02
집합 A에서 (x-5)(x-a)=0이므로 x=5 또는 x=a 즉, A={5, a}
A,B가 성립하려면 a<B이어야 하고, a는 양수이므로 a=5
답 5
03
'25=5이므로 A25={x|x는 5 이하의 홀수}={1, 3, 5}An,A25를 만족시키려면 집합 An의 원소는 5 이하의 홀수로만 이 루어져야 한다.
즉, 1É'n<7이므로 1Én<49 따라서 자연수 n의 최댓값은 48이다.
답 48
04
A=B이므로
a+2=2 또는 a+2=6-a 즉, a=0 또는 a=2 Ú a=0일 때,
A={-2, 2}, B={2, 6}이므로 A+B Û a=2일 때,
A={2, 4}, B={2, 4}이므로 A=B
Ú, Û에 의하여 a=2 답 ⑤
다른 풀이
Ú a+2=2, a2-2=6-a일 때,
이를 동시에 만족시키는 a의 값은 존재하지 않는다.
Û a2-2=2, a+2=6-a일 때, a2-2=2에서 a2=4, a=Ñ2 a+2=6-a에서 2a=4, a=2 Ú, Û에 의하여 a=2
05
A=B이므로 두 집합 A, B의 원소가 서로 같아야 한다.
4<B이므로 4<A, 즉 a=4 2<A이므로 2<B, 즉 b=2 따라서 a_b=4_2=8
답 ②
06
A,B이고 B,A이면 A=B이므로 두 집합 A, B의 원소가 서로 같아야 한다.
5<B이므로 5<A, 즉 a=5 20<A이므로 20<B, 즉 a+b=20
따라서 b=15 답 ③
07
A={1, 2, 3, 6}이므로 집합 A의 모든 부분집합의 개수는 24=16
답 16
08
집합 A의 원소의 개수가 5이므로 부분집합의 개수는 25=32 이 중에서 홀수인 원소 1, 3, 5를 제외한 원소로 이루어진 부분집합 의 개수는
25-3=22=4
따라서 홀수가 한 개 이상 속해 있는 부분집합의 개수는 32-4=28
답 ④
09
{1, 2},X,{1, 2, 3, 4, 5}에서 집합 X는 집합 {1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 중에서 1, 2를 반드시 원소로 갖는 집합이다.
따라서 집합 X의 개수는 25-2=23=8
답 8
10
A={1, 2, 4}, B={1, 2, 3, 4, 6, 12}
따라서 {1, 2, 4},X,{1, 2, 3, 4, 6, 12}에서 집합 X는 집합 {1, 2, 3, 4, 6, 12}의 부분집합 중에서 1, 2, 4를 반드시 원소로 갖 는 집합이므로 집합 X의 개수는
26-3=23=8
답 8
11
집합 X는 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합이고, {1, 2},X이므로
{1, 2},X,{1, 2, 3, 4, 5}
따라서 집합 X는 집합 {1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 중에서 1, 2를 반 드시 원소로 갖는 집합이므로 집합 X의 개수는
25-2=23=8
답 ④
12
집합 X의 부분집합 중 n을 최소의 원소로 가지려면 n보다 작은 1, 2, 3, y, n-1을 원소로 갖지 않고 n을 반드시 원소로 가져야 하므로 f(n)=210-(n-1)-1=210-n
ㄱ. f(8)=210-8=22=4 (참)
ㄴ. [반례] a=9, b=10이면 9<X, 10<X이고 9<10이지만 f(9)=210-9=21=2, f(10)=210-10=20=1이므로 f(9)>f(10) (거짓)
ㄷ. f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(9)
=210-1+210-3+210-5+210-7+210-9
=29+27+25+23+21
=512+128+32+8+2=682 (참)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ③
13
A'B ={1, 2, 3}'{3, 5}={1, 2, 3, 5}
따라서 집합 A'B의 모든 원소의 합은 1+2+3+5=11
답 ③
14
A;B={2, 4, 6, 8, 10};{2, 3, 4, 5, 6}={2, 4, 6}
따라서 n(A;B)=3
답 ③
15
A;B={1, 2, 4, 6};{2, 4, 5}={2, 4}
따라서 집합 A;B의 모든 원소의 합은 2+4=6
답 ②
16
A'B ={1, 3}'{2, 3, 4}={1, 2, 3, 4}
따라서 집합 A'B의 원소의 개수는 4이다.
