Layered Section Analysis for PSC Girder with Variable Cross Section Using SI Technique

콘크리트工學

大 韓 土 木 學 會 論 文 集

第30卷 第6A 號·2010年 11月 pp. 581 ~ 590

SI기법을 이용한 변단면 PSC 거더의 층상화 단면해석

Layered Section Analysis for PSC Girder with Variable Cross Section Using SI Technique

김병화*·박대효**·전혜관***

Kim, Byeong Hwa ^· Park, Taehyo ^· Jeon, Hye-Kwan

···

Abstract

This study introduces a layered sectional analysis for a PSC girder with a vaiable cross section and curved tendons. To con- sider the shear equilibrium at a concrete layer with curved tendons, the shear stress distribution has been computed at each sec- tion. In addition, to improve the convergence to the solution, a system identification technique is newly adopted in the solution process for strain computation. To examine the feasibility of the proposed approach, a static load test has been conducted for a full scale PSC girder with variable cross section. The prediction shows a good agreement with experiment. It is seen that a uni- form cross section has the same moment capacity with a variable cross section while the variable cross section has more shear capacity than the uniform cross section. It is also noted that the maximum displacement of a variable cross section is a little smaller than a uniform cross section.

Keywords : sectional analysis, prestressed concrete girder, nonlinear inelastic analysis, static load test, varying cross section

···

요 지

본 연구는 곡선배치 텐던을 갖는 변단면 PSC의 전단을 고려한 층상화 단면해석기술을 소개한다. 곡선배치 텐던의 전단평 형을 고려하기 위해서, 각 층상화 단면에서 전단응력을 직접 산출 할 수 있는 새로운 방법과 각 층상화 단면의 변형률 산 정시 기존의 반복법보다 수렴 속도가 효율적인 시스템인식기법을 적용하였다. 제안기법은 변단면 PSC보의 정재하실험 결과 와 비교분석 되었으며, 추정된 구조응답과 실험결과가 잘 일치하고 있다. 또한, 동일 조건에서 변단면 PSC보와 균등단면 PSC보의 거동특성이 비교분석되었다. 분석결과을 살펴보면, 휨강성은 변단면과 균등단면이 동일하지만, 전단강성은 변단면이 균등단면 보다 크다. 더욱이, 변단면의 자중이 균등단면보다 크지만 변단면의 최대처짐이 균등단면 보다 작다.

핵심용어 : 단면해석, 프리스트레스 콘크리트 보, 비선형 비탄성 해석, 정재하실험, 변단면

···

1. 서 론

PSC 빔 (Prestressed Concrete Beam) 은 1960 년대 말 국내에 처음 적용된 이후로 중소 경간장의 도로 및 철도교량에 사용 되는 대표적인 교량 상부 거더 형식이다 . 초기의 PSC 거더는 외력에 의하여 콘크리트에 발생하는 인장응력을 소정의 한도 까지 상쇄시킬 수 있도록 긴장재를 배치하는 콘크리트 보였다 .

최근 들어 고강도 콘크리트 및 고강도 긴장재의 개발에 따라 서 PSC 빔의 다양한 활용연구 및 신형식 거더의 개발연구가 진 행되고 있다 . ^{대표적인 신형식 거더는 다단계 긴장형 거더} ( ^한

만엽 등 2000), 강재 I 형 거더에 프리텐션을 도입하는 Preflex

거더 ( 장웅성 등 , 2003) 등을 들 수 있다 . 이 밖에 상부플랜지에

강판을 합성시켜 PS 긴장재의 편심효율성을 증대시키는 PSC-e

빔 , ^{다단계 긴장형으로 프리캐스트 바닥판을 올려 놓은 후 비}

합성 상태에서 2 차 긴장력을 도입하는 DR- 거더 , 상부플랜지 폭이 넓은 거더를 거의 맞닿도록 배치한 후 슬래브를 타설하 여 중립축을 위쪽으로 이동시켜 상하부 플랜지 응력값의 효율

성을 최적화 시킨 WPC- 거더 등이 있다 ( 김광수 등 , 2008).

최근 들어 사회적 요구의 변화에 따라 건설시장에 있어서 도 미관을 중시하는 방향으로 변화가 일면서 교량 건설에 있어서도 경관설계를 고려하여 교량 형식을 선정하는 설계 개념이 일반화 되고 있다 . 특히 , 도심지 공사는 물론 하천 ,

계곡 등에 가설되는 교량에 있어서도 주변 환경과 잘 어울 릴 수 있도록 변화를 준 다양한 형상의 교량건설이 이루어

지고 있다 . 이와 같이 경관을 고려할 때 PSC 빔은 획일적

이면서도 경직된 직선형상의 투박한 외관을 가짐으로서 그 적용에 많은 제약을 받을 수밖에 없는 것이 현실이다 . 이는 종래의 일반적인 PSC ^{빔 뿐 만 아니라 최근 개발된 다양한}

*정회원·교신저자·경남대학교토목공학과조교수·공학박사

(E-mail : [email protected])

**정회원·한양대학교토목공학과교수·공학박사

***한양대학교토목공학과박사과정·㈜에이스이엔씨대표이사

신형식 PSC 거더 모두에 해당하는 공통적인 문제이다 . 이러한

측면에서 최근에 개발된 변단면 PSC 빔 (APC-Beam: Advanced

Prestressed Concrete I-Beam) 이 주목되고 있다 .

PSC 빔은 콘크리트 , 철근 및 텐던이 부정정 구조시스템를 이 루는 휨부재로써 비균질 비선형 재료특성을 가지고 있다 . PSC

에 관한 해석기술은 RC(Reinforced Concrete) 의 해석기술을 바탕으로 발전하여 왔으며 , 유한요소방법 (Finite Element Method) 과 층상화모델방법 (Layered Model Approach) 이 대표적 이다 . 유한요소방법은 3 차원 해석시 철근 및 긴장재를 표현하 는 개개의 요소를 콘크리트내에 정확히 모델링하는 데 한계가

있고 (Kwak 등 2006), 대형구조물의 경우 모델링의 복잡하다

( 곽효경 등 , 2005; 김태훈 등 , 2002). 반면 , 층상화모델방법은 모델링이 간편하여 실무에서 선호되고 있다 .

