2 xax+2: 증가함수y

2 x

a^x+2 : 증가함수

y

a : 상수함수 a^-x+2: 감소함수

·\ { 9

log£ x‹ =3 log£ x이므로 두 함수는 서로 같다.

ㄴ. 함수 y=log∞ x¤ 의 정의역은 {x|x+0인 실수}이고, 함수 y=2 log∞ x의 정의역은 {x|x>0인 실수}이다.

즉, 정의역이 다르므로 두 함수는 서로 다르다.

ㄷ. 함수 y=log (x-1)(x-2)가 정의되려면 (x-1)(x-2)>0 ∴ x<1 또는 x>2 함수 y=log (x-1)+log (x-2)가 정의되려면 x-1>0이고 x-2>0 ∴ x>2

즉, 정의역이 다르므로 두 함수는 서로 다르다.

따라서 서로 같은 함수끼리 짝 지어진 것은 ㄱ이다.

정답_ ①

로그의 성질 logå MN=logå M+logå N에 의해 ㄷ이 성립한 다고 생각하지 않는다.

로그의 성질은 a>0, a+1, M>0, N>0인 조건 하에 성립하 는 것이다.

228

f(x)=log™ æ≠1+ =log™ { }

;2!;

=;2!; log™ { } 이므로

f(1)+f(2)+f(3)+y+f(k)

=;2!; log™ ;2#;+;2!; log™ ;3$;+;2!; log™ ;4%;+y+;2!; log™

=;2!; log™ {;2#;¥;3$;¥;4%;¥y¥ }

=;2!; log™ =4

log™ =8, 113k+22 =2° ∴ k=2· -2=510 ^{정답_ ④} 113k+22

113k+22

113k+2k+1

113k+2k+1 113x+2x+1 113x+2x+1

113x+11

229

(gΩf)(4)=g(f(4))=g(9› )=g(3° )

(gΩf)(4)

=log£^•3=;8!; log£ 3=;8!; ^{정답_ ①}

230

⑴ y=7≈ 에서　x=log¶ y

x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는　y=log¶ x

⑵ y=2¥3≈ —⁄ 에서 ;2};=3≈ —⁄ 이므로 x-1=log£ ;2}; ∴ x=log£ ;2};+1

x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는　y=log£ ;2{;+1

⑶ y=log™ (x+3)-2에서 y+2=log™(x+3)이므로

⑴

x+3=2¥ ±¤ ∴ x=2¥ ±¤ -3

⑴

x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는　y=2≈ ±¤ -3

⑷ y=2 log

;3!;(1-x)에서 ;2};=log_;3!;(1-x)이므로

⑴

1-x={;3!;}^;2}; ∴ x=-{;3!;}^;2};+1

⑴

x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는　y=-{;3!;}^;2{;+1 정답_ ⑴ y=log¶ x ⑵ y=log£ ;2{;+1 정답_ ⑶ y=2≈ ±¤ -3 ⑷ y=-{;3!;}^;2{;

+1

231

y=log¢ (x-2)+3에서 y-3=log¢ (x-2)이므로　 x-2=4^y-3 ∴ x=4^y-3+2

x와 y를 서로 바꾸면 f(x)의 역함수는　 f—⁄ (x)=4^x-3+2

∴ f—⁄ (4)=4+2=6 정답_ ③

232

f(m)=2, f(n)=3에서　logå m=2, logå n=3

∴ a¤ =m, a‹ =n

f—⁄ (7)=k (k는 상수)로 놓으면　f(k)=7, logå k=7

∴ k=a‡ =(a¤ )¤ ¥a‹ =m¤ n 정답_ ②

233

y=log™ x+3에서　log™ x=y-3, x=2¥ —‹

x와 y를 서로 바꾸면 역함수는　g(x)=2≈ —‹

y=f(x+2)=log™ (x+2)+3에서　log™(x+2)=y-3 x+2=2¥ —‹ , x=2¥ —‹ -2

x와 y를 서로 바꾸면 역함수는　y=2≈ —‹ -2=g(x)-2 따라서 함수 f(x+2)의 역함수는g(x)-2이다.

