Undergraduate Experiment on Thermal Noise with a Lock-in Amplifier:

Vol. 63, No. 3, March 2013, pp. 246∼251

Undergraduate Experiment on Thermal Noise with a Lock-in Amplifier:

Determination of Boltzmann’s Constant

Haeyang Chung*

Department of Applied Physics, Kyung Hee University, Yongin 446-701, Korea

Yu-Min Chang

Optoelectronics Research Centre University of Southampton, Highfield, Southampton, Hampshire. SO17 1BJ, United Kingdom (Received 14 January 2013 : revised 6 February 2013 : accepted 5 March 2013)

An undergraduate experiment on the thermal noise of resistors, which can be used to measure Boltzmann’s constant, is described. A lock-in amplifier is employed to amplify, filter and detect the thermal noise so that a commercial pre-amplifier and a band-pass filter are unnecessary. Therefore, the method does not require calibration of the frequency-dependent gain. The thermal noise of a re- sistor is measured as functions of the resistance and the bandwidth, giving values of the Boltzmann constant of k

B

= (1.362 ± 0.020) × 10

⁻²³

J/K and k

B

= (1.373 ± 0.025) × 10

⁻²³

J/K, respec- tively. The experiment, thus, permits reasonably precise measurement of the Boltzmann constant with uncertainties of less than 2% while allowing the undergraduate students to gain a hands-on understanding of both a fundamental source of noise in electronic circuits and the operation of the lock-in detection technique.

PACS numbers: 01.40.Fk, 06.20.Jr

Keywords: Undergraduate experiment, Thermal noise, Boltzmann’s constant, Lock-in amplifier

Lock-in ” Ö «˜  ×M õ u § T “ Ó Þ” X ¢ ] K ¡” ¼ ° ‚ DZ  q “ Ö ¨ • ¤X N Ë÷ m Ç] M ö: ÷ { Ú° Ž‹ ˜ m V ê s• ¤8 ý • ¤X N Ë

+ ä

A I… è ¡ ^∗

 â

 B@ /† < Ɠ § 6 £ x6   xÓ ü t o † < Æõ , 6   x“   446-701

† ç

¡­ ¤ * >

Optoelectronics Research Centre University of Southampton, Highfield, Southampton, Hampshire. SO17 1BJ, United Kingdom (2013¸   1 Z 4 14{ 9  ~ à Î6 £ §, 2013¸   2 Z 4 6{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2013¸   3 Z 4 5{ 9  > F  S X ‰& ñ )

\ P

¸ ú š6 £ § 8 £ ¤& ñ `  ¦ : Ÿ x K  ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º\  ¦   & ñ   H † < Æ Òõ & ñ z  ´+ « >`  ¦ ™ è> h % i  . s  z  ´+ « >\ " f  H l ” > r _ 

~

½ ÓZ O \ " f ™  ¥ y   6   x ÷ &  H $ ¸ ú š6 £ § 7 £ x; Ÿ ¤ l ü < Å Ò à º @ /% i  : Ÿ x õ  € 9 '  1 p x # Œ Q 8 £ ¤& ñ  © œq  @ /’   lock-in 7 £ x

;

Ÿ

¤ l  ë ß –`  ¦  6   x # Œ 7 £ x; Ÿ ¤, € 9 ' , y Œ ™t \  ¦ à º' Ÿ ô  Ç . s \        – Ðî  r Å Ò à º\    É r 7 £ x; Ÿ ¤ • ¸ è  HF K B j l

l  (gain calibration) õ & ñ `  ¦ Ò q t| Ä Ì½ + É Ã º e ”  .  © œ“ : r \ " f $ † ½ Ó ° ú כõ  Å Ò à º @ /% i ; Ÿ ¤ \    É r \ P ¸ ú š6 £ §`  ¦ 8

£ ¤& ñ # Œ ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º k

^B

= (1.362 ± 0.020) × 10

⁻²³

J/K and k

B

= (1.373 ± 0.025) × 10

⁻²³

J/K

246

—

¸Ž  H „    r– Ð\ " f " é ¶   H ’    ñ ü @\  8 £ ¤& ñ `  ¦ ~ ½ ÓK  



 H $ í ’   # Œ Q ¸ ú š6 £ § s  ” > r F ô  Ç . ¸ ú š6 £ § ×  æ \ " f „    

` ‚
 ] X t  1 p x`  ¦ : Ÿ x # Œ ] j ½ + É Ã º e ”   H  כ [ þ t ü @\  Ó ü t o

† < Æ& h    H‘ : r " é ¶ “  \  _ ô  Ç Á º| 9 " fô  Ç ¸ ú š6 £ § s  ” > r F ô  Ç . Õ ª

×

 æ \ P ¸ ú š6 £ § (thermal noise)“ É r • ¸^ ‰ ? /_  „    x 9 • ¸_  \ P  כ

¹1 l x (thermal fluctuation) \  l “  ô  Ç  כ Ü ¼– Ð $ † ½ Ó`  ¦ Ÿ í

†

< Ê   H  r– Ð\ " f é ß –  „  · ú š_  Á º| 9 " fô  Ç כ ¹1 l x Ü ¼– Ð
  è

ß – . s  ‰ & ³ © œ“ É r 1926¸   Johnson\  _ K  µ 1 Ï| ÷ &% 3 “ ¦ [1], Nyquist  H \ P % i † < Æ ] j 2Z O g Ë :õ  „  5 Å x‚   (transmission line) s

 : r Ü ¼– Ð Johnson_  z  ´+ « >  õ \  ¦ [ O " î % i   [2].   

