제2장 Shapley Value

(1)

제2장 Shapley Value

7. Shapley Vale의 응용2

(2)

안양천 물순환 건전화 비용분담 모형



안양천은 13개 지자체가 관련되어 있음.



다자가 참여하는 공조체제에 있어서 비용분담은 여러 가지 방법 에 의하여 이루어 질 수 있음.(전 예에서는 보상을 어떻게 나누는 가 고려했음)



발생 편익 비중별(수혜자부담원칙), 발생 비용 비중별(오염자부 담원칙: Polluters-Pay) 등.



최근 비협조적 게임이론을 이용한 발생 편익 추정 (김종원 등, 2005). 협조체제하의 편익도 추정.



일반적으로 협조체제하의 편익이 비협조체제하의 편익보다 큶.

(3)

재원조달 기본원칙



수익자 부담, 원인자(오염자) 부담, 공동 부담 등.



수익자 부담원칙 이나 원인자 부담원칙은 수행하기에 어려운 점이 많음.



유역전체적인 수질관리를 위해서는 유역전체를 고려하여 하 수종말처리장의 설치, 회귀수 방류지점 등을 종합적으로 고려 한 수질정책을 수립하고 재원을 개별 지방자치단체에게 분담 시켜야 함 (p57, 김종원, 2005)

(4)

Joint Objective Function을 이용한 협조체 제하의 편익(김종원 외, 2005)



김종원 외(2005)는 단순히 각 지자체의 편익을 합산하여 총편익 을 극대화하는 조건을 제시.



내쉬의 교섭모형(Nash Bargaining Model)을 시도한 듯 하나, 위 협점(Threat point) 등에 대한 언급 등이 없으므로 불완전하게 구 성된 것으로 판단됨.



또한 이러한 비용분담의 형평성 또는 실현가능성은 언급하지 못 하는 단점.



따라서 공조체제하에서 각 지자체들의 교섭력(Bargaining Power) 를 고려한 분담체계의 설계가 중요함.

(5)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계



협약에 의하여 공조체계가 구속력이 있는 경우에는 협조적게 임의 解인 Shapley Value를 이용하여 비용분담체계를 설계할 수 있음.



국내에서는 Song et al(2001), Song and Nagaki(2007),

Song(2007), Song et al (2010)에서 황사 및 월경성오염물질 에 의한 비용저감을 위한 비용분담체계에 대한 연구가 이루어 져 있음.



Shapley Value는 각 가능한 공조체제(coalition)에 있어서 각 참여자의 한계가치(marginal worth)를 가중평균한 값으로 나 타남.

(6)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (예 계속)

*수계(水系, watershed) 와 행정구역이 다름.

(7)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (예 계속)

 따라서 수계별로 4개 지자체 그룹 으로 묶음.

 U(up stream)

 UM(up-middle stream)

 M(middle stream)

 D(down dtream)

(8)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (예 계속)

 가능한 공조체제(coalitions):

 {U}, {UM}, {M}, {D}: 독자적으로 사업시행

 {U,UM}, {U,M}, {U,D}, {UM,M}, {UM, D}, {M,D}: 두 개 지자체만 참가

 {U, UM, M}, {U, UM, D},{UM, M, D}, {U,M,D} : 세 개 지자체 참가.

 {U,UM,M,D}: 4개 지자체 모두 참가

 총 15개 가능한 사업추진 방법(15개 공조체제)

(9)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계(예)



소요 비용을 개념적으로 나타내면 다음과 같음.



상위가 개선되면 하위는 자동으로 개선되는 것으로 가정

Down Stream 을 개선: 6백억원 Middle Stream 을 개선: 4백억원

Up-Middle Stream 을 개선:3백억원 Up Stream 을 개선:1백억원

(10)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (계 속)



특성함수(Characteristic function): 각 시나리오별 비용발생액을 나타내는 함수, v(·)로 나타냄.



그림에서와 같이 특성함수를 가정

 v({U})=1, v({UM})=3, v({M})=4, v({D})=6.



이는 다음과 같이 해석될 수 있음. U 혼자서 사업을 할 경우 비용 은 1백억원, UM 혼자서는 3백억원, M 혼자서 할 경우는 4백억원, D 혼자서는 6백억원이 소요됨. 만일 UM과 M을 모두 만족시키려 면 6백억원 소요.

Down Stream 을 개선: 6백억원 Middle Stream 을 개선: 4백억원 Up-Middle Stream 을 개선:3백억원 Up Stream 을 개선:1백억원

(11)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (계 속)



두 지자체가 공조하는 경우.

 v{U,UM}=3, v{U,M}=4, v{U,D}=6, v{UM,M}=6, v{UM, D}=6, v{M,D}=6:



U와 UM이 같이하는 경우는 3백억원, U와 M이 하는 경우는 4백 억원, U와 D가 하는 경우는 6백억원, UM과 M이 하는 경우는 6 백억원, UM과 D가 하는 경우는 6백억원, M과 D가 하는 경우는 6백억원이 소요됨.



