확인 1 답 45p`cmÛ`
(색칠한 부분의 넓이)=50p-5p=45p(cmÛ`) 확인 2 답 24`cmÛ`
색칠한 부분의 넓이는
△
ABC의 넓이와 같으므로 (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_6_8=24(cmÛ`)개념북 133쪽 개념 check
01
답 45`cmÛ`P+Q=R이므로
P+30=75 ∴ P=45`cmÛ`
02
답:ª2°:p`cmÛ`P+Q=(BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이) P+Q=;2!;_p_5Û``=:ª2°:p(cmÛ`)
03
답 17`cm색칠한 부분의 넓이는
△
ABC의 넓이와 같으므로 (색칠한 부분의 넓이)=△
ABC=;2!;_15_ACÓ=60∴ ACÓ=8`cm
△
ABC에서 BCÓ Û`=15Û`+8Û`=289∴ BCÓ=17`cm`(∵ BCÓ>0)
04
답 56`cmÛ`(색칠한 부분의 넓이)=
△
ABC+△
ABC=2△
ABC(색칠한 부분의 넓이)=2_{;2!;_8_7}=56(cmÛ`) 개념북 134~137쪽 유형 check
1
답 3<x<15삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에서
12-9<x<12+9 ∴ 3<x<21 yy`㉠
∠C<90ù이므로 xÛ`<9Û`+12Û`, xÛ`<225
x>0이므로 0<x<15 yy`㉡
㉠, ㉡에 의하여 3<x<15
1
- 1 답 7<x<17삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에서
15-8<x<15+8 ∴ 7<x<23 yy`㉠
∠A<90ù이므로 xÛ`<15Û`+8Û`, xÛ`<289
x>0이므로 0<x<17 yy`㉡
㉠, ㉡에 의하여 7<x<17
1
- 2 답 13<a<17a가 가장 긴 변의 길이이고, 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에서
12<a<12+5 ∴ 12<a<17 yy`㉠
주어진 삼각형이 둔각삼각형이므로 aÛ`>5Û`+12Û`, aÛ`>169
∴ a>13 (∵ a>0) yy`㉡
㉠, ㉡에 의하여 13<a<17
2
답 ④① a=8이면 11Û`>7Û`+8Û`이므로
△
ABC는 둔각삼각형이 다.② a=10이면 11Û`<7Û`+10Û`이므로
△
ABC는 예각삼각형 이다.③ a=11이면 11Û`<7Û`+11Û`이므로
△
ABC는 예각삼각형 이다.④ a=12이면 12Û`<7Û`+11Û`이므로
△
ABC는 예각삼각형 이다.⑤ a=13이면 13Û`<7Û`+11Û`이므로
△
ABC는 예각삼각형 이다.2
- 1 답 ①① bÛ`<aÛ`+cÛ`이면 ∠B는 예각이다.
그러나 ∠B가 예각이라고 해서
△
ABC가 예각삼각형인지는 알 수 없다.
2
- 2 답 ⑴ 8<x<10 ⑵ 10<x<14x가 가장 긴 변의 길이이고, 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에서
8<x<14 yy`㉠
⑴ 예각삼각형이 되려면 xÛ`<6Û`+8Û`, xÛ`<100
x>0이므로 0<x<10 yy`㉡
㉠, ㉡에서 8<x<10
⑵ 둔각삼각형이 되려면 xÛ`>6Û`+8Û`, xÛ`>100
x>0이므로 x>10 yy`㉢
㉠, ㉢에서 10<x<14
3
답 ③△
ABC에서 ACÓ Û`=15Û`+20Û`=625∴ ACÓ=25`cm`(∵ ACÓ>0)
BCÓ Û`=CDÓ_CAÓ이므로 15Û`=CDÓ_25 ∴ CDÓ=9`cm
3
- 1답 :Á5¤:△
ABC에서 ACÓ Û`=12Û`+16Û`=400∴ ACÓ=20`(∵ ACÓ>0) ABÓ_BCÓ=ACÓ_BDÓ이므로 12_16=20_y ∴ y=:¢5¥:
BCÓ Û`=CDÓ_CAÓ이므로 16Û`=x_20 ∴ x=:¤5¢:
