Underwater Structure-Borne Noise Analysis Using Finite Element/Boundary Element Coupled Approach

<학술논문> DOI http://dx.doi.org/10.3795/KSME-A.2012.36.7.789 ISSN 1226-4873

유한요소/경계요소 연성해석을 통한 수중 구조기인소음 해석

이두호^*† · 김현실^**· 김봉기^**· 이성현^**

* 동의대학교 기계공학과, ** 한국기계연구원 음향그룹

Underwater Structure-Borne Noise Analysis Using Finite Element/Boundary Element Coupled Approach

Dooho Lee^*†, Hyun-Sil Kim^** , Bong-Ki Kim^** and Seong-Hyun Lee^**

* Dept. of Mechanical Engineering, Dongeui Univ.,

** Acoustic Group, Korea Institute of Machinery & Materials (Received March 2, 2012 ; Revised April 15, 2012 ; Accepted April 16, 2012)

- 기호설명 - p : 음압

Ψ : Green 의 해 n : 단위법선 벡터

H, G : 경계요소 시스템 행렬 M : 질량행렬

K : 강성행렬 C : 감쇠행렬

ω : 각속도 U : 구조의 변위

i : ^{= −1} k : 파수

1. 서 론

함정이나 잠수함같이 수중에 잠겨 있는 구조물 에 응용할 수 있는 유체-구조 연성 구조물에 대한 진동해석이나, 이러한 구조물의 진동으로부터 발 생하는 수중방사소음(underwater radiated noise, Key Words: Underwater Radiated Noise(수중방사소음), Foundation Impedance(받침대 임피던스), Finite Element/Boundary Element Coupled Approach(유한요소/경계요소 연성해석), Fluid-Structure Interaction Problem(구조-유체 상호작용문제)

초록: 함정의 수중방사소음은 그 해석의 어려움이나 정확성에 있어서 매우 관심이 큰 문제이다. 본 논 문에서는 구조물의 수중방사소음을 해석하기 위하여 유한요소/경계요소 연성해석법을 제안하였다. 제안 된 방법은 헤름홀츠방정식에 대한 Burton-Miller 적분방정식에 기반하는 부가수 질량과 감쇠행렬을 이용 하여 구조물의 구조-유체 연성응답을 해석하고 계산된 구조물의 응답으로부터 수중방사소음을 계산하는 순차적인 방법이다. 구조-유체연성작용의 구조해석은 상용소프트웨어인 MSC/NASTRAN 에 구조-유체연 성효과 행렬을 추가하여 해석하는 방법으로 이루어졌고, 수중방사소음의 경우는 전용 소프트웨어를 개 발하였다. 개발된 수중방사소음 해석법을 간단한 예제를 통하여 그 특성을 살피고, 실제 함정의 받침대 진동에 의한 수중방사소음의 계산에 적용하여 그 유용성을 보였다.

Abstract: Radiated noise analysis from a ship structure is a challenging topic owing to difficulties in the accurate calculation of the fluid-structure interaction as well as owing to a massive degree of freedom of the problem. To reduce the severity of the problem, a new fluid-structure interaction formulation is proposed in this paper. The complex frequency-dependent added mass and damping matrices are calculated using the high-order Burton-Miller boundary integral equation formulation to obtain accurate values over all frequency bands. The calculated fluid-structure interaction effects are added to the structural matrices calculated by commercial finite element software, MSC/NASTRAN. Then, the impedance and underwater radiation noise due to an excitation of structure are calculated.

The present formulation is applied to a ship to calculate the underwater radiated noise.

† Corresponding Author, [email protected]

Ⓒ 2012 The Korean Society of Mechanical Engineers

URN)의 해석은 오랜 동안 많은 관심을 받아 왔 다.^(1~3)

