유형
BDÓ 6 BDÓ 12
=2
답 ②
793
0 A+B+C=p이므로
A+B=p-C
따라서 sin`(A+B)=sin`(p-C)=sin`C이므로 5`sin`(A+B)`sin`C=5`sinÛ``C=4
∴ sinÛ``C=;5$;
이때 0ù<C<180ù에서 sin`C>0이므로 sin`C= 2
'5
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하 여
c=2R`sin`C=2´'5´ 2'5=4
답 4
794
0 A+B+C=180ù이고, A：B：C=1：2：3이므로 A=180ù_;6!;=30ù
B=180ù_;6@;=60ù C=180ù_;6#;=90ù
∴ a：b：c =sin`30ù：sin`60ù：sin`90ù
=;2!;： '32 ：1
=1：'3：2
답 ③
795
0 a+b4 =b+c5 =c+a5 =k`(k>0)라 하면 a+b=4k, b+c=5k, c+a=5k
세 식을 연립하여 풀면 a=2k, b=2k, c=3k
∴ sin`A：sin`B：sin`C =a：b：c=2k：2k：3k
=2：2：3
답 ②
796
0 a-2b+c=0 yy ㉠
3a+b-2c=0 yy ㉡
㉠+2_㉡을 하면
7a-3c=0 ∴ a=;7#;c yy ㉢
㉢을 ㉠에 대입하면
;7#;c-2b+c=0 ∴ b=;7%;c
∴ sin`B=;2!;
0ù<B<180ù이므로 B=30ù 또는 B=150ù 그런데 B+C<180ù이어야 하므로 B=30ù
∴ A =180ù-(30ù+120ù)
=30ù
답 ②
789
0 ∠ABC=90ù, ∠ABD=60ù이므로
∠DBC=90ù-60ù=30ù
또 △ABC는 ABÓ=BCÓ인 직각이등변삼각형이므로
∠BAC=∠BCA=45ù
한편, 한 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로
∠BDC=∠BAC=45ù
따라서 △BCD에서 사인법칙에 의하여 sin`30ù =CDÓ BCÓ
sin`45ù 이므로
BCÓ`sin`30ù=CDÓ`sin`45ù, 6'2´;2!;=CDÓ´ '22
∴ CDÓ=6
답 6
790
0 사인법칙에 의하여 '6
sin`60ù = b
sin`45ù 이므로 b`sin`60ù='6`sin`45ù, '32 b='3
∴ b=2 또 '6
sin`60ù =2R에서 R= '6
'32
´;2!;='2
답 b=2, R='2
791
0 sin`A+sin`B+sin`C = a2R + b 2R + c
2R
= a+b+c2R
= a+b+c2´10 =;2#;
∴ a+b+c=;2#;´20=30
답 ⑤
792
0 선분 BD를 그으면 △ABD에서 사인법칙에 의하여 sin`A= BDÓ2´3 =BDÓ
6
또 △BCD에서 사인법칙에 의하여 sin`C= BDÓ2´6 =BDÓ
12
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이 식을 정리하면
sinÛ``A=sinÛ``B+sinÛ``C yy ㉠ 이때 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인 법칙에 의하여
sin`A= a2R , sin`B= b2R , sin`C= c2R 이것을 ㉠에 대입하면
{ a2R }Û`={ b2R }Û`+{ c2R }Û`
∴ aÛ`=bÛ`+cÛ`
따라서 삼각형 ABC는 A=90ù인 직각삼각형이다.
