1
①2
83
04
-25
ㄱ, ㄷ6
2j3-43
7
18
4p9
110
②11
-25712
③13
⑤14
-815
③16
④17
-1218
-2j3319
-ln 2920
②21
③22
-p@123
③24
5j2225
p26
127
①28
129
dxdy=- 2x+yx+2y (단, x+2y=0)30
-2p
31
②32
-2033
②34
②35
2j3336
1737
e+1138
1539
⑤40
2+ln 241
342
543
248
h{x}=f{x}g{x}에서h'{x}=f '{x}g{x}+f{x}g '{x}
이때 f{x}=2 cos x+sin x-x에서 f '{x}=-2 sin x+cos x-1이므로 f{0}=2, f '{0}=0
/ h'{0} =f '{0}g{0}+f{0}g '{0}
=0\g{0}+2\g '{0}
=2g '{0}
따라서 2g '{0}=20이므로 g '{0}=10
49
f{x} =limh`!0
x sin {x+h}-x sin x h
=x lim
h`!0
sin {x+h}-sin x h
=x{sin x}'
=x cos x
/ f '{x}=cos x-x sin x / f '[ p2 ]=cos p
2-p 2 sin p
2=-p 2
50
f{x}가 모든 실수 x에서 미분가능하면 x=0에서도 미분가 능하므로 x=0에서 연속이다.x`lim!0+{eX cos x+a}= lim
x`!0-{bx+2}=f{0}
1+a=2 / a=1 또 f '{0}이 존재하므로
f '{x}=- eX{cos x-sin x} {x>0}
b {x<0}에서
x`lim!0+ 9eX{cos x-sin x}0= lim
x`!0- b / b=1
/ a+b=2
51
sin@ x=sin x sin x이므로 {sin@ x}'=2 cos x sin x sin# x=sin x sin x sin x이므로 {sin# x}'=3 cos x sin@ x ⋮{sinN x}'=n cos x sinN_!x
/ fn'{x}=cos x+2 cos x sin x+3 cos x sin@ x +y+n cos x sin N_! x / f '10[ p4 ]-f '9[ p4 ]
=10\cos p4\sin( p4 =10\[ j22 ]!) = 5
16
유 형 편
1
f '{x} ={1+sin x}'cos x-{1+sin x}{cos x}' {cos x}@=cos x\cos x-{1+sin x}{-sin x}
cos@ x =cos@ x+sin x+sin@ x
cos@ x =1+sin x
1-sin@ x = 1+sin x
{1+sin x}{1-sin x}
= 1 1-sin x / f '[ p6 ]= 1
1-1 2
=2
2
f '{x} ={ax+b}'{x@+x+1}-{ax+b}{x@+x+1}'{x@+x+1}@
=a{x@+x+1}-{ax+b}{2x+1}
{x@+x+1}@
=-ax@-2bx+a-b {x@+x+1}@
f '{-1}=3에서 -a+2b+a-b {1-1+1}@ =3
/ b=3 yy ㉠
f '{0}=2에서
a-b=2 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 a=5 / a+b=8
3
limh`!0 f{1+h}-f{1}
h =f '{1}
이때 f{x}=x@+1 eX 에서
f '{x} ={x@+1}'eX-{x@+1}{eX}' {eX}@
=2xeX-{x@+1}eX e@X =-{x@-2x+1}eX
e@X =-{x-1}@
eX / f '{1}=0
4
g '{x} =-9xf{x}+10' 9xf{x}+10@=- f{x}+xf '{x}
9xf{x}+10@
/ g '{0} =- f{0}
{0+1}@
=-f{0}=-2
5
ㄱ. f '{x}=sec@ x에서 f '{0}=1이므로 x=0에서의 미 분계수가 존재한다.ㄴ. g '{x}=csc x-x csc x cot x는 x=0에서 정의되지 않으므로 g '{0}이 존재하지 않는다.
ㄷ. h'{x}=sec x+x sec x tan x에서 h'{0}=1이므로 x=0에서의 미분계수가 존재한다.
따라서 x=0에서의 미분계수가 존재하는 것은 ㄱ, ㄷ이다.