최초의 층상화 단면해석은 Collins and Mitchell (1990) 에 의해 소개되었는데 , PSC 빔 해석시 철근 및 전단변형은 무

시되었다 . 심종성 등 (1999) 은 PSC I 형 거더의 장경간화에

적합한 단면형상 연구에 전단을 무시한 층상화모델 (Layered

model) 을 이용하였다 . RC 구조물의 전단해석을 위한 수정압

축장이론 (Vecchio and Collins, 1988) ^{이 소개될 당시} , PSC

보에도 적용이 가능하다고 보고되었다 . 그러나 , 텐던이 곡선 배치된 PSC 빔의 전단에 대한 적용연구는 아직 보고된 바 없다 . 층상화 단면해석에서 , 전단응력 산정시 인접한 두 단 면의 각 층단면에서 전단력의 평형이 이루어져야 하는데 , 곡

선배치 텐던을 갖는 PSC 단면의 경우에는 텐던의 긴장력이

동일 콘크리트 층에 놓이지 않는 문제가 발생하고 , 반복법에 의한 해의 수렴이 보장 되지 않는다 . 더욱이 , 변단면 PSC 빔 의 거동 특성에 대한 연구는 전무한 실정이다 . ^{실무에 적용}

되는 PSC 거더의 텐던 배치는 거의 대부분 포물선형상을 가 지고있으므로 , 곡선텐던이 배치되고 변단면형상을 갖는 층상 화 단면해석기법의 적용연구가 필요한 실정이다 .

본 연구는 텐던이 곡선으로 배치될 때 발생되는 층상화 단면 해석의 문제점을 해결할 수 있는 방법을 제시한다 . 제안기법은 곡선배치 텐던의 전단평형을 고려하기 위해서 인접한 두 개의 층단면에 대한 전단 평형식을 이용하지 않고 , 각각의 단면에서 전단응력을 직접 산정한다 . ^{그러므로 텐던이 곡선으로 배치되}

거나 또는 단면이 변단면이어서 인접한 두개의 층단면에 대한 전단 평형식을 세우기 어려운 경우에 매우 효과적이다 . 각 단 면에서 힘의 평형을 이루기 위한 변형률 산정시 , 본 연구에서 는 기존의 반복법보다 해에 대한 수렴 속도가 효율적인 시스 템인식기법 (System Identification Technique: SI) 이 새롭게 적 용되었다 . 기존의 층상화 단면해석기법은 텐던이 곡선배치 되 거나 단면이 변단면이면 해의 수렴성이 보장되지 않기 때문에 제안기법의 결과와 비교하기 어렵다 . 그러므로 본 연구에서는 제안기법의 검증을 위하여 , 실규모 변단면 PSC 빔의 정재하실 험 결과와 비교분석하였다 . 또한 , 동일 하중 및 동일 재료조건 에서 변단면 PSC 빔의 거동특성과 균등 높이 단면의 PSC 빔의 거동특성이 비교분석되었다 .

2. 층상화 단면을 이용한 단면해석 기법 2.1 응력과 변형률

단면해석시 기본가정은 다음과 같다 . 첫째 , 변형후 단면은

평면을 유지한다 . 둘째 , 수직 y 축에 대하여 단면은 대칭이다 .

셋째 , 콘크리트와 철근은 일체로 거동한다 . 그러므로 단면 변 형률의 선형분포는 , ^그림 1b ^{와 같이} , ^{도심에서의 변형률}

과 곡률 ϕ로 정의될 수 있다 (Collins and Mitchell,

1990).

단면 높이 y 에서의 콘크리트 변형률 ε

c

은 다음과 같이 주 어진다 .

(1)

또한 , 단면 높이 y 에서의 철근의 변형률 ε

s

은 콘트리트에 둘려싸여있기 때문에 다음과 같다 .

(2)

프리스트레싱 텐던의 변형률 ε

p

은 텐던을 둘러싼 콘크리트 의 변형률에 변형률 차이 ∆ε

p

를 추가하여 다음과 같다 .

(3)

상기 변형률의 부호규약은 인장을 양으로하고 압축을 음으 로 한다 . 더욱이 양의 곡률은 단면의 하연 변형률이 상연 변형률보다 클때로 정의한다 .

임의의 단면에 휨모멘트 M 과 전단력 V 및 축력 N 이

작용할 경우에 , PSC ^{부재에 발생되는 응력은 그림} 1c ^{와 같}

이 콘크리트의 응력 f

c

, 텐던의 응력 f

p

, 그리고 철근의 응력 f

s

이 발생한다 .

Popovics(1970) 가 제안한 일축 압축응력 상태에서의 압축

변형률 ε

c

에 따른 콘크리트 발생 압축응력 ε

c

는 그림 2a 와 같이 다음 식을 제안하였다 .

(4)

여기서 , 과 은 콘크리트 실린더의 최대 압축강도 및 변형률을 나타내고 , 지수 n 과 k 는 의 함수이다 . 콘크리트 의 균열전 인장응력과 인장변형률 사이의 관계는 다음과 같 이 선형 가정한다 .

(5)

그러나 , 콘크리트의 인장균열 후에 응력 - 변형률관계를 다 음과 같이 가정한다 .

(6)

여기서 , f

r

(MPa) 은 콘크리트의 균열강도로써 다음과 같다 .

