Ⅳ. 연구결과
2. 학생 활동 및 결과물 분석
제작한 교수 학습 자료를 수업에 적용하여 학생들의 반응과 더불어 제작한 결과 물, 프로젝트 수업 후 발표 내용, 과제물들을 받아 분석하였다.
1) 1-3 차시 결과물
1차시부터 3차시까지는 몬테카를로 시뮬레이션의 기본 개념을 이해하고 교사의 시범을 보며 GeoGebra을 통하여 여러 가지 몬테카를로 시뮬레이션을 만드는 과 정이다. 학생들은 교사와 학생 간에 서로 도움을 받으며 교사의 시범을 잘 따라 시뮬레이션을 제작하였다. 학생들은 수업이 진행 될수록 점차 몬테카를로 시뮬레 이션을 GeoGebra로 작성하는데 숙달이 되었다. 다음 그림들은 교사의 시범을 따 라 만든 학생들의 몬테카를로 시뮬레이션 결과물이다.
<그림 28> 의 근삿값 찾기 결과물 <그림 29> 정규분포 난수 생성기 결과물
<그림 30> 뷔퐁의 바늘문제 결과물
2) 4 차시 수업 결과 분석
4차시는 베르트랑의 현 문제에 관한 수업이다. 먼저 한 가지 해법에 대한 몬테카 를로 시뮬레이션 제작 과정을 따라하게 하였고, 왜 서로 다른 확률 값을 갖게 되 는지 설명하게 하였으며 나머지 해법들에 대해서도 학생들이 스스로 몬테카를로 시뮬레이션으로 제작하여 발표하게 지도하였다. 학생들은 베르트랑의 현 문제의 서로 다른 확률 값이 나오는 이유에 대하여 충분히 이론적으로 설명할 수 있었 고, 제작 과정에서 다양한 접근 방법을 보여주며 몬테카를로 시뮬레이션 구현을 시도 하였다.
가) 원의의 임의의 두 점을 잡아 현을 그리는 방법 - 확률 값 :
교사가 시범을 보여준 방법인 원의의 임의의 두 점을 잡아 이를 현으로 만들어 시뮬레이션으로 제작하는 과정은 학생들이 쉽게 따라하였다. 다음 그림들은 학생 들의 시뮬레이션 결과물이다.
<그림 31> <그림 32>
나) 현과 중심의 거리를 임의로 잡는 방법 - 확률 값 :
학생들은 이 확률 값 구현 과정에서는 기존에 배워 익힌 방법들을 이용하여 별 다른 어려움 없이 시뮬레이션 제작에 성공하였다. 학생들의 해법들을 정리하면 다음과 같다.
① <그림 33>처럼 슬라이더 ≤ ≤ 를 만들고, 두 점 Q
Q′
을 원점을 중심으로 ≤ ≤ 만큼 회전 이동한 두 점 을 연결하여 현을 만들었다.<그림 33> <그림 34>
② <그림 35>처럼 X cos sin ≤ ≤ 라 할 때, Y X ≤ ≤ 와 원 점을 연결한 직선에 수직인 현을 만들었다.
<그림 35> <그림 36>
③ <그림 37>처럼 U cos sin ≤ ≤ 라 하고, 원점 B와 U를 연결한 직 선과 반지름의 길이가 ≤ ≤ 인 원의 교점을 C라 할 때, BC의 수직이 등분선의 일부를 현으로 결정하였다.
<그림 37> <그림 38>
다) 원 안에 현의 중점을 임의로 잡는 방법 - 확률 값 :
학생들은 원 내부의 한 점이 주어지면 그 점을 중심으로 하는 현이 유일하게 결 정되기 때문에 어떻게 하면 원 내부의 임의의 한 점을 뽑을 것인지에 대하여 초 점을 맞춰 고민하였고 다수의 학생들은 극좌표 형태를 이용하여 점을 뽑아 이를 바탕으로 현을 만들어 시뮬레이션을 실시하였으나 결과가 원하는
이 아닌
이 나와서 당황하였다. 이 원인이 무엇인지를 밝혀내기 위하여 토의를 진행하는 데, 한 학생이 이 과정을 시뮬레이션 하였고, <그림 39>처럼 원의 중심 근방에 서 원주 근방보다 상대적으로 점이 더 많이 찍히는 것을 보여주며 전략을 수정 해야 함을 설명하였다.
<그림 39> 극좌표를 이용한 원 안의 점찍기
이를 토대로 학생들은 전략을 수정하였고 다음과 같은 해법들을 제시하였다.
① <그림 40>처럼 점 Q ≤ ≤ 이라 하고 Q를 중점으로 하는 현 을 만들고, 두 조건 조건[ ]이라 하여 이를 스프레드시트에 기 록한다. 여기서 Q가 원 밖에 있는 경우에는 현은 만들어지지 않고 으로 기 록된다. 이 기록된 자료의 평균은 사각형에서 임의의 점을 뽑아 이 점을 중점으 로 갖는 현을 만들었을 때, 이 길이가 보다 큰 경우를 나타낸다. 구하려는 확 률은 사각형이 아닌 원의 현을 임의로 추출한 경우에 해당되므로 이 평균값에 사각형의 넓이를 반지름의 길이가 인 원의 넓이로 나눈 값, 즉
를 곱한다.
<그림 40>
② <그림 41>처럼 점 P ≤ ≤ , 원의 중심을 A라 하였을 때, P를 중심으로 하는 현을 만들고, 두 조건 조건[거리 A P≤ ],
조건[거리 A P
]을 만들고 이를 스프레드시트 열에 각각 기록한
다. 현의 길이가 의 길이가 보다 클 확률을 구하기 위해서는 P의 좌표가 반 지름의 길이가 인 원 밖의 점들을 제외한 상태에서 A와 P 사이의 거리가
보
다 작은 경우들을 세어야 하므로 구하려는 통계적 확률은 의 합을 의 합으로 나누어 계산한다.
<그림 41>
③ <그림 42>처럼 이론적 확률 값이
이라는 사실을 알고 있다고 가정을 하여
해결하는 방법이다. 점 A ≤ ≤ 를 임의로 만들고 A를 중심으로 하는 현 GH를 만든다. 조건[거리 G H ], 조건[ ] 이라 할 때, 현 GH가 정의되지 않는 경우에는 가 나온다. 점 A를 임의로 뽑았을 때, 기하적 확률을 생각하면 일 확률은
× ,
일 확률은
×
, 일 확률은
이다. 확률=평균
[A A]+평균[B B]이라 하면 시뮬레이션을 반복한 데이터를 통해 계산 한 확률은
×
에 가까워 질 것이다.
<그림 42>
라) 다른 확률 값을 갖는 방법
학생들에게 지금까지의 확률이 아닌 다른 확률 값이 나오는 경우가 있으면 이를 제시하라 하였는데 다음과 같은 방법이 나왔다.
직선 tan ≤ ≤ ≤ ≤ 의 일부를 현으로 만들었다.
- 이 과정을 시뮬레이션 했을 때, 통계적 확률이 약 가 나왔다. 어떻게 된 것 인 가를 파악하기 위하여 <그림 44>처럼 슬라이더 를 고정하고 슬라이더 를 움직였을 때 평행한 현이 모두 나오지 않는 것을 발견하고 이에 전략이 잘못되 었음을 설명하였다.
<그림 43> <그림 44>