답 ④
801
0 코사인법칙에 의하여
bÛ` =3Û`+6Û`-2´3´6´cos`60ù
=9+36-2´3´6´1 2 =27 b>0이므로 b=3'3
이때 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
3'3 sin`60ù =2R
∴ R= 3'3
2`sin`60ù = 3'3 2´ '32
=3
따라서 △ABC의 외접원의 넓이는 p´3Û`=9p
답 ③
802
0 코사인법칙에 의하여
bÛ`=cÛ`+aÛ`-2ca`cos`B
(3'2 )Û`=(2'3 )Û`+aÛ`-2´2'3´a´cos`60ù aÛ`-2'3 a-6=0
∴ a=3+'3 (∵ a>0)
답 3+'3
803
0 평행사변형 ABCD에서 B=60ù이므로 A=120ù
△ABD에서 코사인법칙에 의하여 BDÓ Û` =5Û`+3Û`-2´5´3´cos`120ù
=25+9-2´5´3´{- 12 }=49 BDÓ>0이므로 BDÓ=7
답 7
804
0 사인법칙에 의하여
7'3 sin`A =2´7
∴ sin`A：sin`B：sin`C =a：b：c
= 37 c：;7%;c：c
=3：5：7
답 ①
797
0 A+B+C=p이므로
sin`(A+B)：sin`(B+C)：sin`(C+A)
=sin`(p-C)：sin`(p-A)：sin`(p-B)
=sin`C：sin`A：sin`B
=c：a：b
=5：4：7
즉 a：b：c=4：7：5이므로
a=4k, b=7k, c=5k (k>0)로 놓으면 aÛ`+bÛ`+cÛ`
ac = (4k)Û`+(7k)Û`+(5k)Û`
4k´5k = 90kÛ`
20kÛ`=;2(;
답;2(;
798
0 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사 인법칙에 의하여
sin`A= a2R , sin`B= b2R , sin`C= c2R 이것을 주어진 식에 대입하면
(b-c)´ a2R =b´ b
2R -c´ c 2R (b-c)a=bÛ`-cÛ`
(b-c)a-(b-c)(b+c)=0 (b-c){a-(b+c)}=0
그런데 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크므로
a-(b+c)+0 ∴ b=c
따라서 삼각형 ABC는 b=c인 이등변삼각형이다.
답 ③
799
0 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사 인법칙에 의하여
sin`A= a2R , sin`B= b 2R 이것을 주어진 식에 대입하면 a´ a2R =b´ b
2R , aÛ`=bÛ`
∴ a=b (∵ a>0, b>0)
따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형이다.
답 ④
800
0 cosÛ``A=1-sinÛ``A, cosÛ``B=1-sinÛ``B, cosÛ``C=1-sinÛ``C이므로 주어진 식에 대입하면 (1-sinÛ``A)-(1-sinÛ``B)-(1-sinÛ``C)=-1
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따라서 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙 에 의하여
sin`C =2R7
∴ R= 7
2`sin`C = 7 4'6
5
= 35'624
답 35'6
24
단계 채점요소 배점
cos`C의 값 구하기 30 %
sin`C의 값 구하기 30 %
외접원의 반지름의 길이 구하기 40 %
808
0 CFÓ=CHÓ="Ã6Û`+3Û`=3'5 FHÓ="Ã3Û`+3Û`=3'2
따라서 △CFH에서 코사인법칙에 의하여 cos`h= (3'5 )Û`+(3'5 )Û`-(3'2 )Û`
2´3'5´3'5 = 45
답 ④
809
0 가장 긴 변의 대각이 최대각이므로 최대각의 크기를 h라 하면 코사인법칙에 의하여
cos`h= 1Û`+(2'2 )Û`-('13)Û`2´1´2'2 = -4
4'2=- '22 0ù<h<180ù이므로 h=135ù
따라서 △ABC의 최대각의 크기는 135ù이다.
답 135ù
810
0 "ÃaÛ`+ab+bÛ` >"ÅaÛ`=a>b이므로 "ÃaÛ`+ab+bÛ` 이 가 장 긴 변의 길이이다.
이때 가장 긴 변의 대각이 최대각이므로 최대각의 크기를 h라 하 면 코사인법칙에 의하여
cos`h= aÛ`+bÛ`-("ÃaÛ`+ab+bÛ`)Û`2ab =-;2!;
0ù<h<180ù이므로 h=120ù
따라서 △ABC의 최대각의 크기는 120ù이다.
