Elastic Crack Opening Displacement of Slanted Circumferential Through-Wall Cracks in Thick-Walled Cylinder

원주방향 경사관통균열이 존재하는 두꺼운 배관의 탄성 균열열림변위

한태송

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Elastic Crack Opening Displacement of Slanted Circumferential Through-Wall Cracks in Thick-Walled Cylinder

Tae-Song Han

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(Received 8 October 2012, Revised 5 November 2012, Accepted 19 November 2012)

ABSTRACT

According to recent research on leak-rate estimates to assess rupture probabilities of nuclear piping which contains a circumferential surface/through-wall cracks due to PWSCC, i.e., xLPR (Extremely Low Probability of Rupture) program, it has been revealed that the use of crack shape with an idealized circumferential through-wall crack during actual crack growth can lead to overestimate of the leak-rate. Thus, for accurate estimation of the leak-rate during crack growth, the more realistic crack shape that can simulate the crack shape transition from surface crack to through-wall crack should be used. In this context, in the present study, the elastic crack opening displacement of slanted circumferential through-wall crack in thick-walled cylinder was proposed based on 3-dimensional elastic finite element fracture mechanics analyses. To propose the elastic crack opening displacement of slanted circumferential through-wall crack in thick-walled cylinder, the geometric variables affecting crack opening displacement, i.e., thickness of cylinder, reference inner crack length and slant crack ratio were systematically varied. In terms of loading conditions, axial tension, global bending moment and internal pressure were considered. The present results can be applied to calculate the leak-rate considering more realistic crack shape transition from surface crack to idealized through-wall crack, and can be expected to enhance current leak-rate estimation scheme, for instance, in xLPR program etc.

Key Words : Crack Opening Displacement(균열열림변위), Leak-Before-Break(파단전누설), Leak-Rate(누설률), Slanted

Circumferential Through-Wall Crack(원주뱡향 경사관통균열), Thick-Walled Cylinder(두꺼운 배관)

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책임저자, 회원, 서울과학기술대학교 기계시스템디자 인공학과

E-mail: [email protected] TEL: (02)970-6317 FAX: (02)974-8270 서울과학기술대학교 기계시스템디자인공학과 Engineering Mechanics Corporation of Columbus 한국원자력안전기술원 건설원자력규제단

기호설명

p＝internal pressure R

＝inner radius of cylinder

R

＝mean radius of cylinder R

＝outer radius of cylinder t＝wall thickness of cylinder T＝axial tension

M＝global bending moment δ＝crack opening displacement

θ

＝half crack angle on the inner surface of the slanted circumferential through-wall crack

θ

＝half crack angle on the outer surface of the slanted

circumferential through-wall crack

단을 제거하고 설계를 단순화하기 위해 파단전누설 (Leak-Before-Break; LBB) 개념을 배관 설계에 적용 하고 있다. 현재 적용되고 있는 LBB 개념은 경수로형 원전 안전심사지침 3.6.3절

에 제시된 결정론적 절차 에 따라 수행되고 있으며, 기본적으로 응력부식균열 (stress corrosion cracking) 현상 등으로 가동 중 열화 (degradation)가 예상되는 배관 계통에는 LBB 개념을 적용하지 못하도록 하고 있다.

그러나 최근 Alloy 82/182로 용접된 이종금속용접 부에서 일차수 응력부식균열(Primary Water Stress Corrosion Cracking; PWSCC)로 인한 균열 및 누설 사례

가 다수 발견됨에 따라 FSWOL(full structural weld overlay) 등과 같은 예방 정비가 수행되고 있다.

이에 따라 LBB 개념이 적용된 배관 계통에 대해 Alloy 82/182 이종금속용접부에서의 PWSCC로 인한 손상 가능성이 극히 낮음을 입증하기 위한 확률론적 평가 방법의 일환으로 USNRC와 EPRI를 비롯한 미국 원 자력 산업계에서는 xLPR (Extremely Low Probability of Rupture) 프로그램

을 진행 중에 있다. 최근 xLPR 프로그램의 기초 연구 결과에 따르면 원주방향 관통 균열만을 고려할 경우 배관 파단 확률이 과대 평가되 는 것으로 나타나 축방향 관통균열을 고려할 필요성 이 제기 되었다. 뿐만 아니라 누설률(leak-rate)을 평가 함에 있어 xLPR 프로그램에서는 균열 형상으로 표 면 균열과 이상화된 원주방향 관통균열만을 고려하 게 되는데 이로 인해 누설률이 지나치게 과대 평가되 어 이에 대한 개선이 필요한 것으로 나타났다

.

