430 ∠BOC=2∠BAC - 정답 및

=2_72°

=144°

△OBC는 OB”=OC”인 이등변삼 각형이므로

∠OBC=;2!;_(180°-144°)=18° 18°

O A

B C

72æ

144æ

431

∠y=2∠BCD=2_100°=200°

∠BOD=360°-∠y=360°-200°=160°이므로

∠x=;2!;∠BOD=;2!;_160°=80°

∴ ∠x+∠y=80°+200°=280° ③

432

∠x=∠BDC=38°

△ABP에서 ∠x+∠y=60°이므로

∠y=60°-∠x=60°-38°=22°

∴ ∠x-∠y=38°-22°=16° 16°

433

반원에 대한 원주각의 크기는 90°이므로

∠BCD=90°

∠BDC=∠BAC=42°이므로 △BCD에서

∠x=90°-42°=48° 48°

434

BO”의 연장선이 원 O와 만나 는 점을 A'이라 하면

∠BAC=∠BA'C

반원에 대한 원주각의 크기는 90°

이므로

∠A'CB=90°

A'B”=10이므로 직각삼각형 A'BC에서 A'C”="√10¤ -8¤ =6

∴ cos A=cos A'= =;1§0;=;5#; ;5#;

원의 중심 O에서 BC”에 내린 수선의 발을 M 이라 하면 직각삼각형 OBM에서

BM”=;2!; BC”=4, OM”="√5¤ -4¤ =3

∴ cos A=cos(∠BOM)=OM”=;5#;

OB”

A'C”

A'B”

O A

B 5 C

436

^△ABP에서

∠BAP=∠BPC-∠ABP=75°-50°=25°

μAD : μ BC=∠ABD : ∠BAC이므로 μAD : 4=50 : 25

∴ μAD=8 (cm) 8 cm

438

∠x=2∠BAD=2_65°=130°

ABCD가 원 O에 내접하므로 65°+∠y=180°

∴ ∠y=115°

∴ ∠x-∠y=130°-115°=15° 15°

437

오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면 μAC의 길이가 원주의 ;5!;이 므로

∠ADC=180°_;5!;=36°

μBD의 길이가 원주의 ;1¡0;이므로

∠DAB=180°_;1¡0;=18°

따라서 △APD에서

∠APC=∠ADP+∠DAP

=36°+18°=54° 54°

B C

439

△OBC는 OB”=OC”인 이등변삼각형이므로

∠OCB=∠OBC=35°

따라서 ∠BOC=180°-(35°+35°)=110°이므로

∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_110°=55°

∴ ∠x=∠BAD=55°+27°=82° ③

435

μAC=μ BD이므로

∠DCB=∠ABC=25°

△PCB에서

∠x=25°+25°=50° ①

®BCD에 대한 중심각 의 크기

개념&기출유형 ^{본책 88~89쪽}

17 원주각

한 원에서 모든 호에

대한 중심각의 크기의 합은 360°, 원주각의 크기의 합은 180°이다.

440

PQCD가 원 O'에 내접하므로

∠y=∠PDC=95°

ABQP가 원 O에 내접하므로

∠BAP=180°-∠y

=180°-95°=85°

∴ ∠x=2∠BAP=2_85°=170°

∴ ∠x+∠y=170°+95°=265° 265°

441

삼각형의 한 외각의 크기는 이와 이웃하지 않 는 두 내각의 크기의 합과 같다.

오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면

∠BAD=;2!;∠BOD

∠BAD=;2!;_28°

∠BAD=14°

△ADE에서 ∠ADC=14°+20°=34°이므로

∠AOC=2∠ADC=2_34°=68° 68°

내신 만점도전하기 본책 90~92쪽

442

원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의;2!;배이다.

O A

C D

E 14æ28æ 20æ 이등변삼각형의 두 밑

각의 크기는 같다.

∠BOC=2∠A이므로

∠A= ∠BOC

=∠BOM 1 2

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오른쪽 그림과 같이 BO”, CO”

의 연장선이 원 O와 만나는 점을 각 각 D, E라 하면

∠AOE=2∠ACE

=2_18°=36°,

∠AOD=2∠ABD

=2_36°=72°

이므로 ∠EOD=72°-36°=36°

∴ ∠BOC=∠EOD=36°(맞꼭지각) ③

△OAC는 OA”=OC”인 이등변삼각형이므로

∠OAC=∠OCA=18°

또 △OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로

∠OAB=∠OBA=36°

∴ ∠CAB=∠OAB-∠OAC=36°-18°=18°

∴ ∠BOC=2∠BAC=2_18°=36°

A E D

B C 36æ

72æ 36æ

18æ O

443

사각형의 네 내각의 크기의 합은 360°임을 이 용한다.

