이며) 네.
52 R : 2분의 1 곱하기 4는요?
53 F : 2분의 1 곱하기 4는 2분의 1이 4개가 있는 거 니깐, (그림으로 그리면서) 하나, 둘, 셋, 넷 해 가지고 2라는 자연수가 나와요.
<그림 14> F의 분수의 곱셈
× 개념화
54 R : (면담지를 가리키며) 그러면 2분의 1 곱하기 3 분의 1은 2분의 1이 3분의 1개 있다는 건가 요?
55 F : 아니요, 2분의 1이 3분의 1만큼 있다. (만큼이 란 단어를 강조하여 말한다.)
56 R : (면담지에서 2분의 1 곱하기 4를 가리키며) 여 기서는 요?
57 F : 2분의 1이 4만큼 있다.
학생 F는 자연수의 곱셈을 동치묶음과 곱셈적 비교의 상황으로 이해하고 있었는데, 자연수의 곱셈의 배의 의 미를 사용하여 분수의 곱셈의 의미를 부분 중의 부분을 찾는 것으로 개념화하였다. 학생 F는 “배”의 용어보다는
“만큼”의 용어를 사용하여 곱셈적 비교의 상황으로 자연 수의 곱셈 개념을 분수의 곱셈 개념으로 자연스럽게 확 장하였다. 다음은 학생 F에게 분수의 곱셈
×
의 상황을 쓰게 한 설문 결과의 일부이다.
<그림 15> F의 분수의 곱셈 문장제 설정(곱셈적 비교)
<그림 15>에서 학생 F는 분수 3분의 2는 사탕 세 개 중의 두 개로 부분, 전체의 의미를 이용하여 나타내었고, 3분의 2 각각에 1/2배 만큼 곱한 것은 각 사탕의 반이므
로 곱셈의 결과는 사탕 세 개 중의 하나가 되므로 3분의 1로 분수의 곱셈을 구하였다.
학생 C는 유사하게 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 모두 곱셈적 비교 상황 즉, 배의 개념으로 이해하고 있 었는데, 다음은 학생 C와 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈 의 의미에 대해 면담한 내용이다.
58 R : 자연수에서 곱셈의 의미는요?
59 C : 몇 배하다 라든지요. 무엇에 무엇을 몇 배해서 준다든가 또는 사물에 몇 배 한다든가 그렇게 하는 것 같아요.
60 R : 분수에서 곱셈의 의미는요?
61 C : 분수에서 곱셈의 의미는요. 분수에서 곱셈은 요. 자연수에서 곱셈은 더 커지잖아요. 그런 데 분수에서 곱셈은요 더 작아져요.
62 R : 항상 그래요?
63 C : 항상 그런 건 아닌데요. 그 분수에서 작아질 때가 있고 또 커질 때가 있는데. 자연수에서 곱셈을 하면 다 커지잖아요. 그런데 분수에서 곱셈을 하면 커질 때도 있고 작아질 때도 있 는 것 같아요
(중략)
64 R : 그러면 분수에서는 곱하기 한다는 것의 의미 는?
65 C : 일종의 배 한다는 건데요. 의미는 같은데 답이 다르게 나오는 것 같아요.
<그림 16> C의 자연수와 분수의 곱셈의 의미 (곱셈적 비교)
학생 C는 자연수의 곱셈의 배의 의미를 확장하여 분 수의 곱셈을 이해하고 있었는데, 이때 자연수의 곱셈의 결과는 항상 커지지만, 분수의 곱셈은 작거나 클 수 있
고, 약분하는 것을 다른 의미로 분류하여 분수의 곱셈을 개념화하고 있었다. 다음은 학생 C가 자연수의 곱셈 3×4 의 상황과 분수의 곱셈
×
의 상황을 쓰게 한 설문 결과이다.
<그림 17> C의 자연수와 분수의 곱셈 문장제 설정(곱셈적 비교)
학생 C는 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 모두 곱셈 적 비교 상황으로 만들었다. 다음 <에피소드 3-1>과
<에피소드 3-2>은 학생 C가 자연수의 곱셈의 배의 의 미를 이용하여 분수의 곱셈을 개념화하는 과정 중에, 분 수의 곱셈의 형식화를 배의 의미로 정당화하는 과정을 몇 가지 에피소드로 나타낸 것이다.