답 120ù
811
0 사인법칙에 의하여
sin`A：sin`B：sin`C=a：b：c=3：5：7 이므로 최소각은 A이다.
이때 a=3k, b=5k, c=7k (k>0)라 하면 코사인법칙에 의하 여
cos`h=cos`A= (5k)Û`+(7k)Û`-(3k)Û`2´5k´7k =;1!4#;
답 ②
∴ sin`A= '32
그런데 90ù<A<180ù이므로 A=120ù 따라서 코사인법칙에 의하여
(7'3`)Û`=bÛ`+(2b)Û`-2´b´2b`cos`120ù 147=bÛ`+4bÛ`+2bÛ`
7bÛ`=147, bÛ`=21
∴ b='21 (∵ b>0)
답 ②
805
0 3a+2b-3c=0 yy ㉠
4a-4b+c=0 yy ㉡
㉠_2+㉡을 하면
10a-5c=0 ∴ c=2a yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
4a-4b+2a=0 ∴ b=;2#;a 따라서 코사인법칙에 의하여
cos`A={;2#;a}Û`+(2a)Û`-aÛ`
2´;2#;a´2a =;8&;
답 ;8&;
806
0 (a+b)：(b+c)：(c+a)=5：7：6이므로 양수 k에 대하여
a+b=5k yy ㉠
b+c=7k yy ㉡
c+a=6k yy ㉢
라 하자. ㉠+㉡+㉢을 하면 2(a+b+c)=18k
∴ a+b+c=9k yy ㉣
㉣-㉡을 하면 a=2k
㉣-㉢을 하면 b=3k
㉣-㉠을 하면 c=4k 따라서 코사인법칙에 의하여
cos`B= (2k)Û`+(4k)Û`-(3k)Û`2´2k´4k =;1!6!;
답 ⑤
807
0 코사인법칙에 의하여
cos`C= 4Û`+5Û`-7Û`2´4´5 =-;5!;
0ù<C<180ù에서 sin`C>0이므로
sin`C="1Ã-cosÛ``C= 2'65
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2R =6a 2'3 b 2R = 3c
2R ∴ 6a=2'3 b=3c
각 변을 6으로 나누어 a= b'3=;2C;=k (k>0)라 하면 a=k, b='3 k, c=2k
코사인법칙에 의하여
cos`A= ('3k)Û`+(2k)Û`-kÛ`
2´'3k´2k = 3
2'3= '32 0ù<A<180ù이므로 A=30ù
답 ⑤
816
0 cos`A= bÛ`+cÛ`-aÛ`2bc , cos`C= aÛ`+bÛ`-cÛ`2ab 이것을 주어진 식에 대입하면
a´ aÛ`+bÛ`-cÛ`2ab =c´ bÛ`+cÛ`-aÛ`2bc aÛ`+bÛ`-cÛ`=bÛ`+cÛ`-aÛ`
aÛ`=cÛ`
∴ a=c (∵ a>0, c>0)
따라서 △ABC는 a=c인 이등변삼각형이다.
답 ③
817
0 cos`A= bÛ`+cÛ`-aÛ`2bc , cos`B= cÛ`+aÛ`-bÛ`2ca 이것을 주어진 식에 대입하면
a´ cÛ`+aÛ`-bÛ`2ca -b´ bÛ`+cÛ`-aÛ`2bc =c (cÛ`+aÛ`-bÛ`)-(bÛ`+cÛ`-aÛ`)=2cÛ`
∴ aÛ`=bÛ`+cÛ`
따라서 △ABC는 빗변의 길이가 a인 직각삼각형이다.
