Modeling and Uncertainty Analysis of Ballscrew Nut Stiffness

(1)

◆ 특집 ◆ 시뮬레이션 기반 기계장비 설계 기술

볼스크류 너트부의 강성 모델링과 불확도 해석

민복기¹, 조 뢰¹, 김경호², 박천홍², 정성종^1,

Bog-Ki Min¹, Lei Cao¹, Gyungho Khim², Chun-Hong Park², and Sung-Chong Chung^1,

1 한양대학교 기계공학과 (Department of Mechanical Engineering, Hanyang University) 2 한국기계연구원 초정밀시스템연구실 (Department of Ultra-precision Machines and Systems, Korea Institute of Machinery and Materials)

Corresponding author: [email protected], Tel: +82-2-2220-0444 Manuscript received: 2015.4.15. / Revised: 2015.4.21. / Accepted: 2015.4.22.

Ballscrews are important motion transfer and positioning units of industrial machinery and precision machines. Positioning accuracy of the feed drive system depends upon axial stiffness of ballscrew systems. As the nut stiffness depends upon preload and operating conditions, analytical modeling of the stiffness is performed through the contact and body deformation analysis. For accurate contact analysis, the contact angle variation between balls and grooves is incorporated in the developed model. To verify the developed mathematical stiffness model, experiments are conducted on the test-rig. Through the uncertainty analysis according to GUM (Guide to the expression of Uncertainty in Measurement), it is confirmed that the formulated stiffness model has over 85% estimation accuracy. After constructing the ballscrew DB, a quick turnaround system for the nut stiffness estimation has been developed in this research.

KEYWORDS: Ballscrew (볼스크류), Contact angle (접촉각), Hertzian contact (헤르쯔 접촉), Stiffness (강성), Uncertainty (불확도)

1. 서론

볼스크류 (Ballscrew)는 낮은 마찰과 구름 접촉 을 가지고 작동되기 때문에 공작기계, 반도체 제 조 장치, 로봇 등에서 정밀도 높은 직선 이송계로 널리 사용된다.¹

정밀 공작기계 등을 제작하기 위해서는 직선 이송계의 정밀도를 수준 높게 유지하여야 한다.

그러나, 강성이 취약하거나 잘못 설정된 경우 이 송계에서 변형에 따른 위치오차가 발생하고 정밀

도 저하가 야기되기 때문에 강성의 정확한 예측이 이송계 설계에 앞서 이루어져야 한다.^2,3

볼스크류 시스템의 전체 축 방향 강성은 볼스 크류 너트, 축, 지지베어링 및 너트 지지부 강성에 의존한다. 이중에서 너트부 강성은 헤르쯔의 접촉 변형에 따른 비선형성 때문에 양함수적 모델 (Explicit model)을 구하는 것이 곤란하다.^4-6 그리고, 예압과 하중의 방향 및 크기에 따라 너트부의 강 성이 변하기 때문에 정밀기계 설계에 용이하게 사 용될 수 있는 정확한 너트부 강성 모델 구축이 요 __________

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(2)

구된다.

본 논문에서는 KIMM이 주관하는 PBS 이관사 업인 “기계장비 정밀도 시뮬레이션 플랫폼 기술 개발 II” 과제⁷에서 볼스크류의 조립 조건과 부하 조건에 따른 너트부의 정확한 양함수적 강성모델 을 구축하기 위해 볼스크류 너트부에서의 부하분 포를 정확하게 모델링하고, 접촉변형에 따른 접촉 각 변화와 조립 및 운전 조건에 따른 너트부 강성 을 모델링 한다. 또한, 유도된 볼스크류 너트부 강 성 모델의 정확성과 효율성을 검증하기 위해 조립 조건에 따라 강성을 측정 할 수 있는 실험장치를 구축하여 모델의 예측 정확도 연구를 수행한다.

그리고 실험에서 발생하는 불확실성을 정량화하고 실험치의 신뢰성 확보를 위해 GUM⁸에 따른 불확 도 해석을 수행한다. 실험의 자유도를 높이기 위해 각 실험조건에서 30회 반복 실험을 수행하며, 실험 과정, 실험 장치 및 계측 장비에서 발생할 수 있는 불확도를 고려하여 측정된 강성을 평가한다.

