수 개념 학습에서 수직선의 도입과 활용
김양권1) ․ 홍진곤2)
본 연구는 수직선의 적절한 도입 시기와 활용 방법을 탐구하여 초등학생들의 수 개념 학습 지도를 위한 시사점을 제공하고자 하였다. 이를 위하여 수 개념 형성을 위한 수학적 모델인 수직선, 빈 수직선, 이중 수직선과 수 세기와 수 개념의 발달 유형에 대하여 고찰하였고, 실제 초등학생들의 수직선 도입 시기와 활용 방법에 대 한 사례 연구 결과를 분석하였다. 첫째, 수직선 도입을 2학년부터 실시하여 수직선 의 은유적 개념에 대한 이해를 통해 이어지는 수 개념 학습에 도움이 될 수 있도 록 조정할 필요가 있다. 둘째, 덧셈과 뺄셈과 같은 연산과정에서 다양한 사고 전략 을 시각적으로 그려낼 수 있는 수학적 모델인 빈 수직선과 곱셈적 비교 상황이나 나눗셈이 이루어지는 상황인 등분제와 포함제, 비율이나 비례배분의 이해를 위한 시각적 모델인 이중 수직선을 적극적으로 도입하고 활용할 필요가 있다. 셋째, 수 직선이나 빈 수직선, 이중 수직선을 도입할 때, 수직선의 은유적 개념을 충분히 이 해할 수 있도록 구체적인 안내와 활용 방법에 대한 학습의 필요성을 제안하였다.
주제어: 수직선, 빈 수직선, 이중 수직선, 수 개념 학습
Ⅰ. 서 론
수직선은 수 체계에 대한 좋은 은유이며 수 개념 학습에 유용한 도구이다. 수직선은 바 탕영역(기하)을 목표영역(산술) 위에 겹쳐 놓음으로써 형성된 은유적 혼합이다. 이 혼합은 수-점(number-point), 곧 은유적으로 점인 수이다. 이 혼합은 기하와 산술을 결합하여 목표 영역인 산술에 대한 새로운 추론을 가져다주며, 수 체계의 은유로 수직선을 언급할 수 있 는 것은 수직선을 직관적으로 파악하기 쉽기 때문에 모든 종류의 수, 즉 자연수, 정수, 유 리수, 실수를 수직선 위에 표현할 수 있다. 또한 수직선의 은유적 개념을 사용하면 훨씬 더 복잡한 은유적 개념인 좌표평면을 구성할 수 있다.
수직선은 수와 수의 표현 방식, 수 사이의 관련성을 이해하고 수의 크기를 비교하거나 연산 절차를 구조화하기에 유용한 수학적 도구이기 때문에, 1학년 2학기 자연수의 연산과 관련하여 처음으로 도입되어, 6학년까지 수와 연산, 측정, 규칙성의 영역에서 다양하게 활 용되고 있다.
수직선의 교육적 활용가치가 높음에도 불구하고, 수직선과 관련된 연구는 수직선의 이
1) [제1저자] 솔개초등학교 2) [교신저자] 건국대학교
해에 대한 실태 조사(이상미, 2010)나 수직선의 교육적 활용에 대한 분석 연구(장지영 외, 2013; 김현영, 2010), 수직선의 표기법 연구(서보억 외, 2013) 등이 주를 이루고 있다. 특히 자연수나 분수, 소수의 개념을 포함한 수 체계를 이해하는 내용보다는 사칙연산, 문제해결 중심의 활동이 주를 이루고 있어서 학생들이 수직선을 활용하여 분수나 소수를 표현하거 나 이해하는 면에서 많은 어려움을 겪고 있다. 홍진곤, 김양권(2015)은 초등학교 수학 교과 서의 수직선 활용과 문제점에 관한 연구에서 수직선의 도입 시기, 도입 내용, 활용 방법의 문제점을 확인하였다.
수직선과 관련된 연구들이 제한된 범위에서 수직선 이해 실태 및 활용, 초등학교 수학 교과서에서 수직선의 활용과 문제점 등에 그치고 있어서 실제 초등학생들의 수 개념 학습 에서 수직선의 도입 시기와 활용 방법에 대하여 구체적으로 살펴볼 필요가 있다. 이를 위 해 수 개념 형성을 위한 수학적 모델인 수직선, 빈 수직선, 이중 수직선에 대한 의미와 활 용 방법, 수 세기와 수 개념의 발달 유형에 따른 수직선의 도입 시기와 활용 방법의 적절 성을 살펴보고, 수 개념 학습에서 수직선 도입 시기와 활용 방법에 대한 사례 연구의 결과 를 분석하여 수 개념 학습 지도를 위한 시사점을 제공하고자 한다.
Ⅱ. 문헌 연구
1. 수직선, 빈 수직선, 이중 수직선의 의미와 활용
수학은 형식적 정의를 위한 언어와 은유적 표상을 위한 이미지로 개념을 표현하는 인지 적 사고 과정이다. 수학적 지식의 이해에서 표상은 매우 중요하다. 수학적 지식의 이해는 다양한 수학적인 표상을 생성하고 해석하는 것과 깊이 관련되어 있다(Lesh, Post & Behr, 1987, p.36). 수학적으로 의미 있는 좋은 시각적 표상은 문제를 구조적으로 표현하여 문제 에 나오는 여러 정보를 종합적으로 파악하고 해결 방안을 찾기 쉽게 한다(권석일 외, 2007, p.99). 수학을 학습하는 데 있어 가장 중요한 정신적 표상 중 하나는 수직선이다 (Moeller, Pixner, Kaufmann & Nerk, 2009, p.503; Siegler & Booth, 2005, p.428).
가. 수직선의 의미와 활용
초등학교 수학에서 수는 수 막대나 수모형, 수 트랙, 수직선 등과 같이 다양한 수 모델 로 표현되고 있다. 이 중에서 수직선은 시각화하고 추상화하는 능력을 통해 정신적으로 그리는 수 모델의 한 예시이며, 수 활동을 증진시키는 문제 해결에 대한 구조를 제공하여 특정한 이미지의 형태로 제시되는 근본적인 수 개념이 내적으로 표현되는 한 가지 방식이 다(Siegler & Booth, 2005, p.428; Siegler & Opfer, 2003, p.238). 수 막대나, 수모형, 수 트 랙과 같이 초등학교에서 사용되는 시각적 모델과 달리, 수직선은 학생들의 직관적인 사고 의 활용 폭이 훨씬 더 크다. 학생들은 수직선 모델을 활용하여 100보다 크거나 더 윗자리 에 있는 수를 가지고도 자유롭게 문제를 해결한다. 학생들이 자유롭게 문제를 해결하는 것은 수 관련 문제를 해결하거나 생각하는데 있어 자신만의 다양한 방법을 사용하기 좋은 기회로 작용한다는 것이다.
수직선이 수학적으로 의미 있는 좋은 시각적 표상이며, 직관적인 사고의 활용 폭도 넓 고, 수직선의 은유적 개념을 통해 수 체계에 대한 이해와 좌표평면의 구성에 큰 도움을 주
기도 하지만, 잘못된 사용으로 인한 어려운 점도 고려해야 한다. Doritou(2006, p.215)는 수 개념 학습 초기에 도구로서 수직선의 잘못된 사용이 수 체계의 은유로서의 장점을 약화시 킬 수도 있고 이어지는 수 체계 지식의 재구성에서 학생들에게 약점이 될 수도 있다고 하 였다. 수직선이 수 체계에 대한 좋은 은유이며 수 개념 학습에 유용한 도구이지만, 수 개 념이 형성되기 전의 초등학생은 Herbst(1997, p.40)가 이야기한 수직선의 은유성과 직관적 완비성을 제대로 이해하기 어렵기 때문이라고 예상할 수 있다. 또한 Gray & Doritou(2008, p.103)는 수직선의 의미에 대한 설명을 하지 않고 수직선의 특성을 분명히 하지 않으면 학 생은 수직선을 어려워하고 선과 점 사이에 어떤 관계가 있는지에 대한 개념적인 이해가 발달하지는 않는다고 하였다.