답 ④
818
0 tan`A`sin`A=tan`B`sin`B에서 sin`A
cos`A ´sin`A=sin`B cos`B ´sin`B
∴ cos`B`sinÛ``A=cos`A`sinÛ``B yy ㉠
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 sin`A= a2R , sin`B= b
2R 이고,
cos`A= bÛ`+cÛ`-aÛ`2bc , cos`B= cÛ`+aÛ`-bÛ`2ca 이므로 이것을 ㉠에 대입하면
cÛ`+aÛ`-bÛ`
2ca ´ aÛ`4RÛ`= bÛ`+cÛ`-aÛ`
2bc ´ bÛ`4RÛ`
a(cÛ`+aÛ`-bÛ`)=b(bÛ`+cÛ`-aÛ`) aÜ`+acÛ`-abÛ`=bÜ`+bcÛ`-aÛ`b aÜ`-bÜ`+(a-b)cÛ`+(a-b)ab=0 (a-b)(aÛ`+2ab+bÛ`+cÛ`)=0
∴ a=b (∵ a>0, b>0, c>0)
812
0 2a-b2 = 2b-c3 = 4c-5a5 =k (k>0)라 하면 2a-b=2k, 2b-c=3k, 4c-5a=5k
세 식을 연립하여 풀면 a=3k, b=4k, c=5k
이때 가장 짧은 변의 길이가 a이므로 A가 최소각이다.
따라서 코사인법칙에 의하여
cos`h=cos`A= (4k)Û`+(5k)Û`-(3k)Û`2´4k´5k =;5$;
답;5$;
단계 채점요소 배점
a, b, c를 k를 사용하여 나타내기 40 %
A가 최소각임을 알기 20 %
cos`h의 값 구하기 40 %
813
0 사인법칙에 의하여
sin`A：sin`B：sin`C=a：b：c=3：5：7
a=3k, b=5k, c=7k (k>0)라 하면 코사인법칙에 의하여 cos`C= (3k)Û`+(5k)Û`-(7k)Û`2´3k´5k =-;2!;
0ù<C<180ù이므로 C=120ù
답 ④
814
0 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법 칙에 의하여
sin`A= a2R , sin`B= b2R , sin`C= c2R 이므로
{ a2R + b
2R }：{ b 2R + c
2R }：{ c 2R + a
2R }=7：9：10 즉 (a+b)：(b+c)：(c+a)=7：9：10
a+b=7k, b+c=9k, c+a=10k (k>0)라 하고 세 식을 연립 하여 풀면
a=4k, b=3k, c=6k 따라서 코사인법칙에 의하여
cos`A= (3k)Û`+(6k)Û`-(4k)Û`2´3k´6k =;3@6(;
답 ⑤
815
0 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법 칙에 의하여
sin`A= a2R , sin`B= b2R , sin`C= c2R 이므로
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따라서 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 S=;2!;r(a+b+c)에서
10'3=;2!;r(7+5+8) 10'3=10r
∴ r='3
답 ③
823
0 헤론의 공식에서 s= 9+10+112 =15이므로 △ABC 의 넓이를 S라 하면
S ="Ã15(15-9)(15-10)(15-11)
=30'2
S= abc4R 에서 30'2=9´10´11
4R
∴ R= 33'28
S=;2!;r(a+b+c)에서 30'2=;2!;r(9+10+11)
30'2=15r
∴ r=2'2
∴ R-r= 33'28 -2'2=17'2 8
답 17'2
8
단계 채점요소 배점
헤론의 공식을 이용하여 △ABC의 넓이 구하기 30 %
R의 값 구하기 30 %
r의 값 구하기 30 %
R-r의 값 구하기 10 %
824
0 sin`A：sin`B：sin`C=a：b：c=2：3：3이므로 a=2k, b=3k, c=3k (k>0)라 하고 △ABC의 넓이를 S라 하면
헤론의 공식에서 s= 2k+3k+3k2 =4k이므로 S ="Ã4k(4k-2k)(4k-3k)(4k-3k)
=2'2 kÛ`
=8'2 kÛ`=4
∴ k=2`(∵ k>0)
따라서 △ABC의 둘레의 길이는 a+b+c=8k=16
답 16 따라서 △ABC는 a=b인 이등변삼각형이다.
