33
34
-Table 5 Simulation cases for oscillating motion
KC number Reynolds number
Case1 0.2
100
500
Case2 0.4 250
Case3 0.6 166.67
Case4 0.8 125
Case5 1.0 100
Case6 5.0 20
Case7 10.0 10
Case8 15.0 6.67
Case9 20.0 5
Case10 25.0 4
Case11 30.0 3.33
Case12 1 35
35
Case13 2 70
Case14 3 105
Case15 4 140
Case16 5 175
Case17 6 210
Fig. 19에 Re=100, KC=5인 경우로 조화 운동하고 있는 원주 주위의 압력 분포를 다른 수치시뮬레이션 결과(Ghozlani et al., 2012)와 비교하여 나타내었다. 원주의 변 위가 0일 때(Fig. 19(a)와 (c)), 원주의 이동 속도가 최대가 되고, 원주 이동 방향으로 높은 압력이 형성 된다. Fig. 19(b)와 (d)의 경우는 원주 변위 및 가속도가 최대일 때로, 원주의 변위가 +로 최대인 경우에는 원주 왼편에, 로 최대인 경우에는 원주 오른편에서 높은 압력을 보이고 있다. 또한, 최대 위치부근에서의 압력 분포가 찌그러지는 현상을 보이는데, 이는 물체는 정지하였지만 유체는 관성에 의해 계속 이동하게 되어 나타나는 현상으로 생각된다.
35
-Fig. 19 Snapshots of pressure contour maps at different time-steps when Re=100 and KC=5(left : Ghozlani, et al.(2012), right : present)
36
해석기법의 정도를 보다 상세히 비교하기 위해 Re=100, KC=5인 경우에 =0.5인 지점에서 =-1~1까지의 , 속도 분포를 Dutsch et al.(1998)의 FVM을 이용한 해석 결과와 Uzunoglu et al.(2001)의 BEM(Boundary Element Method)을 이용한 해석 결과 와 비교 하여, Fig. 20에 나타내었다. 압력 및 속도 분포 모두 정성적, 정량적으로 좋은 일치를 보여, 본 해법이 높은 정도를 가지고 있음을 알 수 있다.
(a) (b)
Fig. 20 Comparison of -, -velocity distributions at -center position(=0.5) when Re=100 and KC=5 ((a) -velocity, (b) -velocity)
37
-Fig. 21은 전체 해석 케이스에 대한 KC수 변화에 따른 평균 항력계수를, Re=1000이 고, KC=0.1, 1, 2, 4, 10, 13, 20의 7가지를 시뮬레이션을 수행한, Park et al.(2003)의 CFD결과와 비교하여 Fig. 21에 나타내었다. 평균 항력계수는 수행한 시뮬레이션 결 과로부터 얻어진 항력계수의 시계열 데이터 중 마지막 5주기 사이의 최대/최소값의 평균치의 절대치중 높은 값을 결과 값으로 사용하였다. 두 결과 유사한 값을 보인 다.
Fig. 21 Comparison of mean drag coefficients by changing KC numbers
다시 말해, 평균 항력계수는 KC수가 낮을수록 급격하게 증가하고, 높아질수록 일 정값으로 수렴하는 경향을 보인다. 이는, 조화 운동하는 원주에 작용하는 힘은 물체 의 이동속도가 0인 경우 관성력에 지배적이게 되고, 물체의 이동속도가 최대가 되 는 경우에는 항력에 지배적이기 때문이다. 다시 말해, KC수가 작을 때는 원주의 이 동 속도와 주기가 상대적으로 짧기 때문에 와가 원주에서 떨어지지 않고 부착된 상 태로 운동하게 되어, 관성력이 중요하다. 반면, KC수가 커질수록 원주로부터 와가 떨어져 나가면서 와 흘림(Vortex shedding) 현상이 일어나기 때문에, 항력이 중요하 게 된다. 이에, 관련 연구가 오래전부터 진행 되어져 오고 있다(Morison et al., 1950,
38 -Keulegan and Carpenter, 1958 and Sarpkaya, 1986).
조화 운동하는 원주에 작용하는 힘은 원주의 단위 길이당 항력과 관성력의 합으 로, 식 (30)의 Morison 방정식으로 나타내어진다.
(30)
여기서 은 관성력 계수, 는 원주의 부피, 는 시간에 따른 가속도, 는 원 주의 단면적이며, 는 시간에 따른 속도이다.
Fig. 22는 와가 부착된 상태로 운동하는 KC=1(Re=35, =35)과 와가 떨어져 나가 는 KC=6(Re=210, =35)인 경우에 대해, 시간을 주기로 무차원화한 항력계수 시계열 을 나타내었다. 이는, KC수가 작은 경우에는 원주로부터 와가 방출되지 않기 때문 에 원주에 작용하는 힘은 대칭이 되는 반면, KC수가 커질수록 와 흘림 현상이 발 생하여 원주 주변에 복잡한 유동장을 형성할 뿐만 아니라, 원주로부터 와가 떨어져 나가면서 원주에 양력이 발생한다. 이로 인해, 항력계수의 최대값이 감소하며 두 개 의 최대값이 존재하는 시계열 패턴이 나타난다.
