확률밀도 가중 평균 도함수 방법을 이용한 국가
보건지출 규모 추정
1)송호신
2)․ 황지수
3)요약
본 논문에서는 국가의 보건지출 규모에 영향을 주는 요인에 주목하고, 해당 요인들이 보건지출에 주는 효과를 Powell 외 (1989)가 제안한 확률밀도 가중 평균 도함수 방법(density weighted average derivative method)을 이용하여 추정한다. 173개국의 자료를 이용하여 단일지수 모형을 추정한 결과, 일인당 GDP와 65세 이상 인구 비중이 국가수준의 보건지출 규모에 유의한 영향을 주는 것으로 나타 났다. 추정된 단일지수 수준에 따라 국가수준의 의료비 지출이 얼마나 증가할 것인가를 살펴본 결과, 한국은 향후 상당 기간 보건지출이 증가할 것으로 예상된다. 각 설명변수의 보건지출 규모에 대한 평균 한계효과 추정 방법을 제안하고 추정한 결과, 65세 이상 인구비중의 평균 한계효과가 일인당 GDP의 평균 한계효과보다 큰 것으로 나타났다. 주요용어 : 고령화, 국가 보건지출 규모, 단일지수 모형, 평균 도함수 추정 방법, 준모수적 추정
1. 서론
일반적으로 국가수준의 보건지출은 해당 국가의 경제수준, 인구구조 그리고 의료 기술의 발전 등에 의하여 결정된다. 경제적 요인과 인구적인 요인이 국가의 보건지출을 결정하는 주요 요인이라는 데에는 문헌상 대체적으로 동의가 이루어져 왔다.4) 기존 연구들은 대부분 국가의 보건지출이 경제적 및 인구적 요인들을 반영하는 변수들의 선형 함수라는 가정을 해오고 있다. Hansen와 King(1996), Jeong와 Lee(1995), Baltagi와 Moscone(2010), Lago-Peñas․Cantarero-Prieto와 Blázquez-Fernández(2013) 그리고 Hartwig와 Sturm(2014)이 모두 보건지출의 조건부 기대함수가 설명변수들의 선형 함수 라고 가정하고 분석하였다. 특히, 이들은 OECD 국가들의 일인당 의료비 지출 결정 요인을 분석하였다. 이들의 분석에서 공통적으로 많이 이용되는 설명변수는 일인당 GDP, 65세 이상의 비중, 공공의료비 지출 등이다. 한편, 홍석철(2014)은 선형모형을 1) 논문에 대하여 유익하고 세심한 논평을 해주신 익명의 심사자들께 감사드린다. 본 연구는 2018년 한국조세재정연구원의 재정네트워크사업에서 저자가 수행한 연구를 발전시킨 논문이다. 저자들은 세미나에서 건설적인 의견을 주신 홍기석 교수님, 이항용 교수님, 성태윤 교수님, 류덕현 교 수님께 감사드린다. 2) 교신저자. 이화여자대학교 경제학과, 부교수. E-mail: hsong@ewha.ac.kr. 3) Cornell 대학교 경제학과, 박사과정. E-mail: jisu.hw678@gmail.com.4) 이와 관련하여 Longman(1987), OECD(1988), Scitovsky(1984), Madsen 외(2002), Yang 외 (2003) 그리고 Polder 외(2006)를 참조하라.
이용하여 국가별 자료가 아닌 한국의 미시자료를 이용하여 가구의 의료비지출, 그리고 연령별 의료비 지출을 분석하였다. Xu, Saksena 그리고 Holly(2011)은 143개 국가들로 이루어진 패널자료를 구축하여 다양한 분석을 시도하였다. 보건지출의 조건부 기대함수에 대한 구체적인 함수식(specific functional form)이 이론적으로 명확하게 알려져 있지 않았음에도 불구하고, 언급한 선행연구들은 모두 선형 모형을 이용하였다. 모형설정 오류(model specification error)의 가능성에도 불구하고, 많은 선행 연구들이 선형 모형을 선택한 이유는 주로 분석의 편의성에 있는 것으로 판단된다. 본 연구에서는 보건지출의 조건부 기대함수에 대한 선형모형 가정 대신 보다 완화된 조건을 요구하는 준모수적인 단일지수 모형을 이용하여 국가수준의 보건지출 규모를 추정한다. 보다 완화된 조건 이라 함은 국가의 보건지출이 설명변수들의 선형결합인 단일 지수(single-index)의 함수와 교란항의 합이라는 것만 알려져 있다는 것이다. 단일지수의 함수에 대해서는 비주기적 (non-periodic)인 미분가능한 함수라는 것 이외에는 특별한 다른 제약이 없으며 단일 지수와 단일지수의 함수 형태는 순전히 데이터에 의하여 결정된다. 물론, 단일지수 모형의 추정은 비모수적인 추정(nonparametric estimation)에 비해서는 상대적으로 강한 제약 이라고 할 수 있다.5) 그러나, 비모수적 추정에서 발생하는 차원의 저주(curse of dimension) 문제가 생기지 않으며, 추정결과를 시각적으로 표현하기에도 훨씬 효과적 이라는 점에서 비모수적인 추정에 비하여 유용성이 높다.6) 방법론적인 특징을 떠나서 World Health Organization(WHO)와 World Bank의 자료를 이용하여 민간보건지출과 공공보건지출의 합인 국가수준의 전체 보건지출 규모 결정에 관한 최초의 국내 연구 라는 점에서도 본 연구는 의의를 가진다.7) 단일지수 모형을 이용한 실증분석 논문은 그리 많지 않은데, 그 이유는 선형모형에 비하여 상대적으로 추정방법이 복잡하고 추정에 시간이 많이 소요되는 등의 어려움 등 때문일 것으로 추측된다. 저자들이 알고 있는 한, Horowitz 와 Hardle(1996)만이 단일지수 모형을 평균도함수 방법을 이용하여 추정하였다.8) 저자들이 알고 있는 한 보건지출 규모와 관련된 단일지수 모형을 활용한 실증분석은 본 연구가 첫 시도이다. 본 연구에서 제안한 방식은 모수적인 추정에 비하여 많은 수의 관측치를 필요로 하기 때문에 OECD 국가뿐만 아니라 가능한 많은 비OECD 국가들을 표본에 포함시키고자 하였다. 그에 따라 173개 국가들의 자료를 구축하여, 단일지수 모형(single-index model)을 추정하고 추정결과로부터 시사점을 얻고자 한다. 먼저, 단일지수 모형을 소개 하면 다음과 같다. 5) 이러한 점에서 단일지수모형은 선형식 추정과 같은 모수적인 추정과 식에 제약이 없는 비모 수적인 추정의 중간지점에 있는 추정방법이라고 할 수 있다. 6) 차원의 저주(curse of dimension)는 점근적으로 분포수렴을 하는 비모수적인 추정량을 얻기 위해서는 설명변수가 많아질수록 그보다 훨씬 더 많은 관측치가 필요하다는 것이다. 7) 국가수준에서의 전체 보건지출 규모 결정에 관한 다른 국내 연구가 아직까지 없는 것으로 저자들은 알고 있다. 해외 연구로는 Xu, Saksena 그리고 Holly(2011)이 있다.