개발된 강성 모델을 이용한 이송계 강성 설계 와 해석의 편의성 제공을 위해 메이커별 볼스크류 의 기하학적 정보, 물성 정보 등에 대한 DB를 구 축하고, 이 DB에서 상용 볼스크류의 모델을 지정 하고 조립 및 운전 조건을 입력하면, 개발된 너트 부 강성 모델로부터 설계 조건과 해석 조건에 따 른 볼스크류 강성을 신속하게 계산하여 출력해 주 는 일괄처리 시스템을 구축한다.

2. 접촉 변형 2.1 축방향 변형

Fig. 1과 같이 볼스크류에 외력이 가해지는 경 우, 헤르쯔 접촉 이론에 따라 볼과 나사축, 볼과 너트 사이에는 변형이 발생한다. 접촉각 α, 리드각 γ, 볼 수 Z, 추력 Ft 인 경우 헤르쯔 변형은 식(1) 과 같이 유도된다.⁴

( ) ²³(^{sin cos} ) ⁵³ ²³

a Cbs C Zbn Ft

δ = + ⁻ α γ ⁻ (1) 볼스크류의 예압 또는 외력에 의하여 볼과 나 사축 그루브와 볼과 너트 그루브 사이에 Fig. 1과 같이 접촉각이 변하게 된다. 정확한 강성 모델을 정식화 하기 위해서는 볼의 변형에 따른 접촉각 변화를 고려해야 한다. 외력이 가해지는 경우, 외 력과 예압이 더해지면서 볼이 받는 하중이 증가하 는 너트부와 외력에 의하여 예압이 감소하여 볼이

받는 하중이 감소하는 너트부 볼의 접촉각 변화는 다음과 같이 유도된다.⁹ αi와 α 는 각각 초기 접f

촉각과 변형후의 접촉각이며, F 는 예압이다. p

( ) ( )

2 / 3

2 / 2 sin cos 1

cos cos

p t

b i

f

s f

F F C

BD Z

α α

γ α

⎡ + ⎤ ⎛ ⎞

⎢ ⎥ = ⎜⎜ − ⎟⎟

⎢ ⎥ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

(2)

( ) ( )

2 / 3

2 / 2 sin cos 1

cos cos

t p

b i

f

s f

F F

C BD Z

α α

γ α

⎡ − ⎤ ⎛ ⎞

⎢ ⎥ = ⎜⎜ − ⎟⎟

⎢ ⎥ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

(3)

2.2 헤르쯔 상수

헤르쯔 상수는 볼스크류 너트부의 변형과 강성 을 파악하는데 기본이 되는 중요한 요소로서, 접 촉점의 곡률 ρ 와 탄성계수 E 이외에 기하학적인 변수들에 의해 결정 되는 상수이다. 이러한 변수 들을 이용하여 헤르쯔 상수는 식(4)를 이용하여 결 정한다.⁵

2

* 2 2 3

, , ,

,

, ,

3 1 1

2 2

bs bn bn bs b n s

bs bn

bn bs b n s

C E E

δ ρ ζ ζ

ρ

⎡ ⎛ − − ⎞⎤

= ⎢⎢⎣ ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⎥⎥⎦

∑ ∑ ⁽⁴⁾

3. 부하분포와 강성 모델링 3.1 TT (CC), TC (CT) 조건

Fig. 2와 같이 인장 예압이 존재하고 TT (Tension and Tension)와 TC (Tension and Compression) 조건인 경우, 각 볼 사이의 상대적 변형과 헤르쯔 접촉이론을 고려하여 지배방정식을 결정한다.

Fig. 1 Contact angle change due to load

(3)

and Tension)조건 지배방정식은 식(5)와 같으며, CC (Compression and Compression)조건 지배방정식은 식 (6)과 같이 유도된다. 그리고, 식(5)-(8)을 이용하면 인장 예압이 존재하는 CC와 CT조건에서의 부하분 포가 구해진다.

( ) ( )

( )

2 2

3 3

, ,

2 2

3 3

, 1 , 1

, , , ,

,1 ,1 , ,

2 2 3

, 3 ,

2 2

3

, 1 3 , 1

, ,

sin

p

a i a i

a ip a i

p p

a i a i a a

a p p

b b b b

b i b ip

p

b i b i

a b i b ip

F F

F F F F

K F F F F

F F

K F F

λ λ

α

− −

⎛ − ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡⎛ − ⎞ ⎤

⎢⎜ ⎟ ⎥

⎝ ⎠

⎢ ⎥

⎢ ⎧ − + + − ⎫ ⎥

⎢− ⎪⎨ ⎪⎬ ⎥

⎢ ⎪+ − + + − ⎪ ⎥

⎢ ⎩ ⎭ ⎥

⎣ ⎦

⎛ − ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

− − +

( )

