1.코깅 토크 및 토크 리플 산정
전동기의 토크를 계산하는 방법 중에는 유한요소법(Finite Element Mtehod)중 맥스웰 응력 텐서법(MaxwellStressTensorMethod)이 가장 널리 사용되며,2차원 원통형 대칭일 경우,발생 토크는 식 (21)과 같다 [18].
(21)여기서,은 텐서라인 반지름,은 적층 길이,은 텐서라인에 있는 노 드의 반경방향 자속 밀도,는 텐서라인에 있는 노드의 접선방향 자속 밀도이다.맥스웰 응력 텐서법은 텐서라인의 반지름 을 어떻게 설정하느 냐에 따라 토크 계산 값이 변하는 단점이 있다.대개 전동기를 해석할 때, 텐서라인을 공극 중심에 잡고,텐서법을 수행하는 경우가 많으나,이는 근 거도 없고 실험 결과와의 오차도 상당히 발생하게 된다.따라서 반지름 에 대한 토크값 계산 오차를 없애기 위해서,텐서법을 전동기 공극에 있 는 모든 반지름에 대해 수행하여 그 결과의 평균치를 토크로 산정하는 방 법을 적용하여야 하는데 그 수식은 식 (22)와 같다.
(22)여기서,N은 와 사이의 텐서라인의 개수,는 고정자 내경 반지름,
은 회전자 외경 반지름이다.
(a)AxisofMagnet'sCenter=AxisofTeeth'sCenter
(b)AxisofMagnet'sCenter≠ AxisofTeeth'sCenter
Fig.9.CoggingTorqueofPMSM
영구자석 동기전동기에서는 토크뿐만 아니라 코깅 토크(Cogging Torque)역시 전동기의 중요한 특성 중에 하나이다.코깅 토크는 무여자
시 고정자 치(Teeth)와 회전자의 자석 간에 발생하는 원주 방향의 전자기 적 힘을 의미한다.
그림 9에 영구자석 동기전동기의 코깅 토크를 나타내었다.자석의 중심 축이 고정자 치의 중심축 및 슬롯의 중심축과 일치할 때는 발생하지 않으 나,그 외의 경우,즉 자속이 불균형을 이룰 때 발생한다.이는 곧 토크리 플(Toque Ripple)로 작용하여 전동기의 소음과 진동을 유발한다.따라서 코깅 토크는 가능한 작게 설계하여야 한다.하지만 코깅 토크가 줄어듦으 로서 최대 토크의 값도 변할 수 있으므로 설계자의 충분한 고려가 필요하 다.일반적으로 코깅 토크는 식 (23)으로 나타낼 수 있다[20].
∞
sin
sin (23)
여기서, n=kS,k=1,2,… 이며,S는 슬롯 수와 극 수의 최소공배수,D
는 회전자 외경,는 적층 길이,는 스큐각,
sin
는 스큐효과,
은 공극 퍼미언스의 n차 공간 고조파,은 자석에 의한 자속 분포의 n차 고조파,는 회전자의 회전각도이다.코깅 토크의 기계각 한 주기는 다음과 같이 계산된다.
(24)
여기서,LCM은 최소공배수를 의미한다.코깅 토크는 식 (24)만큼 구하 며,대개 그 주기의 1/20의 간격으로 해석을 하면,만족할 만한 회전자의 위치에 따른 코깅 토크 값을 얻을 수 있다.또한 코깅 토크 해석 시에는
보다 정확한 공극 자속 밀도의 변화량을 계산하기 위해 공극 요소의 크기 를 충분히 작게 해야 한다.
토크 리플은 입력 전류의 시간 고조파 성분,철심의 자계 포화의 비선 형성과 회전자의 위치에 따른 자기저항의 변화로 인해 발생하는 인덕턴스 의 고조파 성분,자석 쇄교 자속의 고조파 성분으로 부하 인가 시에도 발 생 토크의 리플 현상이 발생한다.토크 리플은 3상 정현파 전류 인가 시 에 다음과 같은 기계각 한주기를 가진다.
×상수
(25)
여기서,P는 극수이다.토크리플은 코깅토크 변화 양상을 구하는 방법 과 동일하다.다만 코깅토크는 전류를 인가하지 않은 상태에서 토크를 계산하지만 토크 리플은 식 (18)∼(20)를 이용하여 매 회전 스텝시마다 각 상 전류를 인가하여 수치해석을 수행한다는 점에서 차이가 있다.