8) Newey 외(1990), 그리고 Yatchew 외(2003)도 단일지수 모형을 이용하였지만 평균 도함수 방법을 추정에 활용하지는 않았다. 그들이 이용한 추정방식은 비선형최소자승법에 기초한 Ichimura(1993)와 준최우추정법(quasi-maximum likelihood estimation method)에 기초한 Klein and Spady(1993)와 연관이 깊다.
′ (1.1) 여기에서 종속변수는 보건지출 규모를 나타내는 변수이며, 는 설명변수들의 벡터 이다. 본 연구에서는 합쳐진 패널(pooled panel) 자료를 이용한다. 따라서 실제 오차항 는 국가별 이질성 을 포함한 오차항이다. 즉, . 단, 국가별 이질성 는 와 상호 독립이라고 가정한다.9) 단일 지수(single index) ′는 다차원인 설명변수 벡터와 모수 벡터
의 내적(inner-product)인 스칼라(scalar)이다. 따라서, 단일지수는 다차원의 정보를 하나의 숫자로 요약하는 역할을 한다. 는 알려져 있는 않은 모수 벡터이며, 단일지수의 함수 도 그 형태가 알려져 있지 않다. 는 교란항으로 ∣ 을 만족한다고 가정한다. 단일지수 모형의 추정은 알려져 있지 않은 모 수벡터 와 함수인 의 추정을 의미한다. 의미 있는 추정을 위해서는 모수벡터 와 함수 에 대한 식별(identification)이 필요한데, 그에 대한 조건은 Ichimura(1993)와 Horowitz(2009)가 정리하였다. 그들은 적절한 조건하에서 모수벡터는 모수간 상호 비율 까지만 식별된다는 결과를 얻었다.10) 본고에서는 Powell 외(1989)에서 제안한 확률밀도 가중 평균 도함수 추정방법 (density weighted average derivative estimation method)을 이용하여 단일지수 모형을 추정한다. 비선형 최소자승(NLLS) 추정법의 아이디어를 이용하여 단일지수 모형을 추정하는 방법을 제안한 Ichimura(1993)에 비하여 Powell 외(1989)는 몇 가지 추가적인 가정 하에서 단일 지수 모형을 추정하는 방법을 제안하였는데, 그 중 중요한 두 조건은 다음과 같다. 첫 번째는 설명변수가 모두 연속적인 변수이고 함수 가 미분가능한 함 수라는 가정이다. Powell 외(1989)는 피설명변수의 조건부 평균함수인 ′ 의 도함수 (derivative function)를 이용하는데, 이는 설명변수 가 변하면서 단일지수 ′도 변 하고 그에 따라 함수 도 변한다는 성질을 이용하기 때문이다. 둘째, Powell 외(1989)는 설명변수의 서포트(support)의 경계(boundary)에서는 확률밀도가 영(zero)이라고 가정 한다. 그들이 제안한 확률밀도 가중 평균 도함수 방법을 이용하여 단일지수 모형을 추정하게 되면 Ichimura(1993)가 제안한 방법에 비하여 매우 간단하게 단일지수 모 형을 추정할 수 있다. 이하에서 본 논문의 구성은 다음과 같다. 2장 1절에서는 국가의 보건지출 규모 추정에 이용되는 주요변수들을 소개한다.11) 2장 2절에서는 확률밀도 가중 평균 도함 수를 이용한 단일지수 모형의 추정 방법과 결과를 소개한다. 2장 3절에서는 단일지수 모형의 추정결과를 이용한 평균 한계효과 추정 방법을 제안하고 추정한다. 또한 구간별 평균 한계 효과도 추정한다. 2장 4절에서는 단일지수 모형의 추정결과가 한국에 주는 9) 국가별 이질성 는 와 상관성을 갖는 것을 허용하면 Chen 외(2011)을 이용하면 추정이 이론적으로는 가능하지만 지나치게 복잡해지는 문제가 발생한다. 10) 이러한 결과를 “모수 성분간 상호 비율까지만 식별(identification up to scale)”이라 칭한다. 식별에 관한 상세한 내용은 Ichimura(1993) 및 Horowitz(2009)를 참고하라. 11) UN의 회원국이 193개국임을 감안하면 173개국은 매우 많은 국가들이 포함된 것이다. 자료의 출처에 관하여는 부록 4.1를 참조하라.시사점에 대하여 논의한다. 3장에서는 본 연구의 의의와 한계점 등에 대하여 논의한다. 부록에서는 자료의 출처 및 여타 결과를 소개한다.