나. 빈 수직선의 의미와 활용
빈 수직선(Empty Number Line, ENL)은 숫자나 표시 없이 표현된 수직선이며, 학생들의 사고 전략을 공유하고 기록하는데 사용되는 시각적 표현 기능에 중점을 둔 수 모델이다.
빈 수직선은 [그림 1]과 같이 덧셈과 뺄셈과 같은 과정들을 수행하는데 사용되는 사고 전 략을 시각적으로 그려내는 기능에 집중한다(Gravemeijer, 1994, p.120).
[그림 1] 빈 수직선의 다양한 사용
Van den Heuvel-Panhuizen(2008, p.14)은 빈 수직선을 100에서 1000까지의 숫자들을 가 지고 계산하는 것을 가르치는 데 가장 중요한 교수학적인 모델 중 하나라고 여기고 있다.
Anghileri & Beishuizen(1998, p.525)에 따르면, “100 이상의 숫자를 표현하는 선 모양의 모델로서 빈 수직선을 선택하는 것(연산 블록과 같이 그룹을 짓는 모델을 선택하는 것 대 신에)은 공식적이지 않은 지식을 기반으로 하는 수를 세는 전략의 우선순위를 반영한다.”
고 하였다. 특히 네덜란드에서는 저학년 이후에 일반적인 알고리즘을 가르치는 것을 늦추 고 그 대신에 덧셈과 뺄셈에 대해 특별히 적용되는 수리 감각에 대한 기술을 발달시키는 데 빈 수직선을 사용하였다.
빈 수직선이 학생들에게 많은 자유를 주도록 고안된 유연한 수학 모델이며, 이것은 결 과를 기록하는 방식에 대한 융통성과 학생들이 문제를 해결하는데 참여할 수 있는 융통성 을 모두 제공하는 모델이지만, Van den Heuvel-Panhuizen(2008, p.20)의 연구에서, 빈 수직 선이 기계 장치처럼 사용되는 것의 위험성을 경고하면서, “수직선의 본질적인 부분에 대 한 생소함은 지시적인 사용을 유발할 수 있다.”고 언급하고 있다. 그는 어떤 단계에서도 빈 수직선이 학생들에게 “손쉬운 방법을 포함하여 그들만의 고유한 전략을 찾아내고, 그 들만의 고유한 표기법을 고안해내는 기회를 박탈해서는 안 된다.”고 믿는다. 빈 수직선의
사용을 장려할 때 이것은 중요한 고려대상이 된다. 그리고 만약 이런 요소가 무시되면 빈 수직선도 전통적인 알고리즘에서 그랬듯이 기계적인 반복에 의한 암기와 같은 절차적 방 법으로 구현될 수도 있다는 점을 경고하였다.
다. 이중 수직선의 의미와 활용
우리는 수학을 이해하기 위한 이론으로부터 수학적인 이해를 형성하는데, 다양한 수학 적 표상들을 해석하고 또 만들어낼 수도 있어야 한다(Lesh, Post, & Behr, 1987, p.39). 이 러한 것들 중에 하나로서, 이중 수직선은(Double Number Line, DNL)은 비례 추론을 증진 시키는데 사용될 수 있다. 그 방식은 데카르트 그래프와 비슷한 방식으로 두 수치를 결합 시키는 것을 도와주면서도, 길이 측정법(linear measurement)에서 더욱 친숙한 방법들에 더 의존함으로써 비례 추론을 증진시키는데 사용되는 것이다. 이중 수직선에서 증명되는 관계들은 ‘두 측정 공간 간의 관계’(예를 들어, 만약 1파운드가 50센트에 상응하는 가격 이라면, 그 관계는 하나가 다른 것의 절반에 해당하는 관계이다.)와 ‘한 측정 공간 내의 관계’는 학습자가 한 수치를 나머지 수치를 추론하는데 도움을 줄 수 있다(이 경우, 파운 드를 두 배로 곱하면, 센트를 두 배로 곱하는데 도움이 된다는 것이다). 이중 수직선에 대 한 개념은 두 수량을 포함하는 수직선을 늘리거나 줄이는 곱셈의 개념으로부터 형성된다.
즉, 두 수직선 모두 두 수량간의 고정적인 비례 관계를 유지하기 위해 같은 요소에 의해 늘려지거나 줄어들어야 한다는 것이다(Orrill & Brown, 2012, p.382).
전형적인 이중 수직선은 대응 다이어그램이다(Kuchemann, Hodgen, & Brown, 2014, p.233). 이중 수직선 모델에서는 대응하는 두 수가 바로 위아래에 위치한다. 대응하는 두 수를 윗선과 아랫선의 각 0에서부터 같은 거리만큼 떨어진 곳에 위치시키기 위해, 아랫선 과 윗선의 척도를 달리 하는 것을 개의치 않는다.
이중 수직선 모델은 한 측정 공간 내의 관계와 두 측정 공간 간의 관계를 모두 나타낸 다(Orrill & Brown, 2012, p.382). [그림 2] (b)의 이중 수직선에서 가로 방향으로 시간이 2 배로 늘어나면 거리도 2배로 늘어나는 관계를 표현할 수 있다. 이중 수직선을 통하여 거 리와 시간이라는 두 양이 같이 늘어나고 같이 줄어든다는 공변 관계의 인식을 강화할 수 있다(임재훈, 이형숙, 2015, p.193).
[그림 2] 대응 다이어그램으로서의 이중 수직선
임재훈과 이형숙(2015, pp.199-200)은 교과서의 비례식과 비례배분 내용을 시각적 표상 에 주목하여 분석하고, 시각적 표상의 적극적인 활용 방안 마련을 위한 기초적 논의를 전 개하였다. 이중수직선 모델과 이중테이프 모델은 각각 다중 묶음 관점과 변동 부분 관점 에서 비례 맥락에 내재된 공변 관계와 불변성을 인식하는 데 유용하게 사용될 수 있다고 하였다.
정은실(2003, p.260)은 비 개념의 의미 있는 이해를 위해 비에 대해 직관적으로 이해하
고 비 개념을 충분히 다룬 이후에, 비에 대한 기호 표현이나 알고리즘을 지도할 것을 강조 하였다. 또한 적합한 맥락 속에 문제 상황을 위치시킴으로써 학생들이 비에 의미를 부여 할 수 있도록 하고, 학습 과정을 지원하기 위한 비율표와 같은 도식적 모델과 시각적 모델 을 사용할 것을 권장하였다. 비 개념이나 비례 관계의 이해를 위한 시각적 모델로 이중 수 직선이 적절히 활용될 수 있다.
정영옥(2013, pp.895-896)은 초등학교 수학에서 곱셈 개념의 도입과 곱셈 구구 지도를 위한 곱셈 지도 모델로 묶음 모델과 직선 모델, 배열 모델, 조합모델을 제시하였다. 직선 모델은 이산량이나 연속량을 모두 표현할 수 있으며, 똑같은 묶음이나 곱셈적 비교 상황 을 나타내는 데 적절하다. 이 모델은 또한 분배법칙을 지도하는 데도 사용할 수 있다. 또 한 이중 수직선은 Van den Heuvel-Panhuizen(2001, p.76)이 주장하듯이 비례 문제로 확장 하는 데 효과적이라고 하였다.
2. 수 세기와 수 개념의 발달 유형
Steffe, von Glasersfeld, Richards and Cobb(1983, p.16)은 학생들이 수를 세는 행위를 고 찰하며 초기 수를 세는 행위는 다섯 가지로 구분되는 활동 유형 즉, 감각을 동원한 단위 항목에서부터 추상적인 단위 항목으로의 방향으로 발전한다고 보았다.
학생의 수 세기 유형에 대한 연구 이후 Steffe and Cobb(1988, pp.22-47)은 1학년과 2학 년 학생들을 대상으로 한 교수실험으로부터 추상적 수 계열에 대한 학생들의 사고에 대해 깊이 연구하였다. 그들은 세 개의 연속된 수 계열 단계 즉, 초기 수 계열 단계(INS), 암묵 적 내포 수 계열 단계(TNS) 및 명시적 내포 수 계열 단계(ENS)로 발달을 설명하였다. 그 다음으로 Olive(2001, p.4)는 가설적인 수의 계열을 비롯하여 이들 세 가지 수 계열로부터 일반적 수 계열 단계(GNS)를 추론한 다음 유리수 산술 단계(RNA)까지 연결하였다. 이 절 에서는 수 세기와 수 개념의 발달 유형에 따른 수직선의 도입 시기와 활용 방법의 적절성 에 대하여 논의하고자 한다.
