Lecture 18 Lecture 18 Comb Actuator Design : Electrostatic Comb Actuator Design : Electrostatic Forces and Transfer Function Forces and Transfer Function

(1)

Lecture 18 Lecture 18

Comb Actuator Design : Electrostatic Comb Actuator Design : Electrostatic Forces and Transfer Function

Forces and Transfer Function

• Comb Actuator

• Electrostatic Energy and Coenergy

• Generalized Capacitance

• Current between Terminals

• Electrostatic Forces

• Force Harmonic Motion

• Resonant Frequency

마이크로시스템 기술 개론 MEMS_Lect18_1

• Quality Factor

• Sensing Current

• Static Displacement

• Transfer Function

• Trans-conductance

anchor 2

spring

Comb Actuator Comb Actuator

anchor 1 fixed comb anchor 3

movable comb

- anchor 1과 anchor 2에 전압을 인가하고 anchor 3을 접지.

- 마주보는 comb사이에 인가되는 전압에 의해 comb 인력이 발생.

- 이 때 spring이 변형하고 복원력이 작용.

- 전류를 측정하면 속도를 측정할 수 있음.

(2)

- 캐패시턴스가 보전하는 에너지는 정전에너지 W_e이며 전하의 축적에 의해 생성된다.

We 1 2

Q C

=

2

Electrostatic energy W

_ee

and Coenergy W and Coenergy W

_ee

’’

- 이 식은 을 적분해서 얻어진다.

- 또한 Coenergy 에 의해서 구할 수 있다.

2 C dW e = Vdq

W e 1 2 C V

²

′ =

전기적으로 선형인 시스템 전기적으로 비선형인 시스템

-

즉, 두 도전 물체 사이에 전압 V를 인가하고 전하 Q가 축적되면 두 물체 간의

C Q

= V

Generalized Capacitance Generalized Capacitance

, Q

정전용량은C이다.

- 정전용량은 유전상수와 두 도전 물체 사이의 거리 등 형상에 의해 정해지는 값이다. 또한, 전압과는 무관하다.

-

C = ( ) C x Q x v ( , ) = C x V ( )

-

We q

C x dq 1 2

Q

0

C

Q 2

= ∫ _{( )} =

We C x dv 1 2 CV

0

V 2

′ = ∫ ^{( ) v} ⋅ =

(3)

등 전위 물체

+ V

i q ,

Current between Terminals Current between Terminals

물체를 둘러싸는 보자기를 통해 들어오는 전류는 단자를 통해 흘러 들어가는 전류와 같다.

그런데, 전하 보존의 법칙에 따라 보자기를 통해서 나가는 전류는 보자기안의

물체를 둘러싸는 보자기

_ V

등 전위 물체

,

전하의 시간적인 변화율과 같아야 한다.

∇⋅ + J ∂ρ =

∂ t 0 ∫ S ⋅ + dt = 0

n dq d J r r

따라서,

여기서, 전하는 공간과 전압의 함수이다.

i dq

dt d

= = − ∫

s

^J ⋅ ⁿ q = ( q x v )

전류는Chain rule 에 따라 구할 수 있다.

만약 이면

q = ( , ) q x v

i dq dt

q v

v t

q x

x

= = ∂ + t

∂

∂ q = ( )v C x

제1항 : 회로이론에서 배운 캐패시터의 전류, 제2항 : 속도전류

i C x dv dt

dC x dx

dx

= ( ) + ⋅ ( ) ⋅ dt

v

(4)

-

f We x

1 2

C(x) x v

e

= ∂ ′ =

2

∂

Electrostatic Forces Electrostatic Forces

이 때 는 일정.

- 따라서, 정전용량의 함수 꼴에 따라서 정전력이 결정된다.

- 마주보는 평판의 경우 :

v

,

2

)

( x

A x

C x x A

C ε ₌ ₋ ε

∂

= ∂

- Comb의 경우 :

g h x

C g

x hx

C ε 2 ε

, 2 )

( =

∂

× ∂

=

- 외력 , 복원력 , 점성력 이 가해지면 물체에 가해지는 힘을 알 수 있다.

F_{ex t}

− kx −cx&

F − kx − = cx & mx &&

Forced Harmonic Motion Forced Harmonic Motion

-

- 만약 이면, 복소함수꼴로 풀 수 있다.

즉,

F

_ext

kx cx = mx mx && + cx & + kx = F

_ext

F

_ext

= F cos

₀

ω t F

_ext

= R e F e (

₀ ^{j t}^ω

)

- 또한 로 둘 수 있다.