<에피소드 3-1 : 분수의 곱셈
×
> 분수의 곱셈 의 형식화를 곱셈적 비교(배의 의미)로 정당화하는 과 정
66 R : (곱하기의 의미란) 몇 배인 것 같아요?
67 C : 네. (면담지의
× 을 가리키며) 얘(1)랑 얘(1)랑 곱해서 뭐가 나오고 얘(5)랑 얘(2)랑 곱해서 뭐가 나오는 거잖아요. 그러기 때문에 몇 배가 되는 것 같아요. 그러니까 이 자연수 분자 1은 이쪽의 분자 1이랑 1의 한 배가 되 어서 1이 나오고, 이 5는 여기 2의 두 배가 되어서 10이 나와서 10분의 1이 되는 것 같 아요.
68 R : 5분의 1 곱하기 2분의 1을 그림으로 한 번 나 타내 볼래요?
69 C : (면담지에 쓰면서) 음 몇 곱하기 (면담지에 기 입하면서) 이게 두 개가 되고요 (중얼거리며) 음 이걸 곱해서 이거 물동이의 수는 두 개이 기 때문에 물동이의 수가 2배로 늘어나고 이 게 하나이기 때문에 하나가 되요.
70 R : 다시 한 번 이야기해 봐요.
71 C : 어 얘가 곱하기 2분의 1이면 2 곱하기 5랑 얘 가 없으면 2 곱하기 5기 때문에 물통은 2 곱 하기 5가 10이기 때문에 어 2개가 되어서 10 개의 그게 되고 이쪽을 보면 1 곱하기 1이기 때문에 이 1과 이 1을 곱해서 여기 또 한 칸 이 칠해 져서 10분의 1이 되는 것 같아요.
<그림 18> C의 분수의 곱셈
× 풀이
학생 C는 다른 학생들과 다르게 분수의 곱셈 형식화 를 배의 의미를 이용하여 설명하였다. 5분의 1에 2분의 1을 곱하는 것은 자연수에서와 같이 분모 5에 2배하여 분모는 10이 되는 것이고, 분자 1에 1배하여 분자는 1이 되는 것으로 설명하였다. 연구자는 분수의 곱셈에 대한 학생 C의 개념화 과정을 좀 더 알아보기 위하여 다음과 같이 분수의 곱셈에서 분모와 분자가 약분되는 경우의 분수의 곱셈 과정을 설명하게 하였다.
<에피소드 3-2 : 분수의 곱셈
× > 분수의 곱셈 의 형식화를 곱셈적 비교(배의 의미)로 정당화하는 과 정
72 R : 자 그러면 3분의 2 곱하기 4분의 1은?
73 C : 음 그림을 그려서 보면 (면담지를 가리키며) 이렇게 하면 얘도 이쪽을 안 보면 3이랑 4랑 곱하면 3을 4배하면 12잖아요. 그래서 (면담 지에 쓰면서) 4개가 되어서 이렇게 되는데 이 쪽을 안보고 하면 2 곱하기 1이기 때문에 이 2와 이 1을 곱해서 2가 되요. 12와 2인데 이 계산도 보면 12분의 2는 이렇게 얘가 2가 6 에 연속할 수 있는 2의 약수잖아요 나누어 질 수 있는 수이기 때문에 이렇게 나누어서 2가 12에 6번 들어가기 때문에 6분의 1이 되 는 것 같아요.
<그림 19> C의 분수의 곱셈
×
풀이
학생 C는 이번에도 마찬가지로 분모 곱하기 분모를 먼저 해서 전체 분모의 크기를 구하고 그 다음에 분자 곱하기 분자를 해서 그 수만큼 분모에 표시하여 분수의 곱셈 결과를 구하였다(프로토콜 72-73)3).
74 R : 그러면 그림에서 6분의 1을 설명해 줄래요?
어떻게 해서 6분의 1이 된 건지 그림에서.