"

f \ P ¸ ú š6 £ §“ É r µ 1 Ï|  _  s 2 £ §`  ¦    Johnson ¸ ú š6 £ § ¢ ¸  H Nyquist ¸ ú š6 £ § s  “ ¦• ¸ ô  Ç .

\ P

¸ ú š6 £ § \  @ /ô  Ç Nyquist s  : r“ É r † < ÆÂ Ò õ & ñ “ §õ " f\ " f

•

¸ ™  ¥ y   À ҍ  H Å Ò] j– Ð [3, 4], \ P ¸ ú š6 £ § \  _ ô  Ç $ † ½ Ó € ª œé ß – _

 ¨ î ç  H ] jY  L (mean square) „  · ú š“ É r ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º (k ^B ) ü <

] X

@ /“ : r • ¸ (T)_  Y  L k B T \  q Y Vô  Ç . Õ ª QÙ ¼– Ð ü < ×  æ # Q Ö

¼ 
\  ¦ · ú ˜€     É r 
  H \ P ¸ ú š6 £ § 8 £ ¤& ñ `  ¦ : Ÿ x # Œ    ë

“

B6 £ §  à º (adjustable parameter) \ O s  ] X @ /& h Ü ¼– Ð   & ñ

½

+ É Ã º e ”  . s  Qô  Ç \ V ×  æ _  
 F G $ “ : r \ " f  6   x 



 H › ¸! s s’  H ] X ½ + Ë (Josephson junction) ¸ ú š6 £ § “ : r • ¸>  (noise thermometer) s “ ¦,   É r 
  H s  z  ´+ « >õ  ° ú  s  Å Ò# Q”  

“

: r • ¸\ " f \ P ¸ ú š6 £ §`  ¦ 8 £ ¤& ñ # Œ ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º\  ¦   & ñ   H  כ s

 .

^

 ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º  H p r [ j> ü <  r  [ j> \  ¦ ƒ       H : Ÿ x

>

% i † < Æ\ " f ×  æ כ ¹ô  Ç Ó ü t o  l ‘ : r  © œÃ ºs  . ² D G ? / @ /† < Æ_  † < Æ Â

Ò Ó ü t o  z  ´+ « > õ & ñ \ " f F  g5 Å q • ¸ (c), á Ô| ½ Óß ¼  © œÃ º (h), l ‘ : r

„

  | ¾ Ó (e)õ  ° ú  “ É r l ‘ : r  © œÃ º\  ¦ 8 £ ¤& ñ   H z  ´+ « >“ É r @ / Òì  r Ã

º' Ÿ  
 ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º 8 £ ¤& ñ z  ´+ « >“ É r  _  à º' Ÿ ÷ &“ ¦ e ” t 

· ú

§ . Õ ª s Ä »  H ŠҖ Ð ° ú כ q ø ß – z  ´+ « >  © œq  € 9 כ ¹ “ ¦ z  ´ +

« >õ & ñ s  4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç „  ÒÜ ¼– Ð Ò q ty Œ •  ) a  . t F K  t  · ú ˜ 9”   ^  ¦ Þ

Ôë ß –  © œÃ º 8 £ ¤& ñ z  ´+ « >“ É r @ /> h “ ¦$ í 0 p x 7 £ x; Ÿ ¤ l , Å Ò à º {  :

Ÿ

x õ  € 9 '  (band pass filter), true rms „  · ú š> , $ “ : r › ¸ 1 p x

“

¦_   © œq  € 9 כ ¹ “ ¦ Z > • ¸– Ð 8 £ ¤& ñ > _  Å Ò à º _ ” > r 7

£

x; Ÿ ¤ • ¸ (frequency dependent gain)\  @ /ô  Ç    – Ðî  r è  H F

K B l l  (calibration) õ & ñ s  € 9 כ ¹   [5–7].

