=4_8-;2!;_4_4-;2!;_2_4-;2!;_2_8
=32-8-4-8=12 …… 40%
08
Action 세 점 P, Q, R의 좌표를 구하여 △PQR의 넓이를 구한다.연립방정식
[
y=;2!;x+1y=2x-2 를 풀면 x=2, y=2
따라서 두 직선의 교점 P의 좌표는 (2, 2)이다.
직선 y=;2!;x+1의 x절편은 -2이므로 Q(-2, 0) 직선 y=2x-2의 x절편은 1이므로 R(1, 0)
∴
△
PQR=;2!;_3_2=3두 직선 y=;2!;x+1, y=ax가 만나는 점을 S라 하면
△
SQO=;2#;점 S의 y좌표를 k라 하면
;2!;_2_k=;2#; ∴ k=;2#;
y=;2!;x+1에 y=;2#; 을 대입하면
;2#;=;2!;x+1, ;2!;x=;2!; ∴ x=1
∴ S{1, ;2#;}
따라서 직선 y=ax가 점 S{1, ;2#;}을 지나므로 a=;2#;
09
Action 네 점 A, B, C, D를 좌표평면 위에 나타내고 점 P의 좌표를 구한다.두 점 A(2, 0), D(0, 5)를 지나 는 직선의 방정식은
y=-;2%;x+5
두 점 B(6, 0), C(0, 3)을 지나는 직선의 방정식은 y=-;2!;x+3
x y
O y=ax
y=2x-2 P
Q R
-2 S 1 2 2
y= x+121
x y
O 25
5 3
1 2A 6B P
C D
x y
O 2x+y+4=0
x-y+2=0
4x-y-4=0 B
C 4 2 -2
1 2
-4 D A
E F
연립방정식
[
y=-y=-;2%;x+5;2!;x+3 을 풀면 x=1, y=;2%;따라서 두 직선의 교점 P의 좌표는 {1, ;2%;}이다.
즉
△
PAB를 x축을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피는;3!;_p_{;2%;}Û`_5-;3!;_p_{;2%;}Û`_1=:Á1ª2°:p-;1@2%;p
=:ª3°:p
10
Action 먼저 두 직선의 교점의 좌표를 구한다.두 직선 y=ax+2b, y=bx+2a의 교점의 x좌표는 ax+2b=bx+2a, (a-b)x=2(a-b) ∴ x=2 (∵ a+b)
따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (2, 7)이다.
y=ax+2b에 x=2, y=7을 대입하면
7=2a+2b yy ㉠
이때 0<a<b에서 2a<2b이므로 두 직선의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
한편, 두 직선과 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 6이므로
;2!;_(2b-2a)_2=6
2b-2a=6, 2(b-a)=6 ∴ b-a=3 yy ㉡ ㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=;4!;, b=:Á4£:
11
Action 두 물통 A, B의 그래프의 식을 각각 구한다.물통 A의 그래프는 두 점 (10, 0), (0, 120)을 지나므로 y=-12x+120 yy ①
물통 B의 그래프는 두 점 (20, 0), (0, 80)을 지나므로 y=-4x+80 yy ②
①, ② 를 연립하여 풀면 x=5,`y=60
㉠, ㉣ 물을 빼내기 시작한 지 5분 후에 두 물통에 남아 있는 물의 양은 60 L로 같아진다.
㉡ 물통 A는 1분에 12 L씩, 물통 B는 1분에 4 L씩 물이 빠 지므로 물통 A가 물통 B보다 물이 빠르게 빠진다.
㉢ ①에 x=8을 대입하면 y=-12_8+120=24 따라서 물을 빼내기 시작한 지 8분이 지난 후 물통 A에 남 아 있는 물의 양은 24 L이다.
②에 x=8을 대입하면 y=-4_8+80=48 따라서 물을 빼내기 시작한 지 8분이 지난 후 물통 B에 남 아 있는 물의 양은 48 L이다.
x y
2aO 2b
y=bx+2a y=ax+2b
2 7
01P(1, 3) 02 3 03 ;1@5*;
최고 뛰어넘기
수준 P 117
01
Action 점 P의 좌표를 (a, b)로 놓고 네 점 A, B, C, D의 좌표를 각 각 a, b의 식으로 나타낸다.5x-3y+6=0에서 y=;3%;x+2 3x-4y+4=0에서 y=;4#;x+1
점 P의 좌표를 (a, b)라 하면 A{;5#;(b-2), b}, B{;3$;(b-1), b}, C{a, ;3%;a+2}, D{a, ;4#;a+1}이므로 ABÓ=;3$;(b-1)-;5#;(b-2)=;1!5!;b-;1ª5;
CDÓ=;3%;a+2-{;4#;a+1}=;1!2!;a+1 이때 ABÓ=;1#5!;이므로 ;1!5!;b-;1ª5=;1#5!;
;1!5!;b=;1#5#; ∴ b=3 CDÓ=;1@2#;이므로 ;1!2!;a+1=;1@2#;
;1!2!;a=;1!2!; ∴ a=1
따라서 점 P의 좌표는 (1, 3)이다.