∠PAO=∠PBO=90°이므로 APBO에서

∠AOB=180°-52°=128°

∴ ∠ACB=;2!;∠AOB=;2!;_128°=64°

따라서 APBC에서

(∠x+90°)+52°+(∠y+90°)+64°=360°

∴ ∠x+∠y=64° 64°

보충학습

PA”, PB”가 원 O의 접선이고, 두 점 A, B가 접점일 때

① ∠P+∠AOB=180°

② ∠ACB=;2!;∠AOB

② ∠ACB=;2!;(180°-∠P)

P O C

444

^{오른쪽 그림과}

같이 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 M이라 하고, OM”의 연장선과 원 O의 교점을 D라 하자.

•10% 배점

△AOM과 △ADM에서

AM”은 공통, OM”=DM ”, ∠OMA=∠DMA=90°

이므로 △AOM™△ADM (SAS 합동)

∴ AO”=AD”

또 AO”=OD”이므로 △AOD는 정삼각형이다.

같은 방법으로 하면 BO”=BD”=OD”이므로 △BOD도

정삼각형이다. •60% 배점

∠AOB=∠AOD+∠BOD

=60°+60°=120°

이므로

∠APB=;2!;∠AOB=;2!;_120°=60°^{•30% 배점} 60°

답 구하기 해결 과정

문제 이해

A B

D P

원 O의 반지름의 길이

445

^{점 D에서}

AO”에 내린 수선의 발을 H 라 하면

∠AOD=2∠ABD

=2_15°=30°

이고, OD”=OB”=3이므로 △DHO에서

DH”=3 sin 30°=;2#; ^{•50% 배점}

∠ACD=2∠AOD=2_30°=60°이 므로 △DHC에서

DC”=;2#;_ ='3 ^{•30% 배점} 따라서 원 C의 넓이는

p_('3)¤ =3p ^{•20% 배점}

3p 답 구하기

1 sin 60°

해결 과정 ② 해결 과정 ①

A¡A∞”, A™A§”, A£A¶”, A¢A•”

446

BC”를 그어서 μAB에 대한 원주각의 크기를 구 한다.

오른쪽 그림과 같이 BC”

를 그으면

∠ABC=90°

△ABC에서

∠ACB=90°-50°

=40°

이므로 ∠x=∠ACB=40° ③

OB”를 그으면 △OAB는 OA”=OB”인 이등 변삼각형이므로

∠OBA=∠OAB=50°

∴ ∠AOB=180°-(50°+50°)=80°

∴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_80°=40°

50æ O x A

C D

C O

A H B

D 15æ

447

반원에 대한 원주각의 크기는 90°임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 원 의 중심을 O라 하면 한 지름에 대하여 만들 수 있는 직각삼각 형이 6개이고, 지름은 모두 4 개이므로 직각삼각형의 개수는

6_4=24

O A¡

A∞

A™ A•

A¢ A§

A£ Aß

448

반원에 대한 원주각의 크기는 90°임을 이용한다.

직선 BP는 반원의 접선이므로

∠PBA=90°

AB”는 반원 O의 지름이므로

∠ACB=90°

△PCE에서

∠CPE=∠CED-∠PCE=104°-90°=14°

∠APB=2_14°=28°이므로 △PAB에서

∠CAB=90°-28°=62° ④

두 직선이 만나서 생기 는 맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 서로 수직이다.

△DHC에서 sin 60°=

∴ DC”= DH”

sin 60°

DH”

DC”

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원의성질Ⅷ

449

반원에 대한 원주각의 크기는 90°임을 이용한다.

∠ACB=90°이므로

∠ABC=90°-∠DCB

=∠x 이때 △ABC에서

AC”="√20¤ -12¤ =16이므로 sin x= =;2!0^;=;5$;

cos x= =;2!0@;=;5#;

∴ sin x+cos x=;5&; ;5&;

BC”

AB”

AC”

AB”

A B

D O 20

x x

오른쪽 그림과 같이 AQ”를 긋고 ∠PQA=∠a,

∠AQR=∠b라 하면 μ AB, μ BC, μCA에 대한 원주각의 크기의 합 은 180°이므로

2∠a+2 ∠b+∠x=180°

∠a+∠b=69°이므로 위의 식에 대입하면 138°+∠x=180° ∴ ∠x=42°

450

평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생 기는 엇각의 크기가 같음을 이용한다.