일반적으로 배관 내부에 표면균열이 발생할 경우 PWSCC나 피로에 의해 표면균열의 최심점(deepest point)에서 균열 성장이 빠르게 일어나 부분적으로 배 관을 관통하게 된다. 이 때 관통균열은 배관 내면에 서는 상대적으로 길이가 길고 외면에서는 상대적으 로 길이가 짧게 되어 경사관통균열(slanted through-wall crack)의 형상이 된다

. 그리고 하중 조건 및 배관 형

평가를 위해서는 누설률의 정확한 예측이 필수적이 기에 이와 같은 실제 균열 형상을 고려하여 누설률을 예측할 수 있는 방법이 제시되어야 한다.

이에 따라 최근 저자들은 이와 같은 문제를 개선 하기 위해 원주방향 및 축방향 경사관통균열이 존재 하는 두께가 얇은 배관에 대한 응력확대계수(stress intensity factor) 및 탄성 균열열림변위(elastic crack opening displacement, elastic COD) 예측식을 제시한 바 있다

. 그러나 PWSCC에 의한 누설이 발생한 해 외 사례

의 경우 배관 및 용접부의 두께가 상대적으 로 두꺼우며 최근 배관 계통의 안전성 증진과 예방 정비 등으로 인해 배관의 두께가 두꺼워지고 있기에 이와 같은 두꺼운 배관에 대한 파괴역학 매개변수 계 산식이 필요하다. 두꺼운 배관에 존재하는 표면 균열 등에 대해서는 파괴역학 매개변수 계산식이 제시된 바 있으나

경사관통균열의 경우에는 아직 제시된 바 가 없다.

따라서 본 연구에서는 두꺼운 배관에 존재하는 원 주방향 경사관통균열의 누설률 예측에 필요한 탄성 균열열림변위 계산식을 3차원 탄성 유한요소해석을 통해 제시하였다. 이를 위해 두꺼운 배관 형상을 고려 할 수 있도록 배관과 균열 형상, 하중 조건을 체계적 으로 고려하였다.

2. 해석 대상 및 유한요소해석

2.1 해석 대상

Fig. 1은 원주방향 경사관통균열이 존재하는 두꺼 운 배관의 기하학적 형상을 나타낸 것으로 R

, R

, R

는 각각 배관의 내반경, 평균반경, 외반경을 의미 하며 t는 배관의 두께를 의미한다. 또한 θ

과 θ

는 각 각 배관의 내부표면과 외부표면에서의 균열각의 1/2 을 의미한다.

본 논문에서는 두꺼운 배관에 대한 탄성 COD식을

Fig. 1 Schematics of thick-walled cylinder with slanted

circumferential through-wall crack under axial tension, global bending and internal pressure

Table 1 Cases considered in the present FE analysis Geometry

R

θ

θ

Idealized and slanted circumferential through-wall cracks in thick-walled cylinder

2, 3, 5 0.125, 0.25, 0.3, 0.4, 0.5 1, 2, 3

제시하기 위해 배관의 R

/t 값으로 2, 3, 5의 3가지 경 우를 고려하였으며, 균열 길이의 영향을 고려하기 위 해 5가지의 기준 균열각(θ

/π)과 3가지의 경사관통균 열비(θ

/θ

)를 고려하였다. 전술한 바와 같이 PWSCC 에 의한 누설이 발생한 해외 가압기 노즐 부위 등의 R

/t가 약 2～3 정도이기에 이와 같은 두꺼운 배관에 대한 평가의 필요성이 대두되고 있으며 xLPR 프로그 램 등에서도 이에 대한 연구를 진행 중에 있다. 본 논 문에서 고려된 해석 변수를 정리하여 Table 1에 나타 내었다.