답 ②
819
0 △ABC=△ABD+△ADC이므로 ADÓ=x라 하면
;2!;´4'3´3'3´sin`60ù
=;2!;´4'3´x´sin`30ù+;2!;´x´3'3´sin`30ù 9'3='3 x+ 3'34 x, 7'3
4 x=9'3
∴ x= 367
따라서 ADÓ의 길이는 36 7 이다.
답 ④
820
0 △ABC의 넓이를 S라 하면 S = 12 ´4´c´sin`135ù=;2!;´4´c´'2
2 =2
∴ c='2
따라서 코사인법칙에 의하여
aÛ` =4Û`+('2 )Û`-2´4´'2´cos`135ù
=16+2-2´4´'2´{- '22 }=26 a>0이므로 a='26
답'26
821
0 µAB：µBC：µCA=3：4：5이므로
∠AOB=360ù´ 3
3+4+5 =90ù
∠BOC=360ù´ 4
3+4+5 =120ù
∠COA=360ù´ 5
3+4+5 =150ù
△ABC의 외접원의 반지름의 길이가 2이므로
△ABC =△AOB+△BOC+△COA
= 12 ´2´2´sin`90ù+;2!;´2´2´sin`120ù
+ 12 ´2´2´sin`150ù
=2(sin`90ù+sin`120ù+sin`150ù)
=2{1+ '32 +;2!;}
=3+'3
답 ⑤
822
0 △ABC의 넓이를 S라 하면 S = 12 ´5´8´sin`60ù
= 12 ´5´8´'3 2
=10'3
"
# $
±
S S S
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∠CBD=h라 하면 사인법칙에 의하여 sin`h =4 4'3
sin`60ù , sin`h=;2!;
∴ h=30ù 또는 h=150ù
그런데 h<B=75ù이므로 h=30ù
∴ ∠ABD=75ù-30ù=45ù
∴ ABCD =△ABD+△BCD
= 12 ´3´4'3´sin`45ù+;2!;´4´8´sin`60ù
=;2!;´3´4'3´ '22 +;2!;´4´8´'3 2
=3'6+8'3
답 3'6+8'3
829
0 △ABC에서 코사인법칙에 의하여
cos`B= 7Û`+8Û`-13Û`2´7´8 =-;2!;
90ù<B<180ù이므로 B=120ù
따라서 평행사변형 ABCD의 넓이 S는 S=7´8´sin`120ù=7´8´ '32 =28'3
답 ⑤
830
0 평행사변형 ABCD에서 ADÓ=BCÓ=4이고 넓이가 4'2 이므로
2´4´sin`A=4'2 ∴ sin`A= '22 90ù<A<180ù이므로 A=135ù
답 ④
831
0 △ABC에서 코사인법칙에 의하여
(3'3 )Û`=3Û`+BCÓ Û`-2´3´BCÓ´cos`60ù 27=9+BCÓ Û`-3BCÓ
BCÓ Û`-3BCÓ-18=0 (BCÓ-6)(BCÓ+3)=0
∴ BCÓ=6
따라서 평행사변형 ABCD의 넓이 S는
S=3´6´sin`60ù=3´6´ '32 =9'3 답 9'3
832
0 사각형 ABCD의 넓이가 3'3이므로
;2!;´4´ACÓ´sin`120ù=3'3
;2!;´4´ACÓ´ '32 =3'3
∴ ACÓ=3
답 3
825
0 헤론의 공식에서 s= 8+12+102 =15이므로 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
S="Ã15(15-8)(15-12)(15-10)=15'7 이때 S=;2!;´CAÓ´CBÓ´sin`C이므로
15'7=;2!;´10´12´sin`C ∴ sin`C= '74 한편, 점 D는 변 BC를 1：3으로 내분하므로 CDÓ=9
또 0<C<90ù에서 cos`C="Ã1-sinÛ``C=¾¨1-{ '74 }Û`= 34 따라서 △ACD에서 코사인법칙에 의하여
;4#;= 10Û`+9Û`-ADÓ Û`
2´10´9
∴ ADÓ='46
답'46
826
0 △ABD의 넓이는
