이 점이 구의 중심 (1, 1, 1)과 일치하므로 2+a2 =1, -1+b
2 =1, 4+c2 =1 따라서 a=0, b=3, c=-2이므로
a+b+c=1 답 1
0660 점 C의 좌표를 (a, b, c)라 하면 삼각형 ABC의 무게중
심의 좌표는
{ -1+0+a3 , 2+4+b3 , 3+1+c3 }, 즉 { -1+a3 , 6+b3 , 4+c
3 } 이 점이 점 (1, 3, 5)와 일치하므로
-1+a3 =1, 6+b3 =3, 4+c3 =5 따라서 a=4, b=3, c=11이므로
C(4, 3, 11) 답 ⑤
0651
선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는 {2_(-1)+1_2
2+1 , 2_0+1_(-3)
2+1 , 2_(-1)+1_5
2+1 }
∴ P(0, -1, 1)
선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는 {2_(-1)-1_2
2-1 , 2_0-1_(-3)
2-1 , 2_(-1)-1_5
2-1 }
∴ Q(-4, 3, -7)
이때 구하는 구의 중심을 C라 하면 점 C는 선분 PQ의 중점이므로 C{ 0-42 , -1+3
2 , 1-72 } ∴ C(-2, 1, -3) 또, 구의 반지름의 길이는
CPÓ="Ã2Û`+(-1-1)Û`+(1+3)Û`=2'6 따라서 구하는 구의 방정식은
(x+2)Û`+(y-1)Û`+(z+3)Û`=24
답 (x+2)Û`+(y-1)Û`+(z+3)Û`=24 0661
점 P의 좌표를 (x, y, z)라 하면
APÓ`:`BPÓ=2`:`1에서 APÓ=2BPÓ, 즉 APÓ Û`=4BPÓ Û`이므로 (x+3)Û`+yÛ`+zÛ`=4{(x-3)Û`+yÛ`+zÛ`}
3xÛ`+3yÛ`+3zÛ`-30x+27=0
∴ xÛ`+yÛ`+zÛ`-10x+9=0
따라서 a=-10, b=0, c=0, d=9이므로
a+b+c+d=-1 답 ③
0662
점 B의 좌표를 (a, b, c)라 하면 점 B는 구 xÛ`+yÛ`+zÛ`=4 위의 점이므로
aÛ`+bÛ`+cÛ`=4 yy`㉠
선분 AB의 중점의 좌표를 (x, y, z)라 하면 x=;2A;, y=;2B;, z= c+62
∴ a=2x, b=2y, c=2z-6 이것을 ㉠에 대입하면 (2x)Û`+(2y)Û`+(2z-6)Û`=4
∴ xÛ`+yÛ`+(z-3)Û`=1 답 ②
0663
xÛ`+yÛ`+zÛ`-2ax+4y-4bz+20=0에서 (x-a)Û`+(y+2)Û`+(z-2b)Û`=aÛ`+4bÛ`-16
따라서 구의 중심의 좌표는 (a, -2, 2b)이고 반지름의 길이는
"ÃaÛ`+4bÛ`-16이다.