2. 국가수준의 보건지출 규모 추정
2.1 국가수준의 보건지출 규모 한 국가의 보건지출은 정부부문의 보건지출과 민간의 보건지출의 합이다. 정부부 문의 보건지출은 정부 지출이나 강제성이 있는 공적인 보험에 의하여 지급되는 지출 로서 그 대상은 치료, 재활, 노령자 보호, 돌봄 서비스, 의약품, 예방, 공공 보건 서비스 및 의료 행정 서비스를 포함한다. 민간 부문의 보건지출은 가계가 의료서비스를 받기 위하여 지불한 금액, 그리고 비정부단체 및 민간 기업에서 지불한 보건지출이다. 본 연구에서는 정부부문의 보건지출과 민간 보건지출의 합인 전체 보건지출의 GDP 대비 비중을 국가의 보건지출 규모로 정의하는데, 이것이 한 국가의 경제수준에 상응하는 보건지출의 크기를 반영하기 때문이다. 본 연구에서는 국가의 보건지출 규모가 경제 적인 요인 및 인구적인 요인에 의하여 결정된다고 가정한다. 경제적인 요인을 반영하는 변수로 일인당 실질 GDP(이하, 일인당 GDP), 총세입/GDP와 실업률을 고려한다. 일 인당 GDP는 국가의 경제활동 및 소득 수준을 반영하며, 총세입/GDP는 정부의 재정 여력을 반영하며, 실업률은 경기상황을 반영한다. 인구적인 요인을 반영하는 변수로는 5세 미만의 인구비중과 65세 이상의 인구 비중을 고려하였는데, 이는 이 두 연령대가 각각 영유아기와 노령기로서 일반적으로 의료 서비스를 많이 필요로 하는 시기이기 때문이다. 이들 설명변수들은 Xu, Saksena 그리고 Holly(2011) 등을 포함한 많은 국가 수준의 의료비 지출을 분석한 선행 연구들이 일반적으로 고려하는 설명변수라는 점과 데이터의 이용 가능성 등을 종합적으로 고려하여 선택한 것이다.12) 본 연구에서는 세계은행의 데이터베이스에서 제공하는 1995∼2013년 동안의 173개 국의 자료를 이용한다. <표 2.1>은 분석에 이용된 변수들에 대한 요약 통계이다. 보건 지출 규모를 반영하는 변수인 보건지출/GDP를 보면 173개국의 평균은 6.6%로 한국의 평균 5.3%보다 높다. 이는 해당 기간 동안 한국의 경우 보건지출이 경제규모에 비하여 상대적으로 낮다는 것을 보여준다. 일인당 GDP의 경우 표본의 평균은 약 1.3만 달러로 한국의 평균 1.7만 달러를 하회한다. 일인당 GDP의 표준편차를 보면 약 1.7만 달러로 국가별 격차가 매우 크다는 것을 알 수 있다. 5세 미만 인구 비중 및 65세 이상 인구 비중의 표본 평균은 각각 11.3% 및 8.9%이며, 한국의 평균은 각각 10.2% 및 8.7%이다. 실업률의 경우, 전체 표본의 평균은 8.3%인 반면 한국의 평균은 3.7%로 매우 낮은 수 준의 평균을 보이고 있다. 총세입/GDP 비율은 표본의 평균이 16.5%인 반면, 한국은 평균이 14.0%로 경제활동 수준에 비하여 세입규모가 상대적으로 낮다.12) Xu, Saksena 그리고 Holly(2011)를 언급한 이유는 이들이 비OECD국가까지 포함하여 다양한 변수를 구축하고 다양한 모형을 시도하였기 때문이다.
평균 표준편차 최댓값 최솟값 중위값 총보건/GDP (단위: %) 전체 6.6 2.5 17.1 1.9 6.3 <한국> <5.3> <1.2> <7.2> <3.7> <5.0> 일인당 실질 GDP (단위: $) 전체 12884.4 16685.8 115761.5 111.4 5076.3 <한국> <16838.1> <5504.0> 25889.9> <8085.3> <15907.7> 5세미만 인구 비중 (단위: %) 전체 11.3 4.0 19.7 2.7 11.4 <한국> <10.2> <1.8> <13.3> <7.9> <9.8> 65세 이상 인구 비중 (단위: %) 전체 8.9 5.2 24.6 0.8 7.2 <한국> <8.7> <1.9> <12.0> <6.0> <8.5> 실업률 (단위: %) 전체 8.6 5.7 37.3 0.2 7.3 <한국> <3.7> <1.2> <7.0> <2.0> <3.5> 총세입/GDP (단위: %) 전체 16.6 7.7 95.2 0.3 15.4 <한국> <14.0> <0.7> <15.5> <12.9> <14.0> <표 2.1> 이용 자료의 요약 통계 주 : 1995년에서 2013년간의 173개국의 이용 가능한 자료를 이용한 것으로서 총 관측치는 2494개이다. < >안의 수치는 한국의 요약 통계이다. 자료의 출처에 관하여는 부록4.1을 참조하라. 본 연구에서의 분석 단계는 다음과 같다. 먼저 2.2절에서는 확률밀도 가중 평균 도 함수 추정방법을 이용하여 모든 국가의 공통 모수인 와 함수 를 추정하고, 추정결 과를 제시한다. 2.3절에서는 설명변수의 국가 보건지출 규모에 대한 평균 한계 효과를 추정한다. 또한, 단일지수 수준을 4개의 구간으로 나누어 각 구간에서의 평균 한계 효 과를 추정하고, 추정결과의 시사점을 제시한다. 2.4절에서는 국가별 이질성을 고려한 보건지출규모 추정 등 다양한 추정결과를 활용하여 그것들이 한국에 주는 시사점을 살펴본다. 2.2 확률밀도 가중 평균 도함수 방법을 이용한 단일지수 모형 추정 본 절에서는 모든 국가의 공통 모수인 와 함수 를 추정한다. 본 연구에서 고려 하는 단일지수 모형은 식 (1.1)이다. 앞에서 언급하였듯이 모수 벡터 ∈
와 함수 의 형태는 알려져 있지 않다. 평균 도함수 추정방법을 이용하면 다음과 같이 확률밀도
가 곱해진 평균 한계효과 를 추정할 수 있다. (2.1)앞에서 언급한 바와 같이 ′는 요소들 간의 비율까지만 식별 (identification up to scale)이 가능한 데, 이는 식 (2.1)와 다음의 두 식으로부터 알 수 있다. ′ ′′ 따라서 먼저 에 대한 추정값 ′을 구한 후에 정규화(normalization)를 통하여 을 구한다. 본 연구에서는 정규화하는 방법으로 를 이용한다.13) 확률 밀도 가중 평균 도함수 추정방법에 따른 모수 벡터 추정량 ′ 은 다음과 같다.