수 세기와 수 개념의 발달 유형 수 세기의 속성 연령 수직선 모델 감각적 세기 단계 (Perceptual Counting stage) 감각적 6세 이전
표상적 세기 단계 (Figurative Counting stage) 표상적, 운동적,
언어적 6세 이전 초기 수 계열 단계 (An Initial Number Sequence
stage, INS) 추상적 6세-초1 수 트랙, 그림, 수모형 암묵적 내포 수 계열 단계 (A Tacitly-Nested
Number Sequence stage, TNS) 추상적 초1-초2 수직선 도입 명시적 내포 수 계열 단계 (An Explicitly-Nested
Number Sequence stage, ENS) 추상적 초2-초3 빈 수직선, 이중 수직선 도입 일반적 수 계열 단계 (A Generalized Number
Sequence stage, GNS) 추상적 초3-초4 빈 수직선, 이중 수직선 활용 유리수 산술 단계 (Rational Numbers of Arithmetic,
RNA) 추상적 초5-초6 빈 수직선, 이중
수직선 활용
<표 1> 수 세기와 수 개념의 발달 유형에 따른 수직선 도입과 활용
가. 감각적 세기 단계(Perceptual Counting stage)
이 단계의 학생은 보거나, 듣거나, 만질 수 있는 지각적 단위에 의존해야만 셀 수 있는 단계이다. 좀 더 나아가 이 단계의 학생들은 원래의 물건을 대신하여 수를 세기 위하여 손 가락을 사용하기도 한다. Olive(2001, p.5)는 학생들이 마음속에 어떤 물건의 상을 떠 올리 거나, 손가락을 이용하거가, 그림을 그리거나, 아니면 각각의 셀 물건에 대한 특별한 표시 를 하는 것을 학생들이 셀 물건에 대한 내면화의 행동으로 설명하고 있다. 이러한 행동은 학생들의 표상적 세기 단계로의 이행을 보여 주는 것이라고 볼 수 있다. 감각적 세기 단계 의 학생들은 지각적 단위에 의존해야만 셀 수 있는 단계이므로 수직선의 은유적 개념을 이해하기는 힘들다.
나. 표상적 세기 단계(Figurative Counting stage)
이 단계의 학생들은 물건을 셀 때 더 이상 직접적인 감각적 물건을 볼 필요가 없는 대 신 셀 수 있는 것을 표상을 통하여 이미지로 ‘재구성’할 수 있게 된다. 따라서 이 단계 의 학생들은 직접적으로 셀 물건을 보지 않고도 이미지화하여 셀 수가 있게 된다. 또한 이 단계의 학생들은 세기를 할 때 손가락으로 물건을 각각 가리키면서 세거나 수의 이름을 말하면서 센다. 예를 들어 5개의 바둑돌을 수건으로 가리고 5개가 가려져 있는데 세라고 하면 직접 보이지는 않지만 손가락 5개를 이용하여 바둑돌을 대신하여 세는 경우를 생각 할 수 있다. 표상적 세기 단계의 학생들은 셀 수 있는 것을 표상을 통하여 이미지로 ‘재 구성’할 수 있게 되지만 감각적 세기 단계의 학생들과 마찬가지로 수직선의 은유적 개념 이해가 힘들기 때문에 구체물이나 반 구체물을 통해 수 개념을 형성할 필요가 있다.
다. 초기 수 계열 단계(An Initial Number Sequence stage, INS)
이 단계로부터 학생들은 비로소 초보적인 추상적 세기를 할 수 있게 된다. 직접적인 세 는 대상의 물건이 없어도 세기를 할 수 있다. 이 단계의 학생들의 특징은 부분적으로 가려 진 물건의 총 개수를 알아맞히라는 상황에서 전체의 개수를 알아맞히기 위하여 이미 세어 본 보이는 부분의 총 개수부터 시작하여 세기 시작한다는 것이다. 표상적 세기 단계에 있 는 학생들은 ‘다섯’의 의미를 알기 위하여 다시 하나부터 세기 시작하지만, 이 단계의 학생들은 그럴 필요가 없게 된다. 이 단계부터 학생들의 생각이 표상적에서 조작적으로 된다. 이 단계의 학생들은 보이지 않는 부분의 물건을 시각화할 필요성을 느끼지 않는다.
따라서 이 단계의 학생들은 전체의 합을 구하기 위해 이어 세기를 사용하고 감수를 알아 내기 위해 내려 세기를 사용한다. 5개의 사물을 센 학생에게 세어야 할 사물이 3개가 더 주어지면 학생은 새로운 사물을 가리키며 5에서부터 ‘6, 7, 8’을 셀 것이다. 이제 숫자 5라는 개념은 처음에 5개의 사물을 세었음을 의미하고, 숫자 5는 이제 수치적 합성 (numercial composite)이 된다는 것이다. 숫자 5가 수치적 합성이 된다는 것은 숫자 5는 항 목이 5개가 있다는 것을 나타내는 것이다. 하지만 이 단계의 학생들은 12와 15처럼 커지 면 12부터 시작하더라도 이중세기가 어렵기 때문에 어디까지 세어야 할지 인식하지 못한 다(정영옥, 2013, p.892).
초기 수 계열 단계의 학생들은 전체의 합을 구하기 위해 이어 세기를 사용하고 감수를 알아내기 위해 내려 세기를 사용하여 수치적 합성3) 단위를 구성하지만 12에 이어 15를 세 는 것과 같은 이어 세기가 불가능한 단계로 내포적이지 않아서 수직선의 은유적 개념 이
해가 힘들다. 이 단계의 학생들은 은유적 개념 이해의 정도가 덜한 수 트랙이나 그림, 수 모형 등의 시각적 모델이나 교구를 통해 수 개념 학습을 실시할 필요가 있다.
라. 암묵적 내포 수 계열 단계(A Tacitly-Nested Number Sequence stage, TNS)
이 단계의 학생들은 몇 개의 모임의 수를 하나의 단위로 볼 수도 있고, 또한 하나 하나 의 단위 물건들의 모임으로 볼 수도 있다. 즉, 다섯 개의 물건을 셀 때 수 ‘다섯’은 다 섯 개의 ‘하나’의 모임인 동시에, 이 다섯을 하나의 ‘단위’로도 생각할 수 있게 된다.
즉, 이 단계에서는 ‘단위(하나)에 대한 단위(다섯)’ 개념을 형성하게 되는 것이다. 이 단 계의 학생들은 이중 세기를 할 수 있다. 1에서부터 14까지의 수의 계열이 1에서부터 27까 지의 수의 계열에 암묵적으로 내포되며, 초기 수 계열 단계와 달리 1에서 14까지의 세기 행동의 내면화가 아니라 14개의 대상들의 집합을 하나의 합성 단위로 인식한다. 계속 세 기와 몇 씩 세기의 행동을 이중 세기와 같은 방법을 통해 추적하고, 이런 과정을 통해 암 묵적 내포 관계가 형성되어 수치적 합성이 합성 단위로 전환되며, 계속 세기에서 전체 수 계열의 처음 부분과 나머지 부분은 각각 합성 단위로 인식하여 각각의 농도를 구하고 이 를 결합하여 전체 수 계열을 다시 만들 수 있는 부분 전체 연산이 가능하다. 1,2; 3,4; 5,6;
… 11,12와 같이 세거나 2, 4, 5, 6, 10, 12와 같이 세면서 1이라는 단일 단위와 2라는 합성 단위의 조정을 통해 2씩 몇 묶음인지 파악이 가능하나 내포된 구간들이 구성되어야하기 때문에 행동을 통해서만 곱셈 구성이 가능하고 반복 덧셈과 뛰어 세기로 곱셈의 이해가 가능하다(정영옥, 2013, p.892).