∗

E-mail: [email protected]



6   x # Œ \ P ¸ ú š6 £ § 8 £ ¤& ñ \  € 9 כ ¹ô  Ç 7 £ x; Ÿ ¤, € 9 ' , y Œ ™t \  ¦ à º '

Ÿ † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ l ” > r _  ~ ½ ÓZ O \ " f € 9 כ ¹ô  Ç # Œ Q “ ¦_   © œq 

\

 ¦ @ /^ ‰ “ ¦, lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l _  „  · ú š Ø  ¦§ 4 `  ¦ f ” ] X   6   x  Ù

¼– Ð    – Ðî  r Å Ò à º\    É r 7 £ x; Ÿ ¤ • ¸ è  HF K B jl l  õ & ñ

`

 ¦ Ò q t| Ä Ì½ + É Ã º e ”  . s \     ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º 8 £ ¤& ñ z  ´+ « > õ 

&

ñ s  @ /; Ÿ ¤ é ß –í  H  o ÷ &% 3 Ü ¼Ù ¼– Ð † < ÆÂ Ò z  ´+ « >õ & ñ \ " f ’ < H~ 1 

>

 à º' Ÿ ½ + É Ã º e ” `  ¦  כ s  .

II. ° ‚ DZ  q “ Ö ¨ T  ] Ø

Nyquist _  Ä »• ¸\  ¦ ‚ à Л ¸ # Œ \ P ¸ ú š6 £ § \  _ ô  Ç $ † ½ Ó € ª œé ß – _

 ¨ î ç  H ] jY  L „  · ú š < V ² >`  ¦ ½ ¨K ˜ Ð  [2,3]. Fig. 1õ  ° ú   s

  Å Ò |   „  5 Å x‚   (transmission line)s  ] X @ /“ : r • ¸ T\ " f

\ P

¨ î + þ A  © œI \  e ”   H  â Ä º 1 " é ¶ < É Ê ^ ‰4 Ÿ ¤  – Ð ç ß –Å Ò½ + É Ã º e ”

 . s   â Ä º „  · ú š“ É r V(t) = V 0 exp[i(kx − ωt)] – Ð ³ ð‰ & ³

 .  â > › ¸| \ " f kL = 2πn (n = & ñ à º)s Ù ¼– Ð, „  5 Å x

‚

  é ß –0 A U  ´s  { © œ — ¸× ¼_  à º  H ∆n = _2π ¹ dk = dν/c ⁰ s  .

#

Œl " f ν  H Å Ò à º, c ⁰ “ É r „   5 Å q • ¸s  . ¢ ¸ô  Ç y Œ • — ¸× ¼_ 

¨ î

ç  H \  -t   H

E(ν) = hv

e ^hν/k

^B

^T − 1 → k B T hν  k _B T (1) s

 z  ´+ « >\ " f T ≈ 300 Ks Ù ¼– Ð, E(ν) = k B T s  › ' a

>

d ” “ É r „    © œõ   l  © œ 2> h_   Ä »• ¸\  ¦ ° ú   H „   l  

\

 @ /ô  Ç \  -t  1 p xì  r C Z O g Ë :Ü ¼– Ð s K ½ + É Ã º e ”  . Å Ò à º v ü < v + ∆v s \ " f „  5 Å x‚   — ¸× ¼\  _ ô  Ç é ß –0 Ar ç ß –{ © œ \ 



-t  „    7 £ ¤ Ø  ¦§ 4  (power)“ É r

P = c ⁰ ∆nE(ν) = k _B T ∆ν (2) s

 Ø  ¦§ 4 “ É r „  Â Ò „  5 Å x‚   = å Q é ß –_  $ † ½ Ó R\ " f ™ è— ¸  ) a  .

ô

 Ǽ #  \ P ¨ î + þ A  © œI   H > 5 Å q Ä »t ÷ &Ù ¼– Ð s  $ † ½ Ó R\ " f ~ ½ Ó Ø

 ¦ ÷ &  H Ø  ¦§ 4 “ É r d ”  (2)ü < 1 l x{ 9   . ¢ ¸ô  Ç Fig. 1  r– Ð_  $ 

†

½ Ó ô  Ç > h\  _ ô  Ç \ P  l „  § 4  V\  _ K  â ìØ Ô  H „  À Ӎ  H I =

V

2R s Ù ¼– Ð

Fig. 1. A transmission line circuit for determination of thermal noise voltage, adapted from [2].

P = R < I ² >= 1

4R < V ² >= k B T ∆ν (3) þ

j7 á x& h Ü ¼– Ð  6 £ § õ  ° ú  “ É r Nyquist _    õ \  • ¸² ú ˜ô  Ç .

< V ² >= 4Rk B T ∆ν (4) s

   õ   H „  5 Å x‚   ÷  r ë ß – m  , \ P ¨ î + þ A  © œI \  Z  ~“   $ 

†

½ Ó`  ¦ Ÿ í† < Ê   H — ¸Ž  H  r– Ð_  é ß –  „  · ú š\ " f• ¸ ° ú  s  & h 6   x

 ) a  .