답 ④
17
A;B={1, 2, 4, 8, 16};{1, 2, 3, 4, 5}={1, 2, 4}
따라서 집합 A;B의 원소의 개수는 3이다.
답 ③
18
A'B ={1, 3, 5, 7, 9}'{3, 4, 5, 6}={1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
따라서 n(A'B)=7
답 ③
19
B={x|x는 6의 양의 약수}={1, 2, 3, 6}이므로 A;B={2,4,6,8};{1,2,3,6}={2, 6}
따라서 집합 A;B의 모든 원소의 합은 2+6=8
답 ④
20
조건 ㈎에서 X;{1, 2, 3}={2}이므로 1²X, 2<X, 3²X
조건 ㈏에서 집합 X의 모든 원소의 합 S(X)의 값이 홀수이므로 집 합 X는 집합 A의 원소 중 홀수인 1, 3, 5, 7 중에서 1개 또는 3개를 원소로 가져야 한다. 1²X, 3²X이므로 집합 X는 5, 7 중에서 1 개만을 원소로 가져야 한다.
두 조건 ㈎, ㈏를 만족시키면서 S(X)의 값이 최대가 될 때는 집합 A의 원소 중 짝수인 4, 6을 원소로 갖고, 홀수인 7을 원소로 가질 때 이다. 즉, X={2, 4, 6, 7}일 때 S(X)가 최대가 된다.
따라서 S(X)의 최댓값은 2+4+6+7=19
답 ⑤
21
집합 A의 원소의 개수가 4이고, 조건 ㈎에서 A;B={4, 6}이므로 A={a, b, 4, 6}이라 하자.
이때 B={x+k|x<A}이므로 B={a+k, b+k, 4+k, 6+k}
집합 A의 모든 원소의 합은 21이므로 a+b+4+6=21
a+b=11 yy ㉠
또한, 조건 ㈏에서 집합 A'B의 모든 원소의 합이 40이고 (집합 A'B의 모든 원소의 합)
= (집합 A의 모든 원소의 합)+(집합 B의 모든 원소의 합) -(집합 A;B의 모든 원소의 합)
이므로 40=21+(21+4k)-10 40=32+4k, k=2
즉, B={6, 8, a+2, b+2}이고 A;B={4, 6}이므로 a+2, b+2 중에 하나는 4이어야 한다.
a+2=4이면 a=2이고 ㉠에서 b=9 b+2=4이면 b=2이고 ㉠에서 a=9
따라서 A={2, 4, 6, 9}이므로 집합 A의 모든 원소의 곱은 2_4_6_9=432
답 432
22
S(X)의 값이 최대, S(Y)의 값이 최소일 때, S(X)-S(Y)는 최 댓값을 갖는다.
조건 ㈏에서 집합 X의 임의의 서로 다른 두 원소가 서로 나누어떨어 지지 않으려면 k<X일 때, k를 제외한 k의 약수와 배수가 집합 X 의 원소가 아니어야 한다.
11, 12, 13, y, 21은 서로 나누어떨어지지 않으므로 S(X)가 최댓 값을 가지려면 집합 X는 11, 12, 13, y, 21을 원소로 가져야 한다.
이때 1, 3, 7은 21의 약수이고, 2, 4, 5, 10은 20의 약수, 6, 9는 18 의 약수, 8은 16의 약수이므로 1, 2, 3, y, 10은 집합 X의 원소가 될 수 없다.
조건 ㈎에서 n(X;Y)=1이므로 S(Y)가 최솟값을 가지려면 집합 Y는 집합 X의 원소 중 가장 작은 값인 11을 원소로 가져야 한다.
또한, n(X'Y)=17이므로 집합 Y는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11을 원소 로 가져야 한다.
따라서 X={11, 12, 13, y, 21}, Y={1, 2, 3, 4, 5, 6, 11}일 때, S(X)-S(Y)가 최댓값을 가지고, 그 최댓값은
(11+12+13+y+20+21)-(1+2+3+4+5+6+11)
=176-32=144
답 ②
23
AC =U-A
={1, 3, 5, 7, 9}-{3, 5, 7}={1, 9}
따라서 집합 AC의 모든 원소의 합은 1+9=10
답 ③
24
두 집합 A={1, 2, 3, 6}, B={2, 4, 6, 8}에 대하여 A'B={1, 2, 3, 4, 6, 8}, A;B={2, 6}이므로 (A'B)-(A;B)={1, 3, 4, 8}
따라서 집합 (A'B)-(A;B)의 모든 원소의 합은 1+3+4+8=16
답 ③
25
B-A={5, 6}이므로 집합 B-A의 모든 원소의 합은 5+6=11
B=(B-A)'(A;B),(B-A);(A;B)=Ø이고 A={1, 2, 3, 4}이므로 집합 B의 모든 원소의 합이 12이려면 A;B={1}이어야 한다.