정답_ ④

234

(gΩf)(x)=x이므로 g(x)는 f(x)의 역함수이다.

y=1+3 log™ x에서　 y-1=3 log™ x

=log™ x, 2 =x

x와 y를 서로 바꾸면 f(x)의 역함수는　g(x)=2

∴g(13)=2 =2› =16

정답_ 16

112313-13

113x-13 113y-13

113y-13

235

g(x)가 f(x)의 역함수이므로

(gΩgΩg)(k)=( f —⁄ Ωf —⁄ Ωf —⁄ )(k)

=( fΩfΩf)—⁄ (k)=18

∴k=( fΩfΩf)(18)=( fΩf)(7)=f {;2#;}

∴ k=log™ ;2#;-2=log™ 3-log™ 2-2

∴ k=log™ 3-3

정답_ ②

236

② 그래프는 점 (1, 0)을 지난다.

③ 점근선은 x=0이다.

④ 밑이 1보다 큰 로그함수이므로 x¡<x™이면 f(x¡)<f(x™)이 다.

⑤ 그래프는 y=2^x의 그래프와 직선 y=x에 대하여 대칭이다.

정답_ ①

237

보기의 각 경우를 그래프로 그리면 다음과 같다.

ㄱ. ㄴ. ㄷ.

따라서 두 그래프가 항상 만나는 경우는 ㄴ, ㄷ이다.

정답_ ⑤

O x

y y=f{x}

y=g{x}

O x

y y=f{x}

y=g{x}

O x

y y=f{x}

y=g{x}

238

y=a+log™ (x-b)의 그래프의 점근선의 방정식이 x=b이므로　b=3

y=a+log™ (x-3)의 그래프가 점 (7, 5)를 지나므로 5=a+log™ 4에서　a=3

∴ a+b=6 정답_ 6

240

⑴ y=log™ (-x)의 그래프는

y=log™ x의 그래프를 y축에 대하여 대 칭이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

⑵ y=-log™ x, 즉 -y=log™ x의 그래 프는 y=log™ x의 그래프를 x축에 대 하여 대칭이동한 것이므로 오른쪽 그 림과 같다.

⑶ y=log£ (x+1)의 그래프는 y=log£ x의 그래프를 x축의 방향 으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

⑷ y=log£ 3x=1+log£ x 즉, y-1=log£ x의 그래프는

y=log£ x의 그래프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그 림과 같다.

정답_ 풀이 참조

O 1

1

x y

y=log£`x y=log£`3x

O 1 x

y y=-log™`x O

-1 x

y y=log™`{-x}

241

함수 y=log£ x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향 으로 -2만큼 평행이동한 함수는

y+2=log£ (x-1)

이 그래프가 점 (4, a)를 지나므로 a+2=log£ 3, a+2=1 ∴ a=-1

정답_ ①

242

y=log£ (6x-72)=log£ {3¥2(x-12)}

y=log£ 3+log£ 2(x-12)=1+log£ 2(x-12)

243

함수 y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동하면 y=log™ (x-a)

점 (9, 2)는 y=log™ (x-a)의 그래프 위의 점이므로 2=log™ (9-a), 9-a=2¤ ∴ a=5

한편, y=log∫ x에서 b>0, b+1이고

점 (9, 2)는 y=log∫ x의 그래프 위의 점이므로 2=log∫ 9, b¤ =9 ∴ b=3 (∵ b>0)

∴ 10a+b=10¥5+3=53 정답_ 53

244

ㄱ. y=log (2x+1)=log 2{x+;2!;}

ㄱ. y

=log 2+log {x+;2!;}

위의 함수의 그래프는 함수 y=log x의 그래프를 x축의 방향 으로 -;2!;만큼, y축의 방향으로 log 2만큼 평행이동한 것이다.

ㄴ. y=log ;2!;x=log x-log 2 ∴ y+log 2=log x 위의 함수의 그래프는 함수 y=log x의 그래프를 y축의 방향 으로 -log 2만큼 평행이동한 것이다.

ㄷ. y=2 log x-1의 그래프는 함수 y=log x의 그래프를 평행 이동 또는 대칭이동하여 겹쳐질 수 없다.

ㄹ. y=log (-x+1)=log {-(x-1)}

위의 함수의 그래프는 함수 y=log (-x)의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

한편, 함수 y=log (-x)의 그래프는 함수 y=log x의 그래 프를 y축에 대하여 대칭이동한 것이다.

