그러나 현실적으로 (7.2)식의 가정이 성립하지 않는 경우가 발생한다. 즉,
<그림 7-1> 교란항의 분포(동분산)
<그림 7-2> 교란항의 분포(이분산) 한다고 할 수 있다.
<그림 7-3> 이분산의 유형
이분산 여부를 탐지하는 방법으로는 자기상관과 마찬가지로 회귀식으로부터 도 출된 잔차를 시계열을 그려 이분산 여부를 판단하는 방법인 잔차의 그래프 분석 (residual plotting)과 통계적 검정을 통해 자기상관 여부를 판단하는 방법이 있 다.
잔차의 그래프 분석은 잔차의 제곱(잔차의 평균이 0이므로 잔차의 제곱은 교란 항의 분산이 됨)과 종속변수의 추정치 또는 독립변수 를 그려 보고 <그림 7-3>과 같이 이들 사이에 일정한 관계가 발견되면 이분산이 있는 것으로 판단한 다.
2.이분산 검정
이분산이 있을 경우 일반적으로 교란항 분산의 크기는 설명변수 또는 종속변수
와 관련이 있다. 이러한 측면을 고려한 이분산 검정방법은 White 검정방법, Goldfeld-quant 검정방법, Glejser 검정방법 등 여러 가지 방법이 있다.
(1) White 검정
White 검정방법은 교란항의 분산과 모형에 포함된 설명변수 뿐만 아니라 이 변 수들의 2차항 사이에 상관관계가 나타나는 지를 검정하는 방법이다. 예를 들어, 다음의 (7.5)식에 대한 White 검정은 다음과 같은 순서로 한다.
(7.5)
먼저, (7.5)식의 모형을 추정한 후 다음의 (7.6)식과 같이 잔차를 구한다.
(7.6)
다음으로, 잔차의 제곱을 이용하여 (7.7)식의 회귀모형을 추정하는데 이를 보 조회귀식(auxiliary regression)이라고 한다.
(7.7)
(7.7)의 보조회귀식에서 검정하고자 하는 귀무가설은 즉, 이분산이 없다는 것이며 귀무가설 하에서 다음의 LM 검정통계량과 그 분포를 구 할 수 있다.
∼
단, n은 관측치의 수, 는 보조회귀식에서의 결정계수이며 -분포의 자유도는 q 즉, 제약식의 수이다.
(2) Goldfeld-Quant 검정
Goldfeld-Quant 검정방법은 교란항은 정규분포를 하고 자기상관이 없으며 교란 항의 분산이 모형 내 독립변수의 값에 비례한다고 가정하는 경우에 적합한 검정
방법이다. 예를 들어 이분산이 다음 (7.8)식과 같은 관계에 있다고 하자.
수에 대해 다음의 여러 형태를 추정한다.
소자승법(GLS)의 하나인데 이를 특별히 가중최소자승법(Weighted Least Squares:
WLS)이라고 한다.
둘째, 의 값을 모를 경우로써 의 추정치를 구하고 이를 가중치로 사용하면 된다. 즉, 먼저 (7.5)식 및 (7.7)식을 추정한 후 추정된 회귀계수를 이용하여 다 음의 (7.11)식과 같이 잔차제곱에 대한 추정치(fitted value)를 구한다.
(7.11)
다음으로 를 (7.10)식의 대신에 사용하는데 이러한 추정방법을 실행 가능 한 일반최소자승법(Feasible Generalized Least Squares: FGLS)이라고 한다. FGLS 추정치는 분산을 추정해야 하기 때문에 일반적으로 불편추정량은 되지 못하나 일치추정량이 되며 점근적으로 OLS 추정량보다 효율적인 추정량이 된다.
<그림 7-A1> 다중회귀모형