μBC에 대하여

∠CDB=∠BAC=15°

AB”∥CD”이므로

∠DCA=∠BAC

=15°(엇각)

이때 ∠ACB=90°이므로 △DBC에서

∠CBD=180°-(90°+15°)-15°=60°

μBC：μ CD=∠BAC：∠CBD이므로

4：μ CD=15：60 ∴ μ CD=16 (cm) ⑤ 4`cm

A B

D C

15æ 15æ 15æ

451

μAD=μ DE=μ BE이므로

∠ACD=∠DCE=∠ECB=;3!;∠ACB

∠ACD=;3!;_90°=30°

∴ ∠x=30° •40% 배점

μAC : μ BC=7 : 5이므로

∠CAB=90°_;1∞2;=37.5°

∴ ∠y=∠ACE+∠CAB

=60°+37.5°=97.5° •50% 배점

∴ ∠x+∠y=30°+97.5°

=127.5° •10% 배점 127.5°

답 구하기 해결 과정 ②

해결 과정 ①

452

한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기에 정비례한다.

μAB=2a, μ BC=2b, μ CA=2c라 하면

∠PQR=180°_ =69°

∴ ∠x=180°_

∴ ∠x=180°_{ - }

∴ ∠x=180°-2_69°

∴ ∠x=42° ④

2a+2c 2a+2b+2c 2a+2b+2c

2a+2b+2c 2b 2a+2b+2c

a+c 2a+2b+2c

453

AC”를 그어서 μAD에 대한 원주각의 크기를 구 한다.

오른쪽 그림과 같이 AC”를 그으면 μAD : μ BC=2 : 3이므로

∠ACD : ∠CAB=2 : 3

△ACP에서

∠ACP+∠CAP=100°

이므로

∠ACD=100°_;5@;=40°

따라서 ∠AOD=2∠ACD=2_40°=80°이므로 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면

2p_r_;3•6º0;=2p ∴ r=;2(; ②

O B P A

C 2π

3π 100æ ^D

454

AD”를 그어서 μ AC와 μ BD에 대한 원주각의 크 기를 구한다.

오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면 △PAD에서

∠PDA+∠PAD=80°

즉 μ AC와 μ BD에 대한 원주각의 크기의 합이 80°이므로

μAC+μ BD=2p_10_;1•8º0;=:•9º:p (cm) ④ 10`cm A

D P

C B

80æ O

455

^{μAB=μAD이므로}

∠ABD=∠ADB=∠x

∴ ∠DBC=;3$;∠ABD=;3$;∠x BC”는 원 O의 지름이므로

∠BDC=90° •50% 배점

ABCD가 원 O에 내접하므로

∠ABC+∠ADC=180°

{∠x+;3$;∠x}+(∠x+90°)=180°

;;¡3º;;∠x=90° ∴ ∠x=27° •50% 배점 27°

∠DBC=;3$;∠ABD 에서 3∠DBC=4∠ABD이므 로

∠DBC : ∠ABD=4 : 3

∠DBC=4∠a,

∠ABD=3∠a라 하면 답 구하기

해결 과정

a ba b

x A

C P

3a 4a 6a

6a 8a A

B C

O x

∠COB=180°_;1∞2;

∠COB=75°

에서

∠CAB=;2!;∠COB

=;2!;_75°

=37.5°

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∠BOA=∠AOD

=2_3∠a=6∠a

∠DOC=2_4∠a=8∠a

따라서 ∠BOA+∠AOD+∠DOC=180°이므로 6∠a+6∠a+8∠a=180°

20∠a=180° ∴ ∠a=9°

∴ ∠x=3∠a=3_9°=27°

∴ ∠PAB=∠DRS=96° •20% 배점 96°

답 구하기

∠BOC는 평각이다.

456

원에 내접하는 사각형의 한 쌍의 대각의 크기 의 합은 180°임을 이용한다.

ABCD가 원 O에 내접하므로

∠B+∠x=180°

∴ ∠B=180°-∠x

△FBC에서

∠FCE=40°+(180°-∠x)=220°-∠x

△CDE에서

∠x=(220°-∠x)+50°

2∠x=270° ∴ ∠x=135° ⑤

457

BCDE가 원 O에 내접하므로

∠BED=180°-114°=66°

또 BE”는 원 O의 지름이므로

∠BDE=90°

∴ ∠DBE=180°-(66°+90°)=24°•50% 배점 따라서 ∠ABD=2_24°=48°이므로

△FBD에서

∠BFD=180°-(48°+90°)=42° •50% 배점 42°

답 구하기 해결 과정

458

다각형에 보조선을 그어 사각형을 만들어 생각 한다.