2.2 탄성 유한요소해석

Fig. 2는 해석에 사용된 대표적인 유한요소해석 모 델을 나타낸 것이다. 해석 시 재료의 탄성계수(Young’s modulus, E)는 190 GPa을 적용하였으며, 푸아송 비 (Poisson’s ratio) 값은 0.3을 적용하였다. 배관과 균열 형상의 대칭성을 고려하여 전체의 1/4만을 모델링 하 였으며 탄성 유한요소해석을 위해서 범용 유한요소 해석 프로그램인 ABAQUS

를 사용하였다. 또한 20 절점 등계수 사각 감차 적분요소(20-nodes isoparametric

Fig. 2 Typical FE meshes for thick-walled cylinder

with slanted circumferential through-wall crack employed in the present FE analyses

brick reduced integration element, C3D20R in ABAQUS element library)를 사용하였다. 균열 선단은 균열면을 따라서 쐐기모양 요소를 배열하였으며, 두께 방향으 로 20개의 요소를 사용하였다. 두께 방향 요소수가 COD 해석 결과에 미치는 영향을 평가한 결과 요소수 가 10개인 경우부터는 두께 방향을 따른 COD값이 0.1% 내에서 수렴하였다. 따라서 본 논문에서는 정확 한 계산을 위해 두께 방향으로 20개의 요소를 사용하 였다.

하중 조건으로는 내압, 인장하중, 굽힘모멘트를 고 려하였으며, 내압의 경우 배관 내면에 분포하중의 형 태로 작용시켰다. 또한 배관의 끝단에는 배관 끝단의 막힘 효과를 고려하여 상당 인장하중을 작용시켰다.

또한 균열면에 작용하는 압력의 영향을 고려하기 위 해 내압의 50%에 해당하는 압력을 균열면에 작용시 켰다.

2.3 탄성 COD 계산

탄성 COD값은 유한요소해석에서 얻어지는 균열 중앙에서 두께를 따른 변위값을 이용해서 계산하였 으며 식 (1)과 같이 정의하였다.

    ′

 ^∞  _

∙  (1)

식 (1)에서 사용된 기준균열길이로는 내면에서의

균열길이 a

이 사용되었으며, V는 형상보정계수를

의미한다. 원주방향 경사관통균열의 경우 기준균열

길이 a

은 a

＝R

θ

으로 정의된다. 또한 E'은 재료의

탄성계수로 본 논문에서는 평면변형률 조건으로 가

정하여 다음과 같이 정의하였다.

 ^∞  



  ^{    }

^   

 

  _

  

(3)

3. 해석 결과

Fig. 3～5는 인장하중이 작용하는 두꺼운 배관에 존 재하는 원주방향 경사관통균열의 COD값을 R

/t에 대 해 나타낸 것이다. 그림에는 COD값을 이용하여 구한 식 (1)의 형상보정계수 V값을 배관의 내면에서 외면 으로 두께를 따라 나타내었다. 전술한 바와 같이 COD 는 균열의 중앙에서 계산되었다. 그림에서 x-축은 Fig.

Fig. 3 Variation of V values along the thickness at

the center of a slanted circumferential through- wall crack in thick-walled cylinder under axial tension, R

/t＝2

Fig. 4 Variation of V values along the thickness at

the center of a slanted circumferential through- wall crack in thick-walled cylinder under axial tension, R

/t＝3

Fig. 5 Variation of V values along the thickness at

the center of a slanted circumferential through-

wall crack in thick-walled cylinder under axial

tension, R

/t＝5

1에 나타낸 바와 같이 균열 중앙에서 두께 방향을 따 른 무차원화된 좌표를 의미하며 “0”은 배관의 내면 이며 “1”은 배관의 외면이다. 그리고 각 그림의 결과 는 기준균열길이(θ

/π)별((a)～(e))로 경사관통균열비 (θ

/θ

) 변화에 따른 결과를 나타내었다.