{ }

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

{ }

, ,

2 2

3 3

, ,

2 2 3 3

,1 ,1

,1 ,1 , ,

sin sin

sin

b bp

a vp a v

b bp

p p

b b b b b

F F

K F F F F

λ λ

α α

α

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ + − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛ − ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡⎛ ⎞ ⎤

⎢⎜ − ⎟ ⎥

⎝ ⎠

⎢ ⎥

⎢+ − + + − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(5)

( ) ( )

{ }

( ) ( )

( )

2 2

3 3

, ,

2 2

3 3

, 1 , 1

,1 ,1 , 1 , 1

2 2

3

, 3 ,

2 2

3

, 1 3 , 1

,1 ,1 , ,

, ,

sin

sin sin

sin

a ip a i

p

a i a i c t

p p

a a a a i a i

p

b i b i

b i b ip c t

p p

a a a a

a p

b i b i

F F

F F K F

K F F F F

F F

F F K F

F F F F

K F F

λ λ

α

α α

α

− −

⎛ − ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡⎛ − ⎞ − ⎤

⎢⎜ ⎟ ⎥

⎝ ⎠

⎢ ⎥

⎢− − + + − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛ − ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ − ⎞ −

⎜ ⎟

⎝ ⎠

− + + −

+ + − +

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

{ }

, ,

2 2

3 3

, ,

2 2

3

,1 3 ,1

,1 ,1 , ,

sin

b bp

a vp a v

p

b b d t

p p

b a a a a

F F

F F K F

K F F F F

λ λ

α

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎧ ⎫ ⎥

⎢ ⎪ ⎪ ⎥

⎨ ⎬

⎢ ⎪ + − ⎪ ⎥

⎢ ⎩ ⎭ ⎥

⎣ ⎦

⎛ − ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡⎛ − ⎞ + ⎤

⎢⎜ ⎟ ⎥

⎝ ⎠

⎢ ⎥

⎢− − + + − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(6)

Ft/2

Ft L α

Fp Lⁿ_c L^s_c Ballscrew

Center Axis

b Nut a Nut

Shaft

Fa,1

Fa,1+z/2

Fa,η

Fb,1

Fb,1+z/2

Fb,η

Fa,i

Fb,i c c

T

T T Ft

C C

Fig. 2 TC and TT load conditions in preload case

0 50 100 150

0 1 2 3 4

Axial Deformation [micron]

Thrust Force [Kgf]

BNFN2505-5 in CC condition (Preload: 129Kgf) BNFN2505-5 in CT condition (Preload: 129Kgf) BNFN2505-5 in CC condition (Preload: 79Kgf)

0 50 100 150

20 40 60 80 100 120 140

Axial Stiffness [Kgf/micron]

Thrust Force [Kgf]

BNFN2505-5 in CC condition, Preload: 129Kgf BNFN2505-5 in CT condition, Preload: 129Kgf BNFN2505-5 in CC condition, Preload: 79Kgf

Fig. 3 Estimation of axial deformation and stiffness

/ 1

1

c

s s s n

S d c

s s s n

K L z

A E C C K L

A E C C

⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎜⎠⎝ + ⎟⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎜⎠⎝ + ⎟⎠

(7)

1 sin cos

t i

i

F ^λ F α γ

=

=∑ (8)

3.2 너트부 강성

Fig. 2와 같이 인장 예압이 주어진 상태에서 외 력이 작용할 경우의 강성을 고려한다. 이를 위해 Working 너트에 예압과 외력이 작용할 조건과 예 압만 작용할 조건의 변형을 고려하여 외력에 대한 변형을 정의하고 강성을 계산한다. Fig. 3은 THK사 의 볼스크류 BNFN2505-5를 대상으로 축방향 변형

(4)

및 강성을 추정한 결과이다. 탄성영역 내에서 적 절한 예압이 주어진 경우 강성은 예압에 비례하고, 외력에 반비례 함을 알 수 있다.