따라서 함수 y=log x의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 겹쳐질 수 있는 식은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. ^{정답_ ⑤}

∴ y-1=log£ 2(x-12)

이 함수의 그래프는 함수 y=log£ 2x의 그래프를 x축의 방향으 로 12만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로

m=12, n=1 ∴ m+n=13 정답_ ③

245

점 A의 좌표를 (a, 2)라고 하면 log™ a=2 ∴ a=4

따라서 점 C의 좌표는 (2, 0), 점 E의 좌 표는 (2, 1)이므로

CE”=1 정답_ ①

y=log™ x

O 2

1 C 2 D E B A y

x

239

f(x)+3f{;[!;}=log™ x yy ㉠

㉠의 양변에 x 대신 ;[!;을 대입하면

f{;[!;}+3f(x)=log™ ;[!;=-log™ x yy ㉡

㉡_3-㉠을 하면　8f(x)=-4 log™ x

∴ f(x)=-;2!; log™ x

따라서 f(1)=0, f(2)=-;2!; 이므로 함수 y=f(x)의 그래프의

개형으로 알맞은 것은 ④이다. ^{정답_ ④}

O 1

-1 x

y

y=log£`x

y=log£{x+1}

∴ CD”=2^4k-2^-2k

=;5!;이므로　 =;5!;

분모, 분자에 각각 2^2k을 곱하면

=;5!;, =;5!;

=;5!;, =;5!;

2^3k+1=5, 2^3k=2²

3k=2 ∴ k=;3@; ^{정답_ ③}

1112^3k1+1 2^3k-1

11111121(2^3k-1)(2^3k+1) 2^3k-1 11113(2^3k)¤ -1 2^3k-1

1112^6k-1

2^k-2^-2k 111132^4k-2^-2k 11AB”CD”

246

직선 y=x 위의 점은 x좌표와 y좌표가 같으므로 그림에서

f(b)=b, f(c)=c

∴ f(b)f(c)=bc

한편, y=10≈ 의 그래프의 y절 편은 1이고, y=log x의 그래 프의 x절편은 1이므로 a, b, c 는 1보다 작고, a, p, q는 1보다 크다.

이때, 0<c<1에서 0<bc<b이므로 주어진 다섯 개의 값 중 f(b)f(c)=bc에 가장 가까운 것은 a이다. 정답_ ①

1

O å ç a 1 x

ç

∂ s r p q

∫

∫

c b d y

y=log`x y=10

^x

y=x

247

QR”=2이므로　b-a=2 두 점 Q, R의 y좌표가 같으므로

log_;2!;a=log™ b, log™—⁄a=log™ b, -log™ a=log™ b log™ a+log™ b=0, log™ ab=0 ∴ ab=1

∴ a¤ +b¤ =(b-a)¤ +2ab=2¤ +2¥1=6 정답_ ②

249

점 A의 x좌표를 a라고 하면 log;4!;a=k에서 a={;4!;}k =2^-2k

점 B의 x좌표를 b라고 하면 log™ b=k에서　b=2˚

∴ AB”=b-a=2^k-2^-2k

점 C의 x좌표가 2^-2k이므로 점 C의 y좌표는 log™ 2^-2k=-2k

점 D의 x좌표를 d라고 하면 log;4!;d=-2k에서 d={;4!;}^-2k=2^4k

248

함수 y=2≈ —¤ 에서　x-2=log™ y, x=log™ y+2 x와 y를 서로 바꾸면 역함수는　y=log™ x+2

함수 y=log™ x+2의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 a만큼 평행이동하면 함수 y=log™ (x+2)+a+2의 그래프이므로　

g(x)=log™ (x+2)+a+2

두 함수 f(x)=2≈ —¤ , g(x)=log™ (x+2)+a+2의 그래프가 직선 y=1과 만나는 점은 각각 A(2, 1), B(2—å —⁄ -2, 1)이다.

선분 AB의 중점의 좌표가 (8, 1)이므로

=8, 2—å —⁄ =16=2› , -a-1=4

∴ a=-5 정답_ -5

2+2—å —⁄ -2 1111122

250

b<a<1의 각 변에 밑이 a인 로그를 취하면

logå b>logå a>logå 1 ∴ logå b>1>0 yy ㉠ b<a<1의 각 변에 밑이 b인 로그를 취하면

log∫ b>log∫ a>log∫ 1 ∴ 1>log∫ a>0 yy ㉡ logå ;bA;=logå a-logå b=1-logå b

이때, ㉠에서 1-logå b<0이므로　logå ;bA;<0 yy ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의해　logå ;bA;<log∫ a<logå b ^{정답_ ⑤}