오른쪽 그림과 같이 AD”, BD”를 그으면

∠ADB=;2!;∠AOB

∠ADB=;2!;_58°=29°

AB”=BC”이므로

∠BDC=∠ADB=29°

또 ADEF가 원 O에 내접하므로

∠ADE+∠EFA=180°에서

∠x-(29°+29°)+∠y=180°

∴ ∠x+∠y=238° ⑤

460

^{오른쪽 그림}

과 같이 AC”와 DO”의 교점을 G라 하면 △DAG와 △DCG 에서

AD”=CD”, GD”는 공통,

∠ADG=∠CDG

이므로 △DAG™△DCG (SAS 합동)

∴ ∠DGA=∠DGC=90° •20% 배점

△ADB와 △DGA에서

∠ADB=∠DGA=90°, ∠ABD=∠DAG 이므로 △ADBª△DGA (AA 닮음) 따라서 AB” : DA”=AD” : DG”이므로

16 : 4=4 : DG” ∴ DG”=1

∴ OG”=OD”-DG”=8-1=7 •40% 배점 직각삼각형 AOG에서

AG”="√8¤ -7¤ ='∂15

∴ AC”=2AG”=2'∂15 ^{•20% 배점} 직각삼각형 ABC에서

BC”=ø∑16¤ -∑(2'∂15)¤ =14 ^{•20% 배점} 14

△AOG와 △ABC에서

∠A는 공통, ∠AGO=∠ACB=90°

이므로 △AOGª△ABC (AA 닮음) 따라서 AO” : AB”=OG” : BC”이므로

8 : 16=7 : BC” ∴ BC”=14 답 구하기

해결 과정 ② 해결 과정 ①

문제 이해

내신 만점 ^굳히기 본책 93쪽

A B

O C D

58æ

29æ 29æ

x y A B

D E

F O

한 원에서 길이가 같은 두 현에 대한 원주각의 크기는 같다.

459

ABQP가 원 O¡에 내접하므로

∠PAB=∠PQS

PQSR가 원 O™에 내접하므로

∠PQS=∠DRS

∴ ∠PAB=∠DRS •40% 배점

RSCD가 원 O£에 내접하므로

∠DRS+∠DCS=180°

∴ ∠DRS=180°-∠DCS

=180°-84°=96° •40% 배점 해결 과정 ②

해결 과정 ①

461

^{오른쪽 그림과}

같이 BQ”를 그으면 ∠ACB와

∠AQB는 μAB에 대한 원주각이 므로

∠ACB=∠AQB AQ”는 원 O의 지름이므로

∠ABQ=90° •30% 배점

△AHC와 △ABQ에서

∠ACH=∠AQB, ∠AHC=∠ABQ=90°

이므로 △AHCª△ABQ (AA 닮음) 즉 AH” : AB”=AC” : AQ”이므로

4 : 8=6 : AQ” ∴ AQ”=12 •50% 배점 따라서 원 O의 반지름의 길이가 6이므로 넓이는

p_6¤ =36p •20% 배점

36p 답 구하기

해결 과정

문제 이해 ^A

B P C

Q O H

8 4 6

△ADO와 △CDO는 합동인 이등변삼각형 이므로

∠ADO=∠CDO

AD”=DC”이므로

∠ABD=∠DAG

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원의성질Ⅷ 이고, ∠ACG=∠ADG=15°이므로

∠BCG=∠ACB+∠ACG

=75°+15°=90°

이때 ABCG가 원 O에 내접하므로

∠BAG=180°-∠BCG=180°-90°=90°

또 △ADE에서

∠AEG=∠EAD+∠EDA

=15°+15°=30°

AE”=ED”=x cm라 하면 EG”=(1-x) cm이므로

△AEG에서

cos 30°= = = 2x='3(1-x), (2+'3)x='3

∴ x= '3 ='3(2-'3)(cm) ④ 2+'3

'3 2 x 1-x AE”

EG”

463

한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크 기는 서로 같음을 이용한다.