공조시와 비공조시 비용 비교: v({U})=1, v({UM})=3, v({M})=4,

v({D})=6 이므로, v{U,UM}=3 < v({U})+ v({UM})=1+3=4. 즉,

공조하면 각기 시행했을 때 보다 비용이 1 만큼 적게 든다.

(12)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (계 속)



3개 지자체가 공조하는 경우.

 v{U, UM, M}=4, v{U, UM, D}=6, v{UM, M, D}=6, v{U,M,D}=6



U와 UM, M이 같이하는 경우는 4백억원, U와 UM, D가 하는 경 우는 6백억원, UM과 M, D가 하는 경우는 6백억원, U와 M, D가 하는 경우는 6백억원



4개 지자체가 공조: v {U, UM, M, D}=6

(13)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (계 속)

 i 의 한계기여(marginal worth of i)를 어떻게 계산?

 v{K}-v{K/i}로 계산 가능함.



즉, v{K}는 i 가 공조에 참여한 K라는 공조체제가 가동시 소요되 는 비용. v{K/i}는 i 가 공조에서 빠질 때 소요되는 비용. 따라서 두 특성함수의 차이가 바로 공조시 i 의 공조에 대한 기여 임.



예) 공조체제 {U, UM, D}에서 UM의 한계기여는

v{U, UM, D} - v({U,D})= 6 – 6 = 0.

즉, UM이 참가하더라도, D가 이미 참가하고 있으므로 추가적으 로 발생하는 비용은 없음.

(14)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (계 속)



정리하면 다음 표와 같음.

사업주 체/범 위

사업 조합(가능한 공조 체제) ^Shapley

Value

|K|=1 공조확률

=1/4

|K|=2

공조확률=1/12

|K|=3

공조확률=1/12

|K|=4 공조확률=1/4

U v{U}-v{} =1- 0=1

v{U,UM}-v{UM}=3-3=0 v{U,M}-v{M}=4-4=0 v{U,D}-v{D}=6-6=0

v{U,UM,M}-v{UM,M}=6-6=0 v{U,UM,D}-v{UM,D}=6-6=0 v{U,M,D}-v{M,D}=6-6=0

v{U,UM,M,D}-v{UM,M,D}

=6-6=0

=1/4*1+1/12*0+

1/12*0+1/4*0=

0.25

UM v{UM}-v{} = 4-0=3

v{U,UM}-v{U}=3-1=2 v{UM,M}-v{M}=6-4=2 v{UM,D}-v{D}= 6-6=0

v{UM,U,M}-v{U,M}=6-4=2 v{UM,U,D}-v{U,D}=6-6=0 v{UM,M,D}-v{M,D}=6-6=0

v{U,UM,M,D}-v{U,M,D}

=6-6=0

=3*1/4+4*1/12+

2*1/12+0*1/4=

1.25

M v{M}-v{}= 4- 0=4

v{M,U}-v{U}=4-1=3 v{M,UM}-v{UM}=6-3=3 v{M,D}-v{D}=6-6=0

v{M,U,UM}-v{U,UM}=6-3=3 v{M,U,D}-v{U,D}=6-6=0 v{M,UM,D}-v{UM,D}=6-6=0

v{U,UM,M,D}-v{U,UM,D}

=6-6=0

=4*1/4+6*1/12+

3*1/12+0*1/4=

1.75

D v{D}-v{}= 6- 0=6

v{D,U}-v{U}=6-1=5 v{D,UM}-v{UM}=6-3=3

v{D,U,UM}-v{U,UM}=6-3=3 v{D,U,M}-v{U,M}=6-4=2

v{U,UM,M,D}-v{U,UM,M}

=6-6=0

=6*1/4+10*1/12 +5*1/12+0*1/4=

v({U})=1, v({UM})=3, v({M})=4, v({D})=6.

v{U,UM}=3, v{U,M}=4, v{U,D}=6, v{UM,M}=6, v{UM, D}=6, v{M,D}=6:

v{U, UM, M}=4, v{U, UM, D}=6, v{UM, M, D}=6, v{U,M,D}=6

v {U, UM, M, D}=6

(15)

Shapley Value를 이용한 비용분담체계 (계 속)



위의 결과를 독립적 시행, 비용발생비율, Shapley Value에 의한 분 담액으로 비교하면 다음 표와 같음.



즉, 각 지자체의 교섭력을 고려하면, U와 M은 더 적게, UM과 D는 더 많이 부담하는 것이 공평함.

사업주체 독립적 으로 시행

비용 발생비율로 분 담액 결정하여 시행

Shapley Value로 분 담액 결정하여 시행

U

¹ =6*1/14=0.43 0.25

UM

³ =6*3/14=1.29 1.25

M

⁴ =6*4/14=1.71 1.75

D

제2장 Shapley Value