Nyquist  H \ P % i † < Æ& h   7 H  \  ¦ : Ÿ x # Œ, d ”  (4)  H $ † ½ Ó^ ‰ _

 F « Ñ\  Á º › ' a “ ¦ ¢ ¸ô  Ç Å Ò à º (hν  kT # 3 0 A)\  Á º › ' a ô

 Ç “Ñ þ ˜Ò  o¸ ú š6 £ § (White Noise)”e ” `  ¦ µ 1 ß+ À I  [2]. T ' 300 K, ∆ν = 1 Hz \ " f d ”  (4)\  ¦  r  ³ ð‰ & ³ €  

V _rms ≡ √

< V ² > ' 0.128 p

R(ω) [nV/ √

Hz] (5)

\

V\  ¦ [ þ t€    © œ“ : r _  $ † ½ Ó R = 10 kΩ\  _ ô  Ç \ P ¸ ú š6 £ §“ É r, Å

Ò à º @ /% i  ; Ÿ ¤ ∆ν = 1 Hz{ 9  M :, @ /| Ä Ì 128 nV – Ð B Ä º p

€  •  .   " f 8 £ ¤& ñ s  0 p x ô  Ç Ø  ¦§ 4 `  ¦ % 3 l  0 AK " f  H 7

£

x; Ÿ ¤ • ¸ B Ä º  H (> 60 dB) 7 £ x; Ÿ ¤ l  € 9 כ ¹  . 7 £ x; Ÿ ¤ l 

\

 ¦  6   x   H  â Ä º, „  · ú š 7 £ x; Ÿ ¤ • ¸ G(ν)  H Å Ò à º\  _ ” > r  Ù

¼– Ð, d ”  (4)  H  6 £ § õ  ° ú  s  j þ t à º e ”  .

< V ² >=

Z ∞ 0

4Rk B T |G(ν)| ² dν+ < V _AN ² > (6)

#

Œl " f < V AN ² >“ É r 7 £ x; Ÿ ¤ l   ^ ‰_  ¸ ú š6 £ § s  . ¸ ú š6 £ § 8 £ ¤

&

ñ \   H 3 dB @ /% i ; Ÿ ¤ @ /’    A ü < ° ú  s  & ñ _ ÷ &  H 1 p x  ¸ ú š 6

£

§ @ /% i ; Ÿ ¤ (equivalent noise bandwidth, ENBW) [8]`  ¦   6

  x ô  Ç .

∆ν _N ≡ Z ∞

0

|G(ν) ² |

G ² ₀ dν (7)

Fig. 2. Basic schematic diagram for measuring thermal noise.

d ”

 (6)“ É r  6 £ § õ  ° ú  “ É r + þ AI   ) a  .

< V ² >= 4Rk B T G 0 ∆ν N + < V _AN ² > (8)

#

Œl " f G 0   H l ï  r ×  æd ”  Å Ò à º ν 0 \ " f_  „  · ú š 7 £ x; Ÿ ¤ • ¸ s

 .

III. ÷ m Ç] M ö U ê s0 n É

Lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l   H 1 l x l  o y Œ ™t  (synchronous detec- tion) l Õ ü t`  ¦  6   x # Œ ¸ ú š6 £ § \  ¶ n s˜ 2 ³ ’    ñ\  ¦ Æ ÒØ  ¦ ½ + É Ã º e ” 

#

Q Ó ü t o  z  ´+ « >\  V , o   6   x ÷ &“ ¦ e ”  . lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l \ " f



 H { 9 § 4  ’    ñ\  ¦ “ ¦• ¸– Ð 7 £ x; Ÿ ¤ ô  Ç Ê ê l ï  r ’    ñü <_  Y  L “ ¦ Õ

ª   õ \  ¦ $ Å Ò  : Ÿ x õ  € 9 ' \  ¦  5 g Ø  ¦§ 4 s 
“ : r  .   

"

f lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l   H ’    ñ% ƒo  @ /% i `  ¦ l ï  r Å Ò à º– Ð Z  }

#

Œ ± ú “ É r Å Ò à º % ò % i _  1/f ¸ ú š6 £ § õ  ¨ 8 Š â \  _ ô  Ç ¸ ú š6 £ §`  ¦



rx  “ ¦ ’    ñ% ƒo  @ /% i ; Ÿ ¤`  ¦ » ¡ ¤ ™ è # Œ ’    ñ @ / ¸ ú š6 £ § q  (S/N)\  ¦ 7 £ x @ /r †   . lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l _  ’    ñ % ƒo  Å Ò à º ü

< @ /% i ; Ÿ ¤“ É r y Œ •y Œ • l ï  r  _  Å Ò à ºü < r ç ß – © œÃ º [ O & ñ \  _

K    & ñ  ) a  . s  z  ´+ « >\ " f  H l ï  r’    ñ (reference sig- nal) – Ð lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l _  ? /Â Ò  “    l ï  r’    ñ (internal sinusoidal reference signal)\  ¦  6   x ô  Ç . s   â Ä º lock-in 7

£

x; Ÿ ¤ l   H Å Ò à º @ /% i  ´ ú » ¡ § 7 £ x; Ÿ ¤ l  (tuned amplifier)– Ð 1

l

x  Œ •ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç { 9 § 4  ’    ñ_  ”  ; Ÿ ¤ õ  0 A © œ`  ¦ 1 l x r \  8 £ ¤& ñ

Ù ¼– Ð { 9 7 á x _  7 ˜'  „  · ú š>  (vector voltmeter)– Ð ç ß –Å Ò½ + É Ã

º e ”  .