;2!;´4´8´sin`30ù=;2!;´4´8´;2!;=8
△BCD의 넓이는 헤론의 공식을 이용하면 s= 8+8+22 =9이므로
"Ã9(9-8)(9-8)(9-2)=3'7 따라서 사각형 ABCD의 넓이 S는 S=△ABD+△BCD=8+3'7
답 8+3'7
827
0 BDÓ를 그으면 △ABD에서 코사인법칙에 의하여 BDÓ Û` =5Û`+3Û`-2´5´3´cos`120ù
=25+9-2´5´3´{- 12 }=49
∴ BDÓ=7
△ABD의 넓이는
;2!;´5´3´sin`120ù=;2!;´5´3´ '32 =15'3 4
△BCD의 넓이는 헤론의 공식을 이용하면 s= 8+3+72 =9이므로
"Ã9(9-8)(9-3)(9-7)=6'3
∴ ABCD =△ABD+△BCD
= 15'34 +6'3=39'3
4 답 ④
828
0 BDÓ를 그으면 △BCD에서 코사인법칙에 의하여 BDÓ Û` =4Û`+8Û`-2´4´8´cos`60ù
=16+64-2´4´8´ 12 =48
∴ BDÓ='48=4'3
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∴ R= 5
2`sin`60ù = 5 2´ '32
= 5'33
따라서 구하는 물통의 부피는 p´{ 5'33 }Û`´9=75p
답 75p
838
0 오른쪽 그림과 같이 두 건물 위의 끝의 두 지점을 각각 A, C라 하고, 지면 위의 두 지점을 B, D라 하자.
△ABC에서
∠BAC=15ù+90ù=105ù, ∠ABC=90ù-45ù=45ù이므로
∠ACB=180ù-(105ù+45ù)=30ù 사인법칙에 의하여 BCÓ
sin`105ù = 30 sin`30ù 이고
sin`105ù=sin`(90ù+15ù)=cos`15ù= '6+'24 이므로 BCÓ = 30sin`30ù ´sin`105ù=30
;2!;´ '6+'24
=15('6+'2 )(m)
△CBD에서
CDÓ =BCÓ`sin`45ù=15('6+'2 )´ '22
=15('3+1)(m)
따라서 옆 건물의 높이는 15('3+1)`m이다.
답 15('3+1)`m
839
0 △ACB에서 코사인법칙에 의하여
ABÓ Û` =50Û`+60Û`-2´50´60´cos`60ù
=2500+3600-2´50´60´1 2
=3100
∴ ABÓ=10'31`(m)
따라서 두 나무 A, B 사이의 거리는 10'31`m이다.
답 ②
840
0 CDÓ=x`m라 하면 △ACD에서 tan`30ù= x
ACÓ ∴ ACÓ='3 x`(m)
또 △BCD는 ∠BCD=90ù인 직각이등변삼각형이므로 BCÓ=CDÓ=x`(m)
따라서 △ABC에서 코사인법칙에 의하여 10Û`=('3 x)Û`+xÛ`-2´'3 x´x´cos`30ù 100=3xÛ`+xÛ`-2´'3 x´x´ '32 xÛ`=100
∴ x=10 (∵ x>0)
N
±±
± ±
"
# %
$
833
0 두 대각선이 이루는 예각의 크기를 h라 하면 사각형 ABCD의 넓이가 8이므로
;2!;´4´8´sin`h=8, sin`h=;2!;
∴ h=30ù 또는 h=150ù 그런데 h는 예각이므로 h=30ù
답 ②
834
0 사각형 ABCD의 넓이가 2이므로
;2!;´a´b´sin`30ù=2
;2!;ab´;2!;=2 ∴ ab=8
∴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=6Û`-2´8=20
답 20
835
0 두 대각선의 길이를 p, q라 하면 p+q=8에서 q=8-p>0
∴ 0<p<8
사각형 ABCD의 넓이를 S라 하면 S = 12 pq`sin`60ù
=;2!;p(8-p)´ '32
= '34 (-pÛ`+8p)
=- '34 (p-4)Û`+4'3
따라서 사각형 ABCD의 넓이의 최댓값은 4'3이다.