암묵적 내포 수 계열 단계의 학생들은 1+1은 2, 2+1은 3, 3+1은 4, 4+1은 5와 같이 내포 된 합을 계속 구성할 수 있는 암묵적 내포 관계가 형성되어 수치적 합성이 합성 단위로 전환할 수 있어서 이어 세기도 가능하고, 부분 전체 연산이 가능하다. 이 단계의 학생들은 수직선을 통해 상대적인 양이나 정도에 대한 질문에 답할 수 있을 정도로 수직선의 은유 적 개념 이해가 가능하므로 수직선을 도입하여 활용하기에 적절하다.
마. 명시적 내포 수 계열 단계(An Explicitly-Nested Number Sequence stage, ENS) 이 단계의 학생들은 두 수의 계열을 따로 인식하고 있고, 작은 수의 계열을 큰 수의 계 열에서 떼어 내어 서로 비교할 수도 있다. 이 단계의 두드러진 특징은 ‘반복 가능한 단 위’의 형성이라고 볼 수 있다. 예를 들어, 수 다섯은 ‘5개의 하나’로 인식하기도 하고
‘하나를 다섯 번 반복하여 만든’ 것으로 생각되어 질 수도 있다. 이 단계에서는 수 개념 발달의 기본이 되는 것으로 부분과 전체에 관한 관계성이 뚜렷하게 발달되어 뺄셈은 덧셈 의 역연산 관계임을 이해하게 된다. 수의 내포 관계가 암묵적인 것이 이 단계에서 명시적 이 된다. 그래서 낱개의 묶음을 하나의 단위로 생각하여 반복적으로 사용할 수 있게 됨에 따라서 연산에 있어서 보다 효율적으로 계산 결과를 얻어낼 수가 있게 된다(박만구, 2000, p.47). 수 계열의 각 원소가 수 계열에 내포된 추상적 합성 단위가 되는 재 내면화가 가능 하며, 이 과정에서 결정적인 단계는 추상적인 단일 단위 1을 반복 가능한 단위로 확립하 는 것이다. 수 6은 수 계열에서 처음 6개의 대상을 센 것뿐만 아니라 1을 6번 센 것을 인
3) 2는 두 개의 대상을 나타내는 수치적 합성이지 셀 수 있는 합성 단위가 아니기 때문에 2씩 세기 는 가능하지만, 2씩 몇 묶음인지는 파악하지 못하므로 곱셈의 이해는 불가능하다(정영옥, 2013, p.892).
식한다. 1+1+1+1+1 문제의 경우 TNS의 학생들은 1+1은 2, 2+1은 3, 3+1은 4, 4+1은 5와 같 이 내포된 합을 계속 구성해서 구하지만 ENS의 학생들은 1이 다섯 개 있는 문제로 해석 하고 1이 다섯 개 있는 것은 5가 하나 있는 것임을 인식하며 곱셈의 이해가 가능하다(정 영옥, 2013, p.892).
또 다른 사례는 포함제와 등분제 연산에 대한 구성을 보여 준다. TNS의 학생들은 24개 의 구슬이 들어있는 상자에서 4개짜리 구슬로 이루어진 줄을 몇 개나 만들 수 있냐는 질 문을 받았을 때, 그들이 24개의 구슬을 다 쓸 때까지 구슬 4개씩 가지고 줄을 만들어볼 것이다. 하지만 24개의 구슬을 가지고 6개짜리 구슬로 이루어진 줄이 몇 개냐고 물어본다 면, 학생들은 그 문제를 개념화하는데 어려움을 겪을지도 모른다. 기껏해야 그들은 각각의 줄에 얼마나 많은 수의 구슬들이 있는지 추측한 다음에, 이 추측을 통하여 1에서 24까지 의 수를 나누고 이 문제를 포함제로서 풀려고 할 것이다. ENS의 학생들은 TNS의 학생들 과 거의 비슷한 방식으로 포함제 문제를 풀겠지만, 등분제 문제는 24를 6으로 똑같이 나 눔으로써 해결할 수 있다. 이런 단계에 있는 학생들은 “어떤 것이 6개면 24가 되는 거 지?”라는 질문을 스스로 던질 수 있다. ENS의 학생들은 아마 숫자를 선택하고 그 숫자를 6번씩 반복해서 그 결과가 24가 나오는지 확인해보아야 할 것이다. 하지만 어떤 완결된 구조를 만드는 것으로부터 시작할 것이고 이것은 문제의 해결을 조금 더 개연성 있게 만 들어 준다. 그러나 ENS의 학생들 역시 6이라는 단위가 몇 개 있어야 24가 되는지 풀이하 지 못할 것이다. 이러한 가환성과 관련된 풀이는 또 다른 수 계열의 내면화를 필요로 한다 (Olive, 2001, p.7).
명시적 내포 수 계열 단계의 학생들은 두 수의 계열을 따로 인식하고, 작은 수의 계열 을 큰 수의 계열에서 떼어내어 서로 비교할 수 있다. 또한 수 계열의 각 원소가 수 계열에 내포된 추상적 합성 단위가 되는 재내면화가 가능하며 이 과정에서 결정적인 단계는 추상 적인 단일 단위 1을 반복 가능한 단위로 확립할 수 있고, 부분과 전체에 관한 관계성이 뚜 렷하게 발달되어 뺄셈은 덧셈의 역연산 관계임을 이해할 수 있으므로 이 단계에서는 빈 수직선의 도입과 활용이 가능하다. 이 단계의 학생들은 빈 수직선을 통해 덧셈과 뺄셈 문 제를 해결할 때 다양한 해결 방법을 시각적으로 표현하여 수 개념을 형성하도록 도울 수 있다. 이 단계의 학생들은 포함제와 등분제 연산에 대한 구성을 보여 주고, 등분제의 개념 화가 어려워서 또 다른 수 계열의 내면화가 필요하다. 이 단계의 학생들이 이중 수직선의 도입과 활용을 통해 나눗셈 문제를 해결할 때 나눗셈이 이루어지는 상황인 포함제와 등분 제를 시각적으로 쉽게 이해하며 해결하며 또 다른 수 계열의 내면화를 도울 수 있다.
바. 일반적 수 계열 단계(A Generalized Number Sequence stage, GNS)
ENS의 학생들은 두 수준의 단위가 포함된 곱셈 도식을 설정할 수 있다. 이들은 복합 단 위 항목을 형성한 다음 이들 항목을 더욱 심도 깊은 연산(계산, 결합, 비교, 나누기 및 분 할)을 위한 재료로 사용할 수 있다. 이들은 이러한 연산의 결과로 복합 단위 항목의 수적 인 복합체를 형성할 수 있다. 예를 들어, 5개 묶음의 여섯 그룹을 합한 결과는 여섯 항목 을 묶은 것으로 각각에는 다섯 개가 한 단위를 이루며 들어 있다. 이들은 한 데 묶여 있는 다섯 요소들을 해체시키며 30개 단위를 만들어낼 수 있다. 이 30개 단위들은 30개 요소로 구성된 하나의 복합체로 여겨질 수 있다. ENS의 학생들이 할 수 없는 것은 다섯 요소로 구성된 여섯 묶음을 취해서 다음 계산에 응용하는 것이다. 이들은 단위의 단위를 이루는 단위들을 만들어낼 수는 있지만 이들을 상징화할 수는 없다. 앞에서 언급했듯이 ENS의 학
생들은 TNS학생들이 단일 항목으로 한 것과 똑같이 복합 단위를 이용하여 작동할 수 있 다. 수의 계열의 재 내면화가 되기 위해서는 복합체를 이용하여 얻은 결과물들을 다음 계 산에 응용할 수 있어야 한다. ENS의 이러한 내면화 과정이 바로 GNS를 구성한다(Olive, 2001, p.8).
일반적 수 계열 단계의 학생들은 추상적인 합성 단위에 대한 연산을 반복 적용하면서 재내면화를 할 수 있고, 수를 기하급수적으로 구축할 수 있기 때문에 수직선, 빈 수직선, 이중 수직선을 활용하여 수 개념을 형성할 수 있다.