(7)

ε

_cen

ε

_c

= ε

_cen

– ϕy

ε

_s

= ε

_cen

– ϕy

ε

_p

= ε

_cen

– ϕy + ∆ ε

_p

f

_c

f

_c^′

---- n ε (

_c

⁄ ε

_c^′

) n 1 – + ( ε

_c

⁄ ε

_c^′

)

^nk

---

=

f

_c^′

ε

_c^′

f

_c^′

f

_c

= E

_c

ε

_c

f

_c

f

_r

1 + 200ε

_c

---

=

f

_r

= 0.63 f

_c^′

그림 1. 단면 변형률과 응력분포

텐던의 변형에 따른 응력은 극한 인장강도 1860 MPa 인

강연선의 경우에 그림 2b 와 같이 Ramberg-Osgood 함수를

이용하여 다음과 같이 가정한다 (Mattock, 1979).

(8)

철근의 변형률 ε

s

에 따른 철근에 발생하는 응력 f

s

은 그림

2c ^{와 같이 쌍일차함수} (bilinear function) ^{로 가정할 수 있다} . (9)

2.2 평형방정식

PSC 빔의 단면을 그림 3 과 같이 층상화 단면으로 구성되

었다고 가정하면 , 각 층단면의 평균 응력과 변형률을 상기 방정식들을 적용할 수 있다 . 단면의 상단을 기준으로 환산단 면의 도심 위치를 로 나타내고 , i번째 층단면의 콘크리트 수직응력 , 전단응력 , 위치 , 폭 및 높이를 각각 f

ci

, τ

ci

, y

ci

,

b

i

및 h

i

로 나타낸다 . 또한 j번째 철근의 응력 , 위치 및 단면 적은 각각 f

si

, y

sj

및 A

sj

로 나타내고 , k번째 텐던의 응력 ,

위치 및 단면적은 각각 f

pk

, y

pk

및 A

pk

로 나타낸다 . PSC

보의 텐던은 대부분 곡선으로 배치되어 있으므로 텐던은 임 의 각도 α를 고려하면 , 텐던 긴장력의 단면에 대한 수직 및 수평성분은 각각 f

pk

cos α 및 f

pk

sin α로 나타낼 수 있다 .

그러면 , ^{임의의 단면에 작용하는 휨모멘트} (M), ^축력 (N) ^및

전단력 (V) 에 대한 단면의 평형방정식은 다음과 같이 기술 할 수있다 .

(10) (11) (12)

여기서 , n

c

, n

s

및 n

p

는 각각 콘크리트층의 수 , 철근의 수

및 텐던의 수를 나타낸다 . 식 (10)~(12) 을 이용하여 단면력

을 산정하기 위해서는 각각의 층단면에서 발생되는 응력들을 우선적으로 산정하여야 한다 . 도심에서의 변형률 ε

cen

과 곡률 ϕ를 가정한다면 , 상연으로부터 y 만큼 떨어진 층단면의 변형

률은 식 (1)~(3) 를 이용하여 산정할 수 있다 . 산정된 층단면

의 수직변형률에 대응되는 수직응력은 상기 각 재료의 응력 -

변형률선도로부터 산정한다 . 그러나 , 전단응력의 산정은 인접 한 두 단면의 수직응력분포 산정이 우선되어야한다 . 이유는 다음과 같다 . 체적력 (body force) 이 없는 2 차원 미소 응력요 소의 미분 평형방정식을 다음과 같이 고려해보자 .

(13) (14)

전단응력 τ

xy

과 연직방향 수직응력 f

y

은 다음과 같이 단면 의 수직응력의 변화률을 적분하여 산정할 수 있다 .

(15) (16)

여기서 , g ( x ) 와 h ( x ) 는 적분상수로써 각각 단면의 상연 끝 단 y =0 에서 전단응력 τ

xy

과 연직방향 수직응력 f

y

의 경계조 건을 적용하여 산출될 수 있다 . 상연에 수평 및 연직방향 분포하중이 없는 경우에 적분상수 들은 각각 g ( x )=0 및

h ( x )=0 이다 . 식 (15) 를 이용하여 층상화 모델의 전단응력

( τ

ci

) 을 산정하기 위해서는 인접한 두 개의 단면들에 대한

수직응력의 분포 f

ci

를 산정한 후에 수직응력의 변화률 ( )

을 유한차분법으로 구하고 그 결과값을 y ^{에 대한 수치적하}

여 산정한다 . 연직방향 수직응력 f

y

는 길이가 긴 보구조물의 경우에 일반적으로 매우 미소하지만 , 변형률의 산정 및 평 형조건의 성립을 위해서 반드시 산정할 필요가 있다 . 연직 방향 수직응력은 앞서 산출된 전단응력의 변화률 ( ) ^{를 유}

한차분법으로 구하고 및 y 에 대한 수치적분을 이용하여 산 정한다 .

모든 층단면에 대한 수직응력들 및 전단응력들의 분포가

산정이 되면 , ^모아원 (Mohr circle) ^{을 이용하여 각 층단면의}

평균 수직변형률과 전단변형률의 산정이 가능하다 . 이때 , 주 응력 (principal stress) 의 방향과 주변형률 (principal strain) 의 방향은 일치한다는 가정이 필요하다 .

상기 식 (15) 을 이용하면 , 인접한 단면의 힘의 평형으로부

터 전단력을 구해야 하는 기존의 번거러움을 피할 수 있다 .

이는 텐던이 곡선배치 되었을 경우에 매우 효과적이다 .

f

_p

200 10 ×

³

ε

_p

0.025 0.975 1 118ε + (

_p

)

¹⁰

{ }

^0.10

---

⎩ + ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫ ≤ 1860MPa

=

f

_s

= E

_s

ε

_s

≤ f

_y

y

M Σ =

_{i 1}ⁿ₌^c

f

_ci

b

_i

h

_i

( y

_ci

– y ) Σ +

_{j 1}ⁿ₌^s

f

_sj

A

_sj

( y

_sj

– y ) Σ +

_{k 1}ⁿ₌^p

( f

_pk

cosα )A

_pk

( y

_pk

– y )