그림에 나타난 바와 같이 먼저 기준균열길이가 증 가할수록((a)→(e)) COD값(V값)은 증가하였으며 이상 화된 관통균열의 경우(θ

/θ

＝ 1)에는 외면에서의 COD 가 내면에 비해 항상 컸다. 그러나 경사관통균열비가 증가할수록 내면과 외면의 COD값의 차이는 급격히 감소하였으며 또한 값 자체도 기준균열길이(내면에 서의 균열길이)가 동일한 이상화된 관통균열에 비해 내면과 외면 모두에서 크게 감소하였다. 이는 경사관 통균열 형상을 이상화된 관통균열로 직접 이상화하 게 되면 누설률이 실제보다 매우 크게 평가될 수 있 음을 의미한다. 특히 이러한 COD값의 감소는 기준균 열길이(내면에서의 균열길이)가 길어질수록 크게 나 타났다. 또한 기준균열길이가 짧고 경사관통균열비 가 큰 경우에는 오히려 외면보다 내면의 COD가 큰 것으로 나타났다. 이러한 경향은 두꺼운 배관의 R

/t

Fig. 6 Variation of V values along the thickness at

the center of a slanted circumferential through- wall crack in thick-walled cylinder under global bending, R

/t＝2

에 무관하게 나타났다. 이는 경사관통균열의 길이비 가 증가할수록 균열 길이가 긴 내면이 외면에 비해 상대적으로 강성이 감소하게 되어 변위가 증가하고, 이로 인해 내면의 COD가 커지는 것으로 생각된다.

Fig. 6～8과 Fig. 9～11은 각각 굽힘 모멘트와 내압 이 작용하는 두꺼운 배관에 존재하는 원주방향 경사 관통균열의 COD값을 나타낸 것으로 두 하중 조건 모 두 전체적인 경향은 인장하중이 작용하는 원주방향 경사관통균열의 COD값과 유사하게 나타났다. 그러 나 굽힘 모멘트의 경우 다른 하중 조건에 비해서 외 면에서의 COD값이 높게 나타났으며, 다른 하중 조 건에서는 외면보다 내면에서 COD가 더 컸던 기준균 열길이가 짧고 경사관통균열비가 큰 경우에도 특히 배관의 두께가 두꺼워지면(R

/t＝2) 외면의 COD가 내면보다 여전히 크게 나타났다. 이는 굽힘 모멘트의 경우 굽힘 모멘트 성분이 다른 하중 조건에 비해 외 면에서 균열을 열리게 하려는 성질이 크기 때문이다.

그러나 이 역시 다른 하중 조건에서 나타났던 강성의 영향과 굽힘 모멘트의 영향이 서로 상쇄되어 그 차이 는 미미하였다.

Fig. 7 Variation of V values along the thickness at

the center of a slanted circumferential through-

wall crack in thick-walled cylinder under global

bending, R

/t＝3

Fig. 8 Variation of V values along the thickness at

the center of a slanted circumferential through- wall crack in thick-walled cylinder under global bending, R

/t＝5

Fig. 9 Variation of V values along the thickness at

the center of a slanted circumferential through- wall crack in thick-walled cylinder under internal pressure, R

/t＝2

Fig. 10 Variation of V values along the thickness at

the center of a slanted circumferential through- wall crack in thick-walled cylinder under internal pressure, R

/t＝3

Fig. 11 Variation of V values along the thickness at

the center of a slanted circumferential through-

wall crack in thick-walled cylinder under

internal pressure, R

/t＝5

Table 2 Values of shape factor V at the inner surface

point of slanted circumferential through-wall crack in thick-walled cylinder under axial tension

R

θ

θ

1 2 3

2

0.125 0.9704 0.7978 0.7495 0.25 1.3083 0.8023 0.6888

0.3 1.5723 0.8387 0.6866

0.4 2.4793 0.9742 0.7125

0.5 4.3210 1.2064 0.7742

3

0.125 1.0354 0.8137 0.7489 0.25 1.4504 0.8286 0.6855

0.3 1.7691 0.8765 0.6869

0.4 2.8569 1.0439 0.7239

0.5 5.0892 1.3192 0.7994

5

0.125 1.0987 0.8043 0.7144 0.25 1.6710 0.8544 0.6669

0.3 2.0901 0.9245 0.6770

0.4 3.4780 1.1461 0.7334

0.5 6.2622 1.4852 0.8302

Table 3 Values of shape factor V at the mid-thickness

point of slanted circumferential through-wall crack in thick-walled cylinder under axial tension