AB”=BC”=CD”=DE”=EA”이므로 μAB=μ BC=μ CD=μ DE=μ EA 따라서 μ AB의 길이는 원주의 ;5!;이므로

∠ACB=180°_;5!;=36°

또 ®CDE의 길이는 원주의 ;5@;이므로

∠CBF=180°_;5@;=72°

△BCF에서 ∠CFB=180°-(36°+72°)=72°

∴ BC”=CF”

△ABC와 △AFB에서

∠BAC는 공통, ∠ACB=∠ABF 이므로 △ABCª△AFB (AA 닮음) AB”=BC”=FC”=x cm라 하면

AB”：AF”=AC”：AB”이므로

x：2=(2+x)：x, x¤ =4+2x

x¤ -2x-4=0 ∴ x=1+'5 (∵ x>0) (1+'5) cm

465

[문제 해결 길잡이]

❶AH”=a라 하고 ABCD의 각 꼭짓점에서 내접원 O에 그은 접선의 길이를 각각 a로 나타낸다.

❷△AEOª△OFC임을 이용하여 r와 a의 관계식을 구한다.

❸△BFOª△OGD임을 이용하여 r와 a의 관계식을 구한다.

❹ ❷, ❸의 식을 연립하여 r의 값을 구한다.

ABCD는 원에 내접하므로

∠A+∠C=180°

오른쪽 그림과 같이 사각형 ABCD와 내접원 O의 접 점을 각각 E, F, G, H라 하고 AE”=AH”=a라 하면

BF”=BE”=14-a DG”=DH”=9-a CF”=CG”=a-2❶

△AEO와 △OFC에서

∠AEO=∠OFC=90°,

∠EAO=;2!;∠A=;2!;(180°-∠C)

∠FBO=90°-;2!;∠C=90°-∠OCF=∠FOC 이므로 △AEOª△OFC (AA 닮음)

이때 내접원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 AE”：OF”=EO”：FC”에서

a：r=r：(a-2)

∴ r¤ =a(a-2) yy㉠❷

같은 방법으로 하면 △BFOª△OGD (AA 닮음)이 므로 BF”：OG”=FO”：GD”에서

(14-a)：r=r：(9-a)

∴ r¤ =(14-a)(9-a) yy㉡❸

㉠, ㉡에서 a(a-2)=(14-a)(9-a) 21a=126 ∴ a=6

a=6을 ㉠에 대입하면 r¤ =24

∴ r=2'6 (∵ r>0)

따라서 내접원 O의 반지름의 길이는 2'6이다.^❹ 2'6

464

한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크 기는 서로 같음을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 AD”를 그으면

∠DAB=∠ADG

∠DAB=180°_;1¡2;

∠DAB=15°

이므로 △EAD는 EA”=ED”인 이등변삼각형이다.

이때 △ABC에서

∠ABC=∠ACB=;2!;_(180°-30°)=75°

1`cm A

C B

E 30æ F

14-a

a a

14-a a-2 a-2

9-a 9-a A

D H

G B C

F O E

462

반원에 대한 원주각의 크기는 90°임을 이용한다.

l¡¤ +l™¤ +l£¤ +y+l¡§¤ =l이라 하면 l=(l¡¤ +l¡∞¤ )+(l™¤ +l¡¢¤ )

+y+(l¶¤ +lª¤ )+l•¤ +l¡§¤

∠PºOP¡=∠P¡OP™=y=∠P¡∞OP¡§에서 중심각의 크기가 같으면 현의 길이가 같으므로

l¡∞=P¡P¡§”, l¡¢=P™P¡§”, y, lª=P¶P¡§”

따라서

l=(l¡¤ +P¡P¡§” ¤ )+(l™¤ +P™P¡§” ¤ ) l=+y+(l¶¤ +P¶P¡§” ¤ )+l•¤ +l¡§¤

에서 l¡¤ +P¡P¡§” ¤ , l™¤ +P™P¡§” ¤ , y, l¶¤ +P¶P¡§” ¤ 의 값은 각각 직각삼각형 PºP¡P¡§, PºP™P¡§, y, PºP¶P¡§의 빗 변의 길이의 제곱과 같고 이 직각삼각형들의 빗변은 모 두 원 O의 지름이다.

∴ l=P¡§Pº” ¤ +P¡§Pº” ¤ +y+P¡§Pº” ¤ +l•¤ +l¡§¤

∴ l=7_2¤ +('2)¤ +2¤ =34 ③

두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각 형이다.