6
f '{x} =sec x tan x-csc@ x 따라서 점 [p3 , f [ p
3 ]]에서의 접선의 기울기는 f '[p
3 ] =sec p 3 tan
p 3 -csc@
p 3 =2\j3-[ 2j3 ]@
=2j3- 43
7
limh`!0
f{h}-f{-h}
2h
=limh`!0
f{h}-f{0}+f{0}-f{-h}
2h
=1 2 lim
h`!0
f{h}-f{0}
h +1
2 lim
h`!0
f{-h}-f{0}
-h
=1
2 f '{0}+1 2 f '{0}
=f '{0}
이때 f '{x}=cos x {1+tan x}-sin x sec@ x {1+tan x}@ 이므로 f '{0} =1\1-0\1@
{1+0}@ =1
8
f '{x} =sec x tan x csc x+sec x {-csc x cot x}=sec@ x-csc@ x f '{a}=0에서
sec@ a=csc@ a, 1
cos@ a= 1 sin@ a 따라서 cos@ a=sin@ a에서 cos a=sin a 또는 cos a=-sin a
! cos a=sin a에서 a=p
4 또는 a=5
4p {? 0<a<2p}
@ cos a=-sin a에서 a=3
4p 또는 a=7
4p {? 0<a<2p}
!, @에 의해 구하는 모든 a의 값의 합은 p
4 +3
4p+ 54p+ 74p=4p
14
limx`!0
f{x}-1
x =-2에서 lim
x`!0 x=0이고 극한값이 존재하 므로
limx`!0 9 f{x}-10=0 / f{0}=1 / lim
x`!0 f{x}-1 x =lim
x`!0 f{x}-f{0}
x =f '{0}=-2 또 lim
x`!1
g{x}-3
x-1 =4에서 limx`!1 {x-1}=0이고 극한값이 존재하므로
limx`!1 9 g{x}-30=0 / g{1}=3 / lim
x`!1
g{x}-3 x-1 =lim
x`!1
g{x}-g{1}
x-1 =g '{1}=4 이때 y={g`J`f}{x}=g{ f{x}}에서
y'=g '{ f{x}}f '{x}이므로 x=0에서의 미분계수는 g '{ f{0}}f '{0}=g '{1}f '{0}=4\{-2}=-8
15
h{x}=f{g{x}}라 하면 h{1}=f{g{1}}=f{1}=-2 / limx`!1
f{g{x}}+2 x-1 =lim
x`!1
h{x}-h{1}
x-1 =h'{1}
이때 h'{x}=f '{ g{x}}g '{x}이므로 h'{1} =f '{g{1}}g '{1}
=f '{1}g '{1}=4\3=12
16
f '{x} = {2X-1}'{2X-1} ln 3= 2X ln 2 {2X-1} ln 3 / f '{1}=2 ln 2
ln 3
17
f '{x} ={x$+ax@-2}'x$+ax@-2 = 4x#+2ax x$+ax@-2 이때 f '{-1}=2이므로
-4-2a
a-1 =2, -2a-4=2a-2 4a=-2 / a=-1
2
18
f{x} =ln q 1+cos x1-cos x e=12 ln 1+cos x 1-cos x =1
2 9ln {1+cos x}-ln {1-cos x}0 / f '{x} =1
2 -
{1+cos x}'
1+cos x -{1-cos x}' 1-cos x = =1
2 [ -sin x
1+cos x- sin x 1-cos x ]
=-sin x {1-cos x}-sin x {1+cos x}
2{1-cos@ x}
=-2 sin x 2 sin@ x =- 1
sin x / f '[p
3 ] =-2j3 3
9
f '{x} =3[ 2x+ax+1 ]@[2x+a x+1 ]'
=3[ 2x+ax+1 ]@\2{x+1}-{2x+a}
{x+1}@
=3{2x+a}@{2-a}
{x+1}$
이때 f '{0}=3이므로
3a@{2-a}=3, a#-2a@+1=0 {a-1}{a@-a-1}=0 / a=1 {? a는 정수}
10
f '{x} =3cos x ln 3{cos x}'=-3cos x ln 3\sin x / f '[p
2 ]=-3cos2" ln 3\sin p 2 =-ln 3
11
h{x}={ f`J`g}{x}=f{g{x}}이므로 h'{x}=f '{g{x}}g '{x}/ h'{0}=f '{g{0}}g '{0}