02
Action 세 직선을 좌표평면 위에 나타내어 본다.세 직선 y=x+4,
y=;2!;x+3, y=-x+3을 좌 표평면 위에 나타내면 오른쪽
그림과 같다.
연립방정식
[
y=x+4y=;2!;x+3을 풀면 x=-2, y=2따라서 두 직선 y=x+4, y=;2!;x+3의 교점의 좌표는 (-2, 2)이다.
또, 두 직선 y=;2!;x+3, y=-x+3은 y절편이 같으므로 교 점의 좌표는 (0, 3)이다.
x y
O
y=x+4
y=-x+3 -2
-6 -4 23 3 4 y= x+321
즉 물통 A에 남아 있는 물의 양이 물통 B에 남아 있는 물 의 양보다 적다.
따라서 옳은 것은 ㉡, ㉣이다.
Ⅴ. 함수 | 63 01 240 0271 03xÉ-;1!7!;
04 y=;2!;x-1 0522 L 06;6%;
창의 사고력
교과서 속 P 118 - P 120
01
Action f(3), f(4), f(5)의 값을 각각 구하여 규칙을 찾는다.f(3)은 3 이하의 자연수 2개와 3을 가지고 만들 수 있는 삼 각형의 개수이므로
(3, 3, 3), (3, 3, 2), (3, 3, 1) ➡ 3개 (3, 2, 2) ➡ 1개
∴ f(3)=3+1=4
f(4)는 4 이하의 자연수 2개와 4를 가지고 만들 수 있는 삼 각형의 개수이므로
(4, 4, 4), (4, 4, 3), (4, 4, 2), (4, 4, 1) ➡ 4개 (4, 3, 3), (4, 3, 2) ➡ 2개
∴ f(4)=4+2=6
f(5)는 5 이하의 자연수 2개와 5를 가지고 만들 수 있는 삼 각형의 개수이므로
(5, 5, 5), (5, 5, 4), (5, 5, 3), (5, 5, 2), (5, 5, 1) ➡ 5개 (5, 4, 4), (5, 4, 3), (5, 4, 2) ➡ 3개
(5, 3, 3) ➡ 1개 ∴ f(5)=5+3+1=9 같은 방법으로
f(30) =30+28+26+y+4+2
=(30+2)+(28+4)+y+(18+14)+16
=32_7+16
=240
02
Action n에 2, 3, 4를 각각 대입한 후 a, b, c의 값의 범위를 각각 구 한다.fª(a)=[;2A;]=1에서 1É;2A;<2 ∴ 2Éa<4
f£(b)=[;3B;]=a에서 2É[;3B;]<4 즉 2É;3B;<4 ∴ 6Éb<12 f¢(c)=[;4C;]=b에서 6É[;4C;]<12 즉 6É;4C;<12 ∴ 24Éc<48
이때 정수 c의 최댓값은 47, 최솟값은 24이므로 M=47, m=24
∴ M+m=47+24=71
[x] : x보다 크지 않은 최대의 정수
➡ x 이하의 최대의 정수
➡ x를 넘지 않는 최대의 정수 Lecture
03
Action 두 일차함수 y=f(x), y=g(x)의 식을 각각 구한다.일차함수 y=f(x)의 그래프는 x의 값이 4만큼 증가할 때 y의 값은 3만큼 감소하므로 기울기가 -;4#;이다.
이때 min{a, b, c}는 a, b, c 중 가장 작은 수를 나타내므로 오른쪽 그림에서
f(x)=
[
x+4 (xÉ-2);2!;x+3 (-2<xÉ0) -x+3 (x>0)
따라서 f(x)의 최댓값은 x=0일 때 3이다.
03
Action 점 B를 원점, 직선 AB를 y축, 직선 BC를 x축으로 하는 좌 표평면 위에 사각형 ABCD를 나타내어 본다.오른쪽 그림과 같이 점 B를 원 점, 직선 AB를 y축, 직선 BC 를 x축으로 하는 좌표평면을 그려 보면 A(0, 4), C(4, 0), D(4, 4), M(2, 0), N(4, 2) 이다.
두 점 D(4, 4), M(2, 0)을 지나는 직선의 방정식은 y=2x-4 yy ㉠
두 점 A(0, 4), N(4, 2)를 지나는 직선의 방정식은 y=-;2!;x+4 yy ㉡
두 점 A(0, 4), C(4, 0)을 지나는 직선의 방정식은 y=-x+4 yy ㉢
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 x=:Á5¤:, y=:Á5ª:
∴ P{:Á5¤:, :Á5ª:}
㉠, ㉢ 을 연립하여 풀면 x=;3*;, y=;3$;
∴ Q{;3*;, ;3$;}
∴ (사각형 PQCN의 넓이) =
△
DQC-△
DPN=;2!;_4_{4-;3*;}-;2!;_2_{4-:Á5¤:}
=;3*;-;5$;=;1@5*;
x y
O(B) A
M P
Q N
C 4 D
2 4
x y
O
y=x+4
y=-x+3 -2
-6 -4 23 3 4 y= x+321