이때 구가 xy평면에 접하므로
"ÃaÛ`+4bÛ`-16=|2b|
양변을 제곱하면 aÛ`+4bÛ`-16=4bÛ`
aÛ`=16 ∴ a=4`(∵ a>0) 또, 구가 yz평면에 접하므로
"ÃaÛ`+4bÛ`-16=|a|
양변을 제곱하면 aÛ`+4bÛ`-16=aÛ`
bÛ`=4 ∴ b=2 (∵ b>0)
∴ a+2b=4+2_2=8 답 ③
0665
중심의 좌표가 (3, -1, 5)이고 zx평면에 접하는 구는 중심의 y좌표의 절댓값이 반지름의 길이와 같으므로 반지름의 길이는
|-1|=1
따라서 구하는 구의 방정식은 (x-3)Û`+(y+1)Û`+(z-5)Û`=1
답 (x-3)Û`+(y+1)Û`+(z-5)Û`=1 0666
xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x-2z+4=0에서 (x-2)Û`+yÛ`+(z-1)Û`=1
점 B의 좌표를 (a, b, c)라 하면 점 B는 구 (x-2)Û`+yÛ`+(z-1)Û`=1 위의 점이므로
(a-2)Û`+bÛ`+(c-1)Û`=1 yy`㉠
선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점의 좌표를 (x, y, z)라 하면 x=1_a+2_(-6)
1+2 = a-123 y= 1_b+2_31+2 = b+63 z= 1_c+2_01+2 =;3C;
0664
∴ a=3x+12, b=3y-6, c=3z 이것을 ㉠에 대입하면
(3x+10)Û`+(3y-6)Û`+(3z-1)Û`=1
∴ {x+:Á3¼:}Û`+(y-2)Û`+{z-;3!;}Û`=;9!;
따라서 이 구의 반지름의 길이는 ;3!;이므로 구의 부피는
;3$;p_{;3!;}Ü`=;8¢1;p 답 ②
중심의 좌표가 (3, -2, 6)인 구가 x축에 접하므로 구의 반지름의 길이 r는
r="Ã(-2)Û`+6Û`=2'10
∴ rÛ`=40 답 ③
다른풀이 중심의 좌표가 (3, -2, 6)이고 반지름의 길이가 r인 구의 방정식은
(x-3)Û`+(y+2)Û`+(z-6)Û`=rÛ` yy`㉠
이 구가 x축에 접하면 접점의 좌표가 (3, 0, 0)이므로 x=3, y=0, z=0을 ㉠에 대입하면
(3-3)Û`+(0+2)Û`+(0-6)Û`=rÛ`
∴ rÛ`=40 0667
중심의 좌표가 (2, 3, a)이고 xy평면에 접하는 구는 중심의 z좌표의 절댓값이 반지름의 길이와 같으므로 반지름의 길 이는
0668
xy평면, yz평면, zx평면에 동시에 접하는 구가 점 (2, -3, 4)를 지나므로 구의 반지름의 길이를 r라 하면 구의 중 심의 좌표는 (r, -r, r)이다.
즉, 구의 방정식은
(x-r)Û`+(y+r)Û`+(z-r)Û`=rÛ`
점 (2, -3, 4)가 이 구 위의 점이므로 (2-r)Û`+(-3+r)Û`+(4-r)Û`=rÛ`
2rÛ`-18r+29=0 ∴ r=9Ñ'23 2 따라서 구하는 두 구의 반지름의 길이의 합은
9+'23
2 +9-'23 2 =9
답 9
단계 채점요소 배점
구의 방정식 세우기 50 %
구의 방정식에 점 (2, -3, 4)의 좌표 대입하기 20 %
두 구의 반지름의 길이의 합 구하기 30 %
0669
구가 x축, y축, z축에 동시에 접하면 구의 중심에서 x축, y축, z축에 이르는 거리가 모두 같으므로 구의 중심을 C라 하면 C(a, a, a)(a>0)로 놓을 수 있다.