N Σ =

_{i 1}ⁿ₌^c

f

_ci

b

_i

h

_i

+ Σ

_{j 1}ⁿ₌^s

f

_sj

A

_sj

+ Σ

_{k 1}^np₌

( f

_pk

cosα )A

_pk

V Σ =

_{i 1}ⁿ₌^c

τ

_ci

b

_i

h

_i

+ Σ

_{k 1}^np₌

( f

_pk

cosα )A

_pk

∂f

_x

--- ∂x ∂τ

_xy

--- ∂y + = 0

∂τ

_xy

--- ∂x ∂f

_y

--- ∂y + = 0

τ

_xy

∂f

_x

---dy g x ∂x + ( )

∫

–

=

f

_y

∂τ

_xy

---dy h x ∂x + ( )

∫

–

=

∂f

_ci

--- ∂x

∂τ

_ci

--- ∂x 그림 2. 응력 - 변형률관계

그림 3. 층상화 단면모델

2.3 SI 기법을 이용한 변형률 인식

인접한 두 단면들에 대하여 각각의 도심에서의 변형률 ε

cen

과 단면의 곡률 ϕ를 가정함으로써 대응되는 수직응력 및 전단응력들의 분포을 산정하였다 . 또한 , 산정된 응력들의 단

면에 대한 적분값은 식 (10)~(12) 와 같이 단면에 작용하는

단면력들과 평형을 이루어야 한다 . 그러므로 그림 4 와 같이 일련의 수치해석부분을 하나의 시스템으로 정의하자 . 그림 4

에서 윗첨자 1 과 2 는 단면번호를 나타낸다 . 그러면 , 작용 단 면력과 평형을 이루게 하는 두 단면의 도심 변형률들과 곡 률들을 찾는 시스템인식의 문제로 정의될 수 있다 .

시스템인식론은 매개변수 최적화 이론의 일종으로써 구조

물의 손상도 추정분야 (Stubbs, 1985) 및 수치모델의 개선

(model upating)(Mottershead and Friswell, 1993) 에 최초로 적용된 후에 알고리즘의 효율성이 탁월하여 다양한 분야

(Kim 등 , 2007) 에서 적용되고 있다 .

인식해야 할 변수의 수 p (=4) 라 하고 단면력의 수를 q

(=6) 라고 할 때 , 인식하고자 하는 변수들의 집합인 인식벡터 u 및 단면력벡터 β의 크기는 각각 다음과 같이 정의한다 .

(17) (18)

여기서 p× 1 벡터 c는 기지의 시스템 상수로써 단면력이 0 일 경우에 차후 정규화과정에서 0 으로 나누어지는 것을 피하기 위하여 도입된 임의의 시스템상수이다 . n번째 단면력 β

n

은 인식변수벡터의 함수로 나타낼 수 있고 , Taylor 급수 전개는 다음과 같다 .

(19)

그러므로 n번째 단면력의 변화량 δβ

n

은 고차항을 무시하 였을 때 다음과 같이 근사화 할 수 있다 .

(20)

여기서 , u

i

는 인식변수벡터의 i번째 항을 나타낸다 . 계산의

효율성을 높이기 위하여 식 (20) 을 정규화 (normalization) 를

하면 다음과 같다 .

(21)

그러면 식 (21) 은 다음과 같이 간단한 선형 민감도 행렬

방정식으로 기술할 수 있다 .

(22)

여기서 , q× 1 벡터 Z는 단면력의 변화율을 나타내며 , 다음과

같이 정의 된다 .

(23)

또한 , p× 1 벡터 α는 인식 변수들의 변화율을 나타내며 ,

다음과 같이 정의 된다 .

(24)

마지막으로 , q×p벡터 F는 민감도 행렬 (sensitivity matrix)

로써 , 인식 변수들에 대한 단면력의 변화율을 나타내며 , 다 음과 같이 정의된다 .

(25)

반복법을 이용하여서 , 민감도 방정식 (22) 의 해를 구하는

순서는 다음과 같다 . 우선 , 식 (17) 에 정의된 인식 변수들을

임의로 가정한다 . 가정된 인식 변수벡터에 대해서 , 그림 4 에 정의된 시스템을 이용하여 단면력들을 산정한다 . 다음은 , 식

(25) 에 정의된 민감도 행렬 F의 산정이 필요하다 . 여기서 ,

민감도 행렬은 인식변수의 단위 변화에 따른 단면력 변화로 써 근사적으로 계산한다 . 다음은 단면력 변화율벡터 Z를 다 음식으로 구한다 .

(26)

여기서 , 는 n번째 작용 단면력이고 , β

n

는 가정된 인식변 수 벡터을 이용하여 산정한 n번째 단면력이다 . 그러면 , 식

(22) 을 이용하여서 인식변수 벡터의 변화율은 다음과 같이 구할 수 있다 .

(27)

여기서 , F

⁻¹

는 F의 역행렬 (Pseudo Inverse Matrix) 이다 . 따 라서 인식변수 벡터는 다음 반복단계에서 다음과 같이 갱신 된다 .

(28)

여기서 , ^{는 다음 반복단계에서 인식 변수벡터의} i번째 항 이다 . 그리고 , α

i

는 인식변수의 변화율벡터의 i번째 항이다 .

그러면 , 새롭게 갱신된 인식변수벡터에 대해서 그림 4 에 정 의된 시스템을 이용하여 단면력들을 산정하고 , 식 (26) 부터

식 (28) ^{까지를 각 인식변수의 변화율 α}

i

가 영으로 수렴할

때까지 반복한다 .

곡률과 도심변형률의 초기값들은 다음식을 이용하여 결정 하면 , 해의 수렴속도를 높일 수 있다 .