≠ ′
(2.2) 여기에서 ′
는 커널
의 도함수로서 다 음과 같다. ′
∙
′
′
′ , 여기에서
≤ 은 Epanechnikov 커널(kernel)이고, 은 밴드의 크기이다. 이용한 커널은 Epanechnikov 커널(kernel)을 기반으로 한 곱커널(product kernel)로서 차수(order)는 4이다.
식(2.2)는 식(2.1)의 일치추정량으로서, 식(2.1)은 다음과 같이 표현될 수 있다.
∣
∣ ∣ ∣ ∞∞
∣ . 13) 정규화 방법으로는 본문에서 이용한 방식과 ║║이 많이 사용된다. 일정한 수로 나누는 의미의 정규화이므로, 의 비율간 식별(identified up to a scale)에 모두 부합하기 때문에 어떤 정규화 방식이건 실질적인 차이는 없다.여기에서 세 번째 등식은 부분적분(integration by parts)을 적용한 결과이고, 네 번째 등식은 서포트의 경계(boundary)에서 확률밀도가 0이라는 가정에 의하여 얻어진다. 따라서 모수 는 위의 마지막 식으로 표현되며, 그에 대한 커널 일치추정량이 식 (2.2)이다.14) 실제 추정에서는 먼저 모든 변수들을 표본 평균과 표본 표준편차를 이용하여 표준 화한 변수들을 이용한다. 즉, 번째 변수 는 로 표준화하여 추정에서 이용한다. 여기에서 는 의 표본평균이고 는 표본 표준편차이다. 이론적으로 의
일치성(consistency)과 의 점근적인 정규성(asymptotic normality)을 위한 커널의 차수(order) 와 밴드의 크기 이 가져야할 조건은 각각 → 와
→ ∞ 이다.15) 추정을 위하여 선택한 커널의 차수(order)는 이며, 이용한
설명변수는 모두 5개이므로 이다. 이를 반영하여, 밴드의 크기는 최소 제곱 교차 검증 방식(least squares cross-validation)을 이용한다. 구체적으로 Hardle와 Tsybakov(1993)가 발견한 의 평균제곱오차(mean square error, MSE)를 최소화하는
최적 밴드의 크기가 의 형태를 띤다는 사실을 이용하여, 로 가정하고
을 최소화하는 그리드 검색(grid search)으로 를 추정한다.16) 이를 구체적으로 표현하면 다음과 같다. arg min
, (2.3)
14) 식 (2.2)에는 확률밀도함수의 도함수 에 대한 일치추정량
≠ ′
이 반영되어 있음에 주목하라. 15) 이에 관한 자세한 사항은 Horowitz(2009)의 정리 2.3을 보아라. 16) 에서 -1/7.5는 실제 추정에서 이용한 자료와 커널을 반영한 것이다. 즉, 이용한 커널의 차수 와 설명 변수의 개수 를 이용한 것이며, 제안한 방식으로 결정된 밴드의 크기는 1.87이다. Powell과 Stoker(1996), 그리고 Horowitz와 Hardle(1996)는 실제 추정에서 최적 밴드의 크기를 어떻게 결정할 것인가를 제안하였는데, 실제 응용 연구에서 이용하기 에는 매우 복잡하다. 그러한 이유로 본 연구에서는 단일지수의 함수 의 비모수추정을 위 하여 개략적인 방법(rule-of-thumb)을 이용하고, 에 이용되는 밴드 크기 결정은 최적 밴드 크기를 이용하였다. 최적 밴드의 크기와 관련한 지적을 해주신 익명의 심사자에게 감사드린다.여기에서
≠ ′
, , ′, 그리고, ≡
≠
≠
이다. 위의 과정을 자세히 설명하면, 이 주어지면 확률밀도 평균 도함수 방법을 이용 하여 추정값 과 을 구하여 단일지수 ′를 얻고, 그것을 이용한 비모수 회귀 분석을 통하여 예측값(predicted value) ′ 를 추정한다. 밴드의 크기 은 그리드 탐색(grid search)을 이용하고, 이때의 기준은 식 (2.3)에 있는 예측오차 제곱의 합을 최소화하는 것으로 삼는다. 한편, 단일지수를 이용한 함수 의 비모수 추정을 위한 밴드의 크기는 Silverman의 개략적인 방법(rule of thumb)인 = 를이용한다.17) 여기에서 는 단일지수 ′ 의 표본 표준편차, 는 커널 차
수가 인 을 이용하여 얻은 개략값(rule of thumb number)이다.18)
<표 2.2>는 관측치가 2494개인 173개 국가의 자료를 이용하여 얻어진, 모든 국 가에 공통 모수인 및 에 대한 추정결과이다. 먼저, 식 (2.1)에 있는 의 정의를 생 각해보자. 는 설명변수가 한 단위 증가함에 따라 피설명변수의 조건부 평균이 증가 하는 정도와 확률밀도의 곱의 기댓값임을 알 수 있다. 즉, 확률밀도함수가 곱해진 평균 한계효과인 것이다. 따라서 도 확률밀도를 곱해준 평균 한계효과의 추정량이고, 이는 확률밀도의 존재 때문에 그 크기가 작아지게 됨을 유추할 수 있다. 예상한 바와 같이 의 값은 확률밀도를 곱해준 평균 한계효과이기 때문에 그 크기가 매우 작게 나왔으며, 그에 대하여 명확한 해석을 부여하는 것이 그리 단순하지는 않다. 다만, 그 상대적인 크기를 반영하는 의 추정값을 기준으로 본다면, 보건지출 규모에 가장 큰 효과를 미치는 유의성 있는 요인은 일인당 GDP이며, 그 다음은 65세 이상의 인구 비중으로 나타난다. 17) 의 추정에 사용한 밴드의 크기는 개략적인 방법(rule of thumb)를 이용하였다. 이를 위해 서는 https://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/718/NonParametrics1.pdf의 11-12쪽을 참조하라. 이론적으로 의 추정을 위한 밴드의 크기 선택에 관한 이론적인 논의는 특별히 알려진 바가 없으며, 이는 Horowitz 및 Hardle(1996)의 경우에도 마찬가지이다. 18) 커널 의 차수(order)는 4이다.