이때 이 구가 x축에 접하는 점을 P라 하면 점 P는 구의 중심에서 x축에 내린 수선의 발과 같으므로 P(a, 0, 0)
CPÓ의 길이는 구의 반지름의 길이와 같으므로 CPÓ="Ã(a-a)Û`+aÛ`+aÛ`=6'2
a'2=6'2 ∴ a=6
즉, 중심이 점 (6, 6, 6)이고 반지름의 길이가 6'2인 구의 방정 식은 (x-6)Û`+(y-6)Û`+(z-6)Û`=72
∴ xÛ`+yÛ`+zÛ`-12x-12y-12z+36=0
따라서 A=-12, B=-12, C=-12, D=36이므로
A+B+C+D=0 답 ③
0670
x축 위의 점은 y좌표와 z좌표가 모두 0이므로 주어진 구 의 방정식에 y=0, z=0을 대입하면
xÛ`-8x-9=0, (x+1)(x-9)=0
∴ x=-1 또는 x=9 0671
구의 중심을 C라 하면 점 C는 ABÓ의 중점이므로 C{ 2-42 , -2+2
2 , 1+3
2 } ∴ C(-1, 0, 2) 또, 구의 반지름의 길이는
CAÓ="Ã(2+1)Û`+(-2)Û`+(1-2)Û`='14
즉, 중심이 점 C(-1, 0, 2)이고 반지름의 길이가 '14인 구의 방정식은
(x+1)Û`+yÛ`+(z-2)Û`=14
x축 위의 점은 y좌표와 z좌표가 모두 0이므로 구의 방정식에 y=0, z=0을 대입하면
(x+1)Û`+4=14, (x+1)Û`=10
∴ x=-1Ñ'10
따라서 구와 x축의 두 교점의 좌표는 (-1+'10, 0, 0), (-1-'10, 0, 0) 이므로 구하는 거리는
|(-1-'10)-(-1+'10)|=2'10 답 2'10 0672
z축 위의 점은 x좌표와 y좌표가 모두 0이므로 주어진 구 의 방정식에 x=0, y=0을 대입하면
4+36+(z-8)Û`=rÛ
∴ zÛ`-16z+104-rÛ`=0 yy ㉠
주어진 구와 z축이 만나는 두 점의 z좌표를 a, b라 하면 두 점 사 이의 거리가 14이므로
|a-b|=14
또, a, b는 z에 대한 이차방정식 ㉠의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=16, ab=104-rÛ`
∴ |a-b|Û` =(a+b)Û`-4ab
=16Û`-4(104-rÛ`)
=4rÛ`-160 0673
r=|a|=a`(∵ a>0) 또, 이 구가 z축에 접하므로 r="Ã2Û`+3Û`='13
∴ a='13`
∴ a+r='13+'13=2'13 답 ④
따라서 구와 x축의 두 교점의 좌표는 (-1, 0, 0), (9, 0, 0)이 므로
ABÓ=|9-(-1)|=10 답 ③
다른풀이 xÛ`+yÛ`+zÛ`-8x-6y-2z-9=0에서 (x-4)Û`+(y-3)Û`+(z-1)Û`=35
즉, 주어진 구의 중심을 C라 하면 C(4, 3, 1)이고 반지름의 길이 는 '35이다.
이때 구의 중심 C에서 x축에 내린 수선의
A H B x
C 1335 1310
발을 H라 하면
H(4, 0, 0)
∴ CHÓ ="Ã(4-4)Û`+(-3)Û`+(-1)Û`
='10
따라서 직각삼각형 CAH에서 AÕHÓ="Ã('35)Û`-('10)Û`='25=5
∴ ABÓ=AÕHÓ+BHÓ=2AÕHÓ=10
y축 위의 점은 x좌표와 z좌표가 모두 0이므로 주어진 구 의 방정식에 x=0, z=0을 대입하면
yÛ`-2y-24=0, (y+4)(y-6)=0
∴ y=-4 또는 y=6
즉, 주어진 구와 y축의 두 교점의 좌표는 (0, -4, 0), (0, 6, 0) 이므로
ABÓ=|6-(-4)|=10
또, 두 점 A, B는 구 위의 점이므로 ACÓ, BCÓ의 길이는 구의 반 지름의 길이와 같다.