유한요소법(finite element method)의 발전과 더불 어 구조물의 해석에는 유한요소법을 이용한 해석 이 대부분을 이루고 있다. 유체-구조 연성구조물 의 해석을 위해서는 구조물을 둘러싸고 있는 유체 부분의 경우가 무한영역인 경우가 많으므로 이러 한 무한영역을 쉽게 다룰 수 있는 경계요소법 (boundary element method)과 혼합하여 해석할 수 있는 정식화가 많이 진행되었다.^(4~9) 그러나 이러 한 방법들은 두 적분방정식의 근사로부터 얻어진 행렬들을 직접 연성시켜 해를 구하는 방법으로 그 시스템 행렬을 얻기가 힘든 상용 소프트웨어를 사 용하는 경우 어려움이나 복잡성이 크다는 단점이 있다. 또 다른 접근법으로 구조계와 유체영역의 해석을 독립적으로 수행할 수 있는 정식화가 진행 되었는데, 이는 주로 유체력에 의한 부가수 질량 (added mass) 표현식을 얻는 방법으로 정식화가 가 능하였다.^(10~13) 부가수 질량의 표현식은 유체부분 을 비압축성 유체로 가정하여 Laplace 방정식의 해에 기초하는 방법^(12,13)이 있으나 이는 비교적 저 주파수에서만 유효하다는 것이 알려져 있고, 유체 를 압축성으로 가정하여 선형 파 방정식 (linear wave equation)을 푸는 방법^(10,14)이 제안되었다.

본 논문에서는 부가수 질량 개념을 이용하여, 구조해석을 위한 상용 유한요소 소프트웨어를 이 용하고, 유체부분의 영향은 별도의 경계요소 해석 을 통해 고려할 수 있는 새로운 방법을 제안하고 수치 예제를 통해 그 해의 정확성을 살펴본다. 이 를 위하여 구조물의 표변 속도 변화에 따른 유체 력 표현식을 정식화한다. 경계요소법을 사용하여 외부문제를 풀 때 발생하는 해의 유일성 문제를 극복할 수 있는 Burton 과 Miller 경계적분 방정식 을 이용하여 부가 유체력을 계산하고 이를 유한요 소 해석 모델의 강성행렬과 감쇠행렬에 부가하여 전체 구조물의 해석을 수행하고, 얻어진 구조물의 표면속도 정보를 이용하여 수중방사소음을 계산하 는 절차를 제안한다.

2. 수중방사소음 해석의 정식화

2.1 경계적분 방정식

Fig. 1 과 같이 자유표면을 갖는 유체와 유체에 잠겨있는 구조물로 이루어진 구조-유체 연성계를 생각한다. 유체부분의 지배방정식은 선형 파 방정 식을 가정하면 다음과 같이 Helmholtz 방정식으로 표현할 수 있다.

2 2

0, ( ) 0,

a

H

p k p x

p x x

∇ + = ∈ Ω

= ∈ Γ (1)

위 식에서 k 는 파수(wave number)이고 p는 압력 (pressure)이다. 식 (1)의 Helmholtz 방정식은 경계 적분방정식 (boundary integral equation, BIE)을 이용 한 정식화로 다음과 같이 변환할 수 있다.⁽¹⁵⁾

( ) ( ) ,

I

n I

c x p x i v p d x ρω n

Γ

 ∂Ψ 

= −∫ Ψ + ∂  Γ ∈ Γ ⁽²⁾

1

1

1 1 2 3 3

( , ) 1 ,

4

, ( , , 2( ))

ikr

e ikr e

x y r r

r y x r y x x x h x

π

−

 − 

Ψ =  − 

 

= − = − + −

(3)

위 식에서 Ψ는 자유표면을 고려한 Helmholtz 방 정식에 대한 Green 의 해이고, ρ와 ω는 각각 밀 도와 각속도이다. 또한, h 는 유체 자유면을 x-y 평편에 존재한다고 가정했을 때 수면의 위치이며_,

n은 단위법선벡터, i = −1이다.

식 ₍₂₎의 경계적분방정식은 외부문제의 경우 해

당 내부문제의 고유값에서 해의 유일성문제가 발

생하는 것으로 알려져 있으며 이를 해결하기 위하

여 식 ₍₂₎의 경계적분 방정식을 하나의 경계위의

점에서의 법선방향으로 미분하면 다음과 같은 법

선미분 경계적분방정식 (normal derivative BIE)을 얻을 수 있다.

0 0

0

( ) ( ) [ ( )

( )] ( ),

I

n

I

c x p x i v y

n n

p y d y x n n

ρω

Γ

∂ ∂Ψ

∂ = − ∂

∂ ∂Ψ

+∂ ∂  Γ ∈ Γ

∫

(4) Fig. 1 Fluid-structure interaction problem

위 식에서 n₀ 는 경계점에서의 법선방향벡터이다.