4. 너트부 강성 측정

볼스크류 너트부의 강성을 측정하기 위해 사용 된 실험장치는 Fig. 4와 같다. 강성측정장치 프레임 상부에는 볼스크류 너트가 체결되며, 볼스크류에 압축하중을 가하기 위해 하단에는 유압장치가 설 치되어 있다. 핸드 (Hand) 펌프 (Pump)와 스크류 (Screw) 펌프에 의하여 발생한 유압은 강성측정장 치 하단에 설치된 피스톤에 전달되어 볼스크류에 압축하중을 가한다. 또한, 피스톤과 스크류 샤프트 사이에 로드셀 (Load cell)을 설치하여 하중을 측정 한다. 볼스크류에 압축하중이 가해질 때 스크류와 너트부의 결합부위에서 발생하는 변형량을 측정하 기 위해 강성측정장치 상단에는 4개의 LVDT 센서 가 사용된다. 센서는 스크류와 연결된 포스트에 90° 간격으로 고정되어 있으며, 변위센서의 타겟은 볼스크류 너트부에 연결 된다. 90° 간격으로 배치 된 4개의 변위센서를 사용하여 볼스크류의 기울어 짐에 따른 오차를 보상한다.

0 50 100 150

0 1 2 3 4

Thrust Force [Kgf]

BNFN2505-5 - CC condition - Preload = 129Kgf

0 50 100 150

20 40 60 80 100 120 140

Thrust Force [Kgf]

(a) BNFN2505-5 with CC condition and preload 129Kgf

0 50 100 150

0 1 2 3 4

Thrust Force [Kgf]

BNFN2505-5 - CT condition - Preload = 129Kgf

0 50 100 150

20 40 60 80 100 120 140

Thrust Force [Kgf]

BNFN2505-5 - CT condition - Preload = 129Kgf

(b) BNFN2505-5 with CT condition and preload 129Kgf

0 50 100 150

0 1 2 3 4

Thrust Force [Kgf]

Fig. 4 Test rig for measurement of ballscrew nut stiffness

Fig. 5 Accurate measurement setup for deformation

(5)

0 50 100 150 20

40 60 80 100 120

Axial Stiffness [Kgf/micro

Thrust Force [Kgf]

(c) BNFN2505-5 with CC condition and preload 79Kgf Fig. 6 Measured axial deformations and stiffnesses

실험에는 CC(TT) 조립 조건과 CT(TC) 조립 조 건의 볼스크류가 사용된다. CC 조건의 경우 헤르 쯔 접촉 변형과 볼스크류 너트부의 변형을 측 정 할 수 있지만, CT조건의 경우 추력에 의하여 측정 장치 상부 프레임에서 변형이 발생하므로, Fig. 5와 같이 상부 프레임의 변형을 측정하여 보상 한다.

로드셀에서 측정된 외력과 변위센서에서 측정 된 변형량 값을 사용하여 각 하중에서의 강성 값 을 계산 한다. CT 조립 조건에서의 볼스크류는 각 각 측정된 헤르쯔 변형량과 너트의 변형량을 사용 하여 강성을 계산한다. Fig. 6은 30회 반복 실험을 통하여 예압이 129Kgf인 BNFN2505-5 CC 및 CT 조건, 그리고 예압이 79Kgf인 BNFN2505-5 CC 조 건에서의 변형량과 강성값을 측정한 것이다. 같은 조립 조건에서는 예압이 증가할수록 강성이 증가 하며, 같은 예압 조건에서는 CT 조립 조건 보다 CC 조립 조건이 높은 강성을 보인다.

5. 불확도 해석

GUM(Guide to the expression of uncertainty in measurement)에 의한 측정 불확도의 추정 순서는 Fig. 7과 같이 진행된다. 강성 측정에서 불확도 추 정과 관련하여 불확도 모델이 존재한다. 불확도를 포함하는 요소들을 불확도 모델의 입력 변수로 정 의한다. 각 입력 변수들의 표준불확도는 변수의 특성에 따라 A형 평가와 B형 평가에 따라 구한다.

A형 평가는 반복된 관측치로부터 통계적인 분석을 통하여 불확도를 평가하며, B형 평가는 계통오차에 의한 불확도를 평가한다. 감도계수(Sensitivity coefficient)는 결과가 특정 입력에 대한 민감도를 나타내며, 각 표준불확도에 감도계수를 곱하여 각

변수들의 불확도 기여량(Uncertainty contribution)을 구한다. 이는 불확도 증식에 의하여 합성불확도 (Combined uncertainty)로 결합되며, 포함인자 (Coverage factor)를 이용하여 확장불확도(Expanded uncertainty)를 구한다.