(29) (30)

여기서 N

p

와 M

p

는 텐던의 편심배치에 따른 환산단면의 도 심축에 작용하는 축력과 모멘트이다 . 그리고 A

t

와 I

t

는 각각 u = [ ε

_cen¹

ϕ

¹

ε

_cen²

ϕ

²

]

^T

β = [ M

¹

V

¹

N

¹

M

²

V

²

N

²

]

^T

+ c

β

_n

( u du + ) β =

_n

( ) ∇β u +

_n

( ) du O u ⋅ +

²

( ) du

β

_n

δ Σ

_{i 1}^p₌

∂β

_n

∂u

_i

---du

_i

=

δβ

_n

β

_n

--- Σ

_{i 1}^p₌

∂β

_n

∂u

_i

--- u

_i

β

_n

--- du

_i

u

_i

---

=

Z Fα =

Z δ β

₁

β

₁

---… δ β

_q

β

_q

---

^T

=

α du

₁

u

₁

---… du

_p

u

_p

---

^T

=

F

∂β

₁

∂u

₁

--- u

₁

β

₁

--- … ∂β

₁

∂u

_p

--- u

_p

β

₁

---

∂β

_q

∂u

₁

--- u

₁

β

_q

--- … ∂β

_q

∂u

_p

--- u

_p

β

_q

---

= … … …

Z β

₁^t

– β

₁

β

₁

---… β

_q^t

– β

_q

β

_q

---

T

=

β

_n^t

α F =

^–1

Z

u

_i

′ = ( 1 α +

_i

)u

_i

u′

_i

ε

_cen

N N –

_p

E

_c

A

_t

---

=

ϕ M M –

_p

E

_c

I

_y

---

=

그림 4. 시스템의 정의

환산단면의 면적과 단면 2 차모멘트를 나타낸다 .

2.4 처짐계산

주어진 작용외력에 대하여 모든 단면에서 곡률의 인식이 완료되면 , 처짐곡선은 유한차분법을 이용하여 간단히 산정할 수 있다 . 변단면의 경우에 도심의 높이가 변하기 때문에 다

음 식 (31) 과 같이 곡선보의 곡률 - 처짐식을 이용한다 (Kim,

2006).

(31)

여기서 , w 는 변형에 의한 처짐을 나타내고 , R 은 변단면보의 초기형상으로써 단면 도심선의 곡률 반지름을 나타낸다 . 축하 중에 의한 처짐의 영향을 고려할 경우에는 , 다음식의 추가외 력모멘트 M*(Timoshenko and Gere, 1963) 를 식 (10) 의 좌측 항에 추가하여야 한다 .

(32)

여기서 , P 는 콘크리트 단면에 가해지는 축력이고 , w 는 보의 변형에 의한 처짐을 나타낸다 . ^{임의 단면에서 축 하중의 영}

향을 고려한 평형조건을 만족시키기 위해서는 단면의 처짐을 알고 있어야한다 . 이를 위해서는 곡률 및 처짐 계산의 반복 이 불가피하다 . 우선 , 처짐곡선의 초기값을 영으로 가정하고 상기 제안한 단면해석을 수행하여 곡률을 산정한다 . 산정된 곡률에 대한 처짐곡선을 식 (31) 에 대한 유한차분법으로 산 출한다 . 다음은 개선된 처짐곡선을 이용하여 단면해석을 수행 하여 곡률을 다시 산정한다 . 이와 같은 반복계산을 처짐곡선

의 변화가 영이 될 때까지 수행한다 . 3. 정재하 실험

3.1 해석 대상 PSC 거더

포스트텐션 방식으로 제작된 Bulb-tee I 형 변단면 단순보 시험체가 고려되었다 . 비교 대상 시험체는 기 발표된 실험결 과로써 ( 김정호 등 , 2009), 보의 길이는 L=40 m 이고 , 순지간

은 39.9 m 이다 . 거더의 높이는 단부에서 2.2 m 이고 중앙부

에서 1.7 m 이다 . 거더의 상부플랜지 폭은 1.1 m 이며 , 두께

는 단부에서 0.26 m 이고 중앙부에서 0.2 m 이다 . 거더의 하

부플랜지는 폭과 두께는 각각 1.0 m 와 0.2 m 이며 , 포물선 형상이다 . 중앙단면에서 거더의 복부폭은 0.24 m 이다 . 대상 시험체의 상세 제원은 그림 5 와 같다 .

시험체의 설계 압축강도는 50 MPa 이지만 , 28 일 공시체의 압축강도 시험결과는 64 MPa 이다 . 긴장재는 SWPC 7B

φ =15.2 mm 저연성 스트랜드가 사용되었다 . 직경 φ =85 mm 쉬 스관이 4 개 매입 되었으며 , 각 쉬스관마다 15 가닥씩 총 50 개 의 스트랜드가 사용되었다 . ^{긴장재의 인장강도는} 1,860 MPa ^이

고 , 도입 긴장응력 (Jacking stress) 의 설계치는 1,368 MPa 이다 .

긴장력 도입후 각 쉬스관은 시멘트 그라우팅되었다 . 긴장재의 추정 탄성계수는 200 GPa 이다 . 종방향 철근은 항복강도

300 MPa SD30 이 사용되었으며 추정 탄성계수는 200 GPa 이다 .

3.2 실험방법 및 결과

그림 6 과 같이 대상 시험체에 대하여 정재하 휨실험이 수 ϕ d

²

w

ds

²

--- w

R ---

²

+

=

M

^*

= Pw

그림 5. 변단면 PSC-I 형 단순보 시험체 제원 ( 단위 :mm)

행되었다 . 긴장시 및 하중 재하단계별 구조응답을 측정하기 위하여 , 변위계 , 철근게이지 및 콘크리트 표면게이지가 부착 되었다 . ^{변위계는 수직변위계측을 위하여} L/4 ^지점 , L/2 ^지

점 및 3L/4 지점에 설치되었다 . 철근의 응력을 측정하기 위

하여 상부 강성보강용 철근 및 하부 주철근에 변형률게이지 를 각각 4 개씩 부착하였으며 , 위치는 L/2 지점 , L/2 지점에

서 2 m 떨어진 지점 , 3L/4 지점이다 . 콘크리트 표면의 응력

측정을 위하여 보의 양면에 변형률게이지를 부착하였으며 ,

위치는 철근변형률계의 위치와 동일하다 .