Figure 2 \  s  z  ´+ « >\ " f  6   x ô  Ç \ P ¸ ú š6 £ § 8 £ ¤& ñ  © œu \  ¦ ³ ð r

 % i  . F K5 Å q ` ‚  © œ \   H 22 kΩ \ " f 1 MΩ  t  # 3  0

A_  10> h_  $ † ½ Óõ  ½ + ˂   (short) • ¸‚  s  e ” # Q ô  Ç A á ¤“ É r lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l _  { 9 § 4 é ß – Aü < ƒ    ÷ &“ ¦   É r ô  Ç A á ¤“ É r $ 

†

½ Ó ‚  × þ ˜ Û ¼0 Au \  ¦  5 g { 9 § 4 é ß – B\  ƒ     ) a  . 8 £ ¤& ñ \    6

 

x ô  Ç $ † ½ ӓ É r F K5 Å q x } Œ • $ † ½ ÓÜ ¼– Ð ò ø ͙ è x } Œ • $ † ½ Ó\  q 

< V _M ² > = 1

1 + (2πνCR) ² < V ² > + < V _AN ² >

= 4Rk _B T ∆ν _N

1 + (2πνCR) ² + < V _AN ² > (9) d ”

 (9) Ä »• ¸õ & ñ \ " f lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l  8 £ ¤& ñ ° ú כ“ É r  1 l x& h  Ü

¼– Ð 7 £ x; Ÿ ¤ s 1 p q`  ¦ ì ø Í% ò Ù ¼– Ð G 0 = 1 – Ð Z  ~ € Œ ¤ . ¢ ¸ô  Ç

< V _AN ² >“ É r 7 £ x; Ÿ ¤ l   ^ ‰_  ¸ ú š6 £ § Ü ¼– Ð \ P ¸ ú š6 £ §, „  À Ó x 9  „  

· ú

š ¸ ú š6 £ §, pick-up ¸ ú š6 £ §, 1/f ¸ ú š6 £ § 1 p x " f– Ð  © œ › ' a› ' a >  \ O 



 H ¸ ú š6 £ § _  ½ + Ës   [5].   " f x  8 £ ¤& ñ $ † ½ Ó_  \ P ¸ ú š6 £ § õ 



 H Á º › ' a  9 B  8 £ ¤& ñ r  ½ + ˂   (short) • ¸‚  `  ¦ ƒ     # Œ 8 £ ¤

&

ñ ô  Ç < V _AN ² > ° ú כ`  ¦ / B N ] jô  Ç . s  z  ´+ « >\ " f EG&G 7260 DSP lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l \  ¦  6   x % i  . s  lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l   H GPIB interface\  ¦ : Ÿ x # Œ PC\  ƒ     % i  . lock-in 7 £ x

;

Ÿ

¤ l  ] j# Qü < X <s '  à º| 9 \   H Signal Recovery  _  Lab- view á Ԗ ÐÕ ªÏ þ › [9]`  ¦ €  •ç ß – à º& ñ # Œ  6   x % i  . s  z  ´+ « >



© œu _   © œ& h “ É r 4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç 7 £ x; Ÿ ¤ • ¸ G(ν)\  @ /ô  Ç è  HF K ´ ú Æ Òl  (calibration) õ & ñ s  € 9 כ ¹ \ O s  8 £ ¤& ñ ° ú כ`  ¦ f ” ] X  % 3 `  ¦ à º e ”

   H & h s  . / B N: Ÿ x ¸ ú š6 £ §`  ¦ ] j  l  0 A # Œ lock-in 7 £ x

;

Ÿ

¤ l \ " f A-B { 9 § 4  — ¸× ¼\  ¦  6   x “ ¦ ? /Â Ò l ï  r (internal reference) ’    ñ , 7 £ x; Ÿ ¤ • ¸ 60 ¢ ¸  H 70 dB, 8 £ ¤& ñ # 3 0 A 1 µV

–

Ð [ O & ñ % i  . lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l _  8 £ ¤& ñ | ¾ ӓ É r 0 A © œ\  › ' a > 

\ O

  H ß ¼l  (magnitude) V R = pV _X ² + V _Y ² – Ð [ O & ñ % i Ü ¼ 9, 8 £ ¤& ñ  9  H ¸ ú š6 £ §“ É r V R _  ³ ðï  r¼ #  – Ð í ß –Ø  ¦ ô  Ç .

s

ü < ° ú  “ É r ? /Â Ò l ï  r ’    ñ\  ¦  6   x   H [ O & ñ \ " f lock- in 7 £ x; Ÿ ¤ l   H  “   \  @ /ô  Ç ] jY  L¨ î ç  H ] jY  L  H (root-mean square, rms) 8 £ ¤& ñ ° ú כ`  ¦ Ø  ¦§ 4 ô  Ç .   " f í  H ç ß – „  · ú šu   H rms Ø  ¦§ 4 ° ú כ\  √

