=− () dyEIPlxdx =−+ ()2 dyxEIPlxCdx

Chungbuk National University

l

2 1

1 2 1

1

( )

EI d y P l x

dx = −

2

1 1

1 1 1

1

( )

2

dy x

EI P lx C

dx = − +

2 3

1 1

1 1

(

)

2 6

lx x

EI y = P − + C x + C

l

2 0

0 2 0

0

( )

EI d y P l x

dx = −

2

0 0

0 0 3

0

( )

2

dy x

EI P lx C

dx = − +

2 3

0 0

0 0

(

)

2 6

lx x

EI y = P − + C x + C

(1)

(2)

(3)

(4)

(6) (5) (2) 다단보(stepped bar)

그림 7-15 2단보의 해법 (a)

x₀ = l₀, x₁= l₀인 C단면에는 다음관계가 성립한다.

0 1

0 1

dy dy dx = dx

y₀ = y₁: ^{2 1}

1 0 0

0

( 1 )( 1)

2 C ll l I

= − I −

3 2 1

2 0 0

0

1 1

( )( 1)

3 2

C l ll I

= − I −

)]

1 2 )(

( 1 2

[ 1

0 2 1 0 0

2 1 1

1 1

1

= − + − −

I l I ll

x lx

dx P EI dy l

)]

1 2 )(

( 3 )

1 2 )(

( 1 6

1 [ 2

0 1 2 0 3

0 1

0 2 1 0 0

3 1 2

1 1

1 = − + − − + − −

I I ll x l

I l I ll

lx x P y

EI

3 )]

( 1 ) 1 3 (

[ )

(

0 1 3

1

1

l l ll l

I I l

EI

y

= P + − − +

∴

[해법 1] 중첩법 (그림 (b))

단면 B의 힘대신 단면 C에 P와 M_C = Pl₁ 이 작용 한다고 생각할 수 있다. BC부분은 C를 고정단으로 하는 외팔보라 생각하되, AC부분에서 기울어진 C 단면을 고정단으로 한 외팔보와 이것을 더해주면 될 것이다. θ_C, y_C는 다음과 같다.

점 B의 처짐은 식 (8)과 같다.

3 )]

3 (

[

2 0 0 0 1 3

1 1

l l l l

I l I l

EI

P + + +

=

0 2 0 1 0

3 0 0

0 1 0

2 0

2 ) ( , 3

) (

2 EI

l Pl EI

y Pl EI

l Pl EI

Pl

C

C

= + = +

∴ θ

1 3 1 1

0 0 1 0

2 0 0

2 0 1 0

3 0

1

) 3

( 2 2

3 EI

l Pl EI

l Pl EI

Pl EI

l Pl EI

y Pl l

y

y

=

+

⋅ +

= + + + +

∴ θ

그림 7-15 (b) 2단보의 해법

[해법 2] 면적모멘트법 (그림 (c))

그림 7-15(c)는 BMD/EI_z를 그린 것으로, 전체를 I₁의 균일단면보라고 생 각하면 ㅿA₁B₁A´가 되지만, l₀구간의 I₀부분이 I₁/I₀배만큼씩 달라져서 선도 는 실선으로 된 B₁C´C˝A˝A₁이 된다. C단면은 l₁구간에서 Pl₁/EI₁, l₀구간에 서는 다음 식이 된다.

) (

0 1 1 1 0

1

I I EI

Pl EI Pl =

)]

( 2 [

) 2

2 ( ₀ ^{0 1}

2 1 1 1 0

0 0

1 1

1

1 l l l

I l I

EI P l

EI Pl EI

Pl l

EI Pl

B

= ⋅ + + = + +

θ

2 ) (

3 ) ( 2

2 3

2 2

0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1

1 1

1 l

l EI l

l Pl l l

EI Pl l

l EI

y

= Pl ⋅ ⋅ + ⋅ + + +

3 )]

( 1

[ 3 _{0 1} ² _{1 0 0} ²

0 1 3

1 1

l l

l l

I l I l

EI

P + + +

=

∴

그림 7-15 (c) 2단보의 해법

[예제 7-22] 그림 7-22(a)에서 자유단의 처짐을 계산하라.