251

1<x<3의 각 변에 밑이 3인 로그를 취하면 0<log£ x<1

⁄A-B=log£ x¤ -(log£ x)¤

=(2-log£ x)log£ x>0

⁄

∴ B<A

¤0<log£ x<1에서　0<B=(log£ x)¤ <1

⁄

log£ x<1의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면

⁄

C=log£ (log£ x)<0

∴ C<B

⁄, ¤에서　C<B<A 정답_ ①

252

위의 그림에서 P(a, log (a+1)), Q(b, log (b+1))이므로 세 직선 OP, PQ, OQ의 기울기를 각각 m¡, m™, m£이라고 하면 m¡= log (a+1)-0 =;a!; log (a+1)=A

111115513a-0

O

P Q

a b x

y y=log{x+1}

m™= = log =C

m£= =;b!; log (b+1)=B

이때, 그림에서 m™<m£<m¡이므로　C<B<A ^{정답_ ⑤} log (b+1)-0

111115513b-0

113a+1b+1 113b-a1

log (b+1)-log (a+1) 1111155131111b-a

253

⑴ x=;10!0;일 때 y=log ;10!0;=-2, x=1000일 때 y=log 1000=3이므로 최댓값은 3, 최솟값은 -2이다.

⑵ x=2일 때 y=log_;2!;8=-3, x=8일 때 y=log_;2!;32=-5이 므로 최댓값은 -3, 최솟값은 -5이다.

⑶ x=3일 때 y=log£ 9=2, x=12일 때 y=log£ 27=3이므로 최댓값은 3, 최솟값은 2이다.

⑷ x=1일 때 y=log;3!;3+3=2, x=4일 때 y=log_;3!;9+3=1 이므로 최댓값은 2, 최솟값은 1이다.

정답_ ⑴ 최댓값：3, 최솟값：-2 ⑵ 최댓값：-3, 최솟값：-5

⑶ 최댓값：3, 최솟값：2 ⑷ 최댓값：2, 최솟값：1

254

-;3@;…x…26에서　;3!;…x+1…27 각 변에 밑이 ;3!;인 로그를 취하면 log_;3!;27…log_;3!;(x+1)…log_;3!;;3!;

log£—⁄3‹ …log_;3!;(x+1)…1

∴ -3…y…1

따라서 a=-3, b=1이므로　a+b=-2 ^{정답_ ③}

255

y=log_;2!;(x-a)에서 밑이 1보다 작으므로 감소함수이다.

⁄x=8일 때, 최솟값 -2를 가지므로

⁄

-2=log_;2!;(8-a), 8-a={;2!;}- 2 =2¤ =4 ∴ a=4

¤x=6일 때, 최댓값 M을 가지므로

⁄

M=log_;2!;(6-4)=log™_—⁄2=-1

∴ aM=4¥(-1)=-4 ^{정답_ ④}

256

y=log™ (3x-1)+k에서 밑이 1보다 크므로 증가함수이다.

x=1일 때, 최솟값은　y=log™ 2+k=1+k x=3일 때, 최댓값은　y=log™ 8+k=3+k 최댓값이 최솟값의 2배이므로

3+k=2(1+k) ∴ k=1 정답_ ⑤

257

⑴ x¤ -2x+3=(x-1)¤ +2의 최솟값은 2이고, 밑이 1보다 크 므로 주어진 함수는 최솟값 log™ 2=1을 갖는다.

⑵ -x¤ +4x+5=-(x-2)¤ +9의 최댓값은 9이고, 밑이 1보 다 크므로 주어진 함수는 최댓값 log£ 9=2를 갖는다.

⑶ x¤ +2x+4=(x+1)¤ +3의 최솟값은 3이고, 밑이 1보다 작 으므로 주어진 함수는 최댓값 log;3!;3=-1을 갖는다.

⑷ -x¤ +8x+16=-(x-4)¤ +32의 최댓값은 32이고, 밑이 1보다 작으므로 주어진 함수는 최솟값 log_;2!;32=-5를 갖는다.

정답_ ⑴ 최솟값：1 ⑵ 최댓값：2

⑶ 최댓값：-1 ⑷ 최솟값：-5

258

f(x)=x¤ -2x+3으로 놓고

f(x)=(x-1)¤ +2의 그래프를 그린 후, -1…x…2의 부분만 잘라내면 오른 쪽 그림과 같다.