식 (4)의 경계적분방정식은 수치적분시 특이성차 수(singularity order)가 1 r² 로 올라가는 복잡성을 띄지만 Laplacian 커널을 이용한 정규화과정을 거 쳐서 그 적분값을 구할 수 있다.⁽¹⁶⁾ Burton 과 Miller 식⁽¹⁷⁾은 식 (2)와 식 (4)의 식을 조합한 식으 로 식 (4)에 i k 를 곱하여 식 (2)와 더하는 것이 보통이다. Burton 과 Miller 의 식은 해의 유일성 문 제가 없이 모든 주파수에 대하여 해가 존재하는 것을 보일 수 있다.

경계요소를 도입하여 경계적분방정식을 이산화 하고 적분을 수행하면 다음과 같은 시스템 방정식 을 얻을 수 있다.

HP=GV_n (5)

위 식에서 행렬 H 와 G 는 주파수의 함수이고 복 소값을 갖는 비대칭 행렬이며 벡터 P 와 V_n는 각 경계요소의 절점에서의 압력과 법선방향 속도성분 으로 구성된 벡터이다. 식 (5)에 경계조건을 대입 하고 정리하면 절점에서의 미지변수를 계산할 수 있다.⁽¹⁵⁾

2.2 유체력의 표현과 구조-유체 연성해석 구조물에 작용하는 유체력을 표현하기 위하여 우선, 구조물의 k 번째 절점이 l 방향으로 단위속도 를 가질 때 구조물의 표면에 형성되는 음압분포를 구하면, 식 (5)로부터 다음과 같이 된다.

-1 , 1, 2,3, 1, ,

kl = k th col₋ ⋅nkl l= k= N

P H G ⋯ (6)

위 식에서 P_kl은 k 번째 절점이 l 방향으로 움직였 을 때 각 경계절점에서 형성되는 음압벡터이며

nkl은 k 번째 절점에서 법선단위벡터의 l 방향 성 분이다. N 은 전체 경계절점의 수이다. 식 (6)에 의 해서 결정된 음압분포에 의해 작용하는 힘은 등가 에너지 개념을 이용하여 각 절점에 작용하는 힘 (nodal force)로 다음과 같이 변환 할 수 있다.

I I 1

N f

jk kl j j ikl i j I

i

d P n d

φ φ φ

Γ Γ =

 

= Γ =   Γ

∑ 

∫ ∫

f P n (7)

위 식에서 f_jk^f 는 k 번째 노드가 단위 속도로 움직 일 때 j 번째 노드에 작용하는 유체력을 의미한다.

φ는 형상함수(shape function)을 의미한다.

이제 k 번째 노드의 조화변위 u_k에 의한 유체력 을 고려하고 속도에 비례하는 항과 가속도에 비례 하는 항으로 나누어 써보면 다음과 같은 식을 쓸 수 있다.

2

f f

jk k jk

f f

k jk k jk

i u

u i u

ω

ω ω

=

≡ + −

F f

M C (8)

위 식에서 M^f_jk와 C^f_jk는 각각 유체에 의한 부가수 질량 행렬(added mass matrix)과 감쇠행렬(added damping coefficient)로 정의된다. 식 (8)과 식 (7)을 비교하면 부가수 질량과 감쇠 행렬은 다음 식으로 표현될 수 있다.

Im( ) / Re( )

f f

jk jk

f f

jk jk

ω

= −

= −

M f

C f (9)

위 식에서 Im 와 Re는 각각 허수부와 실수부를 의미한다. 그러므로 식 (7)에 의하여 유체력을 계 산하면 이 유체력의 실수부와 허수부로부터 부가 수 감쇠 및 질량행렬을 얻을 수 있다. 이러한 유 체력의 표현식은 구조-유체 연성구조물의 해석없 이 유체부분만의 해석으로 얻어지는 것을 주목할 필요가 있다. 즉 구조부분과 관계없이 별도의 해 석으로 부가수 질량과 부가수 감쇠 행렬을 계산할 수 있다.

유체력을 고려한 구조물의 응답을 계산하기 위 해서는 구조부분을 유한요소법을 이용하여 모델링 하고 이를 각각 질량, 감쇠, 강성행렬로 나타내고 유체력에 의한 부가수 질량 및 감쇠를 고려하여야

Fig. 2 Flow chart for calculation of underwater radiated noise

한다. 이는 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다.