: 복소수

x = R e xe ( $

^{j t}^ω

)

$x

(5)

- m ω

²

x $ + j cx ω $ + kx $ = F

₀

$ ( )

x F

k m j c

0

=

2

ω + ω

Amplitude Amplitude

( k − m ω ) + j c ω

{ }

$( )

( )

x F

k m c

0

2 2 2 2 1

2

ω = ω ω

− +

여기서,

ω

₀²

^k γ m

c 2m

= , =

/ /

F m F m

{ }

$( ) /

( )

/

x F m F m ( )

ω D

ω ω γ ω ω

=

−

⁰

+ =

0

2 2 2 2 2 1

2 0

4

여기서,

^{D( )} ^ω ⁼ { ⁽ ^ω

⁰²

⁻ ^ω

²

⁾

²

⁺ ⁴ ^{γ ω}

² ²

}

¹²

{ }

D( ) ( )

( ) ( )

ω ω ω γ ω ω

ω ω γ ω ω γ

= + − + +

= − + + − − +

4

0

2 2 2

0 4 1

2

2 2 2 2 4 2 2 2 1

2

2 4

2 2

Resonant Frequency Resonant Frequency

{ ⁽ ^ω ^ω ^γ ⁾ ^ω ⁽ ^ω ^γ ⁾ }

= −

₀

+ 2 +

₀

− −

₀

+ 2 ω = ( ω

₀²

− 2 γ

²

)

¹²

이때 가 최소, Amplitude가 최대.

: Resonant frequency

D( ) ω

/

F m F

ω

_r

$( ) /

( )

x max F m F

c _d

ω

⁼

γ ω

⁰₋

γ

⁼

ω

0

2 2 1

2 0

2

여기서,

γ = c ω = ω − γ

m

^d

2

2 0

2 2

,

(6)

- Weak damping

γ << ω

₀

$ /

( )

max max

x x F m F

= = m

− ≅

0 0

2 2 1

2 0

2

γ ω γ

2

γ ω

0

-

Sharpness of the Resonance Sharpness of the Resonance

2

γ 1

2 3dB

ω ω ω ω ω ω ω ω ω

γω γω

0

2 2

0 0 0 0

0

− = + − ≅ 2 −

≅

( )( ) ( )

{ } { }

{ } ( )

$( ) /

( )

/

( ) ( )

/ _max

x F m F m

F m x

ω ω ω γ ω ω ω ω γ ω

γ

=

− + =

− +

= = ⋅

0

2 2 2 2 2 1

2

0

0 2

0

2 2

0 2 1

2

0

1 1

4 2 4

ω

₀

마이크로시스템 기술 개론 MEMS_Lect18_11

- When

- 즉, 가 공진시의 에너지가 이 되는 점들의 폭이 된다.

{

⁽ ⁾

} (

⁽ ⁾

)

ω ω

₀ ₀−

ω

²+

γ

² ¹²

ω

₀−

ω

² +

γ

² ¹² 2

ω ω

= ₀±

γ

² = 1 ² , then x 2x_max

2γ 1

2

for weak damping

Q ≡ ω

^d

γ

2

3dB

Quality Factor Quality Factor

따라서

γ

Q

≅

= ≅

ω γ

ω γ ω

0

2 Δ 2

2

γ

ω

₀

Q Δ ω Δ

ω

₀ ₀

= f ≅ 1

f Q

(7)

Electrostatic Comb Drive Electrostatic Comb Drive

- 양쪽의 Comb으로 Push-pull 구동을 하거나

- 한쪽의 Comb으로 구동을, 다른 쪽 Comb으로 감지를 할 수 있다.

(Ref.[8])

- 감지부에 감지 전류 i_s가 흐른다.

... (1)

i V C x

= ⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

∂ ∂

Sensing Current Sensing Current

i C x dv

dt V dC x dx

dx

= ( ) + ( ) ⋅ dt

-

여기서 v=V_s(직류) 이면

i V

x t

s s

⎝⎜ ∂ ⎠⎟⎝⎜ ∂ ⎠⎟

i V ⎛ ⎜ dC x ( ) ⎞ ⎟ dx 감지부 Comb

V_s

comb의 경우, 에 무관.

i V

dx dt

s

=

s

⎝⎜ ⎠⎟

dC x dx

h

g N x

( ) = ε

₀

,

(8)

Motion Equation

2

2 1

D e

x v kx C

x c x m

f kx x c x m

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂ + +

= + +

&

&&

&

&&

Static Displacement Static Displacement

여기서, 이면

2 ⎝ ∂ x ⎠

amplitude drive

a.c.