답 ②
본문 105쪽
유형
836
0 △ABC에서 A+B+C=180ù이므로
C=180ù-(60ù+75ù)=45ù 사인법칙에 의하여 50
sin`45ù = BCÓ
sin`60ù 이므로 BCÓ=sin`60ù´ 50sin`45ù ='3
2 ´ 50 '22
=25'6`(m)
따라서 두 지점 B, C 사이의 거리는 25'6`m이다.
답 ③
837
0 C=180ù-(50ù+70ù)=60ù
삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
sin`60ù =2R5
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844
0 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 sin`A= a2R , sin`B= b2R , sin`C= c2R
∴ sin`A+sin`B+sin`C = a2R + b 2R + c
2R
= a+b+c2R = 42´1 =2
답 ④
845
0 CDÓ=2이므로 직각삼각형 BCD에 서 BDÓ="Ã4Û`+2Û`=2'5
△ABD의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 A=45ù이므로
2R= 2'5sin`45ù =2'10
∴ R='10
답'10
846
0 △ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법 칙에 의하여
sin`A= a2R , sin`B= b2R 이므로 이것을 주어진 식에 대입하면 '3´ a2R = b
2R
∴ b='3 a yy ㉠
이때 C=90ù이므로 직각삼각형 ABC에서 피타고라스 정리에 의하여
aÛ`+('3 a)Û`=10Û`, 4aÛ`=100, aÛ`=25
∴ a=5, b=5'3 (∵ ㉠)
∴ △ABC=;2!;´5´5'3=25'3 2
답 ④
847
0 2a-b=9k, 2b-c=6k, 2c-a=k (k>0)라 하고 세 식을 연립하여 풀면
a=7k, b=5k, c=4k
∴ a：b：c=7：5：4
∴ sin`A：sin`B：sin`C =a：b：c
=7：5：4
답 ⑤
848
0 3a-2b+c=0, a+2b-3c=0을 연립하여 풀면 c=2a, b=;2%;a
∴ sin`A：sin`B：sin`C=a：b：c
=a：;2%;a：2a=2：5：4
sin`A=2k, sin`B=5k, sin`C=4k (k>0)라 하면
2'5 2
B C
D
4 A 45ù
따라서 가로등의 높이는 10`m이다.
답 ⑤
841
0 오른쪽 그림의 원뿔의 옆면의 전개도에서 구하는 최단 거리는 선 분 AP의 길이이다.
이때 원뿔의 밑면의 둘레의 길이가 2p이므로
µAB=;2!;µAA'=;2!;´2p=p
부채꼴 OAB의 중심각의 크기를 h라 하면 3´h=p에서 h=;3Ò;
따라서 △OAP에서 코사인법칙에 의하여 APÓ Û` =3Û`+2Û`-2´3´2´cos` p3
=9+4-2´3´2´ 12 =7
∴ APÓ='7
답 ''7
본문 106~109쪽
꼭
나오는 문제시험에
842
0 A+B+C=180ù이므로 A=180ù-(60ù+75ù)=45ù 사인법칙에 의하여 a
sin`45ù = '6
sin`60ù 이므로 a= '6sin`60ù ´sin`45ù= '6
'32
´ '22 =2
∴ a
cos`A = 2
cos`45ù = 2 '22
=2'2
답 ②
843
0 현 AB와 접선 AC가 이루는 각의 크기가 60ù이므로 오른쪽 그림과 같이 호 AB에 대한 원주각, 즉
∠APB의 크기도 60ù이다.