[ 2

]

s f s f

jk jk jk jk

s f s

jk jk k j

ω iω

− +

+

(M + M ) (C + C )

(K + K ) u = F (10)

위 식에서 행렬 K 는 강성행렬을 의미하고 상첨자 s 와 f 는 각각 구조부분에 대한 행렬과 유체부분 에 대한 행렬을 의미한다. 식 (10)은 일반적인 구 조물의 운동방정식과 동일하며 이를 이용하여 고 유값해석 및 주파수응답해석 등을 상용소프트웨어 를 사용하여 수행할 수 있다.

2.3 수중 방사소음의 계산

Fig. 1 과 같이 구조물이 유체에 잠겨있는 경우 에 대하여 구조물의 진동으로 인한 방사소음의 계 산은 식 (10)을 이용하여 유체력을 고려한 구조물 의 주파수 응답해석을 수행한 후, 구조물 표면에 서의 속도응답을 계산하면 2.1 절의 경계적분 방정 식을 이용하여 경계면에서의 음압을 계산할 수 있 다. 경계면의 음압을 계산하면 다음과 같이 유체

Fig. 5 Ribbed cylinder problem

영역점에서 적용되는 경계적분 방정식을 이용하여 영역점에서의 음압을 계산할 수 있다.

( ) ,

I

n a

p x i v p d x

ρω n

Γ

 ∂Ψ 

= −∫ Ψ + ∂  Γ ∈ Ω ⁽¹¹⁾

이 경우 부가수 질량 및 감쇠 행렬을 구하기 위한 경계요소 시스템행렬과 동일한 시스템 행렬이 구 성되고 경계조건만이 다른 경우에 해당하게 되어 시스템 행렬을 다시 계산할 필요가 없이 빠르게 수중에서의 음압응답을 계산할 수 있다. Fig. 2 에 수중 방사소음을 계산하는 절차를 그림으로 정리 하였다.

3. 수치해석 예제 및 토론

3.1 진동하는 구 문제

Burton 과 Miller 의 경계적분 방정식을 만족하는 유체에서의 음압분포를 계산하기 위하여 8 절점을 갖는 이차 사각형요소를 사용하는 경계요소해석 소프트웨어를 개발하였다. 개발된 소프트웨어의 정확성을 검증하기 위하여 해석해가 존재하는 진 동하는 구 문제(pulsating sphere problem)를 풀었다.

경계요소분할은 Fig. 3 과 같이 96 개의 8 절점 사 각형요소를 사용하여 구를 분할하였고 해석결과를 Fig. 4 에 나타내었다. 그림에서 보듯이 Burton 과 Miller 경계적분방정식을 이용한 경계요소해석은 해석해를 매우 잘 재현하고 있다. 또한 식 (2)로 표현되는 기존의 경계적분방정식을 이용한 경계 요소 해석시 나타나는 해의 불안전성도 보이지 않 는 것을 볼 수 있다.

Fig. 3 Boundary element mesh for the pulsating sphere problem

0 200 400 600 800 1000

-100 0 100 200 300 400 500

Sound Pressure[Pa]

Frequency[Hz]

Analytic Solution Conventional BIE Burton-Miller BIE real part

imaginary part

Fig. 4 Boundary element analysis results for the pulsating sphere problem

3.2 수중 실린더 문제

Fig. 5 는 물속에 잠겨있는 실린더 문제⁽¹⁴⁾를 보 여주고 있다. 실린더는 철로 이루어져 있으며 7 개 의 원형 리브로 보강되어 있다. 실린더 내부 중앙 의 리브에 가진기가 설치되어 있어 원주방향으로 1 파운드의 힘을 258 Hz 의 주파수로 가진하고 있 다. 실린더 각 부위의 두께와 크기는 Fig. 5 에 도 시되어 있다. 각 부분의 물성값은 Table 1 에 정리 하여 표시하였다.