2\  ¦ Y  L ô  Ç ° ú כs  . ¢ ¸ô  Ç Ä ºÛ ¼ S X ‰Ò  ¦ ì  r Ÿ í

\

 ¦ ° ú   H \ P ¸ ú š6 £ § \ " f  H í  H à º  “   _  rms Ø  ¦§ 4 ° ú כ\  \  ¦ Y

 L ô  Ç ° ú כs  ÷ &Ù ¼– Ð [5] þ j7 á x& h Ü ¼– Ð lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l _  Ø  ¦§ 4 

\

\  ¦ p4/π\  ¦ Y  L ô  Ç ° ú כs  í  H ç ß – „  · ú šu  V o   ) a  .

V _o = √

2V _R ^Gauss = √ 2 p

4/πV _R ^sin = p

8/πV _R ^sin (10)



 " f

< V _o ² >= 8/π < (V _R ^sin ) ² > (11)

Fig. 3. (Color online) Resistance dependence of the mean square thermal noise < V ² >and least squares nonlinear fit to Eq. (9). The best-fit value is k _B = (1.362 ± 0.020)

× 10 ⁻²³ J/K.

s

 z  ´+ « >\ " f  H $ † ½ Ó R\    É r ¸ ú š6 £ § 8 £ ¤& ñ õ  Å Ò à º @ /

% i

; Ÿ ¤ (NEBW) \    É r ¸ ú š6 £ §`  ¦ d ”  (11)\  _ K  y Œ •y Œ • 8 £ ¤& ñ ô

 Ç Ê ê, d ”  (9)\  @ /ô  Ç þ j™ è] jY  LZ O Ü ¼– Ð ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º k ^B \  ¦

 

& ñ % i  .

‚ Ã

Г ¦– Ð, ´ ú §“ É r lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l  ™ è6 £ § 8 £ ¤& ñ l 0 p x`  ¦ ? / © œ

“ ¦ e ”  . s  l 0 p x“ É r V X , V Y , V R 8 £ ¤& ñ u \  @ /ô  Ç ¾ º& h  ) a s

1 l x ¨ î ç  H ¼ #   (mean average deviation)\  ¦ > í ß – # Œ ™ è 6

£

§`  ¦ í ß –Ø  ¦ 
, z  ´r ç ß – ì ø Í% ò s  p f  ¨ “ ¦ q Y V © œÃ º š ¸  1

p

x ´ ú §“ É r ] j€  •s  e ”  . Õ ª QÙ ¼– Ð lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l _  ? / © œ  ) a

™

è6 £ § 8 £ ¤& ñ u   H „  ì ø Í& h “   Æ Ò[ j\  ¦  € Œ •   H X <  H Ä »6   x 

 & ñ | ¾ Ó& h “   ™ è6 £ § 8 £ ¤& ñ \   H  Ò& h ] X  ô  Ç  כ Ü ¼– Ð  « Ñ  ) a  .

IV. • ¤X N Ë+ s ÇÊ Ý õ m Í Ä Z ØV Ä

Figure 3“ É r  © œ“ : r \ " f 20 kΩ ∼ 1 MΩ  s _  10> h_ 

$

† ½ Ó ° ú כ\ " f 8 £ ¤& ñ  ) a \ P ¸ ú š6 £ §`  ¦ ³ ðr ô  Ç  כ s  . lock-in 7 £ x

;

Ÿ

¤ l _  l ï  r Å Ò à º  H 1 kHz, 7 £ x; Ÿ ¤Ò  ¦ 70 dB, # 3 0 A 1 µV, r

 © œÃ º  H 100 ms (∆ν N = 1.1975 Hz) _  › ¸| \ " f 8 £ ¤& ñ u

 1200> h_  ³ ðï  r¼ #  \  ¦ ½ ¨ % i  . Fig. 3_  / B G‚  “ É r y =

αx

1+βx

²

+ þ AI “   d ”  (9)_  ´ ú » ¡ §/ B G‚  `  ¦
  · p  כ s  . ´ ú » ¡ § /

B G‚  \ " f   & ñ  ) a ° ú כ“ É r k B = (1.362 ± 0.020) × 10 ⁻²³ J/K s  .   & ñ  ) a ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º ° ú כ“ É r · ú ˜ 9”   & ñ S X ‰ ô  Ç ° ú כ k _B = 1.3806488 × 10 ⁻²³ J/K [11] õ  š ¸  2% s ? /\ 

"

f { 9 u ô  Ç .¢ ¸ô  Ç 1 l x» ¡ ¤ H s ^  ¦ » ¡ ¤„  6   x | ¾ Ós  ≈70 pF (33 pF/ft), lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l _  { 9 § 4  » ¡ ¤„  6   x | ¾ Ós  ≈30 pF [10]

e ”

`  ¦ “ ¦ 9 €   % 3 # Q”   C° ú כ“ É r  { © œô  Ç  כ Ü ¼– Ð  « Ñ  ) a  .