2.센터포스트 설계 변수에 따른 전자기 특성 해석
그림 10에 무여자 시 기본 모델의 자속 밀도 분포를 나타내었다.이 때 기본 모델의 경우 최대 자속 밀도는 1.98[T]가 발생되었다.그림 11에 센 터포스트의 폭이 0.2[mm]일 때의 무여자 시 자속밀도를 나타내었으며,그 림 (a)는 Air-barrier폭 조절에 의한 방법이며,그림 (b)는 영구자석과 Air-barrier이동에 의한 방법이다.그림 11로부터,센터포스트의 폭이 좁 아질수록 센터포스트에서 자속의 포화정도가 강함을 알 수 있다.
이 때 Air-barrier폭 조절에 의한 방법은 최대 자속밀도가 2.01[T]가 발생되었고,영구자석과 Air-barrier이동에 의한 방법은 2.20[T]이 발생 되었다.그림 12에 센터포스트 폭 조절에 따른 코깅 토크 변화를 나타낸 다.극 수 및 슬롯 수 조합에 의해 기계각 5[deg]마다 반복되는 파형을 갖는다.그림 12(a)는 Air-barrier폭 조절에 의한 방법이며,그림 12(b)는 영구자석과 Air-barrier이동에 의한 방법이다.그림 12(a)로부터 기본모 델의 코깅 토크 최대값은 0.94[Nm]이 발생하였고,센터포스트의 폭이 0.2[mm]일 때의 코깅 토크 최대값 역시 0.94[Nm]이 발생하였다.이로써 Air-barrier폭 조절에 의한 방법으로 센터포스트의 폭을 조절할 경우의 코깅 토크는 변화가 없음을 확인 할 수 있었다.
하지만,그림 12(b)로부터 센터포스트의 폭이 0.2[mm]일 때의 코깅 토 크 최대값은 1.05[Nm]이 발생하였다.이로써 영구자석과 Air-barrier이동 에 의한 방법은 센터포스트의 폭이 좁을 수록 증가하는 것을 확인 할 수 있었다.
그림 13에 코깅 토크 pk-pk와 평균 대비를 나타내었다.그림 13(a)는 Air-barrier 폭 조절에 의한 방법이며, 그림 13(b)는 영구자석과 Air-barrier이동에 의한 방법이다.Air-barrier폭 조절에 의한 방법의 코
깅 토크 pk-pk는 2.01[Nm],평균 대비는 2.79[%]가 발생되었다.또한 영 구자석과 Air-barrier 이동에 의한 방법의 코깅토크 pk-pk는 1.98[Nm], 평균대비는 2.74[%]가 발생되었다.이로써 두가지 방법 모두 센터포스트 의 폭을 조절하였을 때 코깅토크 pk-pk와 평균대비는 거의 변화가 없음 을 확인 할 수 있었다.
Max. Magnetic Flux Density : 1.98 [T]
Fig.10.MagneticFluxDensityDistributionofBasicModel(NoLoad)
Max. Magnetic Flux Density : 2.01 [T] Max. Magnetic Flux Density : 2.20 [T]
(a)MethodbyAdjustmentof (b)MethodbyMovementofPMs Air-barrier'sWidth andAir-barrier
Fig.11.MagneticFluxDensityDistribution( NoLoad)-WidthofCenterpost:0.2[mm]
-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0 1 2 3 4 5
Mechanical angle [deg]
Cogging torque [Nm]
centerpost : 1.0 [mm]
centerpost : 0.8 [mm]
centerpost : 0.6 [mm]
centerpost : 0.4 [mm]
centerpost : 0.2 [mm]
(a)MethodbyAdjustmentofAir-barrier'sWidth
-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0 1 2 3 4 5
Mechanical angle [deg]
Cogging torque [Nm]
centerpost:1.0 [mm]
centerpost:0.8 [mm]
centerpost:0.6 [mm]
centerpost:0.4 [mm]
centerpost:0.2 [mm]
(b)MethodbyMovementofPMsandAir-barrier
Fig.12.CoggingTorqueWaveforms
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Width of centerpost [mm]
Cogging torque peak-to-peak [Nm] Cogging torque peak-to-average [%]
Value of peak-to-peak Value of peak-to-average
(a)MethodbyAdjustmentofAir-barrier'sWidth
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Width of centerpost [mm]
Cogging torque peak-to-peak [Nm] Cogging torque peak-to-average [%]
Value of peak-to-peak Value of peak-to-average
(b)MethodbyMovementofPMsandAir-barrier
Fig.13.ThePeak-to-PeakandPeak-to-Averageof CoggingTorque
그림 14에 여자 시 기본모델의 자속 밀도 분포를 나타내었다.그림 15 에 센터포스트의 폭이 0.2[mm]일 때의 여자 시 자속밀도를 나타내었다.