사. 유리수 산술 단계(Rational Numbers of Arithmetic, RNA)
학생들이 분수를 측정 단위로서 머릿속에 구조화할 때, 학생들은 두 분수들에 대한 공 동 측정단위를 찾아 한 분수를 다른 분수로부터 만들어낼 수 있다. 수학자의 관점으로 볼 때, 이것은 유리수의 영역에 닫힘(closure) 개념을 이해하는 가능성으로 보이기도 한다. 5 학년이 끝날 무렵, 학생들은 분수들 간의 ‘비율 비교’를 할 수 있게 되었고 어떠한 분수 로부터도 새로운 분수를 만들어내는 것이 가능하게 된다(Olive, 2001, p.9).
유리수 산술 단계의 학생들은 두 분수들에 대한 공동 측정단위를 찾아 한 분수를 다른 분수로부터 만들어낼 수 있기 때문에 비 개념이나 비례 관계의 이해를 위한 시각적 모델 로 이중 수직선이 적절히 활용될 수 있다.
Ⅲ. 수 개념 학습에서 수직선의 도입과 활용의 사례 연구
이 장에서는 초등학생들의 수 개념 학습에서 수직선의 적절한 도입 시기와 활용 방법을 탐구하고자 하였다. 이를 위하여 경기도의 한 중소도시에 위치한 B초등학교 1, 2, 3, 6학년 학생 272명(수직선 도입 검사: 109명, 사전, 사후 검사: 163명)을 연구 대상으로 선정하였 다.
수직선의 적절한 도입 시기와 관련하여 1, 2학년 학생들에게 1차 검사로 수 트랙, 그림 을 활용한 수 개념 학습 문항, 2차 검사로 수직선을 활용한 수 개념 학습 문항을 검사하였 다. 빈 수직선과 이중 수직선의 도입을 위하여 3학생들에게 빈 수직선과 이중 수직선을 활용한 수 개념 학습 문항을 검사하였다.
수직선 도입과 활용의 사례 연구로 2, 3, 6학년에서 수 개념 학습 문항으로 사전 검사를 실시한 후에, 수직선 도입과 활용을 위한 교수 실험으로 2학년은 수직선 도입, 3학년은 빈 수직선과 이중 수직선 도입, 6학년은 이중 수직선 활용을 위해 교수 실험을 실시하였다(비 교반은 담임교사의 수업으로 실시함).
수직선, 빈 수직선, 이중 수직선의 적절한 도입 시기를 찾기 위해 실시한 검사 문항의 결과와 초등학생들의 수직선 도입 시기와 활용 방법에 대한 사례 연구 결과를 분석하여, 수 개념 학습에서 수직선의 적절한 도입 시기와 활용 방법과 관련하여 고려해야 할 점들 을 제안하고자 한다.
수직선, 빈 수직선, 이중 수직선의 적절한
도입 시기
1, 2학년 1차 수트랙, 그림 검사, 2차 수직선 검사 3학년 빈 수직선, 이중 수직선 도입 검사
수직선 도입과 활용의
사례 연구 실험반 비교반
사전 검사 2, 3, 6학년 수 개념
문항 2, 3, 6학년 수 개념 문항
교수실험 2, 3, 6학년 수직선
교수실험 담임교사 수업
사후 검사 2, 3, 6학년 수 개념
문항 2, 3, 6학년 수 개념 문항
[그림 3] 수 개념 학습에서 수직선 도입과 활용의 사례 연구 방법 및 절차
1. 수직선, 빈 수직선, 이중 수직선의 적절한 도입 시기 가. 수직선의 도입
수직선의 도입 시기와 관련하여 1, 2학년 학생들에게 1차 검사로 수 트랙, 그림, 2차 검 사로 수직선을 활용한 수 개념 학습 문항을 검사하였다(<부록 1>). 수직선의 도입 시기와 관련하여 1, 2학년 학생들에게 실시한 1, 2차 검사 결과는 <표 2>와 같다.
번호 문항 학년(인원) 단원
1차 정답률 2차 정답률 수 트랙,
그림 수직선
1 9까지 수의 크기 비교
1학년(27명)
9까지의 수 100% 45%
2 일의 자리 덧셈 덧셈과 뺄셈 100% 48%
3 50까지 수의 순서 50까지의 수 74% 61%
4 100까지의 수 100까지의 수 85% 55%
5 더하고 빼기 덧셈과 뺄셈(1) 74% 29%
6 10에서 빼기 덧셈과 뺄셈(2) 96% 62%
1학년 평균 88% 50%
7 뛰어 세기
2학년(28명)
세 자리 수 85% 61%
8 두 자리 수의 뺄셈 덧셈과 뺄셈 78% 67%
9 곱셈식 곱셈 71% 61%
10 네 자리 수의 크기 비교 네 자리 수 89% 71%
11 곱셈구구 이해 곱셈구구 100% 93%
2학년 평균 85% 71%
<표 2> 수직선 도입 검사 결과
현재 초등학교 수학과 교육과정에서 수직선은 [그림 4]와 같이 1학년 2학기 “5. 덧셈과 뺄셈 (2)” 단원의 □ 이나 □ 과 같은 문제 상황에서 처음 도입이 되어, 6학년까지 수와 연산, 측정, 규칙성의 영역에서 다양하게 활용되고 있다(교육부, 2014a, p.91).
[그림 4] 1-2. 5. 덧셈과 뺄셈(2)
수직선의 도입 시기와 관련된 검사 결과(<표 2>), 1학년 학생들은 수 트랙, 그림을 활용 한 1차 검사에서 높은 정답률(1학년 1차 평균 정답률 88%)을 보인 반면에 수직선을 활용 한 2차 검사에서는 낮은 정답률(1학년 2차 평균 정답률 50%)을 보였다. 반면에 2학년 학생 들은 1차 검사(2학년 1차 평균 정답률 85%)와 2차 검사의 정답률(2학년 2차 평균 정답률 71%)의 차이가 1학년 보다 크지 않았다. 이와 같은 결과가 나온 이유는 1학년 학생들에게
‘수는 직선 위의 점’이라는 은유를 통한 개념화가 아직 충분히 이루어지지 못하였기 때 문이다. 하지만 2학년 학생들은 부분과 전체 연산이 가능하고 1+1은 2, 2+1은 3, 3+1은 4, 4+1은 5와 같이 내포된 합을 계속 구성할 수 있는 암묵적 내포 수 계열 단계이므로 수직 선에 대한 은유적 개념의 이해가 어느 정도 이루어질 수 있다. 수 개념 학습 초기에 수직 선의 사용이 정교하게 이루어지지 못할 경우 수 체계의 은유로서의 수직선의 장점을 약화 시킬 수 있다는 Doritou(2006, p.215)의 주장을 확인할 수 있었다.
나. 빈 수직선, 이중 수직선의 도입
빈 수직선과 이중 수직선의 도입을 위하여 3학년 학생들에게 빈 수직선과 이중 수직선 을 활용한 수 개념 학습 문항으로 검사하였다. 빈 수직선과 이중 수직선의 도입을 위하여 3학년 학생들에게 실시한 검사 결과는 <표 3>과 같다.
번호 문항 학년(인원) 단원 빈 수직선
정답률
이중 수직선 정답률
1 세 자리 수의 덧셈 3학년
(29명)
덧셈과 뺄셈 62%
2 똑같이 나누기 나눗셈 66%
<표 3> 빈 수직선, 이중 수직선 도입 및 활용 검사 결과
1) 빈 수직선의 도입
빈 수직선은 숫자나 표시 없이 표현된 수직선으로 덧셈과 뺄셈과 같은 과정들을 수행하 는데 사용되는 다양한 사고 전략을 시각적으로 그려내는 기능에 중점을 둔 수 모델이다 (Van den Heuvel-Panhuizen, 2008, p.27).
빈 수직선의 도입은 수직선의 은유적 개념의 이해가 가능한 3학년 1학기 1. 덧셈과 뺄 셈 단원에서 실시하였다. 빈 수직선의 의미나 활용 방법에 대해 간단한 설명과 함께 [그림 5]를 예시로 보여주고 실시한 검사의 정답률은 62%였다.
[그림 5] 빈 수직선의 도입
학생들이 빈 수직선을 이용하여 세 자리 수의 덧셈 문제를 해결할 때 다양한 해결 방법 을 시각적으로 표현할 수 있는 좋은 수학적 모델임을 확인 할 수 있었다([그림 6]).