: bias, d.c.

: , cos

output signal Small : point, Stable : ,

d P

d P D

a s

v V

t v

V v

x X

x X x

ω +

= +

=

) cos cos

2 2 (

) 1

( V

²

V v t v

² ²

t

x x C

X k x c x

m

_a _a _s _a

⎟

_P

+

_P _d

ω +

_d

ω

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂ + + & +

&&

d

P

v

V >> 1

2

( 1 2 cos ) v t

C V

_d

P

+ ω

⎟ ⎞

⎜ ⎛ ∂

≈

여기서, 이면

따라서,

d

P

v

V >> ( 1 2 cos )

2 t

V V

x ⎟

^P

+

_P

ω

⎜ ⎠

≈ ⎝ ∂

(2) 2

1 2 1

2 2

P s

x V C X k

x V kX C

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

[

a ^j ^t

]

a

t j d P d

P a

a a

e X x

e v x V t C

v x V kx C

x c x m

Re ˆ

Re cos

ω

=

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂ + & +

&&

Small Signal Output Small Signal Output

d P

a

V v

x X C k c j

m ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂ + +

− ) ˆ

( ω

²

ω

{ }

2 2 2

2

2 ( ) ( )

) (

ˆ

c m

k

c j m k v x V C

c j m k

v x V C X

d P d

P

a

ω ω

ω ω ω

ω

− +

−

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ + =

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

=

{

²

}

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ V v x C

d

P

{ }

{ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ } ^cos( ⁾

sin cos

) ) (

( ) (

12 2 2

2 2

2

2 2

ϕ ω ω

ω

ω ω ω ω ω

ω + −

−

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

=

+ + −

− ⎝ ∂ ⎠

=

t c

m k

v x V C

t c t m

c k m

k x x

d P a

여기서,

tan

2

ω ϕ ω

m k

c

= −

(9)

공진시 , weak damping 시

{

⁽ ²⁾² ⁽ ⁾²

}

¹²

) (

c m

k

x V C

v

x ^P

d a

ω ω ω

+

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

=

ω

o

ω

= ^Q⁼²

( )

^c

^ω

^o

Transfer Function Transfer Function

따라서, 공진시의 변위를 크게 하려면

를 크게하고

o ²

( )

^c₂_m

(4) )

(

k x Q V C

Q m

x V C

c x V C

v

x ^P

o o

P

o P

d a

o

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ∂

∂

∂ =

∂

= ω ω ω

ω

hN Q V C

^o

⎟⎟ ⎞

⎜⎜ ⎛

∂ ε

를 크게하고

를 작게 해야 한다.

,

, Q

g V

_P

x ⎜⎜ ⎝ =

^o

⎟⎟ ⎠

∂

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

∝ ⎛

∝

3

12 L

W N Eh L N EI

k

_S _S

{

⁽ ω ²⁾² ⁽ω ⁾²

}

¹²^sin(^ω ^ϕ⁾

ω + −

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂ =

∂ t

c m

k

v x V C

t

x ^P ^d

Trans

Trans--conductance conductance

그런데

k Q v x V C

Q m

v x V C

c v x V C

t

x ^P ^d ^o

o o

o d P

o o d P

o

ω ω ω

ω ω

ω

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ =

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

t x x V C I

_s _s

o

o ω

ω

따라서

2

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

x C k

Q v V V

_s _P _d

ω

_o

(5)

2

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

x C k V Q v V

I

P s o d

s

ω

(10)

(1) J.R.Melcher, Electromechanical Dynamics Part I, 1968.

(2) 김용권 저, 전기기계역학 강의 노트, 1997.

(3) W.S.Trimmer, Micromechanics and MEMS (Class and Seminal Papers to 1990) Section 3 IEEE Press 1997

References References

1990), Section 3, IEEE Press, 1997.

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(5) W.C.Tang et al., Proc. Transducers’89, Vol.2, pp.328-331, 1990.

(6) W.C.Tang et al., Technical Digest IEEE Solid-State Sensor and Actuator Workshop, pp.23-27, 1990.

(7) C.J.Kim et al., Technical Digest IEEE Solid-State Sensor and Actuator Workshop, pp.48-51, 1990.

(8) W C Tang et al Sensors and Actuators Vol 20 pp 25 32 1989

(8) W.C.Tang et al., Sensors and Actuators, Vol.20, pp.25-32, 1989.

(9) Grant R. Fowles, Analytical Mechanics, Saunders College Publishing, Philadelphia, 1977.

(10) Ronald A. Walsh, Electromechanical Design Handbook, McGraw-Hill, Inc., New York, 1995.

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