R

θ

θ

1 2 3

2

0.125 1.2089 0.7831 0.6508 0.25 1.6886 0.9057 0.6915

0.3 2.0130 0.9797 0.7192

0.4 3.0879 1.1862 0.7967

0.5 5.2284 1.4928 0.9041

3

0.125 1.2467 0.7961 0.6509 0.25 1.7915 0.9280 0.6899

0.3 2.1608 1.0103 0.7196

0.4 3.3808 1.2412 0.8046

0.5 5.8480 1.5782 0.9210

5

0.125 1.3080 0.8038 0.6390 0.25 1.9934 0.9613 0.6822

0.3 2.4499 1.0622 0.7189

0.4 3.9349 1.3384 0.8208

0.5 6.8912 1.7240 0.9564

Table 4 Values of shape factor V at the outer surface

point of slanted circumferential through-wall crack in thick-walled cylinder under axial tension

R

θ

θ

1 2 3

2

0.125 1.5521 0.8912 0.6510 0.25 2.0960 1.0634 0.7566

0.3 2.4717 1.1619 0.8044

0.4 3.7052 1.4239 0.9199

0.5 6.1442 1.7970 1.0644

3

0.125 1.5168 0.8596 0.6282 0.25 2.1464 1.0580 0.7353

0.3 2.5606 1.1687 0.7871

0.4 3.9079 1.4555 0.9125

0.5 6.6111 1.8508 1.0658

5

0.125 1.5429 0.8451 0.6095 0.25 2.3207 1.0880 0.7274

0.3 2.8138 1.2184 0.7881

0.4 4.3934 1.5460 0.9323

0.5 7.5162 1.9773 1.1003

Table 5 Values of shape factor V at the inner surface

point of slanted circumferential through-wall crack in thick-walled cylinder under global bending

R

θ

θ

1 2 3

2

0.125 0.7896 0.6322 0.5897 0.25 1.1135 0.6628 0.5598

0.3 1.3267 0.6976 0.5613

0.4 1.9853 0.8095 0.5843

0.5 3.1762 0.9826 0.6301

3

0.125 0.9274 0.7163 0.6559 0.25 1.3032 0.7410 0.6077

0.3 1.5597 0.7825 0.6088

0.4 2.3594 0.9180 0.6368

0.5 3.8359 1.1252 0.6922

5

0.125 1.0404 0.7549 0.6684 0.25 1.5456 0.8012 0.6238

0.3 1.8849 0.8606 0.6309

0.4 2.9217 1.0423 0.6744

0.5 4.8030 1.3043 0.7485

0.4 2.5475 1.0551 0.7149 0.5 3.9123 1.2736 0.7898

3

0.125 1.2147 0.7691 0.6240 0.25 1.6700 0.8820 0.6551 0.3 1.9559 0.9491 0.6781 0.4 2.8357 1.1293 0.7424 0.5 4.4553 1.3774 0.8275

5

0.125 1.2863 0.7891 0.6251 0.25 1.8709 0.9267 0.6598 0.3 2.2344 1.0118 0.6896 0.4 3.3317 1.2348 0.7717 0.5 5.3170 1.5296 0.8763

Table 7 Values of shape factor V at the outer surface

point of slanted circumferential through-wall crack in thick-walled cylinder under global bending

R

θ

θ

1 2 3

2

0.125 1.6215 0.9556 0.7070 0.25 2.0073 1.0684 0.7729 0.3 2.2762 1.1381 0.8043 0.4 3.1179 1.3252 0.8821 0.5 4.6535 1.5822 0.9778

3

0.125 1.5590 0.9012 0.6649 0.25 2.0498 1.0537 0.7426 0.3 2.3606 1.1398 0.7816 0.4 3.3159 1.3580 0.8749 0.5 5.0769 1.6438 0.9852

5

0.125 1.5574 0.8651 0.6277 0.25 2.2023 1.0724 0.7255 0.3 2.5878 1.1810 0.7759 0.4 3.7439 1.4432 0.8924 0.5 5.8324 1.7690 1.0219

0.4 2.6335 1.0344 0.7569 0.5 4.5906 1.2812 0.8223

3

0.125 1.0620 0.8354 0.7695 0.25 1.4891 0.8507 0.7053 0.3 1.8175 0.8998 0.7065 0.4 2.9356 1.0721 0.7443 0.5 5.2273 1.3551 0.8219

5

0.125 1.1072 0.8151 0.7289 0.25 1.6868 0.8628 0.6770 0.3 2.1101 0.9325 0.6858 0.4 3.5114 1.1566 0.7420 0.5 6.3255 1.4993 0.8396