이때 원 O의 반지름의 길이를 R라 하 면 △ABP에서 사인법칙에 의하여
sin`60ù =2R10
∴ R= 10
2`sin`60ù =10'3 3 따라서 원 O의 넓이는 p´{ 10'33 }Û`=;:!3):);p
답 ⑤
1
"
"
# 0
L
D
1
" $
#
±
±
0
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EFÓ="Ã(2a)Û`+(2a)Û`=2'2a
따라서 △BEF에서 코사인법칙에 의하여 cos`h= ('10a)Û`+('10a)Û`-(2'2a)Û`2´'10a´'10a
= 12aÛ`
20aÛ`=;5#;
답 ②
853
0 ADÓBCÓ이므로 ∠DAC=∠BCA ACÓ=x, ∠DAC=∠BCA=h라 하면
△ABC에서 코사인법칙에 의하여 cos`h= 10Û`+xÛ`-6Û`2´10´x =xÛ`+64
20x yy ㉠
또 △ACD에서 코사인법칙에 의하여 cos`h= xÛ`+4Û`-8Û`2´x´4 =xÛ`-48
8x yy ㉡
㉠, ㉡에서 xÛ`+64
20x =xÛ`-48
8x , 3xÛ`=368, xÛ`=368 3
∴ x= 4'693
답 ⑤
854
0 5-x가 가장 짧은 변의 길이므로 cos`30ù= (5+x)Û`+5Û`-(5-x)Û`2(5+x)´5
'32 =25+10x+xÛ`+25-(25-10x+xÛ`) 10(5+x)
5'3+'3 x=4x+5 (4-'3)x=5'3-5
∴ x= 5'3-54-'3 = 15'3-513
답 15'3-5 13
855
0 사인법칙에 의하여
a：b：c=sin`A：sin`B：sin`C=7：5：3
a=7k, b=5k, c=3k (k>0)라 하면 코사인법칙에 의하여 cos`A= (5k)Û`+(3k)Û`-(7k)Û`2´5k´3k =-;2!;
0ù<A<180ù이므로 A=120ù
△ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하 여
sin`120ù =2R 3
∴ R= 3
2`sin`120ù = 3 '3='3 따라서 △ABC의 외접원의 넓이는 p´('3 )Û`=3p
답 ③ sin`B
sin`A +sin`C
sin`B +sin`A sin`C =5k
2k +4k 5k +2k
4k
=;2%;+;5$;+;2!;= 195
답:Á5»:
849
0 코사인법칙에 의하여
(2'5 )Û`=aÛ`+(2'2 )Û`-2´a´2'2´cos`45ù 20=aÛ`+8-2´a´2'2´ '22
aÛ`-4a-12=0 (a-6)(a+2)=0
∴ a=6 (∵ a>0)
답 ①
850
0 코사인법칙에 의하여
cÛ`=aÛ`+bÛ`-2ab`cos`C yy ㉠
cÛ`-3ab=(a-b)Û`에서 cÛ`-3ab=aÛ`-2ab+bÛ`
cÛ`=aÛ`+bÛ`+ab yy ㉡
㉠, ㉡에서 cos`C=-;2!;
∴ C=120ù (∵ 0ù<C<180ù)
답 ④
851
0 코사인법칙에 의하여
BCÓ Û` =xÛ`+{ 4x }Û`-2´x´;[$;´cos`120ù
=xÛ`+ 16
xÛ`-2´x´;[$;´{-;2!;}
=xÛ`+ 16 xÛ`+4
이때 xÛ`>0, 16xÛ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 xÛ`+ 16
xÛ`¾2¾¨xÛ`´ 16xÛ`=2'16=8
{단, 등호는 xÛ`= 16xÛ`, 즉 x=2일 때 성립한다.} 즉 BCÓ Û`¾8+4=12이므로
BCÓ¾'12=2'3
따라서 BCÓ의 길이의 최솟값은 2'3이다.
답 ⑤
852
0 정사각형 ABCD의 한 변의 길 이를 3a (a>0)라 하면
직각삼각형 ABE에서 BEÓ="ÃaÛ`+(3a)Û`='10a 이때 BEÓ=BFÓ이므로 BFÓ='10a 직각삼각형 DEF에서
3a
3a 2a
2a a
a B
A E D
F
h C