75 C : (면담지에 기입하며) 이 12랑 2가 되는 거잖아 요, 이거를 그냥 1로 만들고 이쪽에 1이 이렇 게 되면 바로 이렇게 2개로 이렇게 나누면 이 거가 없어지면 2개를 반으로 나눌 수 있잖아 요. 그래서 이게 있으면 물통이 2개로 늘어나 서 12분의 2가 되는데 12분의 2의 반을 없애 면 6분의 1이 되는 것 같아요. 이렇게 그러니 까 얘 전체가 있는데 이 전체의 얘가 이 전체 를 이 전체가 12개인데 12를 2로 나누는 거잖 아요
76 R : 왜 나눠요? 12분의 2라는 건 어떤 의미에요?
77 C : 12분의 2는 12개 중에 2개가 있는데 이것을 약분을 해서 보면.
(중략)
78 C : 6분의 1이랑 12분의 2는 이 전체가 12인데 이 전체를 반으로 줄여서 6이 되고 이것도 전체 가 2인데 반으로 줄여서 1이 되기 때문에 이 게 두 개가 있으면 12분의 2고 이게 만약에 한 개로 나눠지면 또 6분의 1이 되어서 이렇 게 나오는 것 같아요
면담 과정에서 학생 C는 분수의 비의 의미를 이해하 고 있었고, 그에 기반하여 약분의 의미를 이해하고 있었 다. 그래서 2/12와 1/6을 같은 크기로 이해하고 있었고, 3) 본 논문에서는 내용의 가독성을 높이기 위하여 학생의 분석 내용에 대한 근거에 해당되는 프로토콜의 위치를 함께 기술 하였다. (프로토콜 72-73)은 프로토콜 72번째 줄에서 73번째 줄의 내용에 대한 분석을 의미한다.
자연수의 배의 의미를 사용하여 분수의 곱셈 절차를 이 해하고 있었다.
본 연구에서는 자연수의 곱셈과 분수의 곱셈을 같은 의미로 확장하는 것이 분수 연산의 개념적 이해에 도움 이 되는 경우도 있고, 그렇지 않은 경우도 발견되었다.
자연수 곱셈의 동치묶음의 의미로 분수의 곱셈을 접근하 는 것은 (분수)×(자연수)에서는 쉽게 연결될 수 있겠지 만 (분수)×(분수)에서는 더 혼동을 일으킬 수 있기 때문 이다. 동치묶음의 의미로 곱셈을 이해하고 있는 학생들 은 (분수)×(분수)를 접할 때부터 기존에 가지고 있던 자 신의 곱셈 스키마를 재구성하여야 하는데, 이때 적절한 교수학적 처치가 이루어지고 있지 않아 많은 학생들이 분수의 곱셈을 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱하 는 것으로 즉, 분수의 곱셈 절차를 암기하여 문제를 해 결하고 있었다.
다음은 자연수의 곱셈을 동치묶음의 의미로 이해하고 있고, 분수의 곱셈을 특정한 의미 상황과 연결하지 못하 고 분수의 곱셈 절차로 이해하고 있는 학생 B와의 1차 면담 내용이다.
79 R : 분수의 곱셈에서 곱셈의 의미는 뭐예요?
80 B : 분모가 다를 때는 통분을 해주고, 분자는 분자 끼리 곱하는 것.
81 R : 그것이 분수에서 곱하기의 의미예요?
82 B : 네
83 R : 곱하기 하는 방법이 아니라?
84 B : 아
85 R : 그럼, 곱하기의 의미는 뭘까?
86 B : (바로 대답을 못하고 고개를 숙이고 잠시 생각 한다)
학생 B는 분수의 곱셈의 의미와 분수의 곱셈 방법을 같은 의미로 이해하고 있었고, 분수의 곱셈의 의미를 묻 는 질문에 당황해 하며 대답하지 못하였다. 따라서 연구 자는 학생 B와의 2차면담에서 다시 한 번 분수의 곱셈 의 의미에 대해 물어보았지만 분수의 곱셈을 “분수의 곱 셈은 분모는 분모끼리 곱하고, 분자는 분자끼리 곱하는 거요.(BI)”라고 대답하였고, 분수의 곱셈의 의미는 없다 고 하였다. 학생 B는 수학하면 떠오르는 것에 “더하기, 빼기, 나누기, 곱하기, 분수, 역수”라고 썼으며, 수학은 무엇이라고 생각하느냐는 질문에 “수를 계산하는 것”이 라고 한 학생으로 수학적 성향이 그다지 높지 않은 학생
이었다. 일상생활에서 수학이 어디서 필요한지 물어보았 을 때도 가게에서 계산할 때만 필요하다고 하였다. 수학 에서 가장 어려운 것은 계산이라고 하였는데, 계산 실수 를 잘 해서 계산이 가장 어렵다고 하였다. 학생 B는 곱 셈 뿐 아니라 모든 수 연산을 계산 절차와 연결하여 생 각하고 있었다. 학생 B는 분수의 곱셈 ×
를 나타내 는 상황을 쓰게 했을 때 <그림 20>과 같이 곱셈의 상황 을 기술하지 못하고 “곱하여라”를 이용하여 문제를 만들 었다.