실린더의 주파수 응답과 수중 방사소음을 계산 하기 위하여 실린더의 표면만을 경계요소로 모델 링한 후 경계적분방정식을 이용하여 부가수 질량 행렬 및 감쇠 행렬을 구하고, 유한요소 해석 상용 소프트웨어인 MSC/NASTRAN 으로 실린더의 구조 물을 모델링하여 강성, 질량행렬을 계산하, 사전 계산된 부가수 질량 및 감쇠 행렬을 구조물의 강 성 및 감쇠행렬에 더하여 구조물의 응답을 구하였 다. 또한, 구조물의 진동에 의한 수중 방사소음을 계산하기 위하여 구조물 표면에서의 속도 응답을 구하고 이를 경계조건으로 하여 수중에서의 음압 을 구하였다. 수치해석을 위한 경계요소 모델은 268 개의 8 절점 사각형요소(806 절점)로 모델링 하였으며, 실린더는 408 개의 CQUAD8 요소(1226 절점)로 모델링 하였다. Table 2 에 유체력을 고려한

경우에 고유주파수를 계산하여 표기하고 유체가 없는 경우와 MSC/NASTRAN 의 가상질량(virtual mass) 기능을 이용하여 계산한 경우와 비교하였다.

NASTRAN 의 가상질량 기능은 유체를 점성이 없 는 비압축성 유체로 가정하고 유체력을 계산하는 방법으로 4 절점 사각형요소만을 지원한다. 표를 보면 유체력을 고려하는 경우 유체력을 고려하지 않는 경우에 비하여 고유주파수가 거의 반으로 떨 어지는 것을 볼 수 있어 수중 구조물의 경우 구조 -유체 연성해석이 필요함을 알 수 있고, 비압축성 유체를 가정하는 NASTRAN 결과에 비하여 고유 주파수 강하폭이 매우 커서 비압축성 유체로 가정 하는 것의 한계를 보여주고 있다. Fig. 7 에는 실린 더의 가진점에서의 임피던스를 계산하여 주파수의 함수로 그리고 다른 방법과 비교하였다. 그림을 보면 유체력을 고려하는 경우 그 주파수 응답특성 이 유체의 영향으로 저주파수로 이동하는 특성이 확연하게 드러난다. Fig. 8 에는 1 파운드의 가진력 으로 258Hz 에서 가진했을 때 실린더의 강제진동 형상을 그렸다. 유체력을 고려하지 않았을 때는 원주방향으로 3 절모드 형상을 갖는 2 번째 모드형 Table 1 Material properties of the ribbed cylinder

problem

Properties Values Young’s Modulus 206 GPa

Poisson’s Ratio 0.3 Structural Damping 0.06

Sound Speed 1461 m/s Density(steel) 7850 kg/m³ Density(water) 1000 kg/m³ Table 2 Eigenfrequencies of the ribbed cylinder problem

Method Mode 1 Mode 2 Mode 4 No Fluid 207.6 238.4 415.0 Virtual Mass

(MSC/NASTRAN) 170.3 195.3 335.4 Present

Formulation 106 131 239

Fig. 6 Modes shapes of the ribbed cylinder (1^st, 2^nd, and 4^th modes)

100 200 300 400 500

80 100 120 140

Impedance(dB, ref=1 Ns/m)

Frequency[Hz]

No fluid : CQUAD8 408 ele.

Virtual Mass(NASTRAN) BE/FE Coupled: B-M Formulation

Fig. 7 Point impedance for the ribbed cylinder problem

상에 가까운 모습으로 진동하고 있는 것으로 해석 되나, 유체력을 고려하는 경우는 고유주파수가 강

하하여 4 번째 모드형상에 가까운 모습으로 진동 하는 것으로 나타나 유체력의 고려 유무에 따라 진동형상이 크게 차이가 있음을 알 수 있다. Fig. 9 에는 258Hz 로 가진시 구조물의 진동으로부터 발 생하는 수중방사소음을 R=240’ 을 갖는 원주상에 서 계산하고 그 결과를 참고문헌⁽¹⁴⁾과 비교하였다.

그림을 보면 본 연구의 결과는 참고문헌⁽¹⁴⁾의 결 과를 매우 유사하게 재현하고 있어 본 연구의 정 식화 및 실행과정에 대한 유효성을 잘 보여주고 있다.