긴장력 도입에 의하여 중앙지점 (L/2 지점 ) 의 솟음량은 최

종적으로 59.97 mm 가 발생되었으며 , L/4 지점과 3L/4 지점

의 솟음량은 각각 37.52 mm 와 37.41 mm 로 거의 동일한 솟

음이 발생되었다 . 하중은 지간 중앙을 기준으로 4 m 떨어진 위치에 재하하는 2 점 재하를 실시하였다 . 재하하중은 용량

2.94 MN 의 MTS 장비를 사용하였다 . 균열이 발생할 것으로

예측되는 약 588 kN 하중까지 19.6 kN 단위로 하중을 증가

시키면서 계측을 실시하였다 . 588 kN 이후 , 가능한 최대 변

위가 발생할 때까지 1.25 mm/min ^{의 속도로 변위를 증가시}

키면서 가력기의 하중과 실험체의 변형률 및 변위를 계측하

였다 . 발생한 최대 변위는 약 250 mm 이었으며 , 하중 - 변위

곡선으로부터 강성이 저하된 것을 확인하고 실험을 중단하

였다 . 그림 7 의 하중 - 처짐 곡선에서 약 1.176 MN 부근에

관찰되는 불연속 구간은 약 1.176 MN 까지 하중을 조절하여

재하하다가 변위로 조절하는 방식으로 재하방법을 변경하면 서 나타난 것으로 구조적인 거동과는 무관하다 .

그림 8 ^은 L/2 ^{지점의 하부 주철근의 하중} - ^{변형률 응답 곡}

선으로써 , 1.372 MN ^인근에서 , ^{급격한 변형률 변화를 보인}

다 . 이 시점을 기준으로 부착된 게이지 근처에서 콘크리트에 균열이 발생한 것으로 판단된다 .

그림 9 는 중앙부의 하중 - 콘크리트 표면 변형률 곡선을 나 타낸다 . ^{선형적인 거동을 보이는 하부의 콘크리트 변형률은}

1.274 MN 의 하중 부근에서 급격한 변동이 발생되어 , 콘크

리트의 균열은 1.274 MN 부근에서 발생된 것으로 판단된다 .

4. 해석 및 고찰

4.1 시험체의 수치 모델링

제안 알고리즘을 이용하여 시험체의 거동해석이 수행되었 다 . 총 81 개의 단면에 대하여 그림 10 과 같이 각 단면을 n

c

=41 개의 층단면으로 나누었다 . 콘크리트의 격벽은 무시되 었다 . 콘크리트의 응력 - 변형률 곡선은 식 (4)-(6) 를 이용하고 ,

텐던과 철근의 응력 - 변형률 곡선은 각각 식 (8) 과 식 (9) 가 사용되었다 .

Post-tension 방식에 따른 긴장력의 즉시손실을 포함하기 위

하여 곡률마찰계수 ( µ ) 는 0.2, 파상마찰계수 ( κ ) 는 0.002 를 적 용하였다 . ^{정착구의 활동손실과 탄성단축에 의한 긴장력 손}

실이 고려되었다 . 긴장력 도입 직후 비부착식 PSC 의 솟음량 은 59.97 mm 였다 .

PSC 빔 수치모델의 구조응답에 가장 큰 영향을 주는 변수 는 콘크리트의 탄성계수와 긴장력이다 . 콘크리트 탄성계수 및 긴장력의 추정에 관한 많은 설계 경험식이 있지만 , 실험 치들의 분산이 매우 크다 (Tadros et al. , 2003). 정재하실험 시 공시체에 대한 탄성계수 실험의 수행이 없었고 , 텐던 긴 장력 추정을 위한 로드셀 설치가 없었다 . ^{본 연구에서는 계}

측된 처짐 , 콘크리트 및 철근의 변형율 및 콘크리트 항복시 그림 6. 변단면 PSC-I 형 거더의 정재하실험

그림 7. 변단면 PSC-I 형 거더의 하중 - 변위 계측곡선

그림 8. 변단면 PSC-I 형 거더의 중앙부 하연 주철근의 하중 - 변형

률 곡선

그림 9. 변단면 PSC-I 형 거더의 중앙부 콘크리트 표면의 하중 -

변형률 곡선

점 등과 수치모델의 추정치들이 가장 유사하게 거동하는 콘 크리트의 탄성계수와 도입 긴장응력을 시산법으로 추정하였 다 . 재하실험조건에서 콘크리트의 탄성계수가 설계치보다

10% 감소시 , 수치모델의 중앙부 최종 처짐은 195.8 mm 로

써 6.8% 증가하고 , 중앙부 하연 철근의 최종 평균 변형률은

1079 × 10

⁻⁶

으로써 7.2% 증가한다 . 그리고 중앙부 하연 콘크

리트가 항복하기 시작하는 작용 하중은 변동 없이 1.225

MN 이다 . 반면 , 도입 긴장응력이 10% 감소 할 때는 수치모 델의 중앙부 최종 처짐과 중앙부 하연 철근의 최종 평균 변 형률은 각각 205.6 mm 및 1150 × 10

⁻⁶

으로써 각각 12.2%

및 14.2% 증가한다 . 그리고 중앙부 하연 콘크리트의 항복 시

작점은 1.078 MN 으로써 9.1% 감소한다 . 몇 번의 시산과정을

통하여 , 계측 처짐곡선 , 철근 변형률 곡선 및 콘크리트의 항 복시점 등이 가장 유사하게 되는 콘크리트 탄성계수와 도입 긴장응력이 추정되었다 . 추정 콘크리트 탄성계수 설계치의

85% 로써 각각 25,820 MPa 이고 , 솟음량 추정시 도입 긴장

응력은 설계치를 1368 MPa ^{를 그대로 적용하였다} . ^포스트텐

션 방식이기 때문에 텐던긴장 직후에 텐던과 덕트사이는 시 멘트그라우팅 처리되었다 . 그라우팅이 굳은 후에 비부착식

PSC 빔은 부착식 PSC 빔으로 변환되고 텐던의 긴장응력 및

처짐에 변화가 생긴다 . 본 연구에서는 재하실험시 당시 텐던 의 긴장응력은 15% 감소한 1,163 MPa 를 적용하였다 .