일인당 GDP 0.0025** 1.000** (3.197) (3.197) 5세미만 인구 비중 0.00031 0.121 (0.489) (0.489) 65세 이상 인구 비중 0.0014* 0.567* (2.559) (2.559) 실업률 0.0004 0.171 (0.525) (0.525) 총세입/GDP 0.0003 0.129 (0.426) (0.426) 관측치수 2494 2494 <표 2.2> 보건지출규모의 단일지수 모형 추정 결과: 및 주: ( )안의 수치는 t-값이다. * 및 **는 각각 유의수준 5% 및 1%에서 유의함을 의미한다. 2.3 평균 한계 효과의 추정 식 (2.1)를 보면 는 조건부 평균 한계효과 ∣ 에 밀도함수 를 곱한 것에 대하여 다시 평균을 취한 것임을 알 수 있다. 따라서 는 조건부 평균 한계 효과에 확률밀도를 곱해준 것에 대한 평균이기 때문에 그 크기가 평균 한계 효과 ∣ 에 비하여 매우 작을 것이다. 이러한 점에 착안하여 본절에서는 평균 한계효과를 추정하는 방법을 제안하고, 그에 따른 추정결과를 제시한다. 즉, 본 절에서는 단일지수 모형의 추정 결과를 이용하여 확률밀도가 곱해져 있지 않은 평균 한계효과를 추정하는 방법을 제안하고자 한다. 에 대한 Nadaraya-Watson 비모수 추정량은 다음과 같다.
모집단 기준에서 설명변수의 한계효과는 다음과 같이 정의된다. ∣ ′′ ′ (2.4) 따라서 식 (2.4)의 추정량은 ′ 이며 이를 위하여 먼저 ′ 를 구하면 다음과 같다.′
′
′
(2.5) 따라서 평균 한계 효과에 대한 추정량을 다음과 같이 구할 수 있다.
′ =
′
′
(2.6) <표 2.3>은 평균 한계 효과의 추정값과 부츠트랩(bootstrap) 신뢰구간을 보여주고 있다. 평균 한계 효과 추정값의 유의성을 판단하기 위하여 부츠트랩을 이용하여 평균 한계 효과의 90% 신뢰구간을 추정하였다. 신뢰구간의 하한은 1000개의 부츠트랩 평균 한계 효과 중에 5백분위수(5th percentile)이고, 상한은 95백분위수(95th percentile)값 이다.19) 5세 미만 비중, 실업률 및 총세입/GDP의 경우, 신뢰구간이 영(0)을 포함하기 때문에 한계효과가 영(0)이라는 귀무가설을 유의수준 10%에서 기각할 수가 없다. 따 라서 통계적으로 유의하게 양의 평균 한계 효과를 가지는 요인은 일인당 GDP와 65세 이상의 인구 비중이다. 먼저 일인당 GDP가 보건지출 규모에 미치는 평균 한계 효과는 약 0.86으로 나타났는데, 이는 일인당 GDP가 표준편차 크기인 1.7만 달러만큼 증가하면, 보건지출/GDP는 약 0.86%p 평균적으로 증가하는 연관성을 갖는다는 것을 의미한다. 65세 이상 인구 비중이 보건지출 규모에 미치는 평균 한계 효과는 약 0.49로 추정되 는데, 이는 65세 이상 인구 비중이 표준편차 크기인 5.2%p 만큼 증가하면 보건지출 /GDP는 평균적으로 약 0.49%p 증가하는 것을 의미한다. 이러한 평균 한계 효과의 변 화를 조금 더 우리에게 익숙한 변화로 바꾸어 표현한 것이 <표 2.4>이다. <표 2.4>는 평균 한계 효과가 일인당 GDP가 1% 증가시 국가의 보건지출/GDP는 평균적으로 0.007%p증가하며, 65세 이상 인구 비중이 1% 증가시 보건지출/GDP는 평균적으로 약 0.009%p 증가하는 연관성이 있음을 시사한다. 이로부터 65세 이상 인구 비중 1% 증 가의 평균 한계 효과가 일인당 GDP 1% 증가의 평균 한계 효과보다 크다는 것을 알 수 있다.20) 19) 1000번의 부츠트랩 표본(replication)을 구한 후, 각 부츠트랩 표본에 대하여 와 에 대한 추정값을 구하고 식(6)-(7)의 추정을 통하여 평균 한계 효과를 구하였다. 그와 같은 과정을 통하여 각 설명변수에 대하여 1000개의 평균 한계 효과를 얻은 후, 5백분위수(5th percentile)와 95백 분 위 수 (95th percentile)에 해 당 하 는 값 을 찾 아 평 균 한 계 효 과 의 90% 신 뢰 구간을 구한다.평균 한계 효과 90% 부츠트랩 신뢰구간 [5백분위수, 95백분위수] 일인당 GDP 0.861* [0.756, 1.013] 5세미만 인구 비중 0.104 [-0.058, 0.317] 65세 이상 인구 비중 0.488* [0.385, 0.595] 실업률 0.147 [-0.016, 0.315] 총세입/GDP 0.111 [-0.058, 0.272] <표 2.3> 평균 한계 효과 추정량과 신뢰구간 주 1. 평균 한계 효과는 해당 변수가 표준편차 크기만큼 증가할 때 피설명변수가 평균적으로 증가하는 정도의 크기이다. 2. 신뢰구간은 다음과 같이 구한다. 1000번의 부츠트랩 표본을 구하고, 각 부츠트랩 표본에 대하여 와 에 대한 추정값을 구하고 식(6)-(7)의 추정을 통하여 평균 한계 효과를 구하는 과정을 반복함으로써 각 설명변수에 대하여 1000개의 평균 한계 효과를 얻은 후에, 5백분위수와 95백분위수에 해당하는 값을 찾는다. 3. *은 유의수준 10%에서 양의 평균 한계 효과를 의미한다. 설명변수 변화 조건 평균 보건지출규모 변화 일인당 GDP 1% 증가 시 0.007%p 증가 65세 이상 인구 비중 1% 증가 시 0.009%p 증가 <표 2.4> 유의한 평균 한계 효과 주: 평균 보건지출규모 증가분은 각 설명변수가 2열의 규모만큼 증가 시 보건지출규모의 평균적인 증가 규모이다. 이번에는 전체 표본에 대하여 평균 한계 효과를 추정하는 대신, 관측치의 단일지수 수준에 따라 평균 한계 효과를 추정한다. 특히, 단일지수 수준을 4구간으로 구분하여 각 구간에서의 평균 한계 효과를 추정한다. 단일지수가 –0.5보다 작은 구간을 구간1로 정의하고, -0.5와 0.5 사이의 구간을 구간2로, 단일지수가 0.5보다 크고 2이하인 구간을 구간3으로, 그리고 단일지수가 2보다 큰 구간을 구간4로 정의한다. 구간별 평균 한계 효과를 추정한 결과, 각 설명변수의 평균 한계 효과는 구간1과 구간4에 비하여 구간2와 구간3에서 상대적으로 훨씬 높은 것으로 추정되었다. 구간1은 구간4에 비하여 조금 높은 것으로, 그리고 국간3은 구간2에 비하여 평균 한계 효과가 조금 높은 것으로 나 타났다. 분석 기간 동안 한국은 구간2에서 구간3으로 진입하였는데, 이는 일인당 GDP와 인구구조가 보건지출규모에 더 크게 영향을 주고 있는 구간으로 진입하였음을 시사한다.21) 20) 평균 한계 효과에 대한 비교는 앞에서 구한 의 추정값들에 대한 상대적인 크기만으로는 구할 수 없음에 주목하라. 21) 분석 기간 중 한국의 단일지수는 <그림 2.3>을 참조하라.