따라서 A-B=A-(A;B)={2, 3, 4}이 므로 집합 A-B의 모든 원소의 합은 2+3+4=9
답 ⑤
다른 풀이
A'B =A'(B-A)
={1, 2, 3, 4}'{5, 6}
={1, 2, 3, 4, 5, 6}
이므로 집합 A'B의 모든 원소의 합은 1+2+3+4+5+6=21
A-B=(A'B)-B, (A'B);B=B이고, 집합 B의 모든 원 소의 합이 12이므로 집합 A-B의 모든 원소의 합은
21-12=9
1 5 6 2 3 4
A B
26
전체집합 U={2, 3, 4, 5}의 두 부분집합 P, Q에 대하여 P={2, 3, 5}, Q={3, 5}
이므로 이를 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
c전등이 점등되는 모든 입력값은 오른쪽 벤다이어그램에서 색칠된 부분에 있는 원소 이다.
따라서 {3, 4, 5}=PC'Q
답 ④
27
집합 S={1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합이 집합 {1, 2}와 서로소가 되어 야 하므로 집합 {1, 2}와 교집합이 공집합인 집합 S의 부분집합을 찾으면 된다.
그러므로 {1, 2, 3, 4, 5}에서 원소 1과 2를 제외한 집합 {3, 4, 5}의 부분집합을 구하면 다음과 같다.
Ø,{3},{4},{5},{3, 4},{3, 5},{4, 5},{3, 4, 5}
따라서 집합 S의 부분집합 중에서 {1, 2}와 서로소인 집합의 개수는 8이다.
답 ⑤
다른 풀이
집합 S={1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 중에서 {1, 2}와 서로소인 집합 은 집합 {1, 2, 3, 4, 5}에서 원소 1과 2를 제외한 집합 {3, 4, 5}의 부분집합이므로 구하는 집합의 개수는
23=8
28
집합 A에서 (x-1)(x-26)>0 x<1 또는 x>26
즉, A={x|x<1 또는 x>26}
집합 B에서 (x-a)(x-a2)É0 a는 정수이므로 aÉxÉa2 즉, B={x|aÉxÉa2}
A;B=Ø이 되도록 두 집합 A, B 를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.
즉, 1ÉaÉa2É26이므로 1ÉaÉ'26
따라서 정수 a의 값은 1, 2, 3, 4, 5이므로 그 개수는 5이다.
답 ⑤
29
A={x|x는 6의 약수}={1, 2, 3, 6}, B={2, 3, 5, 7}에 대하여 ㄱ. A;B={2, 3}이므로 5²A;B (참)
U P
Q
2 3 5
4
1 A
a aÛ 26 x
B A
ㄴ. B-A={5, 7}이므로 n(B-A)=2 (참)
ㄷ. 전체집합 U의 부분집합 중에서 집합 A'B와 서로소인 집합은 집합 (A'B)C의 부분집합이다.
이때 (A'B)C={4, 8, 9, 10}이므로 (A'B)C의 부분집합의 개수는
24=16 (참)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
답 ⑤
30
두 집합 A, B에 대하여 A,B이므로 A와 B 사이의 포함 관계를 벤다이어그램으로 나 타내면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 A;B=A
답 ①
31
두 집합 A, B가 서로소이므로 A;B=Ø A와 B 사이의 포함 관계를 벤다이어그램 으로 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 A,BC
답 ①
32
두 집합 A, B에 대하여 A'B=A이면 B,A 집합 B에서
mx+1=x, (m-1)x=-1 Ú m=1일 때,
0_x=-1이므로 집합 B는 원소를 갖지 않는다.