긴장시 솟음량 해석에서는 비부착식 텐던 모델링이 수행되 었고 , 재하실험시 처짐해석에서는 부착식 텐던 모델링을 적 용하였다 . ^여기서 , ^{부착식 텐던 모델링은 텐던의 변형률이 콘}

크리트 층의 변형율과 동일하게 거동하는 것이다 . 반면 , 비 부착식 텐던 모델링은 텐던의 변형률이 텐던 앵커사이의 텐 던이 속하는 콘크리트 층의 평균 변형률을 사용하는 것이다 .

4.2 SI기법을 이용한 PSC 거더의 해석

긴장력 도입시 자중에 의해서 지간 중앙부에 위치한 단면

과 0.5 m 떨어진 단면에 발생되는 모멘트는 각각 M

¹

=

4.0946 MNm ^과 M

²

= 4.0915 MNm ^이며 , ^전단력은 V

¹

= -0.0000

MN 과 V

²

= -0.0104 MN 이다 . 그리고 축력은 모두 영이다

(N

¹

=0, N

²

=0) 이다 . 반면 , 긴장력에 의한 모멘트는 각각

M

¹o

= 7.3688 MNm 과 M

²o

=7.3804 MNm 이며 , 전단력은

V

¹o

=0M N 과 V

²o

= -0.0304 MN 이다 . 축력은 N

¹o

= 10.3268

MN, N

²o

=10.3376 MN 이다 . 시스템인식은 설정된 단면력

벡터가 되도록하는 곡률과 도심 변형률을 구하는 문제이다 .

식 (29) ^와 (30) ^{을 이용하여 단면} 1 ^{에서의 도심변형률 과}

곡률 의 초기값을 구하면 , 각각 -0.4091 × 10

⁻³

, -0.3571 ×

10

⁻³

/m 이다 . 그리고 단면 2 에서의 도심변형률 과 곡률 의 초기값은 각각 -0.4132 × 10

⁻³

, -0.3584 × 10

⁻³

/m 이다 . 이 때 단면 1 과 2 의 환산단면 2 차모멘트는 각각 0.3551 m

⁴

및

0.3555 m

⁴

이다 . 또한 단면 1 과 2 의 환산단면 도심은 상단으

로부터 각각 0.8874 m 및 0.8871 m 에 위치한다 . 다음은

제안 SI 알고리즘을 통하여 식 (10)-(12) 를 만족시키는 곡률 과 변형률을 찾는다 . 총 10 회의 반복계산이 수행되었다 .

그림 11 은 각각의 반복 계산과정에서 인식변수변화율 α의 수렴과정을 보여주는 것으로써 , 단 2 회의 반복 계산으로도 수렴값에 근접하는 것을 알 수 있다 . 단면 1 과 2 에서 최종 적으로 수렴된 곡률은 각각 -0.3990 × 10

⁻³

/m, -0.4107 × 10

⁻³

/m 이 고 , 도심변형률은 각각 -0.4471 × 10

⁻³

, -0.4528 × 10

⁻³

이다 .

그림 12 은 제안 알고리즘을 이용하여 추정한 텐던의 장력 도입시 곡률을 나타낸다 . ^{최대 곡률은 중앙부 근처에서} -0.4164 × 10

⁻³

/m 이다 . 그림 13 는 식 (31) 을 유한차분법으로 산정한 긴장력도입시의 솟음량 (camber) 를 나타낸다 . 최대 캠 버는 중앙부에서 58.23 mm 이다 . 제안 알고리즘을 이용하여 추정된 모멘트 - 곡률도 및 처짐은 계측과와 잘 일치하고 있다 .

그림 14 는 변단면 보의 지간 중앙 단면에 대한 모멘트 - 곡 률도이다 . 다양한 모멘트값 변화에 따른 곡률의 변화를 볼

수 있는데 , 곡률이 영이 나오는 모멘트는 7.3085 MNm 이

고 , ^{단면하단에 인장균열이 발생하는 모멘트는} 13.7 MNm ^이

ε

_cen¹

ϕ

¹

ε

_cen²

ϕ

²

그림 10. 중앙단면의 층상화 모델링

그림 11. 변단면 보 시험체의 인식변수변화율의 수렴도

다 . 텐던의 파단은 24.0 MNm 의 모멘트에서 발생한다 .

4.3 재하실험 결과의 비교 및 고찰

정재하 실험조건에 대하여 제안 SI ^{알고리즘을 적용하였다} .

그림 15 은 정재하실험의 하중 - 처짐도를 보인다 . 경간 중앙부 하연의 콘크리트는 최초균열은 0.98 MN 부터 시작되었다 . 여

기서 , 부착식 텐던 모델의 중앙부 초기 솟음량은 29.13 mm

였다 . ^{계측처짐이 상대적인 계측량이므로 영점 조정하여 상}

호비교하였다 . 계측처짐과 추정처짐이 잘 일치하고 있다 .

그림 16 은 보의 지간 중앙부 하연에 설치한 주철근의 ‘b’

와 ‘c’ 의 평균 변형률 ( 그림 8 참조 ) 과 동일 위치에서 추정된 콘크리트 층의 상대변형률을 비교한 것이다 . 긴장력 도입에

의한 콘크리트 층의 변형율이 -0.4928 × 10

⁻³

이지만 철근의

계측변형률이 긴장 후의 상대적인 값이기 때문에 영점에서 비교하였다 . 여기서 , 층상화 단면의 콘크리트와 철근사이에

는 활동 (slip) 이 없다고 가정하였기 때문에 콘크리트의 변형

률과 철근의 변형률은 동일하다 . 콘크리트의 균열전까지는 수치모델의 변형률과 계측치의 경향이 잘 일치하고 있다 . 다 만 추정 변형률이 일정하게 큰데 , 이는 긴장시 비부착식

PSC 빔 모델에서 재하시 부착식 PSC 빔으로 변환되는 과정의

오차로 판단된다 .