그림 15(a)는 Air-barrier폭 조절에 의한 방법이며,그림 15(b)는 영구자 석과 Air-barrier이동에 의한 방법이다.그림 15로부터,무여자 시와 동 일하게 센터포스트의 폭이 좁아질수록 센터포스트에서 자속의 포화정도가 강함을 알 수 있다.이 때 기본 모델의 경우 최대 자속 밀도는 2.10[T]가 발생되었으나,센터포스트의 폭이 0.2[mm]인 모델의 경우 Air-barrier폭 조절에 의한 방법은 최대 자속밀도가 2.32[T]가 발생되었고,영구자석과 Air-barrier이동에 의한 방법은 2.31[T]가 발생되었다.그림 16에 센터포 스트 폭 조절에 따른 토크 파형을 나타내었다.그림 16(a)는 Air-barrier 폭 조절에 의한 방법이며,그림 16(b)는 영구자석과 Air-barrier이동에 의한 방법이다.센터포스트의 폭이 0.2[mm]인 모델의 경우 Air-barrier폭 조절에 의한 방법은 최대 토크가 73.48[Nm]가 발생되어 기본모델보다 1.54[Nm] 상승하였고, 영구자석과 Air-barrier 이동에 의한 방법은 74.07[Nm]이 발생되어 기본모델보다 2.13[Nm]상승하였다.이로써,두가 지 방법 모두 센터포스트의 폭이 좁을 수록 토크가 상승하는 것을 확인할 수 있었다. 또한 Air-barrier 폭 조절에 의한 방법보다 영구자석과 Air-barrier이동에 의한 방법이 더욱 더 상승함을 확인하였다.그림 17에 센터포스트 폭 조절에 따른 토크 리플변화를 나타내었다.그림 17(a)는 Air-barrier 폭 조절에 의한 방법이며, 그림 17(b)는 영구자석과 Air-barrier이동에 의한 방법이다.
기본모델의 경우 토크리플은 10.32[%]로 발생되었지만,센터포스트의 폭을 Air-barrier 폭 조절에 의한 방법으로 0.2[mm]까지 조절한 경우 10.29[%]로 발생하여 기본모델보다 0.03[%]감소하였다.하지만 영구자석 과 Air-barrier 이동에 의한 방법으로 0.2[mm]까지 조절한 경우는
11.09[%]가 발생하여 기본모델보다 0.77[%]증가하였다.이 결과로부터 센 터포스트를 조절할 경우 두 가지 방법 모두 센터포스트의 폭이 좁을 수록 토크는 증가되었다.하지만 영구자석과 Air-barrier이동에 의한 방법은 토크 리플도 증가하는 것을 확인할 수 있었다.