f '{x} =x@+1-{x+1}\2x {x@+1}@
=-x@-2x+1 {x@+1}@
이고 g{0}=3이므로 f '{g{0}}=f '{3}=- 7
50 또 g '{x}=2x+2이므로 g '{0}=2
/ h'{0} =- 7
50\2=- 7 25
12
f{x}=eX+e@X+e#X+y+e!)X이라 하면 f{0}=10이므로limx`!0
eX+e@X+e#X+y+e!)X-10 x
=limx`!0
f{x}-f{0}
x
=f '{0}
이때 f '{x}=eX+2e@X+3e#X+y+10e!)X이므로 f '{0}=1+2+3+y+10=10\11
2 =55
13
y' =39xf{x}0@\9xf{x}0'=39xf{x}0@9 f{x}+xf '{x}0 따라서 x=3에서의 미분계수는 393f{3}0@\9 f{3}+3f '{3}0
=3\3@\{1+9}
=270
유 형 편
19
limh`!0 f{2h}-f{-h}
h
=limh`!0
f{2h}-f{0}+f{0}-f{-h}
h
=2 lim
h`!0 f{2h}-f{0}
2h +lim
h`!0 f{-h}-f{0}
-h
=2f '{0}+f '{0}=3f '{0}
이때 f{x}=log2 |e#X-2|에서 f '{x}= {e#X-2}'
{e#X-2} ln 2= 3e#X {e#X-2} ln 2 / 3f '{0}=3\[- 3
ln 2 ]=- 9 ln 2
20
주어진 식의 양변에 자연로그를 취하면 ln f{x}=x ln x양변을 x에 대하여 미분하면 f '{x}
f{x}=ln x+1
/ f '{x} =f{x}\{ln x+1}
=xx{ln x+1}
/ f '{1}=1
21
주어진 식의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ln |f{x}| =4 ln|x|+3 ln |x-1|-2 ln |x-2|-ln |x-3|
양변을 x에 대하여 미분하면 f '{x}
f{x} =4 x+ 3
x-1- 2 x-2- 1
x-3 / lim
x`!4
f '{x}
f{x} =limx`!4[ 4x+ 3 x-1- 2
x-2- 1 x-3 ]
=1+1-1-1=0
22
f{p}=1 p 이므로limx`!p
f{x}-1 x-p =limp x`!p
f{x}-f{p}
x-p =f '{p}
f{x}=xcos x의 양변에 자연로그를 취하면 ln f{x}=ln xcos x=cos x ln x
양변을 x에 대하여 미분하면 f '{x}
f{x} =-sin x ln x+cos x x
/ f '{x} =f{x}\[-sin x ln x+ cos xx ] =xcos x[-sin x ln x+ cos xx ] / f '{p} =pcos p[-sin p ln p+ 1p cos p]
=- 1 p@
23
f{x}=1x$+2x@3+23={x$+2x@+2}2!이므로 f '{x} =12{x$+2x@+2}_2!{x$+2x@+2}'
= 2x#+2x 1x$+2x@3+23 따라서 f '{-1}= -4
j5=a, f '{1}= 4
j5=b이므로 ab=-4
j5\4 j5=-16
5
24
f '{x} =5{x+1x@-23}${x+1x@-23}'=5{x+1x@-23}$[1+ 2x 21x@-23]
=5{x+1x@-23}$\ x+1x@-23 1x@-23
=5{x+1x@-23}%
1x@-23 따라서 g{x}= 5
1x@-23이므로 g{2}= 5
j4-2l=5j2 2
25
f{x}= 1j1-cos xl={1-cos x}_2!이므로 f '{x} =-1
2{1-cos x}_2#{1-cos x}'
=- sin x 21{1-cos 3x}#3 이때 f '{a}=0이므로 - sin a
21{1-cos 3a}#3=0, sin a=0 / a=p {? 0<a<2p}
26
dxdt=eT cos t-eT sin t=eT{cos t-sin t}dy
dt=eT sin t+eT cos t=eT{sin t+cos t}
/ dy dx =
dy dt dx dt
=eT{sin t+cos t}
eT{cos t-sin t}
=sin t+cos t cos t-sin t 따라서 t=0일 때, dy
dx의 값은 0+1
1-0=1
32
점 {1, 1}이 곡선 5x@+3y@+axy+b=0 위의 점이므로dx=-10x-ay / dy