∴ x-y=:¤5¢:-:¢5¥:=:Á5¤:
3
- 2답:£5¤:`cm△
ABC에서 ABÓ Û`=15Û`-12Û`=81∴ ABÓ=9`cm`(∵ ABÓ>0) ABÓ_ACÓ=BCÓ_AÕHÓ이므로
9_12=15_AHÓ ∴ AHÓ=:£5¤:`cm
4
답 65DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`=4Û`+7Û`=65
4
- 1답 51△
ABC에서 BCÓ Û`=6Û`+8Û`=100∴ BCÓ=10`(∵ BCÓ>0) DEÓ Û`+BCÓ Û`=BEÓ Û`+CDÓ Û`이므로 DEÓ Û`+10Û`=7Û`+CDÓ Û`
∴ CDÓ Û`-DEÓ Û`=10Û`-7Û`=51
4
- 2답 125△
ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질 에 의하여DEÓ=;2!; BCÓ=;2!;_10=5(cm)
∴ BEÓ Û`+CDÓ Û`=DEÓ Û`+BCÓ Û`=5Û`+10Û`=125
5
답 ②ABCD의 두 대각선이 서로 직교하므로 ADÓ Û`+BCÓ Û`=ABÓ Û`+DCÓ Û`
ABCD는 등변사다리꼴이므로 ABÓ=DCÓ ADÓ Û`+BCÓ Û`=2ABÓ Û`, 4Û`+8Û`=2ABÓ Û`
∴ ABÓ Û`=40
5
- 1답 24ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로 5Û`+CDÓ Û`=6Û`+7Û` ∴ CDÓ Û`=60
△
CDO에서 DOÓ Û`=60-36=245
- 2답 99△
AOD에서 ADÓ Û`=5Û`+5Û`=50 ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`이므로 7Û`+10Û`=50+BCÓ Û` ∴ BCÓ Û`=996
답 9APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로
4Û`+CPÓ Û`=5Û`+DPÓ Û` ∴ CPÓ Û`-DPÓ Û`=5Û`-4Û`=9
40
정답과 해설 Ⅱ. 도형의 닮음과 피타고라스 정리41 6
- 1 답 65APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로
4Û`+7Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û` ∴ BPÓ Û`+DPÓ Û`=65
6
- 2 답 193ACÓ Û`=15Û`+20Û`=625 ∴ ACÓ=25`(∵ ACÓ>0) ABÓ_BCÓ=ACÓ_BHÓ이므로 15_20=25_BHÓ
∴ BHÓ=12
ABÓ Û`=AHÓ_ACÓ이므로 15Û`=AHÓ_25
∴ AHÓ=9, CHÓ=25-9=16
AHÓ Û`+CHÓ Û`=BHÓ Û`+DÕHÓ Û`이므로 9Û`+16Û`=12Û`+DÕHÓ Û`
∴ DÕHÓ Û`=337-144=193
7
답 352(BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이)
=(ABÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이)
+(ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이)
=28p+16p=44p BCÓ=x라 하면
;2!;_p_{ x2}2`=44p, xÛ`
8=44 ∴ xÛ`=352
7
- 1 답 36p`cmÛ`SÁ+Sª=S£이므로
SÁ+Sª+S£=S£+S£=2S£=2_{;2!;_p_6Û`}
SÁ+Sª+S£=36p(cmÛ`)
7
- 2 답 32ABÓ, ACÓ를 각각 지름으로 하는 반원의 넓이의 합은 BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이와 같으므로 ACÓ를 지름으로 하 는 반원의 넓이는 7p-3p=4p