즉, B=Ø이고, 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 B,A
Û m+1일 때, x=- 1
m-1 , 즉 B=[- 1 m-1 `]
B,A이려면 - 1
m-1 <A이어야 하므로 - 1
m-1 =-1 또는 - 1 m-1 =2 m=2 또는 m=;2!;
Ú, Û에 의하여 모든 실수 m의 값의 합은 1+2+;2!;=;2&;
답 ⑤ U
B A
U
A B
A B
33
(X-A),(A-X)에서 (X-A);(A-X)=X-A이고 (X-A);(A-X)=(X;AC);(A;XC)
=(A;AC);(X;XC)
=Ø;Ø=Ø 즉, X-A=Ø이므로 X,A
이때 A={1, 2, 5, 10}이고 집합 X는 집합 A의 부분집합이므로 집 합 X의 개수는
24=16
답 16
34
{3, 4, 5};A=Ø이므로 집합 A는 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합 중에서 3, 4, 5를 원소로 갖지 않는 집합이다.
따라서 집합 A의 개수는 25-3=22=4
답 ②
35
U={1, 2, 3, y, 10}이고 A;B=Ø이므로 집합 B는 전체집합 U의 부분집합 중에서 2, 3, 5, 6을 원소로 갖지 않는 집합이다.
따라서 집합 B의 개수는 210-4=26=64
답 ④
36
{1, 2};A+Ø이므로 집합 A는 1, 2 중 적어도 하나를 원소로 가 져야 한다.
따라서 집합 A는 전체집합 U의 부분집합 중에서 1, 2를 모두 원소 로 갖지 않는 부분집합, 즉 집합 {3, 4}의 부분집합을 제외하면 된다.
따라서 집합 A의 개수는
(전체집합 U의 부분집합의 개수)-(집합 {3, 4}의 부분집합의 개수)
=24-22=16-4=12
답 ④
37
두 집합 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1, 3, 5, 9}에 대하여 A-B={2, 4}
이때 (A-B);C=Ø이므로 2²C, 4²C이고, A;C=C이므로 C,A이다.
즉, 집합 C는 집합 A의 부분집합 중에서 2, 4를 원소로 갖지 않는 집합이다.
따라서 집합 C의 개수는 25-2=23=8
답 8
38
조건 ㈎에서 A-X=Ø이므로 A,X
조건 ㈏에서 B;X=Ø이므로 집합 X는 집합 B의 원소 4, 5, 6을 원소로 갖지 않는다. 즉, {1, 2, 3},X,{1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}
따라서 집합 X는 {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}의 부분집합 중에서 1, 2, 3 을 반드시 원소로 갖는 집합이므로 조건을 만족시키는 집합 X의 개 수는
27-3=24=16
답 ③
39
A'B={1, 2, 3, 4, 5}, A;B={2, 3}이므로
P =(A'B);(A;B)C=(A'B)-(A;B)={1, 4, 5}
P,X,U에서 {1, 4, 5},X,{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}이므로 집합 X는 전체집합 U의 부분집합 중에서 1, 4, 5를 반드시 원소로 갖는 집합이다.
따라서 집합 X의 개수는 27-3=24=16
답 16
40
집합 X가 6을 원소로 갖는 경우와 갖지 않는 경우로 나누어 생각해 보자.
Ú 6<X인 경우
집합 X는 6을 원소로 가지면서 조건 ㈎에 의하여 원소의 개수가 2 이상이어야 하므로 집합 A의 모든 부분집합 X의 개수는 24-1=15
Û 6²X인 경우
집합 X가 6을 원소로 갖지 않으면서 조건 ㈏에 의하여 모든 원소 의 곱이 6의 배수이려면 3, 4를 원소로 반드시 가져야 하므로 {3, 4},X,{3, 4, 5, 7}
따라서 집합 A의 모든 부분집합 X의 개수는 24-2=22=4
Ú, Û에 의하여 조건을 만족시키는 집합 X의 개수는 15+4=19
답 ②
41
주어진 집합을 벤다이어그램으로 나타내 면 오른쪽 그림과 같다.
A;B={2}이므로 다음과 같은 경우로 나누어 생각해 보자.
Ú 2<X인 경우
X;A+Ø, X;B+Ø을 만족시키므로 집합 X는 전체집합 U의 2가 아닌 원소인 1, 3, 4, 5의 일부 또는 전부를 원소로 갖거 나 어느 것도 원소로 갖지 않을 수 있다.