[그림 6] 빈 수직선의 활용(세 자리 수의 덧셈)
2) 이중 수직선의 도입
이중 수직선 모델은 한 측정 공간 내의 관계와 두 측정 공간 간의 관계를 모두 나타낸 다. [그림 7]의 이중 수직선에서 가로 방향으로 귤의 개수가 2배로 늘어나면 사람의 인원 수도 2배로 늘어나는 관계를 표현할 수 있다. 이중 수직선을 통하여 귤의 개수와 사람의 인원수가 같이 늘어나고 같이 줄어든다는 공변 관계의 인식을 강화할 수 있다.
이중 수직선의 도입은 2학년에서 곱셈에 대한 학습이 이루어지고 난 이후인 3학년 1학 기 3. 나눗셈 단원에서 실시하였다. 이중 수직선의 의미나 활용 방법에 대해 간단한 설명 과 함께 [그림 8]을 예시로 보여주고 실시한 검사의 정답률은 66%였다.
[그림 7] 이중 수직선의 도입
학생들이 이중 수직선을 이용하여 나눗셈 문제를 해결할 때 나눗셈이 이루어지는 상황 인 등분제와 포함제를 시각적으로 쉽게 이해하며 해결할 수 있는 좋은 수학적 모델임을 확인 할 수 있었다([그림 8]).
[그림 8] 이중 수직선을 이용한 나눗셈 문제 해결
2. 수직선, 빈 수직선, 이중 수직선 도입과 활용의 사례 연구 가. 사전 검사
수직선, 빈 수직선, 이중 수직선 도입과 활용을 위하여 수 개념 문항으로 사전 검사를 실험반, 비교반에서 공통으로 실시하였다.
나. 사례 연구를 위한 교수실험 지도안의 구성과 적용
사례 연구를 위한 교수실험 지도안은 다음과 같이 총 다섯 주제로 작성하였다. 수직선 도입을 위해 2학년 1학기 1. 세 자리 수 단원에서 뛰어 세기를, 빈 수직선 도입을 위해 3 학년 1학기 1. 덧셈과 뺄셈 단원에서 세 자리 수의 덧셈을, 이중 수직선 도입을 위해 3학 년 1학기 3. 나눗셈 단원에서 똑같이 나누기를, 이중 수직선 활용을 위해 6학년 1학기 4.
비와 비율 단원에서 기준량 구하기와 6학년 2학기 2. 비례식과 비례 배분 단원에서 비례 배분 이해하기를 주제로 지도안을 작성하였다. 각 차시별 내용 및 활동과 각 차시별 수직 선 모델은 <표 4>와 같다.
구분 단원 주요 내용 및 활동 수업 일시 수직선 모델
2-1 세 자리 수 ∙수직선 모델을 이용하여 세 자리 수의 계열을 알고 뛰어 세기를 하게 한다.
2016. 06. 15.
2교시 수직선 도입
3-1 덧셈과 뺄셈
∙빈 수직선 모델을 이용하여 수를 나타내고 계산 형식을 이해하게 한다.
2016. 06. 22.
2교시 빈 수직선 도입 3-1 나눗셈 ∙나누는 상황을 이중 수직선 모델을 통해
이해하고, 나눗셈식으로 나타내게 한다.
2016. 06. 29.
3교시
이중 수직선 도입
6-1 비와 비율
∙이중 수직선 모델을 활용하여 비율과 비교하는 양, 기준량의 관계를 이해할 수
있게 한다.
2016. 06. 23.
3교시
이중 수직선 활용
6-2 비례식과 비례배분
∙이중 수직선 모델을 활용하여 비례배분의 의미를 알게 한다.
2016. 07. 05.
2교시
이중 수직선 활용
<표 4> 사례 연구를 위한 교수실험 지도안의 개요
1) 수직선 도입(2학년)
현재 수학과 교육과정에서 수직선은 1학년 2학기에 처음 도입이 되어, 6학년까지 수와 연산, 측정, 규칙성의 영역에서 다양하게 활용되고 있다. 하지만 수 개념 학습에서 수직선 의 도입이나 활용 등에 대한 구체적인 안내나 지도 방법, 효과적인 활용 방법에 대한 설명 이 없이 지도되고 있다. 수 개념 학습 초기에 교수-학습 도구로서 수직선의 사용이 정교 하게 이루어지지 못할 경우 학생들이 후속 학습에서 수 체계 지식을 재구성하기 힘들다.
2학년 학생들은 부분과 전체 연산이 가능하고 1+1은 2, 2+1은 3, 3+1은 4, 4+1은 5와 같이 내포된 합을 계속 구성할 수 있는 암묵적 내포 수 계열 단계에 있다. 그래서 수직선에 대 한 은유적 개념에 대한 이해가 가능한 2학년 1학기 1. 세 자리 수 단원에서 [그림 9]와 같 이 수직선에 대한 구체적인 안내와 활용 방법을 안내하며 수직선 모델을 이용하여 뛰어 세기를 주제로 학습하였다.
※ 다음 빈 칸에 들어갈 수를 써넣으시오.
1 2
0 1 2 5
※ 다음 빈 칸에 들어갈 수를 써 넣으시오.
0 10 20 30 50
[그림 9] 수직선 도입
2) 빈 수직선 도입(3학년)
빈 수직선은 숫자나 표시 없이 표현된 수직선으로 덧셈과 뺄셈과 같은 과정들을 수행하 는데 사용되는 다양한 사고 전략을 시각적으로 그려내는 기능에 중점을 둔 수 모델이다.
자연수와 자연수의 덧셈과 뺄셈, 수직선의 은유적 개념의 이해가 가능한 3학년 1학기 1.
덧셈과 뺄셈 단원에서 [그림 10]과 같이 빈 수직선의 다양한 활용 방법을 이해하며 세 자 리 수의 덧셈을 주제로 학습하였다.
[그림 10] 빈 수직선의 다양한 활용 방법
3) 이중 수직선 도입(3학년)
이중 수직선 모델은 똑같은 묶음이나 곱셈적 비교 상황을 나타내는 데 적절하고 분배법 칙을 지도하는 데도 사용할 수 있다. 이중 수직선 모델은 [그림 11]과 같이 나눗셈이 이루 어지는 상황인 등분제와 포함제를 시각적으로 쉽게 이해하며 해결할 수 있는 좋은 수학적 모델이다. 나눗셈이 이루어지는 상황을 이중 수직선을 통해 이해하며 3학년 1학기 3. 나눗 셈 단원에서 똑같이 나누기를 주제로 학습하였다.
[그림 11] 이중 수직선의 활용 방법
4) 이중 수직선 활용(6학년)
비 개념이나 비례배분의 이해를 위한 시각적 모델로 이중 수직선이 적절히 활용될 수 있기 때문에 [그림 12], [그림 13]과 같이 이중 수직선 모델을 활용하여 6학년 1학기 4. 비 와 비율 단원에서 비율이 사용되는 경우를 주제로 학습하였고, 6학년 2학기 2. 비례식과 비례배분 단원에서 비례배분 이해하기를 주제로 학습하였다.
[그림 12] 이중 수직선 활용(비와 비율)
[그림 13] 이중 수직선 활용(비례식과 비례배분)
다. 수직선, 빈 수직선, 이중 수직선 도입과 활용 사례 연구 결과 및 논의
수직선, 빈 수직선, 이중 수직선 도입과 활용을 위하여 수 개념 문항으로 사후 검사를 실험반, 비교반에서 공통으로 실시하였다.
교수 실험을 중심으로 실시한 사전 사후 검사 문항에 대한 실험반과 비교반의 실시 결 과를 비교 분석하고, 사전 검사에서는 오류를 보였지만, 교수실험 사후 검사에서는 정확하 게 해결한 2, 3, 6학년 학생 10명과 개별 면담을 실시한 후 검사 결과와 면담 내용을 중심 으로 분석하여 초등학생들의 수 개념 학습에서 수직선의 적절한 도입 시기와 활용 방법과 관련하여 고려해야 할 점들을 제안하고자 한다.