6   x ) a lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l _   ^ ‰ ¸ ú š6 £ §“ É r Å Ò à º 1 kHz\ 

"

f '5 nV/ √

Hz [10] – Ð s   H $ † ½ Ó ≈1.5 kΩ\  _ ô  Ç \ P ¸ ú š 6

£

§ \  K { © œô  Ç . Õ ª QÙ ¼– Ð  ^ ‰ ¸ ú š6 £ § \  _ ô  Ç 8 £ ¤& ñ š ¸ \  ¦

Fig. 4. (Color online) Resistance dependence of the mean square thermal noise < V ² > for linear region and least squares linear fit. The slope of the best-fit line is (1.379

± 0.027) × 10 ⁻²³ J/K.

×

 ¦ s l  0 AK " f z  ´+ « >\   6   x ô  Ç þ j™ è $ † ½ Ó ° ú כ“ É r R > 15 kΩ

–

Ð í ß –& ñ % i  . Fig. 3_  ‚  + þ A ½ ¨ç ß –“   20 kΩ < R < 100 kΩ _  5> h_  $ † ½ Ó\  @ /K " f Fig. 4ü < ° ú  s  þ j™ è ] jY  LZ O 

\

 _ K  l Ö  ¦ l \  ¦ & ñ ô  Ç   õ , · ú ˜ 9”   ° ú כõ  B Ä º   H] X ô  Ç k B = 1.379 ± 0.027 × 10 ⁻²³ J/K _  ° ú כ`  ¦ % 3 % 3  . Fig.

3 \ " f ä ¼? /l  » ¡ ¤„   6   x | ¾ Ó (stray capacitance)\  _ ô  Ç ´ òõ 

\

 ¦ Á ºr ½ + É Ã º e ”   H $ † ½ Ó_  # 3 0 A  H l ï  r Å Ò à º 1 kHz\ " f



 H 20 ∼ 100 kΩ s  . ‚  + þ A½ ¨ç ß –\ " f  H k B = _{4RT ∆ν} ^<V

^o2

^> s Ù ¼

–

Ð, ç ß –é ß –ô  Ç † < ÆÂ Ò z  ´+ « >\ " f  H 20 ∼ 100 kΩ _  $ † ½ Ó 5> h & ñ

•

¸_  8 £ ¤& ñ u – Е ¸ { 9  † < Êà º\  @ /ô  Ç þ j™ è] jY  LZ O Ü ¼– Ð q “ §

&

h

 & ñ S X ‰ ô  Ç ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º ° ú כ`  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”  . 1 kHz s ü @_  l

ï  r Å Ò à º (1 kHz < ν ⁰ < 60 kHz) \ " f• ¸ d ”  (9)\   



É r ' Ÿ I _  8 £ ¤& ñ   õ \  ¦ % 3 % 3 Ü ¼
 ‚  + þ A : £ ¤$ í `  ¦
 ? /  H

$

† ½ Ó ½ ¨ç ß –s  ] jô  Ç÷ &Ù ¼– Ð ‘ : r  7 Hë  H \   H Ÿ í† < Ê t  · ú §€ Œ ¤ .

Figure 5  H  © œ“ : r _  R = 74.65 kΩ $ † ½ Ó\ " f NEBW\ 



 É r ¸ ú š6 £ § „  · ú š_  ] jY  L ° ú כ`  ¦
  · p  כ s  . 8 £ ¤& ñ \    6

 

x ô  Ç r  © œÃ º (time constant)  H 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500 ms s  9 d ”  (7)\ " f & ñ _   ) a NEBW  H s  z  ´+ « >_   â Ä

º lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l _  r  © œÃ º\  % i q Y V ô  Ç . Õ ªo “ ¦ % i q  Y

V  © œÃ º  H  6   x   H lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l _  $ Å Ò  € 9 ' _  : Ÿ x õ

 : £ ¤$ í \     & ñ K ”   . \ V\  ¦ [ þ t # Q lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l _  È Ò õ

• ¸ y Œ ™™ è l Ö  ¦ l  (roll-off slope) [ O & ñ ° ú כs  6 dB/octave s

€   NEBW ' 1/ (4 × r  © œÃ º)s “ ¦, 24 dB/octave s 

€

  NEBW ' 1/ (7.5 × r  © œÃ º) s  . y Œ • r  © œÃ º\    É r

&

ñ S X ‰ ô  Ç NEBW  H l l  [ O " î " f\  e ”   H ° ú כ`  ¦  6   x % i   [10]. 8 £ ¤& ñ u _  š ¸  (error bar)  H 10   8 £ ¤& ñ _  ³ ðï  r¼ #  

\

 ¦
  · p .