설명변수 평균한계효과 (구간1) ≤ ≤ (구간 2) ≤ (구간 3) (구간 4) 일인당 GDP 0.861 0.428 1.507 1.611 0.370 5세미만 인구 비중 0.104 0.052 0.183 0.195 0.045 65세 이상 인구 비중 0.488 0.243 0.855 0.914 0.210 실업률 0.147 0.073 0.257 0.275 0.063 총세입/GDP 0.111 0.055 0.194 0.207 0.048 관측치수 2494 1185 591 454 264 <표 2.5> 단일지수 모형의 구간별 평균 한계 효과 2.4 단일지수 모형 추정 결과의 시사점 <그림 2.1>은 단일 지수 모형의 추정결과를 이용한 보건지출 규모의 예측값 을 보여준다. 즉, 수평축은 단일지수이며 수직축은 국가의 보건지출 규모에 대한 예측값 이다.22) <그림 2.1>에서의 예측값은 표준화된 변수의 예측값에 보건지출의 표본 표준 편차를 곱하고 표본 평균을 더함으로써 얻은 것이다.23) 단일지수가 0부터 2사이에서는 보건지출규모 예측값이 비교적 빠른 속도로 증가함을 알 수 있다. 이러한 현상은 단 일지수가 0보다 작은 구간과 비교하면 확연하게 차이가 나는 것을 알 수 있다. 이는 단일지수 함수의 도함수 ′ 를 추정한 <그림 2.2>를 보면 확실히 알 수 있다. 한편, <그림 2.1>에서 잘 나타나는 바와 같이 단일지수가 3보다 큰 구간에서는 관측치가 충분히 크지 않기 때문에 예측값으로써 의미를 부여하기 어렵다.24) 22) 공통모수인 와 의 추정 결과를 이용한 예측값이다. 23) 이를 통하여 예측값의 단위도 원래 보건지출 규모 변수의 단위(대 GDP 비중 %)와 동일하게 된다. 24) 비모수 추정의 특징은 알려져 있는 않은 함수 의 형태가 데이터에 의하여 결정되도록 하는 것이다. 익명의 심사자가 지적한 바와 같이 단일지수가 3보다 큰 영역에서는 관측치가 상 대적으로 적다는 것을 그림으로부터 알 수 있다. 실제로 단일지수가 3보다 작은 관측치는 2434개인데 반하여, 단일지수가 3보다 큰 관측치는 60개에 불과하다. 극단적인 값 부근에서는 관측치수가 적어지는 현상은 자연스럽게 발생하는 현상이다.
<그림 2.1> 보건지출/GDP 예측값 주: 수평축은 단일지수()이며 수직축은 보건지출 예측값인 로 수 직축 보건지출 규모의 단위는 백분율(%)이다. <그림 2.2>는 단일지수 모형의 추정결과를 이용하여 단일지수 변화에 따른 평균 보건지출의 변화율을 나타내는 도함수 ′에 대한 추정값 ′을 보여준다. 단일 지수 모형의 장점중 하나는 단일지수의 값 에 따라 평균 보건지출의 규모가 얼마나 변할 것인가를 예측할 수 있다는 점이다. <그림 2.2> 도함수 ′의 추정 결과 주: 수평축은 단일지수값()이며 수직축은 도함수 추정값 ′이다.
<그림 2.3>은 한국의 단일지수 및 단일지수함수의 도함수 추정값을 제시하고 있다. 한국의 경우 분석 기간 동안의 단일 지수는 -0.6에서 0.8사이의 범위에 있음을 알 수 있다. 이는 보건지출규모가 완만히 증가하는 0미만의 구간에서 가파르게 증가하는 구 간인 0보다 큰 구간으로 진입했음을 시사한다. 0보다 큰 구간으로의 진입은 2005년에 이루어진 것으로 나타난다. 한국의 경우 해당 기간 동안의 단일 지수값의 범위가 -0.6에서 0.8사이에 있는데, 단일지수 증가에 따른 보건지출 규모의 증가율을 반영하는 도함수 ′이 모두 양 수이며, 그 수준도 매우 높다는 것을 확인할 수 있다.25) 구체적으로, 해당 기간 동안 한국의 보건지출 도함수 ′는 모두 양수이면서, 특히 2005년 이후에는 도함수가 0.6 이상인 모습을 보여 과거에 비하여 상대적으로 가파르게 상승하는 모습을 보이고 있다. <그림 2.3> 한국의 단일지수 및 단일지수함수의 도함수 추정값 주: 수평축은 연도이며 수직축은 단일지수와 단일지수 함수의 도함수 추정값이다. 단일 지수 모형은 알려져 있지 않은 임의의 미분가능한 함수 를 허용함으로써 조 건부 기대함수가 선형함수라는 제약보다 훨씬 완화된 상태에서 조건부 기대함수를 추 정할 수 있다는 장점을 가지고 있다. 만약 주어진 설명변수로 구성된 선형 모형이 진실 이라면 단일 지수 모형에서 조건부 기대함수 는 항등함수 가 될 것이다.26) 25) ′은 식 (2.6)을 이용하여 추정한다.