풀이

그림 7-22(a) z

z B

C

EI

Pl EI

y Pl

y 3 2

3 3

1 = = +

( 점 C의 P 대신 점 B에다 P와 M_B=P

_l

z z

B

C

EI

l Pl Pl Pl

l EI y

3 2

2

2

2

) 3 ( 2

1 + =

=

⋅

= θ

z

C EI

y Pl

2

3

3 =

z z

z z

z C

C C

C

EI

Pl EI

Pl EI

Pl EI

Pl EI

y Pl y

y

y 6

17 2

2 3 2

3

3 3

3 3

3 3

2

1

+ + = + + + =

=

∴

별법 면적모멘트법 : AB부분의 단면 :

BC부분의 임의 단면 :

12 dh 3

I

=

)

( 이므로

l d x l d

I x

I

=

=

z x

x

x

EI

Pl x

l EI

Px EI

Px EI

M = = ⋅ =

0 2

0 0

0 2

5 ) 2

( 2

EI Pl l

EI Pl EI

l Pl EI

Pl

C

= ⋅ + + =

θ

0 3

0

0

6

) 17 3 ( 2 ) 2

2

( EI

l Pl l l

EI l Pl EI l

y

= Pl ⋅ + ⋅ + =

∴

그림 7-22(b)

7-7 카스틸리아노의 정리 및 변형에너지

(1) 크라페이론 정리

그림 7-16

물체 S가 P₁, P₂, …, P_n의 정하중을 받을 때 그 반력을 X₁, X₂,…, X_n, 또 각 하중방향의 변위를

δ

, δ

, …, δ

(7-30)

이것을 크라페이론(Clapayron)정리라 한다.

 크라페이론(Clapayron)정리

(1) 변위

δ는 모든 하중에 의해서 생긴 것이다.

(2) 힘의 작용순서에 관계없이 최종 상태가 되면 내부에 저장된 에너지값은 같다.

(3) 반력은 변위가 없으므로 일(work)을 하지 못한다.

P(일반력) : 인장(압축)력(P), 비틀림모멘트(T), 굽힘모멘트(M), 전단력(F) 등을 포괄

δ(일반변위) : 신량(δ), 비틀림각(Ф), 굽힘보의 기울기(θ), 전단변위(γ)

그림 9-18과 같은 보에 P와 M_B가 작용할 때 P와

δ, M

θ

그림 7-17

(2) 카스틸리아노(Castigliano)의 정리

그림 7-16과 같이 P₁, P₂, …, P_n가 작용할 때 U가 저장되는데, 이 때 임의 외력 P_i를 미소하중 dP_i 증가시켰을 때 내부에너지를

U´이라 하면 내부에너지의 증가는 가 된다.

증가율

(1)

dP_i를 먼저 작용시킨 다음 P₁, P₂, …, P_n을 작용시키면

(2) 따라서, 식 (1) = 식 (2)에서 식 (7-31)이 된다.

(3)

(1/2dP_i·dδ_i는 미소량으로 무시, dP_i·δ_i의 일을 함)

(7-31) 이 식은 탄성체 내에 저장된 에너지를 어떤 힘으로 미분한 값은 그 힘 이 있는 곳에서 힘의 방향으로의 변위가 된다는 의미로 카스틸리아노의 제 2 정리라고 한다.

다음 식 (7-32)는 카스틸리아노의 제 1 정리라 한다.

(7-32) (3) 가상하중법 (假想荷重法)

하중이 작용하지 않는 어떤 점의 변위를 구하려 할 때 변위에 대응 하는 가상적인 하중을 구조물에 작용시켜 카스틸리아노의 제 2 정 리를 사용하면 실제하중과 가상하중의 항으로 표시된다. 최종식에 가상하중을 0으로 놓으면 실제하중으로 인한 변위가 구해진다.

이 방법을 가상하중법(virtual load method)라 한다.

선형거동만 적용

비선형거동

도 적용가능

(4) 단위하중법 (單位荷重法)

하중 P_i에 대응하는 처짐

δ

단위하중 (P=1)

(7-33) 이 방법을 단위하중법(unit load method)이라 하며 선형탄성구조물의 일반적인 표현으로 U와 δ를 표현하면 다음과 같다.

(N : 축하중, M : 굽힘모멘트, F : 전단력, T : 비틀림모멘트, f_s: 형상계수 )

하중 P

의 단위식에 의해 생기는

굽힘모멘트 M의 값

[예제 7-23] 그림 23과 같은 외팔보 자유단에 집중하중 P와 모멘트 M₀가 동시에 작용할 때 자유단의 경사각 및 처짐을 에너지법으로 구하라.

풀이

그림 23

전단력의 영향이 적어 무시하고 굽힘만 생각해 변형에너지를 구한다.

θ_A는 M₀로, y_A는 P로 각각 미분한다.

[예제 7-24] 외팔보 자유단의 경사각을 구하라 (자유단에 P만이 작용하는 그림 24의 경우).

그림 24

경사각에 대응하는 모멘트가 자유단 에는 없으므로 식 (7-31)을 적용할 수 없다.

(1) 단위하중법

: 자유단에 1의 모멘트를 걸어준다.

풀이

(단위하중에 대한 굽힘모멘트)