{ 9

 † < Êà º\  @ /ô  Ç þ j™ è] jY  LZ O \ " f   & ñ  ) a ° ú כ“ É r k B = (1.373 ± 0.025) × 10 ⁻²³ J/K – Ð & ñ S X ‰ ô  Ç ° ú כ [11] k B = 1.3806488 × 10 ⁻²³ J/K \  2% s ? /– Ð { 9 u ô  Ç .

Fig. 5. (Color online) The ENBW dependence of the mean square thermal noise < V ² > and least squares linear fit to Eq. (9). The slope of the best-fit line is (1.373 ± 0.025) × 10 ⁻²³ J/K.

V. + s Ç Â ] Ø

†

< ÆÂ Ò “ §¹ ¢ ¤ õ & ñ \ " f Ó ü t o  l ‘ : r  © œÃ º_  8 £ ¤& ñ z  ´+ « >“ É r † < Æ Ò q

t[ þ t \ >  % i  & h  _ p \  ¦  € Œ • “ ¦  Ö  ¦  Q › ' aº   Ó ü t o & h 

‰

&

³ © œ`  ¦ s K    H X < B Ä º ×  æ כ ¹ô  Ç l  r  ) a  . p r [ j>  ü

<  r [ j> \  ¦ ƒ       H l ‘ : r Ó ü t o   © œÃ º“   ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º

\

 ¦ \ P ¸ ú š6 £ § 8 £ ¤& ñ Ü ¼– Ð   & ñ   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ l Õ ü t % i  . # Œ Q 7

á

x _  8 £ ¤& ñ l l  € 9 כ ¹ô  Ç l ” > r z  ´+ « > ~ ½ ÓZ O õ  ² ú ˜o  s  z  ´+ « >

\

" f  H lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l  
 ë ß –`  ¦  6   x ô  Ç . s \     l 

”

> r ~ ½ ÓZ O \ " f € 9 כ ¹ô  Ç è  HF K B jl l  (calibration)_  4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç õ

& ñ s  € 9 כ ¹ \ O s  f ” ] X  8 £ ¤& ñ u \  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”   H  © œ& h s  e ” 



. s X O >  é ß –í  H  o  ) a z  ´+ « >“ É r † < Æ Òõ & ñ \ " f ’ < H~ 1 >  à º' Ÿ 

½

+ É Ã º e ”  .

s

 ƒ  ½ ¨\ " f  H $ † ½ Ó ° ú כ    oü < 8 £ ¤& ñ Å Ò à º @ /% i ; Ÿ ¤   



o\    É r ¸ ú š6 £ § „  · ú š`  ¦  © œ“ : r \ " f 8 £ ¤& ñ # Œ ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º k B = (1.362 ± 0.020) × 10 ⁻²³ J/K ü < k B = (1.373 ± 0.025) × 10 ⁻²³ J/K\  ¦ y Œ •y Œ • % 3 % 3  . 8 £ ¤& ñ  ) a ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º

° ú

כ“ É r · ú ˜ 9”   ° ú כ k B = 1.3806488 × 10 ⁻²³ J/K ü < š ¸  2%

s

? /– Ð { 9 u  % i  . ¢ ¸ô  Ç l ï  r Å Ò à º 1 kHz \ " f  H 20

∼ 100 kΩ _  $ † ½ Ó 5> h & ñ • ¸_  8 £ ¤& ñ u – Е ¸ { 9  † < Êà º\  @ / ô

 Ç þ j™ è] jY  LZ O `  ¦ : Ÿ x # Œ q “ §& h  & ñ S X ‰ ô  Ç ^  ¦ Þ Ôë ß –  © œÃ º ° ú כ

`

 ¦ ’ < H~ 1 >  % 3 `  ¦ à º e ” 6 £ §`  ¦ ˜ Ð% i  .

s

 z  ´+ « >`  ¦ : Ÿ x # Œ † < Æ ÒÒ q t[ þ t s  „    r– Ð\ " f_  \ P ¸ ú š6 £ § _

 Ó ü t o & h  s K \  ¦ Z  } s “ ¦, Ó ü t o  z  ´+ « >\ " f æ ¼e ” D h ´ ú §“ É r lock-in 7 £ x; Ÿ ¤ l   Œ •1 l x " é ¶ o \  ¦  € Œ •   H X < a % ~“ É r l  r | ¨ c Ã

º e ” `  ¦  כ s  .

[1] R. B. Johnson, Phys. Rev. 32, 97 (1928).

[2] H. Nyquist, Phys. Rev. 32, 110 (1928).

[3] F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics (McGraw-Hill, New York, 1965), p. 587.

[4] C. Kittel and H. Kroemer, Thermal Physics (W. H.

Freeman and Company, New York, 1980), p. 98.

[5] P. Kittel, W. R. Hackleman and R. J. Donnelly, Am.

J. Phys. 46, 94 (1978).

[9] http://www.signalrecovery.com/download/SR72 XXLV6.zip (accessed Feb. 5, 2013).

[10] EG & G, Model 7260 DSP Lock-in Amplifier In- struction Manual, p. 3.

[11] http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?k

(accessed Feb. 5, 2013).