따라서 이러한 추측을 추정결과를 이용하여 확인하는 것은 매우 흥미로운 개략적인 검정(eyeballing test)이 될 것이다. <그림 2.3>은 단일지수 모형으로 추정한 조건부 기대 함수 과 항등함수 z를 비교한 것이다. 동그라미 모양이 항등함수이고 알파벳 x자 모양이 추정된 함수 이다. 부근을 제외하고는 양자가 확연히 다른 모습을 띠고 있는 것으로 보아, 전반적으로 조건부 기대함수가 주어진 설명변수로 구성된 선형 모형이라고 가정하는 것은 매우 강한 주장이라는 것을 확인할 수 있다.27) <그림 2.4> 단일지수 모형과 선형 모형 비교 주: 동그라미 표시는 선택한 설명변수로 이루어진 선형 모형이 진실인 경우의 단일지수 모형의 예측값이고, x 표시는 실제 단일지수 모형의 예측값이다. 26) 설명변수로 구성된 선형 모형이 진실이라면 ′ 이 될 것이다. 이는 단일지수 모형의 관점에서는 ′ ′ 이 되기 때문에 가 항등함수가 되는 것이다. 27) 물론 이러한 추론을 위해서는 본문에서 언급하였듯 누락된 설명 변수가 없다는 가정이 필요 하다. 그러나 제시한 검정은 다른 조합의 설명변수로 이루어진 선형모형에 대해서도 동일 하게 시행할 수 있다. 이를 달리 표현하면, 익명의 심사자가 지적한 바와 같이 교차항 등의 설명변수를 추가할수록 선형모형의 유연성(flexibility)이 높아지므로, 충분히 많은 설명변수를 이용하여 단일지수 함수를 추정하면 항등함수가 나올 것으로 예상된다. 현 시점에서는 제 안한 검정을 이론적으로 엄밀하게 제시하지는 못하고 있지만, 추후 독립적인 후속 연구를 통하여 모형설정 검정(model specification test)으로 발전시킨다면 유용한 연구가 될 것으로 생각한다.
한편, 국가별 이질성을 고려하면 특정 국가에 대하여 상대적으로 더 정확한 예측 값을 얻을 수 있다. 공통 모수인 와 함수 의 추정 결과를 이용하여 국가별 이질성이 포함된 잔차 ′를 구하고, 이를 국가 더미 변수에 회귀분석하여 국가별 이질성 를 추정한다. 따라서, 국가별 이질성을 포함한 국가 의 의 예측값은 ′ 이 되며 이는 해당 국가의 보건지출규모 전망 등의 잠재적인 유용성이 있다. <그림 2.5>는 국가 보건지출규모의 실제값과 예측값을 보여주고 있다. 가운데 패널에 있는 예측값은 앞에서 소개한 ′로 관측되지 않는 국가별 이질성은 고려되지 않는다. 맨 아래 패널에 있는 그림은 국가별 이질성을 포함하는 예측값 ′ 을 보여준다. 이질성을 포함하는 경우, 모형의 적합도(goodness-of-fit)라 할 수 있는
는 0.44에서 0.92로 크게 상승하는 것으로 나타난다. <그림 2.5>가 전체 표본에 대한 그래프이기 때문에 <그림 2.6>을 통하여 한국에 대한 실제값과 예측값을 연도별로 그래프로 제시하였다. 한국의 경우 국가의 이질성 이 음수로 추정되어, 국가의 이질성을 고려한 예측값(세모 그래프)이 국가의 이질성을 고려하지 않은 예측값(네모 그래프)보다 더 낮게 위치하는 것으로 나타난다. 실제값은 2008년 이후에는 둘 사이에 위치하고 있다.28) 28) 익명의 심사자가 지적한 것과 같이, 단일지수모형이 선형모형에 비하여 전망에 유리한 모형 이냐에 관해서는 회의적일 수 있다. 국가의 보건지출규모 전망 그 자체가 목적인 경우, 더 많은 교차항을 포함하여 조건부 함수의 유연성(flexibility)을 높임으로써 전망의 정확도를 높일 수 있기 때문이다. 부록의 <표 4.2>를 보면, 선형모형에 교차항을 추가하는 경우 선형 모형의 적합도가 단일지수모형보다 커지는 것을 확인할 수 있다. 극단적으로 LASSO(least absolute shrinkage and selection operator)도 특별한 선형모형임을 심사자의 지적은 쉽게 이해할 수 있다.<그림 2.5> 국가별 보건지출규모 실제값과 예측값 주 1. 가로축은 단일지수이며, 세로축은 국가의 총보건지출규모이다. 2. 맨위의 그림은 실제 보건지출규모이며, 가운데 그림은 국가별 공통된 예측치로서 단일지 수 에서의 평균보건지출 이다. 맨아래 그림은 국가별 이질성을 포함한 예측치로서 이다. 3. Goodness-of-fit인
은 이질성을 배제하고 공통부분만 이용한 예측값의 경우 경우 0.44이고, 이질성을 고려한 예측값의 경우 0.92이다.<그림 2.6> 한국의 보건지출 규모 예측값과 실제값 주: 세모 표시는 한국의 이질성(country effect)을 반영한 예측값이고, 네모 표시는 한국의 이 질성이 반영되지 않은 예측값이다. 동그라미 표시는 실제 보건지출 규모이다. 예측값의 단 위는 %이다. 아래의 점선은 단일지수이다.