학년 문항 단원 구분 수직선 모델 사전 사후
2-1 뛰어 세기 세 자리 수 실험반(28명) 수직선 74% 89%
비교반(27명) 78% 81%
3-1
세 자리 수의 덧셈 덧셈과 뺄셈 실험반(28명) 빈 수직선 62% 79%
비교반(29명) 66% 69%
똑같이 나누기 나눗셈 실험반(28명) 이중 수직선 71% 82%
비교반(29명) 69% 72%
6-1 비율이 사용되는
경우 비와 비율 실험반(26명) 이중 수직선 76% 84%
비교반(25명) 72% 76%
6-2 비례배분 비례식과 비례배분 실험반(26명) 이중 수직선 56% 72%
비교반(25명) 60% 64%
<표 5> 수직선 도입과 활용 사례 연구 사전, 사후 검사 결과
1) 수직선 도입
수 개념 학습 문항으로 사전 검사를 실시하고, 수직선 도입을 위한 교수 실험을 실시 한 이후에 2학년 1학기 1. 세 자리 수 단원의 뛰어 세기와 관련된 문항으로 사후 검사를 실시하였다. 수 개념 문항으로 실시한 실험반 사전 검사의 정답률은 74%이고, 교수실험을 통해 수직선에 대한 구체적인 안내와 활용 방법([그림 9])을 학습한 후 실시한 사후 검사의 정답률은 89%가 되었다(비교반 사전 검사 78%, 사후 검사 81%).
2학년 H학생의 사례(<에피소드 1>)에서 볼 수 있듯이 사전 검사([그림 14])에서는 한 칸 마다 1씩 증가한다고 생각하고 해결하였지만, 사후 검사([그림 15])에서는 한 칸마다 10씩 뛰어 세기를 하여 정답을 구하였다. 수직선 도입을 위한 교수 실험을 통해 1이라는 단일 단위와 10이라는 합성 단위의 조정을 통해 10씩 몇 묶음인지 파악할 수 있는 암묵적 내포 수 계열 단계의 2학년 학생들에게 시각적 표상으로서 수직선 활동이 수 개념 형성에 도움 이 됨을 알 수 있다.
[그림 14] 수직선 도입 사전 검사 사례(2학년 H학생)
[그림 15] 수직선 도입 사후 검사 사례(2학년 H학생)
<에피소드 1> 수직선 도입 관련(2학년 H학생의 사례) 교사: 사전 검사에서 왜 125라고 썼어요?
H학생 : 120부터 한 칸마다 1씩 커져서 125라고 썼어요.
교사: 아, 한 칸마다 1씩 커졌다고 생각해서 쓴 거네요. 그렇다면 사후 검사에서는 왜 290이라고 했어요?
H학생 : 한 칸에 10씩 늘어나서 다섯 번째 칸이니까 290이라고 썼어요.
교사: 그럼 사전 검사에서 □안에 들어갈 수는 몇 일까요?
H학생 : 120부터 10씩 늘어나서 (하나, 둘, 셋, 넷, 다섯을 세고 나서)170입니다.
2) 빈 수직선 도입
수 개념 학습 문항으로 사전 검사를 실시하고, 빈 수직선 도입을 위한 교수 실험을 실 시 한 이후에 3학년 1학기 1. 덧셈과 뺄셈 단원의 세 자리 수의 덧셈과 관련된 문항으로 사후 검사를 실시하였다. 수 개념 문항으로 실시한 실험반 사전 검사의 정답률은 62%이 고, 교수실험을 통해 빈 수직선의 다양한 활용 방법([그림 10])을 학습한 후 실시한 사후 검사의 정답률은 79%가 되었다(비교반 사전 검사 66%, 사후 검사 69%).
3학년 K학생의 사례(<에피소드 2>)에서 볼 수 있듯이 사전 검사([그림 16])에서는 다양한 덧셈 전략을 사용하지 못하였지만, 사후 검사([그림 17])에서는 다양한 덧셈 전략을 사용하 여 해결하였다. 빈 수직선을 도입하는 교수 실험을 통해서 학생들이 덧셈과 뺄셈과 같은 과정들을 수행하는데 사용되는 다양한 사고 전략을 시각적으로 그려낼 수 있도록 빈 수직 선의 다양한 활용 방법을 학습할 필요가 있음을 알 수 있다.
[그림 16] 빈 수직선 도입 사전 검사 사례(3학년 K학생)
[그림 17] 빈 수직선 도입 사후 검사 사례(3학년 K학생)
<에피소드 2> 빈 수직선 도입 관련(3학년 K학생의 사례) 교사: 사전 검사에서 왜 한 가지 방법으로 해결했나요?
K학생 : 이 방법이 제일 쉬워서 해결하였어요.
교사: 사후 검사에서는 어떻게 해결하였나요?
K학생 : 256에서 400을 더하니까 656이고, 50을 더하니까 706이고, 20을 더하니까 726에 서 3을 빼니까 723이 되고, 다른 방법은 256에 14, 3, 30, 400, 20을 더해서 구 했어요.
3) 이중 수직선 도입
수 개념 학습 문항으로 사전 검사를 실시하고, 이중 수직선 도입을 위한 교수 실험을
실시 한 이후에 3학년 1학기 3. 나눗셈 단원의 똑같이 나누기와 관련된 문항으로 사후 검 사를 실시하였다. 수 개념 문항으로 실시한 실험반 사전 검사의 정답률은 71%이고, 교수 실험을 통해 이중 수직선의 활용 방법([그림 11])을 학습한 후 실시한 사후 검사의 정답률 은 82%가 되었다(비교반 사전 검사 69%, 사후 검사 72%).
3학년 Y학생의 사례(<에피소드 3>)에서 볼 수 있듯이 사전 검사([그림 18])에서는 나눗셈 의 의미를 제대로 이해하지 못하고 해결하였지만, 사후 검사([그림 19])에서는 나눗셈의 의 미를 정확히 이해하고 해결하였다. 사후 검사 결과, 학생들이 나눗셈이 이루어지는 상황인 등분제와 포함제를 시각적으로 쉽게 이해할 수 있도록 이중 수직선의 활용 방법을 학습할 필요가 있음을 알 수 있다.
[그림 18] 이중 수직선 도입 사전 검사 사례(3학년 Y학생)
[그림 19] 이중 수직선 도입 사후 검사 사례(3학년 Y학생)
<에피소드 3> 이중 수직선 도입 관련(3학년 Y학생의 사례) 교사: 사전 검사에서 식은 왜 ÷ 로, 답은 5상자로 썼어요?
Y학생 : 35개를 7개씩 5상자에 넣는 것으로 잘못 생각한 거 같아요.
교사: 2차 검사에서는 어떻게 해결하였나요?
Y학생 : 귤 56개를 한 상자에 8개씩 나누어 담으면 ÷ (상자)이므로 답을 7상자 로 썼어요.
4) 이중 수직선 활용
가) 비와 비율에서 이중 수직선 활용
수 개념 학습 문항으로 사전 검사를 실시하고, 이중 수직선 활용을 위한 교수 실험을 실시 한 이후에 6학년 1학기 4. 비와 비율 단원의 비율이 사용되는 경우와 관련된 문항으 로 사후 검사를 실시하였다. 수 개념 문항으로 실시한 실험반 사전 검사의 정답률은 76%
이고, 교수실험을 통해 이중 수직선의 활용 방법([그림 12])을 학습한 후 실시한 사후 검사 의 정답률은 84%가 되었다(비교반 사전 검사 72%, 사후 검사 76%).
6학년 S학생의 사례(<에피소드 4>)에서 볼 수 있듯이 사전 검사([그림 20])에서는 비율이 사용되는 경우를 제대로 이해하지 못하고 해결하였지만, 사후 검사([그림 21])에서는 비율
이 사용되는 경우를 정확히 이해하고 해결하였다. 사후 검사 결과, 학생들이 비율이 사용 되는 경우의 문제를 해결할 때, 비례 맥락에 내재된 공변 관계를 시각적으로 쉽게 이해할 수 있도록 이중 수직선의 활용 방법을 학습할 필요가 있음을 알 수 있다.
[그림 20] 이중 수직선 활용 사전 검사 사례(6학년 S학생)
[그림 21] 이중 수직선 활용 사후 검사 사례(6학년 S학생)
<에피소드 4> 이중 수직선 활용 관련(비와 비율, 6학년 S학생의 사례) 교사: 사전 검사에서 전교생을 60명이라고 했어요?