4. 함정 수중방사소음에의 응용

제안된 수중방사소음 해석과정을 함정의 장비에 서 수중으로 방사되는 소음의 해석에 응용하기 위 하여 한 함정을 선정하고 감속기어 받침대에 대하 여 수중방사소음을 해석하였다. 이 함정의 감속기 어는 모두 10 개의 받침대로 이루어져 있으며 이 받침대를 포함하는 함정 중앙부를 모델링하고 구 조와 유체의 연성을 고려하였다. 함정 구조물의 유한요소 모델은 Fig. 10(a)에 보였다. 이 유한요소 (a) No fluid case

(b) Fluid-structure coupled case

Fig. 8 Operational delfection shapes of the ribbed cylinder problem at 258 Hz

0 20 40 60 80 100

0 30 60 90

120

150

180

210

240

270

300 330 0

20

40

60 80

100

Experiment Burton-Miller BIE Zhou's Results[14]

Fig. 9 Underwater radiated noise of the ribbed cylinder problem at 258 Hz

(a) Finite element model for a ship

(b) Boundary element model Fig. 10 FE/BE coupled analysis model for a ship

모델은 28,048 개의 절점으로 이루어져 있다. 유한 요소 모델은 감속기어 받침대 부분을 상세 모델링 하고 이와 연결되는 구조물의 일부분을 모델링하 였다. 수중방사소음 계산을 위한 경계요소해석 모 델은 Fig. 10(b)에 나타내었다. 경계요소해석 모델 은 구조모델의 외부면을 이루는 요소를 추출하여 얻어졌으며 함정 접수면을 기준으로 접수면 이하 만 모델링하였다. 경계요소 모델은 2415 개의 절점 과 2405 개의 삼각형/사각형 평면 요소로 모델링하 였으며 이 중 접수면을 이루는 부분은 1831 개의 절점, 1876 개의 요소로 이루어져 있다. 경계요소 해석은 기존의 경계적분방정식을 사용하여 부가질 량과 수중 방사소음을 계산하였다. 접수면의 위치 는 z=-1 m 부분이다. 수중 방사소음의 계산은 각 마운트의 한 점에 1 N 의 힘을 가했을 때, 구조물 의 접수면에서의 속도를 계산하고 이를 경계적분

방정식의 입력으로 사용하여 수중방사소음을 구하 였다. Fig. 11 에는 1 번 받침대를 가진한 경우 150 Hz 에서 접수면의 속도분포와 이로부터 계산된 수 중방사소음 분포의 예를 그렸다. Fig. 11 의 수중방 사소음을 함정의 바닥면에서 수직방향으로 1 m 떨 어진 부분의 평면에 대하여 직경 100 m 의 원형평 면에 대하여 도시하였다(사각형은 함정의 위치를 나타냄). 그림을 보면 받침대로 입력된 결과로 발 생된 구조면의 진동이 수중소음으로 전파되는 과 정이 잘 나타나 있음을 볼 수 있다.

5. 결 론

본 논문에서는 유체에 잠겨있는 수중 구조물의 유체-구조 연성해석을 위한 유한요소/경계요소 해 석 방법을 제안하고 수치예제를 통하여 그 특성을 살펴보았다. 제안된 방법은 유체력을 Burton 과 Miller 경계적분방정식을 사용하는 경계요소법을 이용하여 부가수 질량 및 감쇠행렬로 표현하고, 이를 사용 유한요소 소프트웨어의 구조해석 기능 과 연계하여 유체력을 고려한 구조해석을 수행하 고, 계산된 유체표면에서의 속도분포를 이용하여 수중에서의 구조기인 방사소음을 계산하는 방법으 로서, 유체부분의 해석시 해의 유일성문제로 인한 수치해의 불안정성이 없이 상용 유한요소해석 소 프트웨어를 이용할 수 있다는 장점이 있다. 또한, 수치예제로서 수중 구조물의 주파수 응답의 해석 을 통하여 유체력의 고려는 수중 구조물의 주파수 응답에 매우 큰 변화를 주며, 수중 구조물의 진동 이나 구조기인소음의 해석시 유체-구조의 연성해 석이 필요함을 보였다. 또한 제안된 해석방법을 실제 함정의 받침대로부터 수중으로 방사되는 소 음의 해석에 적용함으로써 실제 문제에 적용될 수 있음을 보였다.

후 기

이 논문은 2010 년도 정부(교육과학기술부)의 재원으로 한국연구재단의 기초연구사업 지원을 받아 수행된 것임(과제번호 2010-0023464)

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