이때, f(x)는 x=1일 때 최솟값 2, x=-1일 때 최댓값 6을 가지므로 2…f(x)…6에서

log_;2!;6…log_;2!;f(x)…log_;2!;2 ∴ -log™ 6…y…-1 따라서 주어진 함수의 최댓값은 -1이다. ^{정답_ ⑤}

-1 1 2 x

f(x)={x-1}@+2

259

y=x¤ -2x+5=(x-1)¤ +4는 최솟값 4를 갖는다.

y=logå (x¤ -2x+5)가 최솟값을 가지려면 밑이 1보다 커야 하 므로　a>1

이때, y=logå (x¤ -2x+5)의 최솟값이 2이므로 logå 4=2에서　a¤ =4

∴ a=2 (∵ a>1) ^{정답_ ⑤}

260

y=(log™ x)¤ -2 log™ x-8에서 log™ x=t로 놓으면　 y=t¤ -2t-8=(t-1)¤ -9

이때, ;4!;…x…4이므로　log™ ;4!;…log™ x…log™ 4 log™ 2^-2…log™ x…log™ 2²

∴ -2…t…2

y=(t-1)¤ -9의 그래프를 그린 후, -2…t…2의 부분만 잘라내면 오른쪽 그림과 같다.

t=-2일 때 최댓값 0, t=1일 때 최솟 값 -9를 가지므로

M=0, m=-9

∴ M+m=-9 정답_ ⑤

y=(t-1)@-9

1 2

-2 t

261

y=(log£ x)(log_;3!;x)+2 log£ x+10

y=(log£ x)(-log£ x)+2 log£ x+10 y=-(log£ x)¤ +2 log£ x+10

log£ x=t로 놓으면　y=-t¤ +2t+10=-(t-1)¤ +11 이때, 1…x…81이므로　

log£ 1…log£ x…log£ 81, log£ 1…log£ x…log£ 3›

∴ 0…t…4

y=-(t-1)¤ +11의 그래프를 그린 후, 0…t…4의 부분만 잘라내면 오른쪽 그 림과 같다.

t=4일 때 최솟값 2, t=1일 때 최댓값 11을 가지므로

M=11, m=2 ∴ M+m=13

정답_ ③

262

y={log™ ;4{;}{log¢ ;2{;}={log™ }{log^2¤ ;2{;}

y

=;2!;(log™ x-log™ 2¤ )(log™ x-log™ 2)

y

=;2!;(log™ x-2)(log™ x-1)

log™ x=t로 놓으면　

y=;2!;(t-2)(t-1)=;2!;(t¤ -3t+2)

y

=;2!;{t-;2#;}¤ -;8!;

따라서 t=;2#;일 때, 최솟값 -;8!;을 갖는다.

log™ x=;2#;에서 x=2^;2#;=2'2이므로

a=2'2, b=-;8!; ∴ a¤ b=8¥{-;8!;}=-1 ^{정답_ ①} 142¤x

264

y= ÷x^{log x}의 양변에 상용로그를 취하면

log y=log { ÷x^{log x}}=log { }

log y=log x› -log 100-log x

^{log x}

log y=-(log x)¤ +4 log x-2

152125100xx›^{log x} 152100x›

152100x›

265

y=4x¤ —^{log™ x}의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 log™ y=log™ 4x¤ —^{log™ x}=log™ 4+log™ x¤ —^{log™ x}

=2+(2-log™ x)log™ x

=-(log™ x)¤ +2 log™ x+2 log™ x=t로 놓으면　

log™ y=-t¤ +2t+2=-(t-1)¤ +3 이므로 t=1일 때, log™ y는 최댓값 3을 갖는다.

log™ y=3에서　y=8

따라서 주어진 함수의 최댓값은 8이다. 정답_ ①

266

y=(100x)^{6-log x}의 양변에 상용로그를 취하면 log y=log (100x)^{6-log x}=(6-log x)log 100x

=(6-log x)(2+log x)

=-(log x)¤ +4 log x+12 log x=t로 놓으면　

log y=-t¤ +4t+12=-(t-2)¤ +16 이때, 1…x…1000이므로　0…t…3 log y=-(t-2)¤ +16의 그래프를 그 린 후, 0…t…3의 부분만 잘라내면 오 른쪽 그림과 같다.

t=2일 때 최댓값 16, t=0일 때 최솟 값 12를 가지므로

12…log y…16 ∴ 10⁄ ¤ …y…10⁄ fl 따라서 M=10⁄ fl , m=10⁄ ¤ 이므로　

=513310⁄ fl10⁄ ¤ =10› 정답_ ② 513Mm

267

x>1에서 log™ x>0, logÆ 16>0이므로 산술평균과 기하평균 의 관계에 의해

log™ x+logÆ 16æ2'ƒlogƒ™ x¥l∂ogƒÆ 16

log£ x+logÆ 16

=2æ≠log™ x¥

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