따라서 ;2!;_p_{ ACÓ2 }2`=4p이므로 ACÓ Û`
8 =4 ∴ ACÓ Û`=32
8
답 60`cmÛ`△
ABC에서 ABÓ Û`=17Û`-8Û`=225∴ ABÓ=15`cm`(∵ ABÓ>0)
∴ (색칠한 부분의 넓이)=
△
ABC∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_15_8=60(cmÛ`)
8
- 1 답 35ABCD에서 대각선 AC를 그으면 A D
C B
5 S¡ 7
S¢
S£
S™
(색칠한 부분의 넓이)
=SÁ+Sª+S£+S¢
=
△
ABC+△
ADC=ABCD=7_5=35
8
- 2 답:£5¤:`cm색칠한 부분의 넓이는
△
ABC의 넓이와 같으므로 (색칠한 부분의 넓이)=△ABC=;2!;_12_ACÓ=54∴ ACÓ=9`cm
△
ABC에서 BCÓ Û`=12Û`+9Û`=225∴ BCÓ=15`cm`(∵ BCÓ>0) 또, ABÓ_ACÓ=BCÓ_AHÓ이므로 12_9=15_AHÓ ∴ AHÓ=:£5¤:`cm
단원 마무리
개념북 138~140쪽01
①02
②03
19404
;3%;`cm05
②06
②07
⑤08
④09
③10
:ª5¢:11
;:!2@:%;12
①13
16`:`9`:2514
13`cm15
54`cmÛ`16
;1!2^5*;`cm17
2001 △
ABD에서 BDÓ Û`=5Û`-3Û`=16 ∴ BDÓ=4`cm`(∵ BDÓ>0) ∴ x=BCÓ-BDÓ=6-4=2△
ADC에서 yÛ`=3Û`+2Û`=13 ∴ xÛ`+yÛ`=4+13=1702 △
ADC에서 ACÓ Û`=15Û`-9Û`=144 ∴ ACÓ=12`(∵ ACÓ>0)
△
ABC에서 BCÓ Û`=20Û`-12Û`=256 ∴ BCÓ=16`(∵ BCÓ>0)∴ BDÓ=BCÓ-DCÓ=16-9=7
03
ABCD=25이므로 BCÓ=5`(∵ BCÓ>0) ECGH=64이므로 CGÓ=8`(∵ CGÓ>0) ∴ BGÓ=5+8=13
△
ABG에서 AGÓ Û`=5Û`+13Û`=19404 △
BCE에서 BEÓ Û`=4Û`+3Û`=25이므로 BEÓ=5`cm`(∵ BEÓ>0)∴ DEÓ=4-3=1(cm)
△
BCE»△
FDE(AA 닮음)이므로 CEÓ`:`DEÓ=BEÓ`:`FEÓ, 즉 3`:`1=5`:`FEÓ 3FEÓ=5 ∴ FEÓ=;3%;`cm05 △
ABC에서 BCÓ Û`=9Û`+12Û`=225 ∴ BCÓ=15`(∵ BCÓ>0)점 M은 직각삼각형 ABC의 빗변인 BCÓ의 중점이므로
△
ABC의 외심이다.AÕMÓ=BÕMÓ=CÕMÓ=;2!; BCÓ=;2!;_12=:Á2°:
∴ MGÓ=;3!; AÕMÓ=;3!;_:Á2°:=;2%;
06 △
ABFª△
EBC (SAS 합동) ( ③ ) DCÓEBÓ이므로△
EBC=△
EBA ( ④ )ADEB는 정사각형이므로
△
EBA=△
EAD ( ① ) BFÓAÕMÓ이므로△
ABF=△
LBF ( ⑤ )07
정사각형 EFGH의 넓이가 34`cmÛ`이므로 EFÓ Û`=34△
AFE에서 AEÓ Û`=34-9=25이므로AEÓ=5`cm`(∵ AEÓ>0)
△
AFEª△
BGFª△
CHGª△
DEH(RHS 합동)이므 로 AEÓ=BFÓ=CGÓ=DHÓ=5`cm∴ ABÓ=3+5=8(cm)
따라서 ABCD는 한 변의 길이가 8`cm인 정사각형이므 로 ABCD=8Û`=64(cmÛ`)
08
ㄱ. aÛ`<bÛ`+cÛ`이면 ∠A<90ù이다.ㄷ. aÛ`<bÛ`+cÛ`이면 ∠A<90ù이지만 ∠B 또는 ∠C는 둔 각(직각)일 수도 있으므로
△
ABC를 예각삼각형이라 할 수 없다.ㄹ. aÛ`+bÛ`<cÛ`이면 ∠C>90ù이므로 ∠A<90ù이다.
ㅁ. aÛ`-bÛ`>cÛ`이면 aÛ`>bÛ`+cÛ`에서 ∠A>90ù이므로
△
ABC는 둔각삼각형이다.따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ, ㅁ이다.