Max. Magnetic Flux Density : 2.10 [T]
Fig.14.MagneticFluxDensityDistributionofBasicModel(Load)
Max. Magnetic Flux Density : 2.31 [T] Max. Magnetic Flux Density : 2.32 [T]
(a)Methodby Adjustmentof (b)Methodby MovementofPMs Air-barrier'sWidth andAir-barrier
Fig.15.MagneticFluxDensityDistribution( Load)-WidthofCenterpost:0.2[mm]
67 68 69 70 71 72 73 74
0 60 120 180 240 300 360
Mechanical angle [deg]
Torque [Nm]
centerpost : 1.0 [mm] centerpost : 0.8 [mm]
centerpost : 0.6 [mm] centerpost : 0.4 [mm]
centerpost : 0.2 [mm]
(a)MethodbyAdjustmentofAir-barrier'sWidth
67 68 69 70 71 72 73 74 75
0 60 120 180 240 300 360
Mechanical angle [deg]
Torque [Nm]
centerpost : 1.0 [mm] centerpost : 0.8 [mm]
centerpost : 0.6 [mm] centerpost : 0.4 [mm]
centerpost : 0.2 [mm]
(b)MethodbyMovementofPMsandAir-barrier
Fig.16.TheGeneratedTorqueWaveformsaccordingtothe AdjustmentofCenterpost'sWidth
0 2 4 6 8 10 12
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Width of centerpost [mm]
Torque ripple peak-to-peak [Nm] Torque ripple peak-to-average [%]
Value of peak-to-peak Value of peak-to-average
(a)MethodbyAdjustmentofAir-barrier'sWidth
0 2 4 6 8 10 12
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Width of centerpost [mm]
Torque ripple peak-to-peak [Nm] Torque ripple peak-to-average [%]
Value of peak-to-peak Value of peak-to-average
(b)MethodbyMovementofPMsandAir-barrier
Fig.17.TorqueRippleChangesaccordingtothe AdjustmentofCenterpost'sWidth
3.응력해석을 통한 센터포스트 결정
매입형 영구자석 동기전동기를 최대 속도로 운전 시 그에 따른 구조적 인 안정성의 검토를 위해 센터포스트 폭을 조절한 각각의 모델을 이용하 여 응력해석을 수행하였다.응력해석은 재질의 물성값을 고려해 최대 속 도인 14500[rpm]으로 일정하게 운전될 경우 작용하는 정하중 조건으로 진 행하였다.그림 18에 기본모델의 응력 분포를 나타내었다.그림 19에는 센 터포스트의 폭이 0.2[mm]일 때의 응력 분포를 나타내었다.그림 19(a)는 Air-barrier 폭 조절에 의한 방법이며, 그림 15(b)는 영구자석과 Air-barrier이동에 의한 방법이다.그림 19로부터 센터포스트 폭이 좁을 수록 응력이 센터포스트에 집중되는 것을 알 수 있었다.그림 20에 센터 포스트 폭 조절에 따른 최대 응력 및 안전계수 변화를 나타내었다.그림 20(a)는 Air-barrier폭 조절에 의한 방법이며,그림 20(b)는 영구자석과 Air-barrier이동에 의한 방법이다.이 때 기본 모델의 경우 최대 응력은 200.127[Mpa]가 발생되었다.하지만 센터포스트의 폭이 0.2[mm]인 모델의 경우 Air-barrier폭 조절에 의한 방법은 최대 응력이 448.58[Mpa]이 발 생되었고, 영구자석과 Air-barrier 이동에 의한 방법은 최대 응력이 447.52[Mpa]이 발생되었다.그림 20으로부터 두 가지 방법 모두 센터포스 트의 길이가 0.2[mm]일 때의 최대 응력이 회전자에 사용된 규소강판 (SiliconSteel)의 항복 강도인 440[Mpa]보다 높게 발생하여,고속 운전 시 회전자가 파괴될 우려가 있음이 확인되었다.안전계수 역시 0.98로 안정적 인 일반 기기에서의 안전계수보다 못 미치고 있다.그러므로 전자기적 특 성만 고려한다면 센터포스트의 폭이 0.2[mm]인 모델을 선택하는 것이 좋 지만 구조적인 특성까지 고려한다면 센터포스트의 폭을 0.2[mm]이상으로 선택하여 일반적인 기기의 적절한 안전계수인 1.3 이상으로 가져가는 것
이 안전하다고 볼 수 있다.
또한 본 논문에는 제시하지 않았지만 전동기의 내구 시험 중 동작/정지 시험에 따라 동하중 조건으로도 해석을 수행하고 시간에 따른 전동기의 피로 사이클을 고려하여 센터포스트의 폭을 설계할 필요가 있다.
Max. Stress : 200.127 [Mpa]
Fig.18.StressDistributionofBasicModel
Max. Stress : 448.58 [Mpa] Max. Stress : 447.72 [Mpa]
(a)Methodby Adjustmentof (b)Methodby MovementofPMs Air-barrier'sWidth andAir-barrier
Fig.19.StressDistribution-WidthofCenterpost:0.2[mm]
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Width of centerpost [mm]
Maximum stress [Mpa]
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Safety factor
Maximum stress Safety factor
항복강도: 440 [Mpa]
(a)MethodbyAdjustmentofAir-barrier'sWidth
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Width of centerpost [mm]
Maximum stress [Mpa]
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Safety factor
Maximum stress Safety factor
항복강도: 440 [Mpa]
(b)MethodbyMovementofPMsandAir-barrier
Fig.20.ChangesofMaximum StressesandSafetyFactor accordingtotheWidthofCenterpost