=2jt{2t+a}
t=1에 대응하는 점에서의 접선의 기울기가 6이므로
유 형 편
36
g{1}=a라 하면 f{a}=1이므로 a#+4a+6=1, a#+4a+5=0 {a+1}{a@-a+5}=0 / a=-1/ g{1}=-1
이때 f '{x}=3x@+4이므로 f '{-1}=7
/ g '{1} = 1
f '{ g{1}}= 1 f '{-1}=1
7
37
{ g`J`f }{x}=x이므로 g{x}=f _!{x}g{e}=a라 하면 f{a}=e이므로 eA+ln a=e
/ a=1 / g{e}=1 이때 f '{x}=eX+1
x 이므로 f '{1}=e+1
/ g '{e} = 1
f '{ g{e}}= 1 f '{1}= 1
e+1
38
limx`!1
f{x}-4
x-1 =5에서 lim
x`!1 {x-1}=0이고 극한값이 존 재하므로
limx`!1 9 f{x}-40=0 / f{1}=4 / g{4}=1
또 lim
x`!1
f{x}-4 x-1 =lim
x`!1
f{x}-f{1}
x-1 =f '{1}이므로 f '{1}=5
/ g '{4} = 1
f '{ g{4}}= 1 f '{1}=1
5
39
limh`!0
g{1+h}-g{1-h}
h =lim
h`!0
g{1+h}-g{1}+g{1}-g{1-h}
h
=lim
h`!0
g{1+h}-g{1}
h +lim
h`!0
g{1-h}-g{1}
-h
=g '{1}+g '{1}=2g '{1}
g{1}=a라 하면 f{a}=1이므로 eA_@=1, a-2=0
/ a=2 / g{1}=2
이때 f '{x}=eX_@이므로 f '{2}=1
/ 2g '{1} =2\ 1
f '{g{1}}=2\ 1 f '{2}=2
40
f '{x}=eAX"B+x\a\eAX"B={1+ax}eAX"B f "{x} =a\eAX"B+{1+ax}\a\eAX"B=a{2+ax}eAX"B 이때 f '{0}=2e이므로 f '{0}=eB=2e
/ b=ln 2e=1+ln 2 yy ㉠
f "{0}=4e이므로 f "{0}=2aeB=4e 위의 식에 ㉠을 대입하면
2a\2e=4e, 4ae=4e / a=1
/ a+b=2+ln 2
41
f '{x}=2x ln x+x@\1x=2x ln x+x이므로 f '{1}=1
/ lim
x`!1
f '{x}-1 x-1 =lim
x`!1
f '{x}-f '{1}
x-1 =f "{1}
이때 f "{x}=2 ln x+2x\1
x+1=2 ln x+3이므로 f "{1}=3
42
y'=2e@X sin x+e@X cos x=e@X{2 sin x+cos x}y" =2e@X{2 sin x+cos x}+e@X{2 cos x-sin x}
=e@X{3 sin x+4 cos x}
y"-4y'+ky=0에서
e@X{3 sin x+4 cos x}-4e@X{2 sin x+cos x}
+ke@X sin x=0 {k-5}e@X sin x=0
위의 등식이 x의 값에 관계없이 항상 성립하므로 k-5=0 / k=5
43
조건 ㈏에 의해 limx`!1
f '{ f{x}}-4
x-1 =6에서 lim
x`!1 {x-1}=0 이고 극한값이 존재하므로
limx`!1 9 f '{ f{x}}-40=0 / f '{ f{1}}=4
/ lim
x`!1 f '{ f{x}}-4 x-1 =lim
x`!1- f '{ f{x}}-f '{ f{1}}
f{x}-f{1} \ f{x}-f{1}
x-1 =
=f "{ f{1}}f '{1}
=f "{2}\3
=3f "{2}
따라서 3f "{2}=6이므로 f "{2}=2
01 접선의 방정식과 함수의 그래프 II-3.
도함수의 활용1
⑴ 32 ⑵ e#⑶ 1ln 10 ⑷ 2
2
⑴ y=-2x+4⑵ y= 23x+5 3
⑶ y=x
⑷ y= 1ex
3
⑴ [p 4, 0]⑵ y=-2x+p 2
4
⑴ 극댓값: 없다., 극솟값: - 1e⑵ 극댓값: 23p+j3, 극솟값: 없다.
5
⑴ x< 23 에서 위로 볼록, x>23 에서 아래로 볼록
⑵ 위로 볼록
6
⑴ {0, -1}, {1, 0}⑵ [p 2, p
2 ]
7
⑴x y
O -1
1 j3 -j3
2!
-2!
j3 4
j3 - 4
⑵
x y
O -1 기초 문제