본 논문에서는 측정된 하중과 변형량은 A형 평가를 수행하며, 센서의 불확도, 센서의 설치오차 및 환경온도에 따른 불확도는 B형 평가를 수행한 다. 그리고 B형 평가에 의한 불확도는 균일분포를 사용한다. 95.45%의 신뢰도를 적용하여 확장불확도 를 계산 하였으며, Table 1-3은 측정 강성값과 하중 에 따른 합성불확도, 확장불확도, 95.45% 신뢰도로 측정된 강성의 신뢰구간을 나타낸다.

Fig. 7 Procedure of uncertainty evaluation by GUM

(6)

Table 1 Stiffness uncertainty measurements for BNFN 2505-5 with preload 129Kgf and CC condition Thrust force

[Kgf]

Combined uncertainty u_c [Kgf/µm]

Expanded uncertainty U [Kgf/µm]

Confidence interval [Kgf/µm]

50 25.49 50.99 36 ≤ 87 ≤ 138

100 12.01 24.02 54 ≤ 78 ≤ 102

150 8.02 16.04 57 ≤ 73 ≤ 89

Table 2 Stiffness uncertainty measurements for BNFN2505-5 with preload 129Kgf and CT condition Thrust force

[Kgf]

50 20.60 41.20 31 ≤ 72 ≤ 113

100 8.88 17.76 51 ≤ 69 ≤ 87

150 5.53 11.06 56 ≤ 67 ≤7 8

Table 3 Stiffness uncertainty measurements for BNFN2505-5 with preload 79Kgf and CC condition Thrust force

[Kgf]

50 10.35 20.70 52 ≤ 73 ≤ 94

100 4.99 9.98 53 ≤ 63 ≤ 73

150 2.70 5.40 52 ≤ 57 ≤ 62

Fig. 8 Geometric and material Database of commercial ballscrews

(7)

6. 결론

접촉변형에 따른 접촉각 변화와 조립 및 운전 조건에 따른 볼스크류 너트부의 부하분포와 강성 을 예측할 수 있는 수학적 모델을 구축하였다. 또 한, 조립 조건에 따른 너트부의 강성을 측정할 수 있는 실험장치를 구축하였으며, 실험 장치와 계측 장비 및 실험과정에서 발생하는 불확도를 고려하 여 실험치의 불확도 해석을 수행하였다.

불확도 해석을 통해 개발된 강성 모델이 85%

이상의 예측 정확도를 가짐을 검증하였다.

메이커별 볼스크류의 기하학적 정보, 물성 정 보 등에 대한 DB를 Fig. 8과 같이 구축하였고, 볼 스크류 모델, 조립 및 운전 조건을 입력하면, 볼과 그루브에서의 접촉부하, 축방향 변형 및 강성 등을

신속하고 정확하게 추정할 수 있는 Fig. 9와 같은 볼 스크류 강성 예측 일괄처리시스템을 개발하였다.

REFERENCES

1. Kim, M.-S. and Chung, S.-C., “Friction Identification of Ball-Screw Driven Servomechanisms through the Limit Cycle Analysis,” Mechatronics, Vol. 16, No. 2, pp. 131-140, 2006.

2. Kim, K. H., Park, C. H., Song, C. K., Lee, H. S., and Kim, S. W., “The Accuracy Design of LM Guide System in Machine Tools,” Proc. of KSPE Spring Conference, pp. 692-695, 2000.

3. Kim, M.-S. and Chung, S.-C., “Integrated Design Methodology of Ball-Screw Driven Servomechanis- Fig. 9 Quick turnaround system for estimation of ballscrew nut stiffness

(8)

ms with Discrete Controllers. Part I: Modelling and Performance Analysis,” Mechatronics, Vol. 16, No. 8, pp. 491-502, 2006.

4. Shimoda, H., “Stiffness Analysis of Ball Screws,”

International Journal of the Japan Society for Precision Engineering, Vol. 33, No. 3, pp. 168-172, 1999.

5. Chung, S. and Park, C., “Analysis of Ballscrew Stiffness owing to Contact Deformation in Leadscrew Systems,” Proc. of the ASPE Annual Meeting, pp.

160-163, 2010.

6. Harris, T. A. and Kotzalas, M. N., “Rolling Bearing Analysis,” John Wiley, pp. 149-166, 2001.

7. KIMM, “Development of Platform Technology for Machine Accuracy Simulation II,” Research Report, No. UCN011-4644.M, 2014.

8. International Organization of Standardization, “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement,”

1995.

9. Chung, S. C., Cao, L., KIM, K. H., and Park, C. H.,

“Precision Modeling and Measurement of Nut Stiffness in Ballscrews,” Proc. of the ASPE Annual Meeting, pp. 295-298, 2013.