Table 9 Values of shape factor V at the mid-thickness

point of slanted circumferential through-wall crack in thick-walled cylinder under internal pressure

R

θ

θ

1 2 3

2

0.125 1.2845 0.8323 0.6921 0.25 1.7942 0.9625 0.7349 0.3 2.1392 1.0404 0.7643 0.4 3.2812 1.2604 0.8469 0.5 5.5555 1.5863 0.9607

3

0.125 1.2815 0.8184 0.6698 0.25 1.8415 0.9536 0.7094 0.3 2.2207 1.0384 0.7404 0.4 3.4746 1.2759 0.8275 0.5 6.0122 1.6223 0.9475

5

0.125 1.3210 0.8125 0.6474 0.25 2.0128 0.9717 0.6914 0.3 2.4744 1.0737 0.7281 0.4 3.9740 1.3521 0.8312 0.5 6.9587 1.7417 0.9674

Table 10 Values of shape factor V at the outer surface

point of slanted circumferential through-wall crack in thick-walled cylinder under internal pressure

R

θ

θ

1 2 3

2

0.125 1.6462 0.9454 0.6897 0.25 2.2250 1.1289 0.8034 0.3 2.6243 1.2335 0.8543 0.4 3.9353 1.5121 0.9777 0.5 6.5227 1.9087 1.1307

3

0.125 1.5548 0.8812 0.6437 0.25 2.2043 1.0856 0.7547 0.3 2.6301 1.1993 0.8082 0.4 4.0157 1.4947 0.9372 0.5 6.7943 1.9014 1.0952

5

0.125 1.5546 0.8473 0.6099 0.25 2.3420 1.0964 0.7322 0.3 2.8398 1.2289 0.7947 0.4 4.4365 1.5610 0.9416 0.5 7.5919 1.9967 1.1118

경사관통균열이 존재하는 두꺼운 배관의 누설률 평 가를 위해서는 탄소성 COD값이 적용되는 것이 바람 직하다. 하지만 탄소성 COD값이 없는 경우에는 탄성 COD값을 이용하여 보수적인 평가가 가능하다. 따라 서 본 논문에 제시된 탄성 COD 결과는 향후 소성 COD 해석이 수행될 경우 그 결과와 함께 탄소성 COD 평 가를 위해 적용될 수 있다.

Table 2～4는 인장하중이 작용하는 경우, Table 5

～7은 굽힘모멘트가 작용하는 경우, Table 8～10은 내압이 작용하는 경우에 대하여 각각 원주방향 경사 관통균열이 존재하는 두꺼운 배관의 내면, 두께의 중 심, 외면에서의 COD값을 형상보정계수 V값을 이용 하여 정리한 것이다.

4. 결 론

본 논문에서는 두꺼운 배관에 존재하는 원주방향 경사관통균열의 탄성 COD값을 제시하였다. 이를 위 해 배관의 두께, 기준균열길이, 경사관통균열 길이비 를 체계적으로 변화시키며 3차원 탄성 유한요소해석 을 수행하였다. 탄성 COD는 유한요소해석 결과를 바

탕으로 균열의 중앙에서 계산하였으며, 경사관통균열 의 탄성 COD를 결정할 수 있는 형상보정계수를 배 관의 두께를 따라 제시하였다. 또한 경사관통균열이 존재하는 두꺼운 배관의 탄성 COD값을 쉽게 계산할 수 있도록 하기 위하여 배관의 내면, 중심, 외면에서 의 형상보정계수값을 표로 제시하였다.

기존에는 경사관통균열이 존재하는 배관에 대한 COD 예측식이 존재하지 않아 표면 균열과 이상화된 관통균열 형상만을 고려하였으며 이에 따라 누설률 및 파단 확률이 과대 평가되는 문제점이 있었으나 본 논문의 결과를 이용하면 원주방향 경사관통균열의 형 상도 고려하여 배관의 누설률을 보다 정확하게 예측 할 수 있을 것으로 생각된다.

또한 복합하중이 작용하는 배관의 탄성 COD는 본 논문에서 제시한 개별 하중에 대한 탄성 COD 결과를 선형 중첩하여 구할 수 있다

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참고문헌

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7. Huh, N.S., Shim, D.J., Yoo, Y.S., Choi,S. and

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Opening Displacements of Slanted Through-Wall