S학생 : 전교생의
이 60명인데 수를 잘못 생각해서 60명을 전교생이라고 생각했어요.
교사: 사후 검사에서는 어떻게 해결하였나요?
S학생 : 6학년 학생의
이 21명이므로 수직선의 위 칸에 차지하는 비율을 쓰고, 아래
칸에 학생 수를 각각 적으면서 계산해보니까 6학년 학생은 모두 ÷
(명)이 되었습니다.
나) 비례식과 비례배분에서 이중 수직선 활용
수 개념 학습 문항으로 사전 검사를 실시하고, 이중 수직선 활용을 위한 교수 실험을 실시 한 이후에 6학년 2학기 2. 비례식과 비례배분 단원의 비례배분과 관련된 문항으로 사후 검사를 실시하였다. 수 개념 문항으로 실시한 실험반 사전 검사의 정답률은 56%이 고, 교수실험을 통해 이중 수직선의 활용 방법([그림 13])을 학습한 후 실시한 사후 검사의 정답률은 72%가 되었다(비교반 사전 검사 60%, 사후 검사 64%).
6학년 J학생의 사례(<에피소드 5>)에서 볼 수 있듯이 사전 검사([그림 22])에서는 비례배 분의 의미를 제대로 이해하지 못하고 해결하였지만, 사후 검사([그림 23])에서는 비례배분 의 의미를 정확히 이해하고 해결하였다. 사후 검사 결과, 이중 수직선은 한 측정 공간 내 의 관계와 두 측정 공간 간의 관계를 모두 나타낼 수 있고 비례 문제로 확장하는 데 효과 적이므로 비례배분의 이해를 위한 시각적 모델로 적절히 활용할 수 있도록 이중 수직선의 활용 방법을 학습할 필요가 있음을 알 수 있다.
[그림 22] 이중 수직선 활용 사전 검사 사례(6학년 J학생)
[그림 23] 이중 수직선 활용 사후 검사 사례(6학년 J학생)
<에피소드 5> 이중 수직선 활용 관련(비례식과 비례배분, 6학년 J학생의 사례) 교사: 사전 검사에서 지수와 효정이가 왜 같이 20개씩 나누어 가진다고 했나요?
J학생 : 지수와 효정이가 조개 30개를 2:3으로 나누어 가지는 것을 비의 값인
로 생 각해서 둘 다 20개씩 가진다고 했어요.
교사: 서로 나누어 가지게 되니까 둘이 서로 20개씩 가지면 40개가 되는데....?
J학생 : 제가 잘못 생각한 거 같아요.
교사: 사후 검사에서는 어떻게 해결하였나요?
J학생 : 지수는 56개의
이니까 24개를, 효정이는 56개의
니까 32개를 가지게 되어 서 56개를 3:4로 나누면 지수는 24개, 효정이는 32개입니다.
Ⅴ. 결론 및 시사점
본 연구는 수 개념 형성을 위한 수학적 모델인 수직선, 빈 수직선, 이중 수직선과 수 세 기와 수 개념의 발달 유형에 대하여 고찰하고, 실제 초등학생들의 수직선 도입 시기와 활 용 방법에 대한 사례 연구 결과를 분석하여, 초등학생들의 수 개념 학습 지도를 위한 시사 점을 제공하고자 하였다. 수 개념 학습에서 수직선, 빈 수직선, 이중 수직선 도입과 활용 의 사례 연구 결과는 다음과 같다.
첫째, 2학년 학생들은 부분과 전체 연산이 가능하고 1+1은 2, 2+1은 3, 3+1은 4, 4+1은 5 와 같이 내포된 합을 계속 구성할 수 있는 암묵적 내포 수 계열 단계에 있다. 학생들에게 수직선에 대한 은유적 개념에 대한 이해가 가능한 2학년 1학기 1. 세 자리 수 단원에서 수직선에 대한 구체적인 안내와 활용 방법을 안내하였고, 수직선 모델을 이용하여 뛰어 세기를 주제로 학습하였다. 2학년 학생들은 1이라는 단일 단위와 10이라는 합성 단위의 조정을 통해 10씩 몇 묶음인지 파악할 수 있는 암묵적 내포 수 계열 단계이므로 시각적 표상으로서 수직선 활동이 수 개념 형성에 도움이 됨을 알 수 있었다.
둘째, 빈 수직선은 숫자나 표시 없이 표현된 수직선으로 덧셈과 뺄셈과 같은 과정들을 수행하는데 사용되는 다양한 사고 전략을 시각적으로 그려내는 기능에 중점을 둔 수 모델 이다. 학생들에게 자연수와 자연수의 덧셈과 뺄셈, 수직선의 은유적 개념의 이해가 가능한 3학년 1학기 1. 덧셈과 뺄셈 단원에서 빈 수직선의 다양한 활용 방법을 이해하도록 하였 고, 세 자리 수의 덧셈을 주제로 학습하였다. 3학년 학생들이 덧셈과 뺄셈과 같은 과정들 을 수행하는데 사용되는 다양한 사고 전략을 시각적으로 그려낼 수 있도록 빈 수직선의 다양한 활용 방법을 학습할 필요가 있음을 알 수 있었다.
셋째, 이중 수직선 모델은 똑같은 묶음이나 곱셈적 비교 상황을 나타내는 데 적절하고 분배법칙을 지도하는 데도 사용할 수 있는 좋은 수학적 모델이다. 3학년 학생들이 나눗셈 이 이루어지는 상황인 등분제와 포함제를 시각적으로 쉽게 이해할 수 있도록 이중 수직선 의 활용 방법을 학습할 필요가 있음을 알 수 있었다.
넷째, 학생들이 이중 수직선을 통해 비율이 사용되는 경우의 문제를 해결할 때 비례 맥 락에 내재된 공변 관계를 시각적으로 쉽게 이해할 수 있었고, 한 측정 공간 내의 관계와 두 측정 공간 간의 관계를 모두 나타낼 수 있어서 비례 문제로 확장하는 데 효과적이었다.
6학년 학생들이 비 개념이나 비례 문제의 이해를 위한 시각적 모델로 적절히 활용할 수 있도록 이중 수직선의 활용 방법을 학습할 필요가 있음을 알 수 있었다.
본 연구에서 알 수 있는 결과들을 바탕으로 수 개념 학습에서 수직선의 도입과 활용을 위한 시사점을 제안하면 다음과 같다.
첫째, 수직선의 도입 시기와 관련하여 현재 교육과정에서는 1학년 2학기 덧셈과 뺄셈 단원에서 수직선의 구체적인 안내와 활용 방법에 대한 어떤 과정도 없이 문제 상황에 도 입이 되고 있다. 수직선의 도입 시기를 1학년이 아니라 암묵적 내포 수 계열 단계인 2학 년부터 실시하여 수직선의 은유적 개념에 대한 이해를 통해 이어지는 수 개념 학습에 도 움이 될 수 있도록 조정하고, 1학년에서는 수 트랙이나 그림, 수모형 등 수직선 보다는 더 구체적이고 은유적 개념 이해의 정도가 덜한 시각적 모델이나 교구를 통해 수 개념 학습 을 실시할 필요가 있다.
둘째, 빈 수직선은 숫자나 표시 없이 표현된 수직선으로 덧셈과 뺄셈과 같은 과정들을 수행하는데 사용되어 다양한 사고 전략을 시각적으로 그려낼 수 있는 수학적 모델이고, 이중 수직선은 똑같은 묶음이나 곱셈적 비교 상황을 나타내는데 적절하고, 나눗셈이 이루 어지는 상황인 등분제와 포함제를 시각적으로 쉽게 이해하며 해결할 수 있는 좋은 수학적 모델이므로 수직선의 은유적 개념 이해가 가능한 3학년에서 도입이 필요하다. 또한 이중 수직선은 비율이나 비례배분의 이해를 위한 시각적 모델로 적절히 활용할 수 있도록 6학 년에서 적극적인 활용이 필요하다.
셋째, 수직선이나 빈 수직선, 이중 수직선을 도입하는 시기에 수직선의 은유적 개념 이 해를 충분히 할 수 있도록 수직선의 구체적인 안내와 활용 방법에 대한 학습이 꼭 필요하 다.