Fig. 22 Comparison of time histories of drag coefficients by changing KC numbers
39
조화 운동하는 원주에 작용하는 항력과 관성력 성분의 값을 결정하는 방법에는 Morison 방법, 푸리에 급수 접근(Fourier series approach), 최소자승법(Least-square method), 최대치법(Maximum value method)등이 있다. 본 연구에서는 가장 정확한 접 근 방법으로 알려진 푸리에 급수 접근법을 이용하여, 항력 및 관성력을 추정하였다.
푸리에 급수 접근 방법은 Keulegan and Carpenter(1958)에 의해 알려졌으며, 이는 원주의 단위 길이당 힘을 Fourier 성분인 sin와 cos로 나타낸 후, Morison 방정식을 이용하여 추출된 계수인 항력계수와 관성력계수를 상수로서 구해지는 방 법이다. Fourier 급수 접근 방법을 이용한 항력계수와 관성력계수는 각각 식 (31) 및 (32)와 같다.
max
(31)
max
max
max
(32)
여기서, 는 여현계수, 은 정현계수 및 이다.
Fig. 23은 KC수와 Re수를 조합하여 =35를 동일하게 한 경우에 대한 시뮬레이션 결과들로부터 항력계수와 관성력 계수를 추정하여 Kuhtz(1996)의 실험 결과, Dutsch, et al.(1998)의 FVM 결과 및 Uzunoglu et al.(2001)의 BEM 결과와 비교하고 있다.
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-(a) (b)
Fig. 23 Comparison of (a) drag coefficients and (b) inertia coefficients with other results versus KC numbers( )
항력계수를 비교하였을 때, KC수가 낮은 경우에는 다른 수치 시뮬레이션 결과에 비해 작게, KC수의 범위가 3<KC<5에서는 높게, 이 외의 KC수에서는 다른 결과와 비교적 잘 일치함을 보인다. 관성력계수의 경우, KC수가 낮은 경우와 높은 경우에 는 비교적 잘 일치하고, KC수의 범위가 3<KC<5는 실험 및 다른 수치 시뮬레이션 결과에 비해 약간 큰 값을 보인다. 이는 실험과 다른 수치시뮬레이션은 외부 경계 면을 벽으로 가정하였기 때문으로 생각된다.
앞서 언급한 바와 같이, KC수가 특정 값 이상에서는 원주로부터 유동박리가 생 성되고, 원주 후면에서의 비대칭인 와가 나타나게 된다. 비대칭으로 방출된 와는 KC수 뿐만 아니라 레이놀즈수에도 관련이 있으며, 이 두 무차원수에 따라 주기적 으로 생성되는 와는 강도 및 방향이 달라지면서 Re수와 KC수 혹은 와 KC수에 따 라 특정 유동 패턴이 발생된다.
41
Fig. 24에 KC수 및 에 의한 유동 패턴(Tatsuno and Bearmann, 1989)을 Table 6에 보이는 것과 같이 구분하고, 본 연구에서는 수행한 해석 조건을 “•” 으로 표시하였 다.
Fig. 24 Classification of flows regime for oscillatory cylinder
영역별 유동 패턴에 대해 설명하면, ≥35, KC≤5인 A*영역에서는 원주의 이동 속도와 주기가 짧기 때문에 원주의 운동에 의해 생성된 와가 떨어져 나가지 못하고 부착된 상태로 운동하게 된다. A영역은 A*에 비해 상대적으로 가 작고, KC수가 높기 때문에 와 흘림 현상이 일어나게 되고, 이 때 와의 분포는 원주의 이동 반대 반대방향에서 한 쌍의 대칭인 와가 생성되고, 수평방향으로 대류하게 된다. B영역 은 가 50이상에서 형성되며 A*영역의 유동패턴과 비교하였을 때 원주에 의해 생 성된 와는 더 크게 생성되지만, A*영역과 마찬가지로 와가 떨어져 나갈 시간이 부 족하기 때문에 부착된 상태로 운동한다. C영역의 와도 분포는 초기에는 A영역과 같이 한쌍의 와가 생성되어 대류하는 분포를 보이지만, 조화 운동이 지속되면서 큰 와가 재 생성되어 분포하게 된다. D영역은 조화운동 방향으로 와가 생성되는 A*, A, B 및 C영역과는 다르게 조화운동 하는 경우 비스듬하게 와가 형성된다. 다시 말
42
-해, 와도 분포는 원주를 기준으로 대칭으로 형성되며, 원주의 이동방향에서 벗어나 위 혹은 아랫방향의 대각선으로 대류 하게 된다. E영역은 D영역과 유사하지만, 원 주를 기준으로 불규칙하게 형성되어 한쪽방향 대각선으로 대류하게 된다. F영역에 서의 와는 원주를 기준으로 대각선 방향으로 대류하는 와도분포를 보이고, G영역은 불규칙한 유동패턴을 보인다.
