2.2.1 3차원 열전도 이론
가. 비정상 열전도의 유한요소 해석 이론
재료가 등방성(Isoteopic)일 때, 연속체의 3차원 비정상 열전도의 지배방정식 (Governing equation)은 아래의 식과 같이 서술할 수 있다.[12][13]
∇ ···(2.1)
이 식(2.1)을 3차원 직교좌표계로 기술하면 다음 식과 같다.
··········································································(2.2) : 온도 ℃, : 비열 ∙ ℃, : 밀도 , : 시간 sec
: 열전도율 ∙ sec∙ ℃, : 단위 시간 당 입열량 sec
식 (2.2)를 Galerkin method로 적용하여 유한요소법을 정식화하기 위해 해석모델 을 유한개의 요소로 분할하고, 한 요소 내의 온도분포는 아래와 같이 표현하였다.
···(2.3)
: 요소의 온도
: 절점의 온도와 요소 내의 온도를 연결하는 형상함수 Matrix
: 시간 t에 대한 요소의 절점 온도 Vector
식 (2.2)에 형상함수 을 가중(Weighting)함수로 하여 Galerkin method을 적용 하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
(2.4)식 (2.4)에서 는 요소의 영역을 나타내며, 윗 첨자 는 전치행렬을 나타낸다.
이 식을 Green-Gauss 정리를 이용하여 식을 전개하면 다음 식이 구해진다.
····················································································(2.5)여기서 : 요소의 경계이다.
식 (2.5)를 물체 표면의 열적 경계조건을 Fourier법칙으로 정리한 식
과 열전달의 식 으로 정리하면 다음 과 같이 구성된다.
∙
∙
∙ ·····················································(2.6)위 식(2.6)에 3차원 비정상 열전도 식을 Matrix화 하면 다음과 같이 나타낼 수 있 다.
······························································································(2.7) : 열전도 Matrix, : 열용량 Matrix, : 열유속 Vector
······································································································(2.8)
····································································································(2.9)
·········································································(2.10)식 (2.7)에는 ,
두 개의 미지수가 존재하여 풀이할 수가 없다.시간 증분을 ∆라하고 증분 전의 온도를 , 증분 후의 온도를 그리고 그 중간 의 온도를 라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
식 (2.11)을 정리하면 다음과 같다.
∆
···(2.12)
따라서 식(2.7)은 최종적으로 다음과 같이 정리할 수 있다.
∆
∆
············································(2.13)∆: 시간증분, : 증분 전의 절점 온도, : 증분 후의 절점온도
: 열전도 Matrix, : 열용량 Matrix, : 열 유속 Vector
나. 금속간화합물 예측 이론
이종 소재 간 접합이 이루어졌을 때 금속간화합물(Intermetallic Compound; IMC) 의 생성되고, 이 금속간화합물은 원래의 기계적 성질을 변화시키고 소재에 따라 기 계적 성질이 더 좋아지거나 나빠질 수 있다. Al 6061-T6와 GI steel의 금속간화합 물은 Zn 도금이 되어 금속간화합물이 Al과 Zn의 화합물이 아닌 Al과 Fe의 화합물인 Fe/Al계의 금속간화합물이 생성된다. Fe/Al계의 IMC는 용접부의 취성을 일으키는 성질을 가지고 있어 금속간화합물의 양을 수치해석을 통해 미리 예측하고자 하였 다.
금속간화합물은 시간에 따른 온도변화로 성장하기 때문에 아래 금속간화합물 예 측 수식을 나타내었다.[14][15]
exp (2.14)
∙ exp
∙ (2.15)
∙ exp ∙ (2.16): 빈도인자(Preexponentialfactor, ∙ ),
: 용해열(∼ ), : 기체상수(),
: 시간 차이,
: 평균 온도
단위는 길이 단위 m이며, 금속간화합물은 식 (2.16)에 따라 성장을 예측할 수 있 다.
2.2.2 입열 방정식
용접에서 입열은 중요한 인자이다. 따라서 유한요소 해석 중 입열량 계산은 중 요한 요소이다. 식 (2.17)에서 요소의 표면으로 적용되는 가우시안 열원 분포 (Gaussian Heat Flux)을 나타낸 것이다.[16]
···(2.17)
2.2.3 해석모델 및 조건
본 연구에서는 이종재 Al6061-T6와 GI steel의 3차원 열전도 수치해석을 ANSYS Mechanical Product Launcher를 사용하여 실시하였다. 수치해석의 모델의 크기는 실제 시험편과 동일한 크기인 100 mm(W) × 200 mm(L) × 2 mm(t)로 모델링을 하였 다.
용접 아크의 이송 속도에 따른 열원의 이동 효과를 고려하였고, 시간에 따라 온 도가 변화하므로 온도 구간에 따른 비열, 밀도, 열전도율 등을 고려하였다. 수치 해석에 사용된 물성치는 Fig 2.7과 Fig 2.8와 같으며, 모델링 형상과 요소분할 형 상은 Fig 2.9에 나타내었다. 해석에 이용된 요소는 8Node Iso-parametric 요소로 총 요소의 수는 223,500개, 요소의 절점수는 242,905개이며 온도변화가 큰 용접부 의 경우보다 더 세밀하게 요소분할을 하였다. 열적 경계조건으로 convection을 초 기온도를 상온으로 300K으로 고려하였다. 금속간화합물의 두께는 용접계면의 온도 이력을 추출하여 예측하였으며, 아울러 열전대를 이용하여 실측한 값과 비교함으 로써 수치해석 값에 대한 타당성을 검증하였다.
Fig. 2.7 Temperature depending of material properties of Al alloy
Fig. 2.8 Temperature depending of material properties of GI steel
(a) Analysis model (b) Front view