U
2 3 4
5 1
A B
따라서 U의 부분집합 X의 개수는 집합 {1, 3, 4, 5}의 부분집합 의 개수와 같으므로
24=16 Û 2²X인 경우
2를 제외한 집합 A의 원소는 1이고, 2를 제외한 집합 B의 원소 는 3, 4이므로 X;A+Ø,X;B+Ø을 만족시키려면 집합 X 는 1을 반드시 원소로 갖고 3 또는 4를 원소로 가져야 한다.
이때 1<X, 3<X, 4²X인 경우와 1<X, 3²X, 4<X인 경 우와 1<X, 3<X, 4<X인 경우의 3가지 경우가 있다.
이때 각 경우에서 집합 X는 집합 (A'B)C의 원소인 5를 원소 로 갖거나 갖지 않을 수 있다.
따라서 U의 부분집합 X의 개수는 3_2=6
Ú, Û에 의하여 조건을 만족시키는 집합 X의 개수는 16+6=22
답 22
42
A={4, 8, 12, 16, 20}, B={1, 2, 4, 5, 10, 20}
드모르간의 법칙에 의하여
(AC'B)C =(AC)C;BC=A;B C
=A-B={8, 12, 16}
따라서 집합 A-B의 모든 원소의 합은 8+12+16=36
답 36
43
A'(AC;B)=(A'AC);(A'B)
=U;(A'B)=A'B 답 ⑤
다른 풀이 U
A
A A ;B
B
U
A B
따라서 A'(AC;B)=A'B
44
전체집합 U={x|x는 자연수}이므로
P={x|x는 10 이하의 자연수}={1, 2, 3, y, 10}
Q={x|x는 소수}={2, 3, 5, 7, 11, y}
R={x|x는 홀수}={1, 3, 5, 7, 9, y}
(PC'Q)C-R =(P;QC);RC=P;(QC;RC)
=P;(Q'R)C=P-(Q'R)
이때 Q'R={1, 2, 3, 5, 7, 9, y}이므로 이고 S(A)+S(B)=;2#;S(A)이므로 ;2#;S(A)=36
따라서 S(A)=24 답 24
n((A-B)'(B-A)) =n(A'B)-n(A;B)
=45-12=33 답 ④
n2-7n+10=0, (n-2)(n-5)=0 n=2 또는 n=5
51
두 동아리 A, B에 가입한 학생의 집합을 각각 A, B라 하면 조건 ㈎,
㈏에 의하여
n(A'B)=56, n(A)=35, n(B)=27
두 동아리 A, B에 모두 가입한 학생의 집합은 A;B이므로 n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)=35+27-56=6 동아리 A에만 가입한 학생의 집합은 A-B이므로 n(A-B)=n(A)-n(A;B)=35-6=29
따라서 동아리 A에만 가입한 학생 수는 29이다. 답 29
다른 풀이
두 동아리 A, B에 가입한 학생의 집합을 각각 A, B라 하자.
동아리 A에만 가입한 학생의 수를 x라 하면 각 영역에 속하는 원소의 개수는 벤다이어그 램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 x+(35-x)+(x-8)=56이므로 x=29
52
두 은행 A, B를 이용하는 고객의 집합을 각각 A, B라 하면 조건 ㈎ 에 의하여
n(A)+n(B)=82
은행 A 또는 은행 B를 이용하는 고객 중 남자는 35명, 여자는 30명 이므로
n(A'B)=65
두 은행 A, B를 모두 이용하는 고객의 집합은 A;B이므로 n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)=82-65=17 두 은행 A, B 중 한 은행만 이용하는 고객의 수는 n(A'B)-n(A;B)=65-17=48
이때 조건 ㈏에서 두 은행 A, B 중 한 은행만 이용하는 남자 고객의 수와 여자 고객의 수는 서로 같으므로 그 수를 x라 하면
x+x=48, x=24
따라서 은행 A와 은행 B를 모두 이용하는 여자 고객의 수는
30-24=6 답 ②
다른 풀이
조건 ㈏에서 두 은행 A, B 중 한 은행만 이용하는 남자 고객의 수와 여자 고객의 수가 서로 같으므로 그 수를 x라 하면 은행 A와 은행 B 를 모두 이용하는 남자 고객의 수는 35-x이고, 은행 A와 은행 B를 모두 이용하는 여자 고객의 수는 30-x이다.
조건 ㈎에 의하여 {x+2(35-x)}+{x+2(30-x)}=82
조건 ㈎에 의하여 {x+2(35-x)}+{x+2(30-x)}=82