<그림 20> B의 분수의 곱셈 상황 설정 87 R : (B가 설문지에 쓴 것을 읽으면서) 2 곱하기 5
분의 2는 ‘물 2리터에 물 5분의 3리터를 곱하여 라.’ 말고 또 상황을 나타낼 수 없어요?
88 B : 네
학생 B는 1차면담에서 분수의 곱셈 상황과 분수의 곱 셈의 의미를 전혀 말하지 못하였다. 학생 B에게 분수의 곱셈 ×
에서 곱한다는 것은 무엇이라고 생각하는지
질문했을 때 B는 “는
니까 분자끼리 곱한
다.”(B36:2)라고 대답하였고, 분수의 곱셈
×
에서 곱한다는 것이 무엇이라고 생각하는지 질문했을 때 “어 떤 것에 반과 어떤 것을 3으로 나눠서 2를 곱하는 것”(B27:2)으로 대답하였다(<그림 21>). 연구자는 학생 B와의 2차면담에서 분수의 곱셈의 의미에 대하여 다시 한 번 질문 했었다.
<그림 21> B의 분수의 곱셈
× 의 의미
89 R : (B가 쓴 설문지를 보면서) 2분의 1 곱하기 3 분의 2에서 곱하는 것의 의미로 ‘어떤 것에 반과 어떤 것을 3으로 나눠서 2를 곱하는 것’
이라고 했는데
90 B : 2분의 1이라는 것은 어떤 것의 반이고 91 R : 3분의 2라는 것은요?
92 B : 어떤 것을 3으로 나눠서 2를 곱하는 것 93 R : 그렇기 때문에 2분의 1 곱하기 3분의 2라는
것은 이렇게 한다는 거지?
94 B : 네
95 R : 여기서 곱하기의 의미는요?
96 B : 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱하는 것 학생 B는 분수를 연산자의 의미로 이해하고 있었던 유일한 학생이었는데(프로토콜 91-92) 분수의 곱셈을 특 정 상황과 연결 지어 이해하지 못하고 분수의 곱셈의 의 미와 분수의 곱셈 절차를 동일시하고 있었다. 학생 B는 진단평가 결과 46점 만점에 40점을 맞았고, 다른 학생들 보다 계산 능력이 뛰어났다. 우리는 일반적으로 분수 계 산 능력을 통해 분수 연산의 개념 이해 정도를 판단하는 경향이 있다. 그러나 학생 B와 같이 계산 능력은 뛰어나 지만 연산의 의미에 대해 정확히 이해하고 있지 않은 학 생들이 있으므로, 연산의 개념 이해와 연산의 계산 능력 을 동일시해서는 안 될 것이다.
나눗셈도 곱셈과 마찬가지로 자연수의 나눗셈에 대한 지식과 분수의 나눗셈의 개념화 사이에 관련성이 발견되 었다. 본 연구에서는 자연수의 나눗셈과 분수의 나눗셈 을 같은 의미로 확장한 학생들이 많았는데, 특히 몇몇 학생들로부터 자연수의 나눗셈의 등분할의 의미를 분수 의 나눗셈으로 확장하면서 개념 구성에 어려움을 겪는 것이 발견되었다. 학생 C는 자연수의 나눗셈과 분수의 나눗셈을 모두 등분할의 상황으로 이해하고 있는 학생으 로 분수의 나눗셈 개념은 정확하게 이해하고 있지 못하 였다. 다음은 학생 C와 자연수의 나눗셈과 분수의 나눗 셈의 의미에 대해 면담한 내용의 일부분이다.
97 R : 그럼 나눈다는 것은 어떤 상황을 이야기하는 거예요?
98 C : 무엇을 무엇으로 나누거나 어떤 것을 몇 묶음 으로 나누거나 이 어떤 것을 몇 개로 나누거 나
99 R : (6개의 동전을 2개씩 묶는 걸 보여주며) 그럼 6 나누기 2는 6을 2개씩 2개씩 몇 묶음으로
