B. 배터리관리시스템(BMS) 설계
2. 확장칼만필터(EKF)/이중확장칼만필터(DEKF)
1 1 1 1( ) )
(- = k- k- + kT- + k
-k F P F Q
P (3.12)
] 1
) ( [
)
(- - +
-= k kT k k Tk k
k P H H P H R
K (3.13)
) ( } {
)
(+ = - k k k
-k I K H P
P (3.14)
1 1
0 ( ) T[ ( ) T]
k k k k k k k k
If R = K =P -H H P -H - =H- (3.15) ˆk( ) ˆk( ) k k( k) k k1
x + =x - +K z -z) =H z
-(3.16) ( ) T[ ( ) T ] 1 0
k k k k k k k
If R =¥ K =P -H H P -H +¥- = (3.17) ˆk( ) ˆk( ) 0( k k) ˆk( )
x + =x - + z -z) =x
-(3.18) 내부상태의 오차분산을 계산한 후, 위의 값과 측정 방정식을 이용하여 칼만게 인(Kk)을 구한다. 마지막으로, 칼만게인에 의해 내부상태가 보정되었으므로 오차 분산도 식 (3.16)과 같다. 칼만게인은 칼만필터에서 측정방정식을 어느 정도로 이 용할 것인가를 나타낸 지표이다. 칼만게인이 작으면 측정방정식에 의한 보정을 작게 가져가는 것이고, 이와 반대로 칼만게인이 크면 측정방정식을 신뢰하여 보 정을 크게 가져감을 의미한다. 칼만게인은 측정오차 분산인 Rk에 의해 좌우되며 이는 측정방정식의 정확도를 나타내는 지표이다. Rk값이 극단적으로 0이 되면, 내부상태는 완전히 측정방정식에 의해 추정된다. 이에 반해 Rk값이 아주 클 경 우, 시스템의 진행방정식에 기반해서 내부상태를 추정하게 된다. 이러한 원리를 바탕으로 초기값 오차와 누적 오차와 같은 전류적산법에 비해 전기적 등가회로 모델이 정확할 때는 큰 칼만게인에 의해 회로 모델을 많이 사용하고, 외란에 의 해 회로 모델이 잘 맞지 않을 때는 작은 칼만게인에 의해 전류적산법이 주로 사 용된다.
칼만필터가 선형시스템에 적합한 것이라면 확장칼만필터(EKF)는 비선형시스 템을 위해 고안된 것이다. 원리는 칼만필터와 동일하며 대신 비선형시스템을 작 은 구간으로 선형화시켜 칼만필터 기법을 적용시킨 것이다. 진행방정식의 fk와 측정방정식의 hk를 선형화시켜 사용한다.
Fig. 3-16. Time & Measurement updates of the EKF
) , 0 (
~ ,
) ( :
:진행방정식 xk = fk-1 xk-1 +wk-1 wk N Qk (3.19) )
, 0 (
~ ,
) ( :
:측정방정식 zk =hk xk +vk vk N Rk (3.20) ))
ˆ ( ( )
ˆk(- = fk-1 xk-1 +
x (3.21)
)) ˆ ( ( )
ˆk(- =hk xk
-z (3.22)
1
1 ˆk ( ) k k
x x A f
x
-- =
-Ȧ
¶ (3.23)
ˆ ) ( ) ˆ ( )
ˆk( xk Kk zk zk
x + = - + - (3.24)
) ˆ ( ]
1 [
-¶ =
Ȧ
xk
x k
k x
H h (3.25)
1 1 1 1
( ) ( ) T
k k k k k
P - =A P- - +A- +Q- (3.26) ( ) T[ ( ) T] 1
k k k k k k
K =P -H H P -H - (3.27)
) ( } {
)
(+ = - k k k
-k I K H P
P (3.28)
칼만필터에서 진행방정식에 의해 예측된 내부상태는 측정방정식에 의해 수정 되는데 이 때, 측정방정식이 부정확하거나 다른 요인에 의해 큰 노이즈를 포함할 경우, 내부상태를 잘못된 방향으로 유도할 가능성이 있다. 이를 줄이기 위해, 측 정방정식에서 큰 오차가 발생할 경우 이를 내부상태 추정에 사용하지 않는 것이 데이터 리젝션(data rejection)의 기본개념이다. 측정방정식에 의한 내부상태 보정 방법을 100% 사용하지 않는 것을 데이터 리젝션이라 하고, 측정 노이즈 값을 상 수가 아닌 모델로서 구체화 한 것을 측정 노이즈 모델이라고 한다. 개념상으로 보면, 측정된 데이터를 100% 사용하지 않고, 일정 정도 줄여서 사용한다는 개념 으로 볼 수 있다. 측정방정식에서 노이즈를 정확하게 묘사하는 것이 중요한데, 이는 칼만게인을 결정하는 중요한 변수이다. 이상적인 경우 이 노이즈는 백색소 음으로 분산은 가우시안 분포이고 평균은 0이다. 하지만, 일반적인 경우 시스템 을 완벽하게 모델링 할 수 없으므로 실제시스템에서 측정된 실측치와 모델을 통 한 예측치 사이의 모델오차도 노이즈에 포함된다. 모델이 부정확할 때, 모델 오 차에 의한 노이즈 값이 크게 나타나며, 이는 대개 가우시안 분포를 나타내지 않 는다. 그러므로 칼만필터가 수식적으로 유도된 오차범위보다 더 큰 오차를 나타 내기도 한다. 하지만, 대체로 노이즈가 평균값으로 0을 유지한다면 큰 문제는 아 니다.
Fig. 3-17. Data rejection and noise model at reliable/unreliable region
노이즈와 칼만게인은 역의 관계를 가진다. 노이즈가 크다는 것은 모델 오차가 크다는 것이고, 이런 경우 칼만게인을 줄여 측정방정식의 영향을 줄인다.
max )
( ) (
max
1
^ 1
^
^
A z
z z z
or A
z z
k k k k
k k
>
->
--
-(3.29)
식 (3.29)의 방식은 이전 데이터 리젝션 방식이다. 비교적 많은 상황에서 동작 하지만 문제가 되는 경우도 있다. 내부상태의 초기값이 틀린 경우와 같이 예측값 과 실제값의 차이가 측정방정식의 부정확성에 의한 오차가 아닌 실제 내부상태 의 부정확성에 의한 오차일 경우 데이터 리젝션은 오히려 칼만필터의 특성을 느 리게 하거나 최악의 경우 반복되는 데이터 리젝션으로 칼만필터가 작동되지 않 게 할 가능성도 있다.