Table 6 The typical flows patterns around a oscillatory cylinder depending on KC number and (Tatsuno and Bearman, 1989)
Regime Principal feature
A* No flow separation
A Two vortices shed symmetrically
B Longitudinal vortices
C Rearrangement of large vortices
D Flow convected obliquely to one side of the axis of oscillation E Irregular switching of flow convection
F Flow convected diagonally
G Irregular vortices pattern
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Fig. 25는 Fig. 24에서 나타낸 시뮬레이션 케이스 중 가 35로 동일 한 경우에 유 동패턴을 비교하기 위해 KC=1, 4, 5 및 6인 A*, A, C, E영역에서의 와도 분포를 Xiong, (2018)의 수치 시뮬레이션 결과와 비교하여 나타내고 있다.
(a) : A* (KC=1.0, Re=35) (ｂ) : A (KC=4.0, Re=150)
(c) : C (KC=5.0, Re=180) (d) : E (KC=6.0, Re=210)
Fig. 25 Comparison of vorticity contour maps around a horizontally oscillating circular cylinder with fixing beta as 35
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A*영역에 속하는 Fig. 25(a)를 보면 작은 와가 원주에 부착된 상태로 조화 운동하 는 유동 패턴을 잘 표현 되고 있다. A영역에 속하는 Fig. 25(b)를 보면 원주 근처에 서는 원주의 조화 운동 방향과 같은 수평 방향으로 와가 방출 되는 것을 확인 하였 으나, Xiong(2018)의 결과와 비교 하였을 때, 조화 운동이 진행될수록 와가 대류 하 지 않고 소멸되는 분포를 보이는데, 이는 레이놀즈수가 작기 때문에 와의 강도가 약할 뿐만 아니라, 본 해석에서 사용된 격자 구성이 원주에서 멀어지면서 ∆, ∆
가 점차 커지므로 원주 근처에서는 와가 존재하지만 원주에서 멀어질수록 와가 소 멸되는 분포를 보이는 것이라 생각된다. Fig. 25(c)와 (d)는 A영역과 같이 초기에는 대칭이 와가 원주 운동 방향에서 벗어나지 않고 대류가 일어나지만, 조화 운동이 지속되면서 와의 대류 속도보다 원주의 조화 운동 속도가 빠르기 때문에 원주의 운 동이 와의 대류를 방해 하면서 와의 분포가 변형되는 것을 보인다. 전술의 상이점 이 존재하지만, 조화 운동하는 원주 주위의 복잡한 유동현상을 전체적으로 잘 표현 하고 있다고 판단된다.
45
-제4장 결론
본 연구에서는 비정상 비압축성 점성 층류 열 유동 해석을 위해 기 개발된 WMLS기반의 오일러리안 무격자 해법을 확장하여 물체의 이동을 포함한 해석이 가 능한 수치해법을 개발하였다.
개발된 해석기법을 이용하여 다양한 검증계산을 수행하고, 그 결과를 해석해 및
다른 수치해석기법들과 비교하였다. 결과의 정성적 정량적 비교를 통해 본 해법이
만족스러운 정확도를 가지는 것을 확인하였다. 해석 결과는 다음과 같다.
1) 2차원 열확산 해석결과를 해석해와 비교했을 때, 열원이 존재하는 중앙점에서 의 시간에 따른 온도분포의 차이는 최대 0.03%, 전체 계산점에서의 RMS error 는 가장 적은 수의 계산점을 사용한 경우에도 약 0.004%에 불과하였다.
2) 2차원 측면 온도차 및 가열된 원주에 의한 자연대류 해석결과를 다른 수치 시 뮬레이션 결과와 비교하였을 때, 온도 차가 (다시 말해 레일리 수가) 커지면서 발생하는 온도 및 유속 분포를 정성적으로 비교하였고, 최대 유속이 발생하는 위치를 정량적으로 비교하였다.
3) 등속 이동하는 원주 주위의 유동을 Re=40과 100인 경우에 대해 수치 시뮬레이 션을 수행하였다. Re=40인 경우에 원주 후면에서 한 쌍의 와가 관측되는 유동 특성을 확인 하였고, 준 정상상태에서의 항력을 비교하였을 때, 0.1%의 차이를 보이고, Re=100인 경우, 평균 양∙항력계수, 스트롤 수를 실험 결과 및 다른 수 치시뮬레이션 결과와 각각 비교하였을 때, 정량적으로 일치하였다.
4) 주기 운동하는 원주 주위 유동에서는 KC수와 레이놀즈수 및 에 따라 속도와
주기를 파라미터로 조합하여 수치 시뮬레이션을 수행하였다. 수치 시뮬레이션
으로부터 구해진 힘을 푸리에 급수 접근법을 이용하여 항력과 관성력으로 나 누어 실험 및 다른 수치시뮬레이션 결과와 비교하였을 때, 관성력은 최대 약 10%, 항력은 최대 약 20%차이를 보였다. 또한 KC수와 에 따라 변화하는 유 동 패턴도 잘 표현됨을 확인하였다.