해석모델

(1) Mohr-Coulomb 탄·소성 모델

본 연구에서는 쇄석다짐말뚝의 수치해석을 수행하기 위하여 Mohr-Coulomb모델을 적용하였다. 탄소성 구성 모델에서는 재료의 응력이 항복점에 도달하기 전까지의 거동 은 탄성모델로 적용되나, 항복점에 도달한 이후의 거동은 소성거동을 따른다.

Mohr-Coulomb 파괴규준에 따르면 항복지점에서 연직응력이 증가할수록 전단강도는 증가하며 식 (3.1)과 같이 표현할 수 있고 이를 Mohr-Coulomb 파괴규준이라고 한다.

흙의 3상도는 흙 입자, 물, 공기로 구성되어 있으며, 흙에 응력이 작용하면 흙 입자가 응력과 압력의 합계가 외력에 의한 응력과 동등하게 되어 역학적인 평형이 유지되나, 토층에 작용하는 전단응력은 흙 입자에 작용하는 응력에 따라 결정되고 간극수의 압력 과는 무관하므로 이때의 흙 입자의 응력을 유효응력(^)이라 하고 물의 간극수압(^)이 작용하므로 유효수직응력(^{′    })을 이용하면 식 (3.1)과 같다.

    tan (3.1)

여기서, ^ : 항복지점에서 전단응력

 : 점착력

^′ : 항복면에서의 유효수직응력

 : 내부마찰각

항복규준을 Mohr원을 이용하여 주응력들로 표현하면 식 (3.2)과 같다.



_ _

 

_ _

   cos (3.2)

Mohr-Coulomb 파괴규준에 따르면 항복압축강도는 항복인장강도 보다 크고 이는 재 료의 거동특성이 3차 응력불변량에 의존하는 것을 의미한다. 한편 Mohr-Coulomb 항 복규준은 중간 주응력 효과가 포함되지 않고 최대, 최소주응력으로 표현되므로 6개의 응력벡터로 정의되는 3차원 응력상태로 표현하는 것이 편리하다(선희현, 2001). 또한 Mohr–Coulomb의 파괴규준은 그림 3.1과 같이 나타낼 수 있다.

그림 3.1 Mohr-Coulomb 파괴규준

(2) Modified Cam-Clay 탄·소성 모델

본 연구에서는 쇄석다짐말뚝의 수치해석을 수행하기 위하여 Modified Cam-Clay모델 을 적용하였다. 흙의 배수 및 비배수조건 아래에서 전단하는 동안 발생하는 유효응력 과 그 때의 비체적 또는 간극비와의 관계를 설명하는 것으로서 흙의 전단과 압밀을 통 합한 이론을 설명하는 한계상태개념과 등방삼축시험을 기본으로 하는 원형 Cam-Clay 모델은 다음의 기본가정 사항을 갖고 있다.

① 체적변형률은 일부 회복가능하지만 전단변형률은 회복불가능하다.

② 전단 중에 소요되는 에너지는 모두 마찰로 소비된다.

③ 항복곡면은 소성 Potential면으로 되며, 일정한 규칙을 따른다.

여기서, 그림 3.2와 같은 Modified Cam-Clay 모델은 점토는 모든 존재가능한 상태의 한계가 되는 특정한 곡면을 가지게 되며, 점토의 유효응력경로가 이 면 위에서 최종적 으로 도달하게 되는 한계상태선이 존재한다는 것이다.

또한 탄소성 등방재료의 성질을 갖는 연약한 점토에 대한 배수 및 비배수 거동을 설 명할 수 있고 재료의 변형거동에 있어서 과압밀된 점토와 같이 강성이 큰 토질재료의 연화변형률 거동은 표현이 불가하고 경화변형률 거동에 대해서 설명할 수 있으며, 압 밀의 크리프 성질과 변형의 시간의존성은 포함하지 않고 있다.

그림 3.2 Modified Cam-Clay 이론의 개선사항(김동훈, 1996)

또한 탄소성 등방재료의 성질을 갖는 연약한 점토에 대한 배수 및 비배수거동을 설명 할 수 있고, 재료의 변형거동에 있어서 과압밀된 점토와 같이 강성이 큰 토질재료의 연 화변형률 거동은 표현이 불가하다. 또한 경화변형률 거동에 대해서 설명할 수 있으며, 압 밀의 크리프 성질과 변형의 시간의존성은 포함하지 않고 있다.

그림 3.3(a)에서는 흙에 대한 등방 재하(Loading) 및 재하(Unloading)를 e-ln P 곡선 상 에 나타냈을 때, 하중재하(Loading)경로의 기울기는 ^, 하중 재하(Unloading)-재재하 (Reloading)경로의 기울기는 ^로 나타낸다. 그림 3.3(b)는 ^{′  } 평면에서의 항복함수를 보여주는 것이다. 그림과 같이 법선법칙에 의해 증분 소성변형율 벡터는 항복면상의 어 떠한 점에서도 항복면과 수직을 이루며 아래와 같은 식 (3.3)으로 나타낼 수 있다.

_^

_^

  



(3.3)

여기서,  : ^ _ _

 : ^ _

Modified Cam-Clay 모델에서의 항복함수는 다음 식 (3.4)와 같다.

  ^^′_′    (3.4) 여기서,  : 전단전의 등방압밀응력

 : 한계상태 개념의 매개변수

Modified Cam-Clay 모델은 한계상태선(Critical State Line) 개념을 도입한 것이며, 시료의 전단 시 파괴상태에 도달하기 전에 점진적인 항복상태를 지나게 된다. 즉, 응력 경로는 소성변형을 일으키며 몇 개의 항복면을 지나게 되고 항복은 흙 시료가 한계상 태에 도달할 때까지 계속된다. 이는 흙 시료의 극한상태로 생각할 수 있으며 P-q 평면 에서의 한 직선 상에 놓이게 되는데 이 선이 한계상태선이다. 선의 기울기인 M은 흙 의 매개변수이고 흙이 한계상태에 도달하면 파괴가 일어나는 것을 나타내며, 다음 식 (3.5)와 같다(최동혁, 2006).

 _{ }



 _ (3.5)

(a) e-lnp 곡선 (b) 항복 표면 그림 3.3 Modified Cam-Clay 모델 변수의 정의(유충식 등, 2007)