정점의 위치에 따른 모서리의 케이스 구분

모서리의 새로운 폴리곤 꼭짓점 위치에 대한 케이스는 크게 3가지로 분류(Fig. 25)할 수 있다. 그 분류의 기준은 식 (9)의 요소에 따라서 달라진다. 첫 번째는  와 가 바르게 계 산 되어 모서리 근처에 새로운 폴리곤 꼭짓점이 위치하는 경우, 두 번째는 식 (9)에서  와 가 0이 되어 계산이 불가능한 경우, 세 번째는 첫 번째처럼  와 가 계산되지만 모 서리와 상당히 떨어진 곳에 새로운 폴리곤 꼭짓점이 위치한 경우로 나눌 수 있었다.

Fig. 25 Case of new vertex for polygon location

첫 번째 케이스는 가장 일반적인 케이스로, Fig. 25의 중앙 그림과 같은 경우로 나타나 며 대부분의 모서리가 이에 해당된다.  와 가 올 바르게 계산되어 새로운 폴리곤 꼭짓

점이 모서리의 부근에 나타나는 경우이다.

두 번째 케이스는 식 (9)의 두 요소 중 하나가 0이 되어 새로운 폴리곤 꼭짓점이 계산되 지 않는 경우이다. 식 (9)에 따르면 QEM의  성분의 역행렬이 사용된다. Fig. 26과 같이 x,y,z 좌표계에서 한쪽의 평면에 폴리곤이 위치하게 되면, 이 경우에는  행렬을 이루는

은 (1, 0, 0)으로 나타난다. YZ의 평면상에 놓여있기 때문에 법선 벡터의 값은 x방향으 로만 1을 가지게 되고,  행렬의 성분은 식 (11)처럼 나타나게 된다.

  ∙ ^ 











  

  

  

(11)

즉, 이 케이스에서는  행렬의 역행렬인 ^{ }를 만들어내지 못한다. QEM의 성분을 이 용하여 새로운 폴리곤 꼭짓점을 계산할 수 없기 때문에, 경량화 과정에서 오차를 줄이기 위해 모서리의 데이터를 사용한다. Garland & Heckbert(1997)에서는 이러한 경우에 모서 리의 중점이나, 모서리를 이루는 두 정점중 하나를 선택하는 차선책을 제시하고 있다.

Fig. 26 Polygons in the yz plane

세 번째 케이스는 모서리의 QEM을 이용한 새로운 폴리곤 꼭짓점이 모서리와 매우 먼 거리에 위치한 경우인데, Fig. 21의 우측 그림과 같이 나타난다. 이 경우에 QEM의  와 

를 이용하여 새로운 폴리곤 꼭짓점의 값을 도출한다는 점이 첫 번째 케이스와 유사하다.

그러나, 새로운 폴리곤 꼭짓점의 위치는 첫 번째 케이스와 완전히 다르다. Garland 알고 리즘에서는 모델의 외곽을 형성하는 경계 모서리를 살리기 위해  와  행렬에 가중치 (weight)를 더한다. 이 때문에 기존의 Q행렬이 달라지면서 새로운 폴리곤 꼭짓점의 위치 에 오류가 발생하는데, 경계 모서리에 대한 자세한 설명은 3.3절과 3.4절에서 다룬다.

Garland 알고리즘에는 세 번째 케이스에 대한 차선책을 제시하지 않고 있는데, 문제는 해양플랜트 모델에서 세 번째 케이스에 해당하는 모서리가 상당수 존재한다는 점이다.

이를 해결하기 위해 세 번째 케이스에 대한 정확한 원인 분석이 필요하다.

3.2.1 깨지기 쉬운 모서리(Breakable edge)

3.2절에서 설명한 세 번째 케이스의 발생 빈도를 파악하기 위해 Fig. 21에 존재하는 모 든 모서리의 새로운 폴리곤 꼭짓점의 위치를 출력하였다. Fig. 24 모델의 최대-최소 범위 (min-max box) 중 ‘z값을 기준’으로, 모델의 최대-최소 범위를 벗어난 새로운 폴리곤 꼭짓점 데이터를 가지는 모서리를 출력하여 새로운 폴리곤 꼭짓점의 위치를 검토하였다.

Fig. 27에 작성된 모서리들은 모두 최대-최소의 범위를 벗어나는 것을 나타낸다. 10만개 의 모서리 중에서 약 200여개의 모서리가 검출 되었다.검토의 범위를 ‘최대-최소 범위 의 z축을 벗어나는 경우’로 한정하여 검사하였기 때문에, 범위 내에 있지만 크게 어긋나 는 새로운 폴리곤 꼭짓점을 가진 모서리의 수는 이보다 더 많을 것으로 판단된다.

이 후부터 이해와 설명을 돕기 위해, 3.2절에서 기술한 세 번째 케이스인‘새로운 폴 리곤 꼭짓점의 위치가 모서리와 먼 거리를 가지는 경우의 모서리’를 깨지기 쉬운 모서 리라고 정의하였다.

Fig. 27 Z values out of the min-max box