이때 xÛ`+yÛ`+zÛ`+2x-2y+4z-24=0에서 (x+1)Û`+(y-1)Û`+(z+2)Û`=30
∴ ACÓ=BCÓ='30
따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는 ABÓ+BCÓ+ACÓ =10+'30+'30
=10+2'30 답 10+2'30 0674
xy평면 위의 점은 z좌표가 0이므로 주어진 구의 방정식 에 z=0을 대입하면
(x-3)Û`+(y+4)Û`=45
따라서 주어진 구와 xy평면의 교선은 반지름의 길이가 3'5인 원 이므로 구하는 도형의 둘레의 길이는
2p_3'5=6'5p 답 ④
다른풀이 주어진 구의 중심을 C라 하면 C(3, -4, 2)이고, 점 C 에서 xy평면에 내린 수선의 발을 H라 하면
오른쪽 그림에서
A C
H 7 2
xy평면
ACÓ=7, CHÓ=2 직각삼각형 CAH에서 AHÓ="Ã7Û`-2Û`='45=3'5
따라서 주어진 구와 xy평면의 교선은 반지름의 길이가 3'5인 원 이므로 구하는 도형의 둘레의 길이는
2p_3'5=6'5p 0675
yz평면 위의 점은 x좌표가 0이므로 주어진 구의 방정식 에 x=0을 대입하면
yÛ`+zÛ`-6y-4z+k=0
∴ (y-3)Û`+(z-2)Û`=13-k
따라서 주어진 구와 yz평면의 교선은 반지름의 길이가 'Ä13-k인 원이므로
'Ä13-k='5, 13-k=5
∴ k=8 답 8
0676
주어진 구의 중심의 좌표를 (a, b, c)라 하면 구의 방정 식은
(x-a)Û`+(y-b)Û`+(z-c)Û`=25
zx평면 위의 점은 y좌표가 0이므로 y=0을 위의 방정식에 대입 하면
(x-a)Û`+(z-c)Û`=25-bÛ`
이 식이 (x-2)Û`+(z-3)Û`=16과 일치하므로 a=2, c=3, 25-bÛ`=16
25-bÛ`=16에서 bÛ`=9
∴ b=3`(∵ b>0)
따라서 구의 중심의 y좌표는 3이다. 답 3
다른풀이 주어진 구의 중심을 C라 하
C
A 5
4 H
zx평면
고, 점 C에서 zx평면에 내린 수선의
발을 H라 하면 오른쪽 그림에서 ACÓ=5, AHÓ=4
직각삼각형 CAH에서 CHÓ="Ã5Û`-4Û`=3
이때 점 C의 y좌표는 양수이므로 점 C는 점 H를 y축의 방향으 로 3만큼 평행이동한 것이다.
H(2, 0, 3)이므로 C(2, 3, 3) 따라서 구의 중심의 y좌표는 3이다.
0677
원기둥의 한 밑면의 둘레는 구와 xy평면의 교선과 같다.
xy평면 위의 점은 z좌표가 0이므로 주어진 구의 방정식에 z=0 을 대입하면
xÛ`+yÛ`+2x-4y+4=0
∴ (x+1)Û`+(y-2)Û`=1
즉, 원기둥의 밑면인 원의 반지름의 길이는 1이다.
또, xÛ`+yÛ`+zÛ`+2x-4y-4z+4=0에서 (x+1)Û`+(y-2)Û`+(z-2)Û`=5
이므로 구의 중심의 좌표는 (-1, 2, 2)이고 xy평면 위에 있는 원기둥의 밑면의 중심의 좌표는 (-1, 2, 0)이므로 원기둥의 높 이는 4이다.
따라서 원기둥의 부피는
p_1Û`_4=4p 답 ①
다른풀이 xÛ`+yÛ`+zÛ`+2x-4y-4z+4=0에서 (x+1)Û`+(y-2)Û`+(z-2)Û`=5
주어진 구의 중심을 C라 하면
C
H A
2 15
xy평면
C(-1, 2, 2)이고, 점 C에서 xy평면 에 내린 수선의 발을 H라 하면 오른쪽 그림에서
ACÓ='5, CHÓ=2 직각삼각형 CHA에서 AÕHÓ="Ã('5)Û`-2Û`=1
따라서 구하는 원기둥의 부피는 p_1Û`_4=4p
0678