5. 수치예제: 변단면과 균등단면의 구조성능 고찰 제안 SI 기법을 이용하여 균등한 높이를 갖는 단면 대비 변단면의 구조성능 비교을 위하여 , 정재하 시험체와 텐던의 배치가 동일하지만 변단면의 중앙단면 높이을 갖는 균등 높 이 단면이 고려되었다 . 중앙부의 단면이 동일하기 때문에 모 멘트 - 곡률도는 그림 14 와 동일하기 때문에 휨강성은 동일하 다고 볼 수 있다 . 그러나 , 전단력의 경우에 균등단면의 지점

부 높이는 1.7 m 로써 변단면의 지점 높이 2.2 m 보다 작기

때문에 전단응력의 감소가 기대된다 . 예을 들면 , 그림 17 는

0.98 MN 작용시 x=L/4 지점에서 발생되는 균등단면과 변단면

의 발생 전단응력을 비교한 것이다 . 변단면의 높이는 균등단

면 보다 5.5% 크지만 , 최대전단응력은 균등단면의 10% 작다 .

또한 , 변단면의 경우에 하연의 수평 전단응력 τ

xy

및 연직 응력 f

y

이 영이 아니다 . ^왜냐하면 , ^{주응력방향이 하연의 기}

울기와 같기 때문이다 . 그림 18 은 지간 중앙부에서 균등단면

그림 12. 긴장력 도입시 변단면 보 시험체의 추정 곡률

그림 13. 긴장력 도입시 변단면보의 솟음량

그림 14. 변단면 보 시험체 중앙단면의 추정 모멘트 - 곡률도

그림 15. 지간 중앙부 하중 - 처짐도 비교

그림 16. 지간 중앙부 하연의 주철근위치의 하중-변형률도

과 변단면의 처짐비교를 나타낸다 . 변단면 보의 자중이 균등 단면보의 자중보다 9% ^무겁지만 , ^{변단면의 처짐이 균등단면}

보다 평균 4.2% 작다 . 이러한 차이는 변단면의 전단변형 효

과 때문인 것으로 판단된다 . 그림 19 는 0.98 MN 하중 재

하시 변단면과 균등단면의 텐던에 발생되는 응력를 나타낸 다 . 텐던의 최대긴장력은 단부에서는 차이가 있으나 지간 중 앙부에서는 동일하였다 .

6. 요약과 결론

변단면 PSC 거더의 거동해석을 위한 시스템인식 기반 알

고리즘이 소개되었다 . 제안기법은 인접한 두개의 층상화 단 면의 곡률과 도심변형률을 인식변수로 설정하고 , 각 단면에 작용하는 단면력들과 힘의 평형을 이루게 하는 인식변수를

찾는 최적화 기법이다 . 40 m PSC 시험체의 정재하 실험결

과와 제안기법을 이용한 해석결과가 비교 분석되었으며 , 변 단면과 균등단면의 구조거동이 비교 분석되었다 .

상기 연구결과로부터 적어도 다음 네가지 결론에 이른다 .

첫째 , 제안기법을 이용한 해석결과와 정재하 실험결과는 좋 은 상관관계를 보여주었다 . PSC 거동예측에 영향을 주는 인 자들은 매우 많지만 , 텐던에 도입된 유효 긴장응력 및 콘크 리트의 탄성계수가 가장 큰 영향을 주었다 . 본 연구에서는 텐던의 긴장응력 및 콘크리트의 탄성계수가 계측되지 못하 여 , 계측된 처짐과 수치모델의 추정된 처짐이 동일하게 되는 도입 긴장응력 및 콘크리트의 탄성계수를 역으로 추정하여 설정하였다 . 둘째 , 제안 기법은 텐던의 곡선배치 및 변단면 을 용이하게 모델링 할 수 있다 . 기존의 층상화 단면해석 기법은 전단응력의 평형을 고려할 경우에 곡선 배치된 텐던 의 위치가 인접한 두개의 대상 단면층에 동시에 발생하지 않는 경우가 있다 . 이때 , 기존의 방법을 이용하여 전단력의 평형을 맞추기 위해서는 매쉬의 수를 증가시켜야하고 이에 따른 계산량은 기하급수적으로 늘어난다 . 그러나 제안기법에 서는 전단응력을 인접한 두 개의 단면에서 산출한 수직변형 률의 변화율을 적분함으로써 전단응력을 산정하기 때문에 텐 던의 곡선배치 및 단면 변화에 따른 제약사항이 없어서 매 우 효율적이다 . 셋째 , 균등단면와 변단면의 구조성능 비교결 과를 살펴보면 , 두 단면의 휨강성은 동일하지만 , 전단강성의 경우에는 변단면이 다소 유리하다 . 사용성 측면에서도 변단 면의 자중이 균등단면보다 9% 크지만 처짐은 오히려 균등

단면 보다 변단면이 4.2% 작게 나오는데 , 이는 전단변형의

영향인 것으로 판단된다 . ^특히 , ^{변단면의 경우에는 하연플랜}

지의 수평전단응력과 수직응력이 영이 아닌데 , 이는 주응력 방향이 하연플랜지의 축방향과 일치하기 때문이다 . 넷째 , 변 단면 설계시 기존의 균등단면 해석이론을 적용할 수 있다 .

동일 재하조건에서 변단면의 처짐과 균등단면의 처짐 차이 가 대략 4% 내외이기 때문에 실무에서는 변단면 설계시 균 등단면 해석이론의 적용에 무리가 없는 것으로 판단된다 .

감사의 글

이 연구결과물은 2010 년도 경남대학교 학술연구장려금 지 원에 의한 것임 .

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( 접수일 : 2010.8.6/ 심사일 : 2010.9.2/ 심사완료일 : 2010.9.27)