09 △
ABC에서 BCÓ Û`=4Û`+8Û`=80삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 DEÓ=;2!; BCÓ이므로 DEÓ Û`=;4!; BCÓ Û`=;4!;_80=20 ∴ BEÓ Û`+CDÓ Û` =DEÓ Û`+BCÓ Û`=20+80=100
10
직선 y=-;3$;x+8의 x절편은 6, y절편은 8이므로 OAÓ=6, OBÓ=8
△
OAB에서 ABÓ Û`=6Û`+8Û`=100 ∴ ABÓ=10`(∵ ABÓ>0) 또, OAÓ_OBÓ=ABÓ_OHÓ이므로 6_8=10_OHÓ ∴ OHÓ=:ª5¢:11
ABCD의 두 대각선이 서로 직교하므로 ABÓ Û`+CDÓ Û`=ADÓ Û`+BCÓ Û`ABCD는 등변사다리꼴이므로 ABÓ=CDÓ 2CDÓ Û`=5Û`+10Û` ∴ CDÓ Û`=;:!2@:%;
12
APÓ Û`+CPÓ Û`=BPÓ Û`+DPÓ Û`이므로 3Û`+CPÓ Û`=4Û`+6Û` ∴ CPÓ Û`=43 따라서△
PBC에서BCÓ Û`=BPÓ Û`+CPÓ Û`=4Û`+43=59
13
SÁ=;2!;_p_4Û`=8pSª=;2!;_p_3Û`=;2(;p
S£=SÁ+Sª=8p+;2(;p=:ª2°:p
∴ SÁ`:`Sª`:`S£=8p`:`;2(;p`:`:ª2°:p=16`:`9`:`25
14
(색칠한 부분의 넓이)=△
ABC=;2!;_5_ACÓ=30 ∴ ACÓ=12`cm
△
ABC에서 BCÓ Û`=5Û`+12Û`=169 ∴ BCÓ=13`cm`(∵ BCÓ>0)15
1단계 ADEB=BFGC+ACHI이므로 225=144+ACHI∴ ACHI=225-144=81(cmÛ`) 2단계 BFGC=BCÓ Û`=144`cmÛ`이므로 BCÓ=12`cm`(∵ BCÓ>0) ACHI=ACÓ Û`=81`cmÛ`이므로 ACÓ=9`cm`(∵ ACÓ>0) 3단계
△
ABC=;2!;_BCÓ_ACÓ△
ABC=;2!;_12_9=54(cmÛ`)16 △
ABC에서 BCÓ Û`=6Û`+8Û`=100∴ BCÓ=10`cm`(∵ BCÓ>0)
ABÓ_ACÓ=BCÓ_AEÓ이므로 6_8=10_AEÓ
∴ AEÓ=:ª5¢:`cm ... ❶
△
ABC에서 ABÓ Û`=BEÓ_BCÓ이므로36=BEÓ_10 ∴ BEÓ=:Á5¥: cm
점 D는 BCÓ의 중점이므로 BDÓ=CDÓ=ADÓ=5`cm ∴ DEÓ=5-:Á5¥:=;5&;(cm) ... ❷
△
AED에서 AEÓ_DEÓ=ADÓ_EFÓ이므로:ª5¢:_;5&;=5_EFÓ ∴ EFÓ=;1!2^5*; cm ... ❸
단계 채점 기준 비율
❶ AEÓ의 길이 구하기 30`%
❷ DEÓ의 길이 구하기 40`%
❸ EFÓ의 길이 구하기 30`%
17
오른쪽 그림과 같이 점 B를 CDÓ에 대하여 대칭이동한 점 을 B'이라 하면 ... ❶ APÓ+BPÓ=APÓ+BÕ'PÓ¾AÕB'Ó... ❷ 이때
△
AHB'에서AÕB'Ó Û`=12Û`+16Û`=400이므로 AÕB'Ó=20`(∵ AÕB'ÓÓ>0)
따라서 APÓ+BPÓ의 최솟값은 20이다. ... ❸
단계 채점 기준 비율
❶ 점을 대칭이동하기 20`%
❷ 조건을 만족시키는 부등식 세우기 40`%
❸ APÓ+BPÓ의 최솟값 구하기 40`%
A
P B
C D
H 16 B'
7 5