3. 결론
본 논문에서는 확률밀도 가중 평균 도함수 방법을 이용한 단일지수 모형 추정을 통하여 국가수준의 보건지출 규모를 추정하였다. 특히, 일인당 GDP와 노령층 인구 비 중이 보건지출 규모 증가에 유의한 양의 효과를 주는 것으로 나타났다. 보건지출 규 모를 추정한 결과, 보건지출 규모는 단일지수의 값이 0보다 작은 구간에서는 비교적 완만한 속도로 증가하나, 0에서 2사이의 구간에서는 상대적으로 더 빠른 속도로 증가 하는 것으로 나타났다. 한국의 경우 2005년 이후 보건지출 규모가 가파르게 증가하는 구간에 진입한 것으로 추정된다. 한편, 평균 한계 효과를 추정하는 방법을 제안하고, 그에 따라 추정한 결과, 일인당 GDP의 1% 증가는 평균적으로 보건지출 규모를 약 0.007%p 높이는 것으로, 그리고 노령층 인구비중 1% 증가는 평균적으로 보건지출 규모를 약 0.009%p 높이는 것으로 추정되었다. 본 연구는 다음과 같은 의의를 갖는다. 첫째, 보건지출의 함수식에 대하여 준모수 적인 단일지수 모형을 이용한 추정을 시도하였다는 점이다. 단일지수 모형은 모형설정 오류의 가능성 완화 등 선형모형에 대한 보완적인 모형으로서 역할을 할 것으로 기대된다. 둘째, 준모수적인 추정 방법을 이용하기 때문에 비모수 추정에서 필연적으로 발 생하는 차원의 저주(curse of dimension)가 심각하게 발생하지 않는다는 점이다. 셋째, 본 연구는 단일지수 모형을 국가 수준의 보건지출 규모에 적용한 최초의 시도라는 점 이다. 따라서 본 연구는 단일지수모형이 유용한 분석 수단이 될 수 있다는 가능성을 보여주는 사례가 될 것으로 생각한다. 넷째, 추정결과로부터 고령화와 보건지출관련 정책적인 시사점을 얻을 수 있었다는 점이다. 노령층 인구 비중의 증가가 향후 한국의 보건지출 증가의 주요 요인으로 작용할 것이라는 점과 단일지수에 비추어 판단할 때 한국의 보건지출 규모가 빠르게 증가할 것으로 예상된다는 시사점을 얻을 수 있다. 이는 구간별 평균 한계 효과의 결과에서도 확인되었다. 상술한 바와 같은 기여에도 불구하고, 본 연구는 몇 가지 한계를 가지고 있다. 먼저, 평균 도함수 추정방법은 연속적인 설명변수만을 허용한다. 이는 단일지수의 연속성을 보장하기 위한 불가피한 필요조건이다. 이러한 이유로 더미 변수 등 이산적인 설명변 수를 활용하지 못하는 단점이 있다. 의료시스템을 반영하는 설명 변수를 추가하고자 하였으나, 이용가능한 적절한 변수를 찾지 못한 점도 분석의 아쉬움으로 남는다.29) 또한, 173개국의 자료를 이용하고 있으나, 각 국가의 고정효과를 명시적으로 고려하지 못하 였다. 단일지수 모형에 고정효과를 도입하여 추정하는 것은 기술적으로 쉽지 않다. 만약, Horowitz와 Hardle(1996)을 Chen 외(2011)와 결합하여 이산변수도 포함시키면서 고정 효과까지 고려하는 단일지수 모형을 제안할 수 있다면 문헌상 기여도가 매우 큰 연구가 될 것으로 생각한다.
4. 부록
4.1 자료 출처자료명 출처
보건지출/GDP World Health Organization Global Health Expenditure database 실질 GDP World Bank, International Comparison Program database 인구 비중 변수
(5세미만, 65세이상)
World Bank staff estimates based on age/sex distributions of United Nations Population Division's World Population Prospects: 2017 Revision
실업률 ILO (International Labour Organization) ILOSTAT database 총세입/GDP World Bank national accounts data
<표 4.1> 자료 출처
주: 본고에서의 실질 GDP는 2010년 US달러 기준이며, 일인당 GDP는 실질 GDP/인구이다. 29) 1000명당 병상 수 또는 10만 명당 외과의료진 수 등의 변수를 고려하였으나 너무 많은 데 이터 누락 등으로 활용할 수 없었다. 또한, 의료기술의 발달을 고려하기 위하여 출생 시 기 대수명(life expectancy at birth)을 포함하여 분석하였으나, 뚜렷하게 개선된 추정결과를 얻을 수 없었는데, 이는 해당 변수와 기존 설명변수와의 상관관계로 인하여 통계적으로 의미있는 결과를 얻기 어려웠기 때문이었다.
4.2 교차항을 고려한 선형 모형의 적합도 모형 적합도(goodness-of-fit) 선형모형 1 (교차항 없을 때) 선형모형 2 선형모형 3 단일지수모형
0.4275 0.4280 0.4816 0.4424 <표 4.2> 선형 모형의 적합도 주 1. 선형모형 1은 단일지수모형과 동일하게 5개의 설명변수를 이용한 결과이다. 2. 선형모형 2는 5개의 설명변수에 일인당GDP와 65세이상 인구비중의 교차항()을 포함시킨 모형이다. 3. 선형모형 3는 5개의 설명변수에 10개의 교차항(, , , , , , , , , )을 포함시킨 모형이다. (2020년 2월 19일 접수, 2020년 4월 28일 수정, 2020년 5월 11일 채택)참고문헌
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Hosin Song
30) ․Jisu Hwang
31)Abstract
In this study, we focus on the demographic and economic factors that determine the size of health expenditure/GDP at country level, and estimate the effect of those factors on health expenditure size by using the density weighted average derivative method proposed by Powell et al. (1989). The estimation results of a single index model using data of 173 countries show that per capita GDP and the fraction of the elderly have significantly positive impacts on the health expenditure size. The estimation results predict that the health expenditure of Korea will increase for a considerable future period. This study also proposes a method to estimate the average marginal effect of explanatory variables on the size of health expenditure. The estimation results also show that the average marginal effect of a 1% increase in the proportion of the elderly on health expenditure size is more than that of a 1% increase in per capita GDP.
Key words : ageing, health expenditure size at country level, single-index model, average derivative method, semi-parametric estimation
30) (Corresponding author) Associate professor, Department of Economics, Ewha Womans University, E-mail: hsong@ewha.ac.kr