△PºP•P¡§은

∠PºP•P¡§=90°, PºP•”=P•P¡§”

인 직각이등변삼각형 이므로

l• : 2=1 : '2

∴ l•='2

CF”=CG”

=BC”-BF”

=12-(14-a)

=a-2

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467

네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로

∠x=∠DBC=180°-(95°+60°)=25°

△ABP에서 ∠ABP=95°-55°=40°이므로

∠y=∠ABD=40°

∴ ∠y-∠x=40°-25°=15° 15°

468

네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로

∠x=∠ACB=25°

△PBD에서 ∠y=50°+25°=75°

∴ ∠x+∠y=25°+75°=100° 100°

469

③ ∠DAB=∠DCB이지만

∠DAB+∠DCB+180°이면 ABCD가 원에

내접하지 않는다. ③

471

∠ACB : ∠BAC : ∠ABC

=μAB : μ BC : μCA=8 : 4 : 3

이므로 ∠BAC=180°_ =48°

∴ ∠BCT=∠BAC=48° 48°

4 8+4+3

470

㈂ 직사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°이므로 대각의 크기의 합이 180°이다.

㈄ 정사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°이므로 대각 의 크기의 합이 180°이다.

㈅ 등변사다리꼴의 아랫변의 양 끝 각의 크기가 서로 같고 윗변의 양 끝 각의 크기가 서로 같으므로 대각 의 크기의 합이 180°이다.

이상에서 항상 원에 내접하는 사각형은 ㈂, ㈄, ㈅의 3

개이다. ③

473

∠ATP=∠ACT=100°이므로 △APT에서

∠APT=180°-(100°+40°)=40°

∴ ∠BPT=∠APT=40° ③

∠ABT+∠ACT=180°이므로

∠ABT=180°-∠ACT

=180°-100°=80°

∠BTP=∠BAT=40°이므로 △BPT에서

∠BPT=∠ABT-∠BTP

=80°-40°=40°

472

∠EDC=∠EFD=63°

△CED는 CD”=CE”인 이등변삼각형이므로

∠ECD=180°-2_63°=54°

따라서 △ABC에서

∠ABC=180°-(84°+54°)=42° ②

474

CP”=x cm라 하면 DP”=14-x (cm) PA”_PB”=PC”_PD”이므로 8_5=x(14-x)

x¤ -14x+40=0, (x-4)(x-10)=0

∴ x=4 또는 x=10

그런데 CP”<DP”이므로 CP”=4 cm 4 cm

475

^{CP”=x라 하면} CQ”=2x, DQ”=x QA”_QB”=QC”_QD”이므로 4_9=2x_x

x¤ =18 ∴ x=3'2 (∵ x＞0) ②

476

PB” : PD”=3 : 2이므로 (2+x) : (y+7)=3 : 2

∴ 4+2x=3y+21 yy㉠

PA”_PB”=PC”_PD”이므로 2_(2+x)=y(y+7)

∴ 4+2x=y¤ +7y yy㉡

㉠, ㉡에서

3y+21=y¤ +7y, y¤ +4y-21=0 (y+7)(y-3)=0 ∴ y=3 (∵ y＞0) y=3을 ㉠에 대입하면 x=13

∴ x-y=10 10

477

원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로

6_(2r-6)=12_12

12r=180 ∴ r=15 ③

478

OP”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 (10+x)(10-x)=7_12

x¤ =16 ∴ x=4 (∵ x>0) 4

479

원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로

3_8=(6-r)(6+r)

r¤ =12 ∴ r=2'3 (∵ r>0) 따라서 원 O의 둘레의 길이는

2p_2'3=4'3p 4'3p

480

원 O에서 PA”_PB”=PE”_PF”이므로 PA”_2=4_6 ∴ PA”=12 원 O'에서 PC”_PD”=PE”_PF”이므로

3_PD”=4_6 ∴ PD”=8

∴ PA”+PD”=20 20

개념&기출유형 ^{본책 94~97쪽}

원주각의 활용

18

466

① ∠BAC+∠BDC

② ∠ADB+∠ACB

③ ∠ABD=80°-35°=45°이므로

∠ABD+∠ACD

④ ∠BAC=180°-(80°+30°)=70°이므로

∠BAC=∠BDC

⑤ ∠BDC=90°-30°=60°이므로

∠BAC=∠BDC

따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은④,

⑤이다. ④, ⑤

원에 내접하는 사각형 의 한 쌍의 대각의 크 기의 합은 180°이다.

한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기에 정비례한다.

네 점이 한 원 위에 있 는지 알아보려면 한 직 선에 대하여 같은 쪽에 있는 두 점으로 만들어 진 각의 크기가 같은지 확인한다.

CP”=4 cm, DP”=10 cm 또는

CP”=10 cm, DP”=4 cm

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문서에서 정답 및 (페이지 65-80)